专题03 平行四边形重难点题汇编（十三大类型）（高效培优期末专项训练）数学浙教版新教材八年级下册

**基本信息** 以多边形到平行四边形为逻辑主线，分13类考点系统覆盖性质、判定、中位线、动态与旋转综合，题型从基础计算到综合探究，突出几何直观与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |多边形基础|12题|边/角计算、对角线规律、实际应用|从多边形概念延伸至平行四边形预备知识| |平行四边形性质|16题|边/角/对角线性质、面积转化|性质从元素特征到面积关系逐步深化| |判定与中位线|12题|判定条件应用、中位线计算与构造|判定定理与中位线性质形成知识网络| |动态与旋转综合|14题|动点、分类讨论、旋转性质与证明|从静态应用过渡到动态与变换综合探究|

专题03 平行四边形重难点题汇编 （十三大类型） 考点01：多边形-边﹑角综合 考点02：多边形-对角线 考点03：多边形的实际应用 考点04：平行四边形的性质-边和角的性质 考点05：平行四边形的性质-对角线 考点06：平行四边形的性质-面积转化 考点07：平行四边形的判定 考点08：已知三角形的中位线求解 考点09：构造三角形的中位线 考点10：平行四边形与动点问题 考点11：平行四边形与分类讨论 考点12；利用旋转的性质求解 考点13：旋转综合 考点01：多边形-边﹑角综合 1．五边形的内角和等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵n边形的内角和公式为， 五边形的边数， ∴代入公式得． 2．如图，已知，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据多边形的外角和为，结合已知条件进行计算即可． 【详解】解：多边形的外角和等于 3．若一个边形的每个内角都是，则的值为（     ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题利用任意多边形外角和为的性质求解，思路为先求出多边形每个外角的度数，再用外角和除以单个外角的度数得到边数． 【详解】解：∵ 该边形每个内角都是， ∴ 每个外角的度数为 ， ∵ 任意多边形的外角和为， ∴ ． 4．把一个四边形截去一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形或四边形 B．四边形或五边形 C．三角形或五边形 D．三角形或四边形或五边形 【答案】D 【分析】根据截线经过的位置不同分三种情况讨论，即可得到剩下多边形的形状。 【详解】解：分三种情况讨论： ∵当截线经过四边形的两个不相邻顶点，即沿对角线截去一个角时，剩余多边形为三角形； 当截线经过四边形的一个顶点和不与该顶点相邻的边上的一点时，剩余多边形为四边形； 当截线经过四边形相邻两条边上非顶点的两点时，剩余多边形为五边形； ∴剩下的多边形是三角形或四边形或五边形． 5．一个凸多边形的内角和等于外角和的倍，则这个多边形的边数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用任意多边形外角和为，边形内角和公式为，根据题目倍数关系列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 任意凸多边形的外角和恒为，边形内角和为， 根据题意得:， 化简得：， 移项计算得：， 解得：． 这个多边形的边数为． 考点02：多边形-对角线 6．从多边形的一个顶点引出的所有对角线将这个多边形分成13个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】A 【分析】本题考查多边形对角线分多边形得到三角形的个数规律，从边形的一个顶点引出所有对角线，分得三角形的个数为，利用该规律列方程即可求解. 【详解】解：设这个多边形的边数为. 从边形的一个顶点引出所有对角线，将多边形分成三角形的个数为 ， 根据题意得 .解得 . 7．从八边形的某一顶点出发的对角线条数为（    ） A．4条 B．5条 C．6条 D．8条 【答案】B 【分析】根据对角线定义得到n边形从一个顶点出发的对角线条数规律，代入八边形边数计算即可. 【详解】解：∵ 对n边形，从一个顶点出发，不能向自身和相邻的两个顶点作对角线， ∴ 从一个顶点出发的对角线条数为， ∵ 该多边形为八边形，即 ， ∴ 对角线条数为 . 8．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成3个三角形，则这个多边形是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【答案】B 【详解】解：设这个多边形是边形， ∵边形过一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，题目中分成了个三角形， ∴， 解得， 因此这个多边形是五边形， 考点03：多边形的实际应用 9．如图，小明从点A出发前进到达，然后向右转；再前进到达，然后又向右转……，一直这样走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知小明所走的路程为一个正多边形的周长，而该正多边形的一个外角为，根据正多边形的外角和为360度求出该正多边形的边数即可得到答案． 【详解】解：， ， ∴一直这样走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了． 10．如图，由矩形和正六边形构成的扳手截面中，的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形的内角，以及周角为，解题的关键是熟练掌握正多边形的内角度数， 先求出正多边形的内角度数，再利用矩形的一个直角和正多边形的一个内角以及组成了一个周角，即可求解； 【详解】解：正六边形的外角度数为：， 故正六边形的内角度数为： 故选：A 11．如图，、、，是六边形的四个外角，延长交于点若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，多边形的外角和定理，掌握“三角形的内角和是”、“多边形的外角和是”等知识点是解题的关键． 先利用多边形的外角和求出的度数，再利用三角形的内角和定理得结论． 【详解】解：多边形的外角和恒为， 即， ∵ ∴． ∵， ∴． 故选：C． 12．科技馆为某机器人编制了一个程序，如果机器人在平地上按照如图所示的程序行走，那么该机器人所走的总路程为（    ）    A．12米 B．16米 C．18米 D．30米 【答案】C 【分析】先判断出机器人所走过的路线是正多边形，边长为1，一个外角度数为，根据正多边形的外角和为，求出边数，即可求出总路程． 【详解】解：由题意得：机器人所走路线是是正多边形，边长为1，一个外角度数为， ∴正多边形的边数为：， ∴机器人所走的总路程为：米； 故选：C． 【点睛】本题考查程序流程图与正多边形的计算．熟练掌握正多边形的外角和是，是解题的关键． 考点04：平行四边形的性质-边和角的性质 13．如图，平行四边形中，，，平分交边于点E，则等于（ 　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得 ，根据 、的值，求出的值． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ， 平分， ， ， ， ． 14．如图，在中，于点E，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行四边形的性质可得，由余角的性质可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ． 15．如图，在中，，，，则的周长是（   ） A．21 B．22 C．25 D．32 【答案】A 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∴的周长． 16．如图，是平行四边形中边上一点，连接，已知，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和，平行线的性质求解即可； 【详解】解：因为平行四边形， 所以，，， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以； 17．平行四边形的一个角比它的邻角的2倍还大，则相邻的两个内角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行四边形邻角互补的性质，设未知数列出一元一次方程，即可求解出两个内角的度数． 【详解】解：∵平行四边形邻角互补， ∴相邻两个内角和为， 设较小的内角为，则根据题意得较大内角为，列方程得：， 解得， ∴较大内角为， 即相邻两个内角为． 18．如图，在平行四边形中，，，，垂足为．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理得出， 根据平行四边形的性质得出，根据直角三角形两锐角互余即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． 考点05：平行四边形的性质-对角线 19．在平行四边形中，对角线相交于点O，若， 则的长为（     ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】A 【分析】因为平行四边形的对角线互相平分，所以，代入的长度即可得到结果． 【详解】解：∵平行四边形中，对角线相交于点， ∴． ∵， ∴． 20．如图，在中，对角线相交于点，则的长为（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 21．如图，在平行四边形中，对角线交于点O，如果，，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质得出，根据三角形三边关系得出，求解作答即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 即， ∴． 22．如图，在中，对角线，相交于点O，过点O作交于E，若，，，则的长为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】D 【分析】先得出垂直平分，则，根据勾股逆定理得出，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 23．如图，平行四边形的对角线交于点，过点作．交于点，连接．若，则___________°． 【答案】/40度 【分析】先根据平行四边形的性质得到对角线互相平分，，推出，再由线段垂直平分线的性质得出，进而得到，最后根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：平行四边形的对角线交于点， ，， ， ，， 垂直平分， ， ， ， 故答案为：． 24．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，的周长比的周长大2，若，则的长是________． 【答案】13 【分析】 本题主要考查平行四边形的性质．根据平行四边形对边相等、对角线互相平分的性质，用方程思想解答即可．由题意得，和，有两边相等：，，它们周长的差其实就是与的差；这样可设，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵的周长比的周长大2，在这两三角形中，，是公共边， ∴ 设，则， 解得, 即. 考点06：平行四边形的性质-面积转化 25．如图，点是内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A．4 B．4.5 C．6 D．3.5 【答案】A 【分析】过点作平行四边形边的垂线段，因为，所以该垂线段同时也是边上的高，可据此将两个阴影三角形的面积用底和对应的高表示．根据平行四边形的高是两个阴影三角形分别以、为底时的高之和，结合三角形面积公式与平行四边形面积公式，可推出阴影部分面积和平行四边形总面积的数量关系． 【详解】如图，过点作平行四边形边的垂线， 根据平行四边形的性质：，且， 设点到的距离为，点到的距离为， 则平行四边形中，与之间的总高为， 平行四边形面积满足： ， 阴影部分为和，面积和为 ， 因此阴影部分面积为4． 26．在中，O是对角线，的交点，若的面积是4，则的面积是（　　）    A．16 B．24 C．32 D．40 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形中线的性质，根据平行四边形的性质可得，，由此可得，从而可得结论．解决本题的关键是理解平行四边形的对角线互相平分． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴平行四边形的面积， 故选：A． 27．在中，已知，，，则的面积是（   ） A．6 B． C．12 D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理； 过点C作于E，可得是等腰直角三角形，然后利用勾股定理求出，进而可计算的面积． 【详解】解：如图，过点C作于E， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积为， 故选：D． 28．如图，在中，对角线交于点O，过点O的直线分别与交于点E、F．若的面积为80，则图中阴影部分的面积是（    ）    A．40 B．41 C．42 D．43 【答案】A 【分析】本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定．根据平行四边形的性质得到，，推出，，证，得出的面积等于的面积，再求解即可． 【详解】解：矩形， ，， ，， ， 的面积等于的面积， 的面积是80， ， 故选：A． 29．如图，在中，，，分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交点的连线交于点，交于点，则的面积________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，作已知线段的垂直平分线，利用基本作图得到垂直平分是解题的关键．利用基本作图得到垂直平分，推出是等边三角形，根据平行四边形的性质以及中点的定义得出，再根据勾股定理求出，进而得出的面积． 【详解】解：在中，， ， 由题意可得垂直平分， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， 故答案为：． 考点07：平行四边形的判定 30．如图，在四边形中，对角线，相交于点O，下列条件能判定四边形为平行四边形的是（     ） A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】由平行四边形的判定定理逐项验证即可． 【详解】解：A、当时，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、当时，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； C、当时，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、当，时，由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判定四边形是平行四边形，符合题意． 31．某小区有一个四边形花园，对角线与相交于点．物业人员测量了以下四组数据，其中哪一组可以确定四边形一定是平行四边形．（    ） A．测得平行于，且等于 B．测得，且 C．测得，且平行于 D．测得，且 【答案】B 【详解】解：选项A，且时，四边形可以是等腰梯形，不一定是平行四边形，不符合要求； 选项B，∵，且，∴四边形一定是平行四边形． 选项C，且时，四边形也可以是等腰梯形，不一定是平行四边形，不符合要求； 选项D，由且，仅能得到三个角相等，无法推出两组对边分别平行或相等，四边形不一定是平行四边形，不符合要求． 32．如图，在锐角三角形中，，是边上的中线，以点为圆心，长为半径在的右侧作弧，延长交此弧于点，连接，．四边形是平行四边形的依据是（    ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【详解】解：∵在锐角三角形中，是边上的中线 ∴ 由作图得， ∴四边形是平行四边形，依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形． 33．如图，四边形是平行四边形，为上的一点（不与，重合），连接．求作点，使得点在上，且． 甲、乙、丙三名同学的尺规作图方法如下： 甲：以点为圆心，的长为半径作弧，交于，连接； 乙：以点为圆心，的长为半径作弧，交于，连接； 丙：以点为圆心，的长为半径作弧，交于，连接． 上述三名同学的作法一定正确的是（     ） A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丙 D．甲、乙、丙 【答案】A 【分析】本题考查尺规作图，平行四边形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 分别按照甲，乙，丙三名同学的方法作图，然后根据平行四边形的判定进行判断即可． 【详解】解：甲：如图，由题可知，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ， 即甲同学符合要求； 乙：如图，由题可知，， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， 即乙同学符合要求； 丙：如图，存在两个交点，此时四边形不是平行四边形，故丙同学不符合要求． 考点08：已知三角形的中位线求解 34．如图，小乐为测量自家池塘边上A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取一点O，记的中点分别为点D，E，测得米，则A，B间的距离是（    ） A．18米 B．24米 C．34米 D．36米 【答案】C 【分析】根据三角形的中位线定理作答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵的中点分别为点， ∴是的中位线， ∵米， ∴米． 35．如图，在四边形中，E，F，G，H分别是边的中点，对角线，则四边形的周长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理分别求出、、、的长，根据四边形的周长公式计算即可． 【详解】解：、、、分别是、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，， ，， 四边形的周长． 36．如图，在中，，，是边上的中线，是的中点，若，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质以及等腰三角形的判定，根据是边上的中线，是的中点，可知是三角形的中位线，则有，,利用等角对等边可得即可求解． 【详解】解： 是边上的中线， 为边上的中点， 是边上的中点， 是三角形的中位线， ， ， ， ， 的周长为． 37．如图，在四边形中，，，点，分别为，的中点，．若，，则的长为（  ） A．6 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】由所给条件可证明四边形是平行四边形，再由可推得，，在中，，，推得． 【详解】解：，点，分别为，的中点，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 在中，． 考点09：构造三角形的中位线 38．如图，在中，，，、分别是的角平分线和中线，过点C作于点F，连结，则线段的长为（     ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中位线定理，能够根据角平分线模型构造合适的辅助线是解题的关键． 延长交于点，根据题意即可证明，从而推得，根据中位线定理即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴． 39．如图，在四边形中，，分别为，的中点，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角形中位线定理和两直线平行的性质，可以证得是等腰直角三角形,即可求解的值． 【详解】解：设为的中点，连接，， 因为，分别为，的中点， 所以，，且，， 所以，， 所以， 所以． 40．如图，在中，平分，于点E，点F是的中点，若，，则的长为__________． 【答案】3 【分析】延长交于点M，构造等腰三角形，利用中位线定理得出线段长度． 【详解】解：如图，延长交于点M， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴为的中位线， ∴． 41．如图，在中，，点D是边上的一点，延长至点E，使得，过点E作于点F，G为的中点，若，则_______ o． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等、中位线定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质．正确地作出辅助线是解题的关键．延长，交于点，延长交于点，先证明，然后证明是的中位线，可得，可得，再证明，可得，进而利用斜边中线的性质即可求解． 【详解】解：如图，分别延长，交于点，延长交于点， ， ． ， ， ， ． 为的中点， ， ， ． ，， ， ． 在和中， ． ， ∵， ， ， ． 考点10：平行四边形与动点问题 42．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为__________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向终点运动， ∴运动时间为（秒）， ，的速度为每秒，到达的时间为（秒）， 当在点以及点的左边时，即时，， 当在的右边时，即时，， 以点、、、为顶点的四边形是平行四边形， ①当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， 综合上述，当或时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：或． 43．如图，在等边三角形中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，点F从点B出发沿射线以的速度运动．如果点E，F同时出发，设运动时间为，当_____s时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】2或6 【分析】此题考查了平行四边形的判定，一元一次方程的应用，难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用． 分别从当点F在C的左侧与当点F在C的右侧时去分析，当时，以为顶点的四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案 【详解】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：，， 则， ∵， ∴当是，四边形是平行四边形， 即， 解得：； ②当点F在C的右侧时，根据题意得： ，， 则， ∵， ∴当是，四边形是平行四边形 即， 解得：； 综上所述：当或时，以为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：2或6． 44．如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发在上往返运动．两点同时出发，当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为．当______时，四边形是平行四边形． 【答案】3或5 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，能求出符合题意的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．根据平行四边形的性质得出，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过t秒，四边形是平行四边形， ∵P在上运动， 根据题意，即， ∵四边形是平行四边形， ∴， 分为以下情况：①点Q的运动在上时，方程为， 解得， ②点Q的运动在上时，方程为， 解得：； 故答案为：3或5． 考点11：平行四边形与分类讨论 45．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，且满足，点C的坐标为，点P从原点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿x轴向右运动，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向左运动，P、Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P、Q两点停止运动，设运动时间为t（秒）． (1) ______， ______，点B的坐标为______； (2)在x轴上存在点D，使得的面积是12，求出点D坐标． (3)在整个运动过程中，t为何值时，以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？ 【答案】(1)12，8， (2)或 (3)或 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，得出m和n的值，即可得出点B的坐标； （2）设点D的坐标为，然后确定底和高，根据三角形面积公式列出方程，解绝对值方程即可得出结论； （3）分类讨论：当点P在线段上时，当点P在线段的延长线上时，根据平行四边形的性质分别求解． 【详解】（1）解： ， ，， ，， 点B的坐标为； （2）解：设点D的坐标为， 点A的坐标为， ， 由（1）得点B的坐标为， ， ， ， 解得或， 点D的坐标为或； （3）解：点B的坐标为， ， 点Q运动到点C时，， 由题意知， ，，， 当时，以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形． 分两种情况： 当点P在线段上时，， 由得， ； 当点P在线段的延长线上时，， 由得， ， 综上所述，当或时，以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形． 46．在平面直角坐标系中，已知点，，．若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为_______________________． 【答案】或或 【分析】分三种情况，得出点的坐标，即可解决问题． 【详解】解：如图， 分三种情况： ①当，时，点的坐标为； ②当，时，点的坐标为； ③当，时，点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 47．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C的坐标分别为(0，2)，( -1，0)，(2，0)．以A、B、C三点为顶点作平行四边形，第四个顶点为点D． (1)满足条件的平行四边形能作 个； (2)在图中作出满足条件的平行四边形，使顶点D位于第四象限； (3)写出所有符合条件的顶点D的坐标： 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)（3，2），（﹣3，2），（1，﹣2） 【分析】（1）分BC为平行四边形的边和对角线两种情况求解即可． （2）以BC为对角线的平行四边形符合题意． （3）BC为边时，点D（3，2），点D（-3，2），BC为对角线时，点D（1，-2）． 【详解】（1）当BC为边时，将点A向右平移3个单位或向左平移3个单位得到的点，都是符合题意的点D，有两个； 当BC为对角线时，点A向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到C， 故只需将点B也作同样的平移，得到1个点D， 故有3个， 故答案为：3． （2）当BC为对角线时，点A向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到C， 故只需将点B也作同样的平移，得到1个点D，其坐标为（1，-2）， 画图如下： （3）当BC为边时，点A向右平移3个单位，此时点D（3，2）； 向左平移3个单位得到点D，此时点D（-3，2）； 当BC为对角线时，点A向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到C， 故只需将点B也作同样的平移，得到点D(-1+2，0-2)即点D（1，-2）， 故点D的坐标为（3，2）或（﹣3，2）或（1，﹣2）． 故答案为：（3，2）或（﹣3，2）或（1，﹣2）． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，作图，平移思想的运用，熟练掌握平行四边形的判定，灵活运用分类思想、平移思想是解题的关键． 考点12；利用旋转的性质求解 48．如图，由绕点逆时针旋转得到，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由旋转可得，， ∵ ∴． 49．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的长为（   ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，交于点，由旋转可得，，，为等边三角形，垂直平分，根据勾股定理可得，，即可得的长． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵绕点逆时针旋转得到，，， ∴，，， ∴为等边三角形，点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴． 50．如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点恰好落在边上，，则的长为（    ） A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解： 是由旋转得到的， ， , ， ， 即， ． 51．李华利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕点O逆时针旋转（）至，此次旋转称为第1次旋转，然后进行第2次旋转：将绕点O逆时针转动至，…，那么按照这种旋转方式，旋转第2026次后，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据每次转动可知，4次一个循环，分别求出第一次到第四次的点的坐标，利用规律解决问题即可． 【详解】解：∵绕原点O逆时针转动至，，， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， 即点与点A重合， ∴点A每旋转4次为一个循环， ∵， ∴在转动2026次后，点A在点的位置，此时点A的坐标为． 考点13：旋转综合 52．如图，中，，点、在边上，，将绕点顺时针旋转得． (1)求证：； (2)连接，求证：≌； (3)若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵将绕点顺时针旋转得， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴． (2)证明：∵将绕点顺时针旋转得， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． (3) 【分析】（1）由旋转的性质得，从而得到，即可证明结论； （2）由旋转的性质得，，则，再利用即可证明； （3）如图，过点作于，由（1）得，，在中，由勾股定理得，则，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，再利用可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过点作于， ∵将绕点顺时针旋转得，，， ∴， 由（1）得，， 在中，， 由（2）得，， ∴，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴四边形的面积： ． 53．解决下列问题 (1)【阅读材料】在等边的内部有一点，若点到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数． 如图1，为了解决本题，我们可以将绕顶点按逆时针方向旋转得到，连接，此时，易证为等边三角形，再利用旋转的性质及等边三角形的性质，将线段转化到中，利用勾股定理的逆定理求出的度数，从而求出______． (2)【类比探究】如图2，在中，为边上的点，且．求证：． (3)【迁移应用】如图3，在中，，点在的内部，连接．若，则的值为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由全等三角形的性质得，，，，再由等边三角形的性质与判定得，根据勾股定理逆定理得，，进而求解即可； （2）将绕点A逆时针旋转得到，连接，证明，得到；再证明，由勾股定理得到，则； （3）将绕点B顺时针旋转得到，连接，证明是等边三角形，推出，证明，再由直角三角形的性质和勾股定理求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ，，，， ∵是等边三角形， ， ，即， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，, ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：将绕点B顺时针旋转得到，连接， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴ ∴点C、O、、在一条直线上， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴, ∴． 54．【问题情境】在学习《图形的平移与旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边的边上的一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． 【猜想证明】 (1)试猜想与的数量关系，并加以证明； 【探究应用】 (2)如图2，点 D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分； 【拓展提升】 (3)如图3，若是边长为8的等边三角形，点D是线段上的动点（不与B、C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．在点D 运动过程中，直接写出 周长的最小值． 【答案】(1)；见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得； （2）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得，从而求得，即可得出结论； （3）连接，由旋转可得，，则是等边三角形，所以，由（1）知，所以的周长，所以当最小时，的周长最小，最小值，所以当时，最小，此时的周长最小，由等边三角形性质求得，由勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）解：， 证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，   ∴； （2）证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （3）解：连接，如图，    由旋转可得，， ∴是等边三角形， ∴ 由（1）知 ∴的周长， ∴当最小时，的周长最小，最小值， ∴当时，最小，此时的周长最小， ∵，等边， ∴， 由勾股定理，得， ∴的周长最小值． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平行四边形重难点题汇编 （十三大类型） 考点01：多边形-边﹑角综合 考点02：多边形-对角线 考点03：多边形的实际应用 考点04：平行四边形的性质-边和角的性质 考点05：平行四边形的性质-对角线 考点06：平行四边形的性质-面积转化 考点07：平行四边形的判定 考点08：已知三角形的中位线求解 考点09：构造三角形的中位线 考点10：平行四边形与动点问题 考点11：平行四边形与分类讨论 考点12；利用旋转的性质求解 考点13：旋转综合 考点01：多边形-边﹑角综合 1．五边形的内角和等于（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 3．若一个边形的每个内角都是，则的值为（     ） A．6 B．8 C．9 D．10 4．把一个四边形截去一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形或四边形 B．四边形或五边形 C．三角形或五边形 D．三角形或四边形或五边形 5．一个凸多边形的内角和等于外角和的倍，则这个多边形的边数是（    ） A． B． C． D． 考点02：多边形-对角线 6．从多边形的一个顶点引出的所有对角线将这个多边形分成13个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．15 B．14 C．13 D．12 7．从八边形的某一顶点出发的对角线条数为（    ） A．4条 B．5条 C．6条 D．8条 8．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成3个三角形，则这个多边形是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 考点03：多边形的实际应用 9．如图，小明从点A出发前进到达，然后向右转；再前进到达，然后又向右转……，一直这样走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了（   ） A． B． C． D． 10．如图，由矩形和正六边形构成的扳手截面中，的度数为（    ）    A． B． C． D． 11．如图，、、，是六边形的四个外角，延长交于点若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 12．科技馆为某机器人编制了一个程序，如果机器人在平地上按照如图所示的程序行走，那么该机器人所走的总路程为（    ）    A．12米 B．16米 C．18米 D．30米 考点04：平行四边形的性质-边和角的性质 13．如图，平行四边形中，，，平分交边于点E，则等于（ 　） A．1 B．2 C．3 D．4 14．如图，在中，于点E，，则等于（     ） A． B． C． D． 15．如图，在中，，，，则的周长是（   ） A．21 B．22 C．25 D．32 16．如图，是平行四边形中边上一点，连接，已知，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 17．平行四边形的一个角比它的邻角的2倍还大，则相邻的两个内角为（    ） A． B． C． D． 18．如图，在平行四边形中，，，，垂足为．则的度数是（    ） A． B． C． D． 考点05：平行四边形的性质-对角线 19．在平行四边形中，对角线相交于点O，若， 则的长为（     ） A．4 B．5 C．8 D．10 20．如图，在中，对角线相交于点，则的长为（   ） A．4 B．2 C． D． 21．如图，在平行四边形中，对角线交于点O，如果，，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．如图，在中，对角线，相交于点O，过点O作交于E，若，，，则的长为（    ） A． B． C．8 D． 23．如图，平行四边形的对角线交于点，过点作．交于点，连接．若，则___________°． 24．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，的周长比的周长大2，若，则的长是________． 考点06：平行四边形的性质-面积转化 25．如图，点是内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A．4 B．4.5 C．6 D．3.5 26．在中，O是对角线，的交点，若的面积是4，则的面积是（　　）    A．16 B．24 C．32 D．40 27．在中，已知，，，则的面积是（   ） A．6 B． C．12 D． 28．如图，在中，对角线交于点O，过点O的直线分别与交于点E、F．若的面积为80，则图中阴影部分的面积是（    ）    A．40 B．41 C．42 D．43 29．如图，在中，，，分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交点的连线交于点，交于点，则的面积________． 考点07：平行四边形的判定 30．如图，在四边形中，对角线，相交于点O，下列条件能判定四边形为平行四边形的是（     ） A． B． C． D．， 31．某小区有一个四边形花园，对角线与相交于点．物业人员测量了以下四组数据，其中哪一组可以确定四边形一定是平行四边形．（    ） A．测得平行于，且等于 B．测得，且 C．测得，且平行于 D．测得，且 32．如图，在锐角三角形中，，是边上的中线，以点为圆心，长为半径在的右侧作弧，延长交此弧于点，连接，．四边形是平行四边形的依据是（    ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 33．如图，四边形是平行四边形，为上的一点（不与，重合），连接．求作点，使得点在上，且． 甲、乙、丙三名同学的尺规作图方法如下： 甲：以点为圆心，的长为半径作弧，交于，连接； 乙：以点为圆心，的长为半径作弧，交于，连接； 丙：以点为圆心，的长为半径作弧，交于，连接． 上述三名同学的作法一定正确的是（     ） A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丙 D．甲、乙、丙 考点08：已知三角形的中位线求解 34．如图，小乐为测量自家池塘边上A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取一点O，记的中点分别为点D，E，测得米，则A，B间的距离是（    ） A．18米 B．24米 C．34米 D．36米 35．如图，在四边形中，E，F，G，H分别是边的中点，对角线，则四边形的周长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 36．如图，在中，，，是边上的中线，是的中点，若，则的周长为（     ） A． B． C． D． 37．如图，在四边形中，，，点，分别为，的中点，．若，，则的长为（  ） A．6 B．4 C． D． 考点09：构造三角形的中位线 38．如图，在中，，，、分别是的角平分线和中线，过点C作于点F，连结，则线段的长为（     ） A．4 B．2 C．1 D． 39．如图，在四边形中，，分别为，的中点，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 40．如图，在中，平分，于点E，点F是的中点，若，，则的长为__________． 41．如图，在中，，点D是边上的一点，延长至点E，使得，过点E作于点F，G为的中点，若，则_______ o． 考点10：平行四边形与动点问题 42．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为__________． 43．如图，在等边三角形中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，点F从点B出发沿射线以的速度运动．如果点E，F同时出发，设运动时间为，当_____s时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形． 44．如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发在上往返运动．两点同时出发，当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为．当______时，四边形是平行四边形． 考点11：平行四边形与分类讨论 45．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，且满足，点C的坐标为，点P从原点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿x轴向右运动，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向左运动，P、Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P、Q两点停止运动，设运动时间为t（秒）． (1) ______， ______，点B的坐标为______； (2)在x轴上存在点D，使得的面积是12，求出点D坐标． (3)在整个运动过程中，t为何值时，以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？ 46．在平面直角坐标系中，已知点，，．若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为_______________________． 47．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C的坐标分别为(0，2)，( -1，0)，(2，0)．以A、B、C三点为顶点作平行四边形，第四个顶点为点D． (1)满足条件的平行四边形能作 个； (2)在图中作出满足条件的平行四边形，使顶点D位于第四象限； (3)写出所有符合条件的顶点D的坐标： 考点12；利用旋转的性质求解 48．如图，由绕点逆时针旋转得到，若，则（     ） A． B． C． D． 49．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的长为（   ） A．8 B． C． D． 50．如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点恰好落在边上，，则的长为（    ） A．2 B．1 C．3 D．4 51．李华利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕点O逆时针旋转（）至，此次旋转称为第1次旋转，然后进行第2次旋转：将绕点O逆时针转动至，…，那么按照这种旋转方式，旋转第2026次后，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 考点13：旋转综合 52．如图，中，，点、在边上，，将绕点顺时针旋转得． (1)求证：； (2)连接，求证：≌； (3)若，求四边形的面积． 53．解决下列问题 (1)【阅读材料】在等边的内部有一点，若点到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数． 如图1，为了解决本题，我们可以将绕顶点按逆时针方向旋转得到，连接，此时，易证为等边三角形，再利用旋转的性质及等边三角形的性质，将线段转化到中，利用勾股定理的逆定理求出的度数，从而求出______． (2)【类比探究】如图2，在中，为边上的点，且．求证：． (3)【迁移应用】如图3，在中，，点在的内部，连接．若，则的值为______． 54．【问题情境】在学习《图形的平移与旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边的边上的一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． 【猜想证明】 (1)试猜想与的数量关系，并加以证明； 【探究应用】 (2)如图2，点 D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分； 【拓展提升】 (3)如图3，若是边长为8的等边三角形，点D是线段上的动点（不与B、C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．在点D 运动过程中，直接写出 周长的最小值． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $