专题02 一元二次方程重难点题汇编（十二大类型）（高效培优期末专项训练）数学浙教版新教材八年级下册

**基本信息** 聚焦一元二次方程从概念到应用的十二大类型，以题组形式构建“定义-解法-性质-应用”的完整知识链，强化运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义与解|8题|辨析方程类型、利用解求参数|从概念本质到方程解的应用，夯实基础| |解法与判别式|15题|覆盖配方法等解法、根的情况判断|体现解法多样性，衔接判别式与参数关系| |根与系数关系|4题|代数式求值|深化方程根的数量关系，培养推理意识| |应用问题|27题|含增长率、销售利润等6类实际场景|从静态到动态几何，强化数学建模与应用意识|

专题02 一元二次方程重难点题汇编 （十二大类型） 考点01：一元二次方程的定义 考点02：由一元二次方程的解求参数 考点03：解一元二次方程 考点04：根据判别式判断一元二次方程根的情况 考点05：根据一元二次方程根的情况求参数 考点06：一元二次方程的根与系数的关系 考点07：一元二次方程的应用-增长率问题 考点08：一元二次方程的应用-传播问题 考点09：一元二次方程的应用-与图形有关的问题 考点10：一元二次方程的应用-握手、循环赛问题 考点11：一元二次方程的应用-销售利润问题 考点12：一元二次方程的应用-动态几何问问题 考点01：一元二次方程的定义 1．下列方程属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是（    ） A． B． C． D． 3．方程的一次项为（   ） A． B． C． D． 考点02：由一元二次方程的解求参数 4．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．0 5．关于x的一元二次方程的一个解为，则实数t的值是（   ） A．6 B．4 C．3 D．0 6．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2027 D．2028 7．若a是方程的根，则的值为（   ） A．2024 B．2026 C．2028 D．2030 8．已知关于的方程和的解相同，则与之间的等量关系为（   ） A． B． C． D． 考点03：解一元二次方程 9．把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 10．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 11．一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 12．解方程： (1) (2) 13．解方程： (1)． (2)． 14．解方程： (1) (2) 15．解方程： (1)； (2)． 考点04：根据判别式判断一元二次方程根的情况 16．关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 17．关于x的一元二次方程x2－mx－1=0的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 18．新定义：《，，》为一元二次方程(其中为实数)的“共同体数”，如：的“共同体数”为《1，2，》，以下“共同体数”中能让一元二次方程有两个不相等的实数根的是(    ) A．《3，2，1》 B．《3，4，5》 C．《，，》 D． 考点05：根据一元二次方程根的情况求参数 19．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 20．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A．＞2 B． C．且 D．且 21．若关于x的一元二次方程无实数根，则m的取值范围是________． 22．若关于的方程 有两个相等的实数根，则______． 考点06：一元二次方程的根与系数的关系 23．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（    ） A．2 B． C．8 D． 24．已知是方程的两个根，则的值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 25．若m，n是方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A． B．2024 C．2026 D．2028 26．已知关于x的一元二次方程的两根分别为a，b，则的值为（   ） A． B． C． D． 考点07：一元二次方程的应用-增长率问题 27．受国际油价影响，2026年我国汽油价格总体呈上升趋势，温州市95号汽油价格一月底是元/升，三月底涨至元/升．设温州市95号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（   ） A． B． C． D． 28．身为全球增长速度最快的开源自主平台，占据了各大应用市场下载榜首．据统计，该软件首日在某平台的下载量为60万次，第二天、第三天连续增长，这三天累计下载量达到了300万次．设这三天的日平均增长率为．根据题意，可列方程（   ） A． B． C． D． 29．随着“博物馆热”的持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解历史文化．某博物馆，今年月份共计接待游客万人，月份接待游客增加到了万人． (1)求该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率； (2)若月份继续保持相同的增长率，则该博物馆月份预计接待游客多少万人？ 考点08：一元二次方程的应用-传播问题 30．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有个人患了流感，设平均每轮每人传染个人，则下列等式成立的是（   ）． A． B． C． D． 31．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为57，则每个支干长出（    ）支小分支． A．6 B．7 C．8 D．9 考点09：一元二次方程的应用-与图形有关的问题 32．有一块长30米、宽20米的矩形空地，现要在空地上修建两条纵向平行的小路和一条横向的小路（小路宽度均相等），纵向小路为平行四边形，剩余空地用于铺设塑胶跑道．已知塑胶跑道的面积为504平方米，设小路宽度为米，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 33．如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米．若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ 34．如图，学校为美化环境，准备用总长为的篱笆，在靠墙的一侧设计一块矩形花圃，其中墙长，花圃三边外围用篱笆围起，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)若花圃的面积为，求花圃的一边的长； (2)花圃的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案，如果不能，请说明理由． 35．学校停车场车位布局如图所示．已知矩形停车场的长为，宽为，共有五个等宽矩形停车区，其总面积为，其余部分是等宽通道，设通道宽． (1)用含的代数式表示：停车区宽为______，停车区的长为______． (2)停车场的通道宽为多少米？ 考点10：一元二次方程的应用-握手、循环赛问题 36．组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 37．参加一次绿色有机农产品交易会的每两家公司都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，参加这次交易会的公司共有（    ） A．6家 B．8家 C．10家 D．12家 38．徐老师购买了1681张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，则班级共有___________名学生． 考点11：一元二次方程的应用-销售利润问题 39．公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的冬季销售量，其中10月份售出200个，12月份售出242个． (1)求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率． (2)此种品牌头盔每个进货价为30元调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，而当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到11250元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元? 40．亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件． (1)若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价0.5元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 41．某零食商店以元/千克的价格购进一种饼干，计划以元/千克的价格销售，为促销，现决定降价销售，已知这种饼干销售量（千克）与每千克降价（元）（）之间满足的函数关系图象如下： (1)若这种饼干定价为元/千克时，则商店获利______元； (2)若商店要想获利元，且让顾客获得更大实惠，这种饼干的销售价应定为每千克多少元？ 考点12：一元二次方程的应用-动态几何问问题 42．在矩形中， ，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 43．如图，中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动到达时停止，另一动点从A出发沿着边以的速度运动到达时停止，，两点同时出发，运动时间为． (1)若的面积是面积的，求的值； (2)的面积能否与四边形面积相等？若能，求出的值；若不能，说明理由． 44．如图，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动，设运动时间为． (1)为多少时，四边形的面积为； (2)为多少时，点和点的距离为． (3)，同时出发，直接写出为何值时，以，，为顶点的三角形为等腰三角形． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程重难点题汇编 （十二大类型） 考点01：一元二次方程的定义 考点02：由一元二次方程的解求参数 考点03：解一元二次方程 考点04：根据判别式判断一元二次方程根的情况 考点05：根据一元二次方程根的情况求参数 考点06：一元二次方程的根与系数的关系 考点07：一元二次方程的应用-增长率问题 考点08：一元二次方程的应用-传播问题 考点09：一元二次方程的应用-与图形有关的问题 考点10：一元二次方程的应用-握手、循环赛问题 考点11：一元二次方程的应用-销售利润问题 考点12：一元二次方程的应用-动态几何问问题 考点01：一元二次方程的定义 1．下列方程属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程“只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程”三个条件逐一判断选项． 【详解】解：一元二次方程需同时满足三个条件：只含有1个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程. 对各选项分析如下： A选项含有两个未知数，不满足条件，排除； B选项未知数的最高次数为1，不满足条件，排除； C选项分母含有未知数，不是整式方程，不满足条件，排除； D选项只含1个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，满足一元二次方程的定义． 2．若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，得到“”是含的二次项，进行判断即可. 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴“”是含的二次项， ∴“”可以是，其他选项均不能构成一元二次方程. 3．方程的一次项为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程一般形式的定义，区分各项得到结果即可． 【详解】解：是一元二次方程， 一次项为． 考点02：由一元二次方程的解求参数 4．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把 代入求解，但一定要注意一元二次方程二次项系数不等于0，然后舍去不满足的取值即可． 【详解】解：把 代入， 得到： ∴或 ∵ 方程是一元二次方程， ∴ ， ∴， ∴； 故选：B ． 5．关于x的一元二次方程的一个解为，则实数t的值是（   ） A．6 B．4 C．3 D．0 【答案】C 【分析】根据一元二次方程解的定义，方程的解满足方程等式，将已知解代入原方程即可求出参数的值. 【详解】解：∵是一元二次方程的一个解， ∴将代入原方程，得， ∴. 6．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2027 D．2028 【答案】D 【详解】解：把代入方程得：， ∴， ∴． 7．若a是方程的根，则的值为（   ） A．2024 B．2026 C．2028 D．2030 【答案】A 【分析】根据根的定义得到的值，利用整体代入思想求解即可． 【详解】解： 是方程的根， ， ， ． 8．已知关于的方程和的解相同，则与之间的等量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将两个方程进行展开，再根据两个方程的解相同进行比较求解即可． 【详解】解：由题意得， ； ， ∵关于的方程和的解相同， ∴，， ∴． 考点03：解一元二次方程 9．把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平方差公式将等号的左边去括号，再移项、整理即可得到结果． 【详解】， 去括号，得， 移项，得． 10．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， 即． 11．一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解，即可． 【详解】解：， 化简得， 两边直接开平方，得， 解得． 故选：D． 12．解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将原式分解因式可得，，解方程即可； （2）将原式分解因式可得，，解方程即可． 【详解】（1）解：， 分解因式得，， 可得或， 解得：，； （2）解：， 分解因式得，， 可得或， 解得：，． 13．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）方程运用配方法解答即可； （2）方程整理后运用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得：，； （2）解： ， ， ， ， 解得：，． 14．解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）方程去括号，整理后运用配方法解答即可； （2）方程移项后运用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴，； （2）解：， ， ， ， ∴，． 15．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）提取公因式分解后求解； （2）十字相乘因式分解后求解． 【详解】（1）解：， 因式分解得 ， ∴ 或 ， 解得，； （2）解：， 因式分解得， ∴ 或 ， 解得，． 考点04：根据判别式判断一元二次方程根的情况 16．关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，时方程有两个不相等的实数根，时方程有两个相等的实数根，时方程没有实数根，代入方程系数计算即可得到结论． 【详解】解： 对于一元二次方程，，， ∴ ∴ 该一元二次方程有两个不相等的实数根． 17．关于x的一元二次方程x2－mx－1=0的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题以考查一元二次方程根的判别式知识点，解题的关键是通过计算判别式的值来判断根的情况． 根据一元二次方程根的判别式公式，确定方程中a，b，的值，代入公式计算，再根据与0的大小关系判断根的情况． 【详解】对于一元二次方程，其根的判别式， 在方程中，， 将a，b，的值代入判别式中，可得： 因为任何数的平方都大于等于0，即，所以，也就是． 当时，一元二次方程有两个不相等的实数根．所以方程有两个不相等的实数根， 故答案选：A． 18．新定义：《，，》为一元二次方程(其中为实数)的“共同体数”，如：的“共同体数”为《1，2，》，以下“共同体数”中能让一元二次方程有两个不相等的实数根的是(    ) A．《3，2，1》 B．《3，4，5》 C．《，，》 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根据一元二次方程根的判别式进行计算，即可求解． 【详解】解：A.当“共同体数”为《3，2，1》时，一元二次方程为 ∵， ∴没有实数根，故该选项不符合题意； B.当“共同体数”为《3，4，5》时，一元二次方程为 ∵， ∴没有实数根，故该选项不符合题意； C.当“共同体数”为《，，》时，一元二次方程为 ∵， ∴ 有两个不相等实数根，故该选项符合题意； D.当“共同体数”为时，一元二次方程为 ∵， ∴没有实数根，故该选项不符合题意； 故选：C． 考点05：根据一元二次方程根的情况求参数 19．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于0，根据性质列出不等式求解即可. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，即，化简得， 解得. 20．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A．＞2 B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的定义和根的判别式，解题需要满足两个条件，一是一元二次方程的二次项系数不为0，二是方程有实数根时根的判别式非负，据此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵ 方程 是关于的一元二次方程，且有实数根， ∴ 二次项系数满足 ，即 ， 根的判别式满足 ， 解得 综上，的取值范围是且． 故选：C． 21．若关于x的一元二次方程无实数根，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】一元二次方程根的判别式．一元二次方程有两个不相等的实数根；一元二次方程有两个相等的实数根；一元二次方程没有实数根．根据方程无实数根，求解即可得到答案． 【详解】解：∵方程为一元二次方程， ∴， ∵关于的一元二次方程无实数根， ∴， ∴． 22．若关于的方程 有两个相等的实数根，则______． 【答案】/0.25 【分析】根据一元二次方程根的判别式及定义解答即可求解． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴ 且， 解得． 考点06：一元二次方程的根与系数的关系 23．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系与代数式求值．先根据根与系数的关系求出两根和与两根积，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵ ，是一元二次方程的两个实数根，且，，， ∴ ，， ∴． 24．已知是方程的两个根，则的值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式的变形求解． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴由一元二次方程根与系数的关系可得， ∵， ∴代入得． 25．若m，n是方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A． B．2024 C．2026 D．2028 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，再结合一元二次方程两根之和的关系整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴由方程根的定义得， 由一元二次方程两根之和的关系得：， ∴， ∴ ． 26．已知关于x的一元二次方程的两根分别为a，b，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：对于一元二次方程，两根分别为，， 根据一元二次方程根与系数的关系，得 ，， ∴． 考点07：一元二次方程的应用-增长率问题 27．受国际油价影响，2026年我国汽油价格总体呈上升趋势，温州市95号汽油价格一月底是元/升，三月底涨至元/升．设温州市95号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设温州市95号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据一月底和三月底的油价，即可列出正确方程． 【详解】解：设温州市95号汽油价格这两个月平均每月的增长率为， 由题意得，． 28．身为全球增长速度最快的开源自主平台，占据了各大应用市场下载榜首．据统计，该软件首日在某平台的下载量为60万次，第二天、第三天连续增长，这三天累计下载量达到了300万次．设这三天的日平均增长率为．根据题意，可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据日平均增长率分别表示出三天的下载量，再根据三天累计下载量的总量列出方程． 【详解】解：∵首日下载量为万次，日平均增长率为， ∴第二天下载量为万次． ∵第三天在第二天的基础上继续增长， ∴第三天下载量为万次． ∵三天累计下载量达到万次， ∴可列方程为． 29．随着“博物馆热”的持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解历史文化．某博物馆，今年月份共计接待游客万人，月份接待游客增加到了万人． (1)求该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率； (2)若月份继续保持相同的增长率，则该博物馆月份预计接待游客多少万人？ 【答案】(1) (2)万人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率为，根据今年3月份共计接待游客万人，月份接待游客增加到了万人，列出一元二次方程，解之其符合题意的值即可； （2）根据月份继续保持相同的增长率，列式计算即可． 【详解】（1）解：（1）设该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不符合题意，舍去）； 故该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率为． （2）解：月份接待游客人数：（万人）， 答：该博物馆月份预计接待游客万人． 考点08：一元二次方程的应用-传播问题 30．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有个人患了流感，设平均每轮每人传染个人，则下列等式成立的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先理清每轮传染后的患病人数变化，根据传染过程逐步推导总人数，即可列出对应方程． 【详解】解：设平均每轮每人传染了个人， ∵初始有1人患流感， 第一轮传染后，新增个患病人数，总患病人数为个， 第二轮传染中，现有个病人，每人传染人，因此新增患病人数为个， ∴两轮传染后总患病人数为，即． 31．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数为57，则每个支干长出（    ）支小分支． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设每个支干长出x个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57”得出一元二次方程，解方程可得答案． 【详解】解：设每个支干长出x个小分支，由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 故每个支干长出7支小分支， 故选：B． 考点09：一元二次方程的应用-与图形有关的问题 32．有一块长30米、宽20米的矩形空地，现要在空地上修建两条纵向平行的小路和一条横向的小路（小路宽度均相等），纵向小路为平行四边形，剩余空地用于铺设塑胶跑道．已知塑胶跑道的面积为504平方米，设小路宽度为米，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意及平移规则可知，若设小路的宽度为米，则剩余部分可合成长为米，宽为米的矩形， ∴可列方程为． 33．如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米．若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ 【答案】鸡场的长和宽各为15米和10米． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一面靠墙的矩形面积求法以及判断方程是否有解问题，理清题意，正确列出方程并解方程是解题的关键． 设宽为米，然后用含有的式子表示出长，再根据矩形面积列出方程并解方程即可． 【详解】解：设垂直于墙面的一边长为米，则墙对面的一边长为米，即米， 根据题意得，， 整理得， 解得，， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意，舍去． 答：鸡场的长和宽各为15米和10米． 34．如图，学校为美化环境，准备用总长为的篱笆，在靠墙的一侧设计一块矩形花圃，其中墙长，花圃三边外围用篱笆围起，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)若花圃的面积为，求花圃的一边的长； (2)花圃的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)10米 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． （1）设的长为米，由花圃的面积为，列出方程可求解； （2）设的长为米，由花圃的面积为，列出方程可求解． 【详解】（1）解：设的长为米，则米 由题意可得：， 解得：，， ，即：， ， ∴的长为10米； （2）花圃的面积不能达到．理由如下： 设的长为米， 由题意可得：， 化简得， △， 方程无解， 花圃的面积不能达到． 35．学校停车场车位布局如图所示．已知矩形停车场的长为，宽为，共有五个等宽矩形停车区，其总面积为，其余部分是等宽通道，设通道宽． (1)用含的代数式表示：停车区宽为______，停车区的长为______． (2)停车场的通道宽为多少米？ 【答案】(1) (2)5m 【分析】本题主要考查代数式表示数或数量关系，一元二次方程的运用，理解数量关系，掌握一元二次方程解实际问题的方法是解题的关键． （1）根据图示中，矩形停车场的宽为，是停车区与两条通道的宽的和，由此列式即可求解； （2）根据面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得停车区的宽为：， 停车区的长为：， 故答案为：； （2）解：根据题意，得， 解得（舍去）， ∴停车场的通道宽为5米． 考点10：一元二次方程的应用-握手、循环赛问题 36．组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 单循环赛的总比赛场数为队数乘以每队比赛场数除以2，等于总安排场数，据此列方程即可． 【详解】解：∵每个队都与其他队比赛一场， ∴每队比赛场数为场，总比赛场数为． 又∵赛程计划安排7天，每天4场比赛， ∴总比赛场数为． ∴满足的关系式为． 故选B． 37．参加一次绿色有机农产品交易会的每两家公司都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，参加这次交易会的公司共有（    ） A．6家 B．8家 C．10家 D．12家 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解合同总数的计算方法是解题关键，注意舍去不符合题意的解. 公司数量为n，每两家公司签订一份合同，合同总数为，据此列方程求解． 【详解】解：设参加交易会的公司共有n家， 由题意得，， 整理得，， 解得或（舍去）， 故参加交易会的公司共有10家， 故选：C． 38．徐老师购买了1681张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，则班级共有___________名学生． 【答案】 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设班级有名学生，根据题意列出方程即可，根据题意得等量关系，建立方程是解题的关键． 【详解】解：设班级有名学生， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， ∴班级共有41名学生． 故答案为：． 考点11：一元二次方程的应用-销售利润问题 39．公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的冬季销售量，其中10月份售出200个，12月份售出242个． (1)求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率． (2)此种品牌头盔每个进货价为30元调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，而当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到11250元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元? 【答案】(1) (2)55元 【分析】（1）设该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为x，根据10月份售出200个，12月份售出242个，列出方程进行求解即可； （2）设该品牌头盔的销售价定为y元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：设该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为x，依题意得： 解这个方程得：，（不符合题意，舍去） 答：该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为． （2）解：设该品牌头盔的销售价定为y元． 解这个方程得，，． 因为要尽可能的让顾客得到实惠， 所以． 答：该品牌头盔的销售价应定为55元． 40．亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件． (1)若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价0.5元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率是 (2)售价应降低30元 【分析】（1）设月平均增长率是x，依题意得，从而得到月平均增长率； （2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，根据总利润每件利润销售量，列出方程，结合“要尽量减少库存”，即可解答． 【详解】（1）解：设月平均增长率是x， 依题意得：， 解得，（不合题意，舍去）． 答：月平均增长率是． （2）解：设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得，， 又∵要尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低30元． 41．某零食商店以元/千克的价格购进一种饼干，计划以元/千克的价格销售，为促销，现决定降价销售，已知这种饼干销售量（千克）与每千克降价（元）（）之间满足的函数关系图象如下： (1)若这种饼干定价为元/千克时，则商店获利______元； (2)若商店要想获利元，且让顾客获得更大实惠，这种饼干的销售价应定为每千克多少元？ 【答案】(1) (2)每千克元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据图中点的坐标，利用待定系数法，可求出y与x之间的函数关系式，代入，可求出y的值，再利用总利润=每千克饼干的销售利润销售量，即可求出结论； （2）利用总利润=每千克饼干的销售利润销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，结合要让顾客获得更大实惠，可确定x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：设这种饼干销售量千克与每千克降价元之间满足的函数关系式为， 将，代入得： ， 解得：， 这种饼干销售量（千克）与每千克降价（元）之间满足的函数关系式为：， 当时，， （元）， 即若这种饼干定价为元/千克时，则商店获利元． 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 要让顾客获得更大实惠， ， （元）． 答：这种饼干的销售价应定为每千克元． 考点12：一元二次方程的应用-动态几何问问题 42．在矩形中， ，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当t的值为时，点B在的垂直平分线上 (2)当时，的长度等于10cm (3)存在t的值，使得五边形的面积等于，此时t的值为1 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）由题意得，，则，再根据垂直平分线的性质可得进行求解即可； （2）由勾股定理得出关于的一元二次方程，计算即可得解； （3）根据题意得出关于的一元二次方程，计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意得：，则， 当时，点B在的垂直平分线上， ∴， 解得， ∴当t的值为时，点B在的垂直平分线上； （2）解：在中，由勾股定理得：， 即， ， ， 解得：（不合题意，舍去）， ∴当时，的长度等于； （3）解：存在t的值，使得五边形的面积等于，理由如下： 由题意得：， ， ∴五边形的面积， 即， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴存在t的值，使得五边形的面积等于，此时t的值为1． 43．如图，中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动到达时停止，另一动点从A出发沿着边以的速度运动到达时停止，，两点同时出发，运动时间为． (1)若的面积是面积的，求的值； (2)的面积能否与四边形面积相等？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【答案】(1)当时，的面积是面积的． (2)的面积不能与四边形面积相等，理由见解析． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式等知识点，根据题意正确得到一元二次方程成为解题的关键． （1）利用面积公式表示出和的面积，再根据题意列出关于t的方程求解即可； （2）假设的面积与四边形面积相等，利用面积列出方程，方然后根据方程解的情况即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∵ ∴， ∴，整理得，解得：． 答：当时，的面积是面积的． （2）解：的面积不能与四边形面积相等．理由如下： 当的面积与四边形面积相等， 即当时， ∴，整理得， ∵， ∴此方程没有实数根， ∴的面积不能与四边形面积相等． 44．如图，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动，设运动时间为． (1)为多少时，四边形的面积为； (2)为多少时，点和点的距离为． (3)，同时出发，直接写出为何值时，以，，为顶点的三角形为等腰三角形． 【答案】(1)； (2)为或； (3)或或或． 【分析】（1）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值； （2）过点作于点，则，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． （3）分、、三种情况讨论，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，设运动时间为． ，，，， 四边形的面积为， ， 解得：， 当为5时，四边形的面积为； （2）解：如图1，，，，为矩形的四个顶点，过点作于点， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：，， 当为或时，点和点的距离为； （3）解：当时，过作，如图2， 四边形是矩形， ， ，， ，， 四边形是矩形， ， ， 解得：； 当时，过作于，如图3， 同理可证：四边形是矩形， ，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：或； 当时，如图4， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：或（不合题意，舍去）， 综上所述，或或或时，以，，为顶点的三角形为等腰三角形． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是根据题意正确列出方程． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $