专题01 二次根式重难点题汇编（九大类型）（高效培优期末专项训练）数学浙教版新教材八年级下册

**基本信息** 系统化覆盖二次根式核心考点，以题载法构建从概念到应用的完整逻辑链，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式有意义的条件|4题|被开方数非负性分析|概念生成：从定义出发明确取值范围| |最简二次根式|4题|定义判断与化简技巧|概念深化：规范二次根式的最简形式| |性质化简|3题|性质（√a²=|a|）应用|原理推导：性质与数轴结合的化简逻辑| |同类二次根式|4题|化简后被开方数比较法|概念关联：与最简二次根式形成判定体系| |大小比较|3题|作差/平方法比较|运算拓展：基于性质的大小关系推理| |混合运算|4题|运算法则（加减乘除）|运算体系：综合性质与法则的运算训练| |分母有理化|2题|有理化因式构造法|技巧提炼：通过阅读材料总结变形规律| |化简求值|5题|先化简再代入策略|应用过渡：代数式化简与求值结合| |二次根式应用|5题|几何与实际问题建模|实践提升：发展推理意识与应用意识|

专题01 二次根式重难点题汇编 （九大类型） 考点01：二次根式有意义的条件 考点02：最简二次根式的定义及运用 考点03：利用二次根式的性质化简 考点04：同类二次根式 考点05：二次根式大小比较 考点06：二次根式的混合运算 考点07：分母有理化的有关运算 考点08：已知字母的值，化简求值 考点09：二次根式的应用 考点01：二次根式有意义的条件 1．若二次根式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若二次根式有意义，则的取值范围是______________． 3．要使代数式有意义，则x的取值范围是________． 4．若x，y为实数，且，则的值为（   ） A．7 B．1 C． D． 考点02：最简二次根式的定义及运用 5．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 6．将化成最简二次根式的结果为______． 7．写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是____． 8．计算：______． 考点03：利用二次根式的性质化简 9．化简：__________． 10．若数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则_____． 11．已知，化简______． 考点04：同类二次根式 12．若与最简二次根式是同类二次根式，则的值是___________． 13．若最简二次根式与能进行合并，则______． 14．下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 15．下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 考点05：二次根式大小比较 16．比较大小：_____． 17．比较大小：______（填“＞”、“＜”或“=”）． 18．比较大小：________．（填>，<，=） 考点06：二次根式的混合运算 19．计算： (1) (2) 20．计算：． 21．计算： (1) (2) 22．计算： (1)； (2)． 考点07：分母有理化的有关运算 23．阅读材料：像 ．．．两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如： ，，解答下列问题： (1)与 互为有理化因式，将分母有理化得 ； (2)观察下面的变形规律并解决问题：； ①若n为正整数，请你计算前面的规律猜想： ； ②计算： 24．代入求值时，有时直接代入并不简便，通过观察，另辟蹊径，事半功倍．阅读下列短文： 已知，求的值． 分析与解答： ， ， ，即， ， ． 请你根据上面的分析过程，解决如下问题： (1)计算________；________； (2)若，求值． 考点08：已知字母的值，化简求值 25．已知：，代数式的值为________ 26．已知，，则的值为______． 27．已知，，则_____． 28．已知 ，． (1)求的值； (2)求的值． 29．已知，，求： (1)； (2)代数式的值． 考点09：二次根式的应用 30．如图，矩形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 31．如图，长方形内有两个相邻的白色正方形，面积分别为和，则图中两块阴影部分的面积和为____________．    32．如图，某公园有一块长方形空地，，，园区管理员计划在中间小长方形部分（阴影）种植花卉，其余部分种植草坪，且小长方形的长为，宽为．求种植草坪的面积．（结果化为最简二次根式） 33．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓，其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式） (2)已知李明家种植的草莓售价为，且每平方米产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 34．韶（1208年~1268年），字道古，南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学．他于1247年完成的著作《数书九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦一秦九韶公式”．它的主要内容是：如果一个三角形的三边长分别是、、，记，为三角形的面积，那么． (1)在中，，，，请用上面的公式计算的面积； (2)如图，在中，，，，于点，求的长； (3)一个三角形的三边长分别为、、，，，，求的值． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式重难点题汇编 （九大类型） 考点01：二次根式有意义的条件 考点02：最简二次根式的定义及运用 考点03：利用二次根式的性质化简 考点04：同类二次根式 考点05：二次根式大小比较 考点06：二次根式的混合运算 考点07：分母有理化的有关运算 考点08：已知字母的值，化简求值 考点09：二次根式的应用 考点01：二次根式有意义的条件 1．若二次根式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：． 2．若二次根式有意义，则的取值范围是______________． 【答案】且 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，分别列出关于x的不等式，求解后取交集得到x的取值范围． 【详解】解：要使有意义，需同时满足二次根式被开方数非负和分式分母不为零，可得 解不等式，得， 解不等式，得且， 取两个解集的交集，得且． 3．要使代数式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】且 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，分式分母不为零，列不等式求解即可． 【详解】解：要使代数式有意义，需同时满足二次根式和分式有意义的要求， 可得， 解不等式得， 解不等式得， 因此的取值范围是． 4．若x，y为实数，且，则的值为（   ） A．7 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式有意义的条件，即被开方数是非负数，先求出x的值，再代入等式求出y的值，最后计算即可． 【详解】解：∵二次根式的被开方数必须是非负数 ∴ 解不等式组得且 ∴ 将代入原式，得 解得 ∴． 考点02：最简二次根式的定义及运用 5．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：，被开方数含能开得尽方的因数，∴不是最简二次根式； 选项B：，被开方数含分母，∴不是最简二次根式； 选项C：，被开方数含能开得尽方的因数，∴不是最简二次根式； 选项D：满足最简二次根式的两个条件，∴是最简二次根式． 6．将化成最简二次根式的结果为______． 【答案】 【分析】本题考查的是最简二次根式，根据最简二次根式定义进行化简即可． 【详解】解：． 故答案为： 7．写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是____． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据最简二次根式的定义解答即可． 【详解】当时，， 是最简二次根式， 故答案为：1（答案不唯一）． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．掌握最简二次根式需满足1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式是解题关键． 8．计算：______． 【答案】2 【分析】根据二次根式的性质进行化简，即可作答． 【详解】解：． 考点03：利用二次根式的性质化简 9．化简：__________． 【答案】/ 【详解】解：． 10．若数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则_____． 【答案】 【分析】根据数轴上的点右边的数总是大于左边的数，根据数轴即可确定a，b的符号，以及绝对值的大小，即可进行化简． 【详解】解：根据数轴可知：， 所以，， 所以， ． 11．已知，化简______． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的性质，绝对值性质，根据二次根式的性质，再结合x的取值范围去掉绝对值符号，最后合并同类项，即可解题． 【详解】解： ， ，， 因此，， 原式， 故答案为：． 考点04：同类二次根式 12．若与最简二次根式是同类二次根式，则的值是___________． 【答案】2 【分析】几个二次根式化成最简二次根式之后，如果被开方数相同，这几个就是同类二次根式，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵，且与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得． 13．若最简二次根式与能进行合并，则______． 【答案】4 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式，根据最简二次根式与可以合并，可得，据此即可求解，掌握最简二次根式和同类二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵最简二次根式与能进行合并， ∴， 解得：． 故答案为：4 14．下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义． 同类二次根式需化简后根号内的数相同，比较各选项化简后与的根号内的数是否一致． 【详解】解：A：，根号内3，与不是同类二次根式； B：，无根号，与不是同类二次根式； C：，根号内2，与不是同类二次根式； D：，根号内5，与是同类二次根式； 故选：D． 15．下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，掌握“把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式”是解题的关键． 先化简成最简二次根式，逐项比较被开方数即可， 【详解】解：A、，，两者被开方数相同，是同类二次根式，故本选项正确； B、，与，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误； C、，与，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误； D、与，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误． 故选：A． 考点05：二次根式大小比较 16．比较大小：_____． 【答案】 【详解】解：∵ ，， ， ∴． 17．比较大小：______（填“＞”、“＜”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较、无理数的估算，通过比较两个数平方的大小来间接比较这两个数的大小即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，， ， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 18．比较大小：________．（填>，<，=） 【答案】 【分析】本题考查了实数大小比较，首先比较出和的平方的大小关系，然后根据：哪个数的平方大，则哪个数也大，判断出它们的大小关系即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 考点06：二次根式的混合运算 19．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 21．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 22．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点07：分母有理化的有关运算 23．阅读材料：像 ．．．两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如： ，，解答下列问题： (1)与 互为有理化因式，将分母有理化得 ； (2)观察下面的变形规律并解决问题：； ①若n为正整数，请你计算前面的规律猜想： ； ②计算： 【答案】(1)；； (2)①；② 【分析】（1）根据题目所给互为有理化因式的定义，以及平方差公式，即可求解； （2）①根据题目所给等式观察得出规律，即可进行解答； ②根据①中总结的一般规律，进行化简求解即可． 【详解】（1）解：， ∴与互为有理化因式； ； （2）解：① ； ② ． 24．代入求值时，有时直接代入并不简便，通过观察，另辟蹊径，事半功倍．阅读下列短文： 已知，求的值． 分析与解答： ， ， ，即， ， ． 请你根据上面的分析过程，解决如下问题： (1)计算________；________； (2)若，求值． 【答案】(1)； (2)5 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，平方差公式和完全平方公式的运用． （1）利用平方差公式对分母进行有理化，将分母中的根号去掉； （2）先对进行分母有理化，再通过变形求出的值，进而得到的值，最后代入式子求值． 【详解】（1）解：； ； 故答案为；； （2）解：， ， ，即， ， ． 考点08：已知字母的值，化简求值 25．已知：，代数式的值为________ 【答案】/ 【分析】把所求式子变形为，进一步变形为，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 26．已知，，则的值为______． 【答案】 【详解】解：． 27．已知，，则_____． 【答案】10 【分析】根据二次根式的运算，先求的值，再由进行计算即可． 【详解】解：∵，， ， ， ． 28．已知 ，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用平方差公式进行分母有理化，再求和即可； （2）先求出与，再对所求代数式因式分解，代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴． 29．已知，，求： (1)； (2)代数式的值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）先求出，，然后将变形为，再代入求值即可； （2）将变形为，然后求出，和的值，再代入求值即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ． 考点09：二次根式的应用 30．如图，矩形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的面积公式求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵图中两个正方形的面积分别为和， ∴这两个正方形的边长分别为， ∴阴影部分的面积． 31．如图，长方形内有两个相邻的白色正方形，面积分别为和，则图中两块阴影部分的面积和为____________．    【答案】4 【分析】依据题意，直接利用二次根式的性质得出正方形的边长，再利用整体面积减去白色正方形的面积，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：大白色正方形的边长为，小白色正方形的边长为， ∴大长方形的长为，宽为， ∴大长方形的面积为， ∴阴影部分的面积为：． 32．如图，某公园有一块长方形空地，，，园区管理员计划在中间小长方形部分（阴影）种植花卉，其余部分种植草坪，且小长方形的长为，宽为．求种植草坪的面积．（结果化为最简二次根式） 【答案】 【分析】求出长方形空地和花卉的面积，进而可知种植草坪的面积． 【详解】解：∵长方形空地的面积为：， 种植花卉的面积为：， ∴种植草坪的面积为：． 故种植草坪的面积为． 33．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓，其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式） (2)已知李明家种植的草莓售价为，且每平方米产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）根据长方形周长计算公式求解即可； （2）先求出种植草莓的面积，再根据草莓的售价和产量进行求解即可． 【详解】（1）解：∵长为，宽为， ∴周长为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， 答：销售收入为元． 34．韶（1208年~1268年），字道古，南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学．他于1247年完成的著作《数书九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦一秦九韶公式”．它的主要内容是：如果一个三角形的三边长分别是、、，记，为三角形的面积，那么． (1)在中，，，，请用上面的公式计算的面积； (2)如图，在中，，，，于点，求的长； (3)一个三角形的三边长分别为、、，，，，求的值． 【答案】(1) (2)6 (3)4 【分析】（1）根据题干公式求解即可； （2）先根据题干公式求出的面积，再结合三角形面积公式，得出，再利用勾股定理求解即可； （3）根据题干公式得出，，即可求出的值． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， ， ， 在中，； （3）解：根据题意，得，， 整理，得，， ，即， 解得． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $