八年级数学下学期期末模拟卷（新教材浙教版，高效培优提升卷）

**基本信息** 2025-2026学年浙教版八年级数学期末提升卷，以全册知识为载体，融合文化传承（如《周髀算经》勾股应用）、社会热点（新能源充电桩增长）及探究活动，通过折叠变换、垂美四边形等创新题型，考查抽象能力、几何直观与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次根式、中心对称图形、方差、菱形性质等|结合《周髀算经》考查折叠问题（第7题）| |填空题|6/18|多边形内角和、平均数、平行四边形性质等|通过探究活动总结规律（第15题）| |解答题|8/72|方程证明、利润问题、垂美四边形探究等|定义新图形“垂美四边形”并证明（第23题）|

2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 提升卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材浙教版八年级下册全册。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列二次根式中是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．下列图形中，属于中心对称图形的是（    ）． A． B． C． D． 3．甲、乙、丙、丁四位同学进行了三次实心球测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，，则实心球测试成绩最稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．如图，四边形是菱形，已知，则菱形的周长为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 5．用反证法证明命题：“在中，若，则．”时，第一步应先假设（   ） A． B． C． D． 6．某省大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年底，全省公共充电桩总数量已从2023年底的15万个增长至万个．设全省公共充电桩数量的年平均增长率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 7．中国古代数学著作《周髀算经》中记载了“勾广三，股修四，径隅五”．如图，在平面直角坐标系中，为矩形，其中顶点O为原点，边在x轴（射线）上，边在y轴上．已知．现将纸片沿过点B的直线折叠，使顶点A落在射线上的点E处，F在上，折痕为，则线段的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．已知关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 9．如图，在矩形中，点是对角线的中点，直线经过点，并且与交于点，与交于点，连接，，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 10．如图，正方形纸片中，是上一点，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，点落在点处，折痕交于点．若，，则的长为（   ） A．4 B． C．6 D． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．计算的结果是_______． 12．如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是__________边形． 13．某学校餐饮中心在课后服务时段，为学生提供三种简餐（每人限定一份），价格分别为10元，15元，20元.如图是该中心某日三种简餐销售情况统计图，则当日学生购买简餐费用的平均数为__________元． 14．如图，在中，，若，，则的长是________. 15．【探究活动】如图，计算末位为5的两位数的平方时，只需将十位上数字与相乘，再乘以100，然后加上25即可． 【应用体验】已知，则________． 16．已知四边形为菱形，为上任意一点，点为上任意一点，，．则的最小值是_________． 三、解答题（本题共8小题，底17-20题每题8分，底21-24题每题10分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（1）计算：； （2）用适当的方法解方程：． 18．如图，在四边形中，，分别是对角线上的两点，且，，．求证：四边形是平行四边形． 19．某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．进入决赛的前两名选手需要确定名次(不能并列)，他们的成绩如下(单位：分)． 选手 内容 能力 效果 甲 乙 (1)分别计算甲、乙两名选手的平均成绩，能否以此确定两人的名次？ (2)如果把内容、能力、效果的成绩按计算，请你确定两人的名次． 20．如图，是矩形的对角线． (1)请用圆规和无刻度的直尺，分别在，上找点，，使得四边形为菱形； (2)在（1）条件下，若，求菱形的面积． 21．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是方程的两根，且，求的值． 22．2025年湘超联赛各赛场内旗帜随处可见．某商店经营此类旗帜，已知每面旗帜进价40元，当售价定为每面60元时，每天可卖出100面．经调查发现，售价每降低1元，每天可多卖出10面． (1)如果每面旗降价2元，该商店销售此类旗帜一天可盈利多少元？ (2)若该商店销售此类旗帜每天要获得2240元的利润，且尽可能让利于顾客，求每面旗应降价多少元？ 23．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)如图2，在四边形中，，四边形是垂美四边形吗？______（是、否） (2)如图1，四边形是垂美四边形，请证明． (3)如图3，在中，，点F为斜边的中点，分别以为底边，在外部作等腰三角形和等腰三角形，连接，分别交于点．试猜想四边形的形状，并说明理由． 24．探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 (1)如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点与点重合，折痕和交于点，， ； 【深入探究】 (2)如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点落在点处，交于点，若，，求的长； 【拓展延伸】 (3)如图3， 在长方形纸片中，，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出的长． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 提升卷·参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B B A B D B D A C 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.2 12.五 13. 14.4 15.7 16. 三．解答题（本题共8小题，底17-20题每题8分，底21-24题每题10分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 【详解】（1）解： （2分） ；（4分） （2）解：因式分解得：，（2分） 解得：，．（4分） 18. 【详解】证明：∵， ∴ ∵， ∴ ∴，即， 又∵， ∴ ∴ 又∵， ∴四边形是平行四边形（8分） 19. 【详解】（1）解：甲的平均成绩为(分)；（1.5分） 乙的平均成绩为(分)；（1.5分） ∵甲、乙两名选手的平均成绩相同， ∴不能以此确定两人的名次；（4分） （2）解：根据题意，权重总和为， 甲的加权平均成绩为(分)；（5.5分） 乙的加权平均成绩为(分)；（7分） ∵， ∴甲为第一名，乙为第二名．（8分） 20. 【详解】（1）解：如图，作的垂直平分线分别交边、、于点O、E、F，连接、， ∵是垂直平分线， ∴，， ∴． 四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴菱形即为所求；（4分） （2）解：连接， ∵四边形是菱形， 设，则， 四边形是矩形， ， 在中，，即， 解得， ， 菱形的面积．（8分） 21. 【详解】（1）证明：关于的一元二次方程， ， 方程总有两个不相等的实数根；（5分） （2）解：由一元二次方程根与系数的关系得，（6分） ，（8分） ，（9分） 解得：．（10分） 22. 【详解】（1）解：由题意，得（元），（3分） 答：如果每面旗降价2元，该商店销售此类旗帜一天可盈利2160元；（4分） （2）解：设每面旗应降价元，由题意，得，（6分） 整理得， 解得．（8分） 尽可能让利于顾客， ． 答：每面旗应降价6元．（10分） 23. 【详解】（1）解：连接、，如图： ， ∴点在线段的垂直平分线上， ， ∴点在线段的垂直平分线上， ， ∴四边形是垂美四边形；（3分） （2）证明：， ， ，， ；（7分） （3）解：四边形是矩形，理由如下： 如图，连接， ∵点为斜边的中点， ， 和是等腰三角形， ，， 由（1）可得，，， ， ， ∴四边形是矩形．（10分） 24. 【详解】（1）解：，， ， 由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得：， 即；（3分） （2）解：四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即；（6分） （3）解：四边形是长方形， ， 设线段的垂直平分线交于点，交于点，则， 分两种情况：①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ，，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即；（8分） ②如下图所示，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，， 由①得：，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为或．（10分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 提升卷·全解全析版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材浙教版八年级下册全册。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列二次根式中是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐个验证即可得到结果． 【详解】解：选项A、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式.； 选项B、，被开方数含分母，不是最简二次根式； 选项C、的被开方数含分母，不是最简二次根式； 选项D、满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式． 2．下列图形中，属于中心对称图形的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义对四个选项进行分析． 【详解】解：A．不是中心对称图形，所以不符合题意； B．是中心对称图形，所以符合题意； C．不是中心对称图形，所以不符合题意； D．不是中心对称图形，所以不符合题意． 故选：B． 3．甲、乙、丙、丁四位同学进行了三次实心球测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，，则实心球测试成绩最稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查了方差的意义．根据方差的意义：方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小进行判定． 【详解】解：∵，，，，， ∴实心球测试成绩最稳定的是乙． 故选：B． 4．如图，四边形是菱形，已知，则菱形的周长为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的四条边相等解答即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的周长为， 故选：A． 5．用反证法证明命题：“在中，若，则．”时，第一步应先假设（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反证法的应用，关键是明确反证法第一步需假设命题结论的反面成立．据此进行判断即可． 【详解】解：∵反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，原命题要证明的结论是， ∴该结论的反面为，即第一步应假设， 故选B． 6．某省大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年底，全省公共充电桩总数量已从2023年底的15万个增长至万个．设全省公共充电桩数量的年平均增长率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及年平均增长率的计算，从2023年底到2025年底经过两年，根据年平均增长率的增长模型列方程即可． 【详解】解：∵2023年底全省公共充电桩数量为万个，年平均增长率为， ∴2024年底的数量为万个， ∴2025年底的数量为万个， 又∵2025年底数量为万个， ∴可列方程：， 故选：D． 7．中国古代数学著作《周髀算经》中记载了“勾广三，股修四，径隅五”．如图，在平面直角坐标系中，为矩形，其中顶点O为原点，边在x轴（射线）上，边在y轴上．已知．现将纸片沿过点B的直线折叠，使顶点A落在射线上的点E处，F在上，折痕为，则线段的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查折叠的性质、矩形的性质及勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据矩形顶点坐标及勾股定理求出长，进而得到长，设，则，利用勾股定理得，解方程后即可得出答案． 【详解】解：矩形的边在x轴上，且， ，， 由折叠性质得，， 在中 设，则， ，即， 解得：， ， 故选：B． 8．已知关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 【答案】D 【分析】分情况讨论，根据一元二次方程和一元一次方程的定义，以及根的判别式解答即可． 【详解】解：根据题意得，方程有实数根 当时，该方程为一元二次方程， 判别式， 解得：， ， ， 当方程为一元二次方程时，m的取值范围是且； 当时，该方程可化为为， ， 解得， 此时， 当时，方程为一元一次方程，此时方程也有实数根， 综上所述，m的取值范围是． 9．如图，在矩形中，点是对角线的中点，直线经过点，并且与交于点，与交于点，连接，，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件证明四边形是平行四边形，再结合所给条件逐一分析即可． 【详解】解：∵矩形，O是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， A、添加，由上面的推导可知，是平行四边形本身就具备的性质，仅这个条件无法证明平行四边形是菱形； B、添加，根据平行四边形中，一组邻边相等，则这个平行四边形是菱形，所以可以判定； C、添加 ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 根据邻边相等的平行四边形是菱形，可以判定； D、添加，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以判定． 综上，不能判定四边形为菱形的是A． 10．如图，正方形纸片中，是上一点，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，点落在点处，折痕交于点．若，，则的长为（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】由折叠性质可知，进而利用同角的余角相等证明，由此即可得出，进而确定．在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，过点作，垂足为， 则， 正方形， ， 四边形是矩形， ， 由折叠可知， ， ， 又， ， ， ， ， 设正方形边长为，则， ， ， 在中， 解得或（不合题意舍去）， ． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．计算的结果是_______． 【答案】 【详解】解： 12．如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是__________边形． 【答案】 五 【分析】设这个多边形边数为n，由多边形的每一个内角都是可得其内角和为，结合多边形内角和公式列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形边数为n， ， 解得， ∴这个多边形是五边形． 13．某学校餐饮中心在课后服务时段，为学生提供三种简餐（每人限定一份），价格分别为10元，15元，20元.如图是该中心某日三种简餐销售情况统计图，则当日学生购买简餐费用的平均数为__________元． 【答案】14.5 【分析】根据扇形统计图获取各价格简餐的销售百分比，将其作为权重，代入加权平均数公式进行计算即可． 【详解】解：由扇形统计图可知， 价格为元、元、元的简餐销售占比分别为、、， 根据加权平均数的计算公式，得 ． 14．如图，在中，，若，，则的长是________. 【答案】4 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质，勾股定理是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：的对角线与相交于点，，， ，， ， ， 在中，， 故答案为：4 15．【探究活动】如图，计算末位为5的两位数的平方时，只需将十位上数字与相乘，再乘以100，然后加上25即可． 【应用体验】已知，则________． 【答案】7 【分析】根据探究活动中总结的末位为 5 的两位数平方的计算规律，建立关于的方程求解即可． 【详解】解：根据探究活动可知，． 因为， 所以， 移项，得， 两边同时除以100，得， ∴， 解得，（舍去）， ∴． 16．已知四边形为菱形，为上任意一点，点为上任意一点，，．则的最小值是_________． 【答案】 【分析】接，过点作于，设、交于点，根据菱形的性质得出当点、、在同一条直线上，且时，的值最小，利用菱形的性质求出，，利用菱形的面积公式求出的长即可得答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于，设、交于点， ∵四边形为菱形，为上任意一点，，， ∴垂直平分，，， ∴，， ∴， ∴， ∴当点、、在同一条直线上，且时，的值最小，此时，点与重合， ∵， ∴， 解得：， ∴的最小值是． 三、解答题（本题共8小题，底17-20题每题8分，底21-24题每题10分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（1）计算：； （2）用适当的方法解方程：． 【答案】（1）；（2），． 【分析】本题考查了二次根式的运算，因式分解法解一元二次方程． （1）先化简二次根式，计算二次根式的乘法，再计算加减即可； （2）直接根据因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：因式分解得：， 解得：，． 18．如图，在四边形中，，分别是对角线上的两点，且，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】证明得出，结合，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴ ∵， ∴ ∴，即， 又∵， ∴ ∴ 又∵， ∴四边形是平行四边形 19．某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．进入决赛的前两名选手需要确定名次(不能并列)，他们的成绩如下(单位：分)． 选手 内容 能力 效果 甲 乙 (1)分别计算甲、乙两名选手的平均成绩，能否以此确定两人的名次？ (2)如果把内容、能力、效果的成绩按计算，请你确定两人的名次． 【答案】(1)甲的平均成绩为分，乙的平均成绩为分，不能确定两人的名次； (2)甲为第一名，乙为第二名． 【分析】本题考查算术平均数与加权平均数的计算及实际应用．关键是掌握算术平均数和加权平均数的计算公式，理解不同权重对结果的影响． 解题思路：根据算术平均数的计算公式，分别求出甲、乙两名选手的平均成绩，若平均成绩相等则无法确定名次； 解题思路：根据加权平均数的计算公式，按照的权重分别计算甲、乙的加权平均成绩，比较成绩大小确定名次． 【详解】（1）解：甲的平均成绩为(分)； 乙的平均成绩为(分)； ∵甲、乙两名选手的平均成绩相同， ∴不能以此确定两人的名次； （2）解：根据题意，权重总和为， 甲的加权平均成绩为(分)； 乙的加权平均成绩为(分)； ∵， ∴甲为第一名，乙为第二名． 20．如图，是矩形的对角线． (1)请用圆规和无刻度的直尺，分别在，上找点，，使得四边形为菱形； (2)在（1）条件下，若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作的垂直平分线分别交边、、于点O、E、F，连接、，则菱形即为所求；； （2）连接，设，则，在中，利用勾股定理进行求解，再根据菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，作的垂直平分线分别交边、、于点O、E、F，连接、， ∵是垂直平分线， ∴，， ∴． 四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴菱形即为所求； （2）解：连接， ∵四边形是菱形， 设，则， 四边形是矩形， ， 在中，，即， 解得， ， 菱形的面积． 21．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是方程的两根，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)k的值为 【分析】本题考查一元二次方程相关问题，涉及一元二次方程判别式与根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程相关知识是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程判别式与根的情况，证明即可得到答案； （2）由一元二次方程根与系数的关系得，根据题意，代入，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：关于的一元二次方程， ， 方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由一元二次方程根与系数的关系得， ， ， 解得：． 22．2025年湘超联赛各赛场内旗帜随处可见．某商店经营此类旗帜，已知每面旗帜进价40元，当售价定为每面60元时，每天可卖出100面．经调查发现，售价每降低1元，每天可多卖出10面． (1)如果每面旗降价2元，该商店销售此类旗帜一天可盈利多少元？ (2)若该商店销售此类旗帜每天要获得2240元的利润，且尽可能让利于顾客，求每面旗应降价多少元？ 【答案】(1)每面旗降价2元，该商店销售此类旗帜一天可盈利2160元 (2)每面旗应降价6元 【分析】（1）根据题意得到，即可得到答案； （2）设每面旗应降价元，由题意，得，尽可能让利于顾客，需降价更多，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意，得（元）， 答：如果每面旗降价2元，该商店销售此类旗帜一天可盈利2160元； （2）解：设每面旗应降价元，由题意，得， 整理得， 解得． 尽可能让利于顾客， ． 答：每面旗应降价6元． 23．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)如图2，在四边形中，，四边形是垂美四边形吗？______（是、否） (2)如图1，四边形是垂美四边形，请证明． (3)如图3，在中，，点F为斜边的中点，分别以为底边，在外部作等腰三角形和等腰三角形，连接，分别交于点．试猜想四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)是 (2)证明见解析 (3)四边形是矩形，理由见解析 【分析】（1）连接、，根据垂美四边形的判定定理证明即可； （2）根据垂美四边形的定义和勾股定理证明即可； （3）根据点为斜边的中点，可得，再根据和是等腰三角形，可得，，再由（1）可得，，从而判定四边形是矩形． 【详解】（1）解：连接、，如图： ， ∴点在线段的垂直平分线上， ， ∴点在线段的垂直平分线上， ， ∴四边形是垂美四边形； （2）证明：， ， ，， ； （3）解：四边形是矩形，理由如下： 如图，连接， ∵点为斜边的中点， ， 和是等腰三角形， ，， 由（1）可得，，， ， ， ∴四边形是矩形． 24．探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 (1)如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点与点重合，折痕和交于点，， ； 【深入探究】 (2)如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点落在点处，交于点，若，，求的长； 【拓展延伸】 (3)如图3， 在长方形纸片中，，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为或 【分析】（1）由折叠的性质可知，利用勾股定理求出； （2）由长方形的性质可知，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得，解方程即可求出的长； （3）当点在长方形内部时，由折叠的性质得：，，利用勾股定理可得，设，则，利用勾股定理列方程，解方程求出的长；当点在长方形外部时，设，则，在中，由勾股定理得：，解方程求出值即可． 【详解】（1）解：，， ， 由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得：， 即； （2）解：四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即； （3）解：四边形是长方形， ， 设线段的垂直平分线交于点，交于点，则， 分两种情况：①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ，，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即； ②如下图所示，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，， 由①得：，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为或． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $