专题04 特殊平行四边形重难点题汇编（九大题型）（高效培优期末专项训练）数学浙教版新教材八年级下册

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形性质判定及最值问题，以九大考点构建递进式训练体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |矩形性质|8题|选择填空为主，涉及角度、长度计算|从矩形对角线性质切入，结合直角三角形性质应用| |矩形判定|3题|条件添加与证明|性质与判定互逆，强化平行四边形到矩形的转化| |矩形综合|5题|证明与计算结合，含折叠操作|整合性质判定，提升空间观念与推理能力| |菱形性质|6题|角度、边长、面积计算|围绕菱形四边相等及对角线垂直性质展开| |菱形判定|3题|中点四边形及条件添加|通过对角线关系及边的特殊性判定| |菱形综合|4题|性质判定综合证明|结合角平分线、全等三角形深化应用| |正方形性质|6题|选择填空，涉及对角线、动点|融合矩形菱形性质，强化特殊图形特性| |正方形综合|2题|动态问题证明|性质判定综合，培养逻辑推理能力| |最值问题|8题|动态几何求最值|运用对称、几何模型，提升应用意识与创新思维|

专题04 特殊平行四边形重难点题汇编 （九大类型） 考点01：利用矩行的性质求解 考点02：矩形的判定 考点03：矩形的性质与判定综合 考点04：利用萎形的性质求解 考点05：菱形的判定 考点06：菱形的性质与判定综合 考点07：利用正方形的性质求解 考点08：正方形的性质与判定综合 考点09：特殊平行四边形求最值问题 考点01：利用矩行的性质求解 1．如图，在矩形中，与交于点O，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形对角线互相平分且相等，可得，进而证明是等边三角形，推出，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ， 又 ， 是等边三角形， ， ， 故选：C． 2．如图，矩形的对角线和相交于点O，于点E，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、直角三角形的两个锐角互余、等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键．先根据矩形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据直角三角形的两个锐角互余求解即可得． 【详解】解：由对顶角相等得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 3．如图，矩形的对角线交于点O，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键，根据题意可得，，再由，即可求出的长． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 故选：D． 4．如图，在矩形中，，．分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点．作直线EF分别与，，相交于点M，O，N．则线段的长为（    ）． A．3 B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，线段垂直平分线的作法及性质，勾股定理．由作图知，是的垂直平分线，由垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得，设，则，用勾股定理解即可． 【详解】解：如图，连接， 由作图知，是的垂直平分线， ， 矩形中，，， ，，， 设，则， 在中，， ， 解得， 即线段的长为5， 故选B． 5．如图，在矩形中，，，P为上任一点，过点P作于点E，于点F，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的性质，三角形面积及勾股定理，解题关键是通过转化思想，根据三角形面积的不同计算方法列方程解决．由，，根据即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵在矩形中， ，，且，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6．如图，的对角线交于点O，是等边三角形，，则的面积为（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】根据等底等高，可知，求出△AOB的面积即可； 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴， ∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∴， ∴ ， 故选：A． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、矩形的性质，等高模型等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 7．如图，矩形的对角线、相交于点O，过点O的直线分别交、于点E、F．若，，则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B．10 C．12 D．24 【答案】C 【分析】首先结合矩形的性质证明，得、的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ． 8．如图所示，把长方形放在直角坐标系中，使、分别落在x轴、y轴上，点C的坐标为，将沿翻折，使C点落在该坐标平面内的D点处，交x轴于点E．则点D的坐标为________． 【答案】 【分析】根据翻折的性质证明，由全等三角形的性质得到，设，则，再根据勾股定理解得，最后根据等积法解得，据此解得点D的坐标． 【详解】解：过点作于， 四边形是矩形，点， 将沿翻折，使C点落在该坐标平面内的D点处， 在与中， 设，则， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、翻折、矩形的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 9．如图，在矩形中，，，点E是上一动点，在平面内将矩形沿折叠，若使点D恰好落在上的位置．则的长为________． 【答案】 【分析】设，则，，在中，由勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，， ∴， ∵落在对角线上， ，，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：，即． 考点02：矩形的判定 10．如图，要使成为矩形，需要添加的条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定方法即可解决问题．   【详解】解：根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知选项D正确，  故选：D． 11．如图，的对角线、相交于点，请你添加一个条件使成为矩形，这个条件可以是_____（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据矩形和平行四边形的关系即可解答． 【详解】解：对角线相等的平行四边形是矩形，即； 有一个角是直角的平行四边形是矩形，即，……． 12．如图，在中，对角线，相交于点．在不添加辅助线的前提下，增加一个条件，使得是矩形．这个条件可以是_____． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解： 四边形 是平行四边形， 若添加条件， 根据对角线相等的平行四边形是矩形， 四边形 是矩形． 故答案为 （答案不唯一）． 考点03：矩形的性质与判定综合 13．如图，在中，已知对角线和相交于点O， 过点A作于点E，延长到点F，使， 连接， ． (1)求证： 四边形是矩形； (2)若， ， ， 求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）求解，，，，证明，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， 点是的中点， ∴． 14．如图，将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由矩形的性质可得，由平行线的性质可得，由折叠的性质可得，从而得出，即可得证； （2）由矩形的性质可得，由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴； （2）解：∵四边形为矩形， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴． 15．已知，如图，在中，，是边的中线，过点A作，过点B作，两线交于点E，连接交于点O． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）由，得四边形是平行四边形，再由等腰三角形性质得，则，据此即可得出结论； （2）由矩形性质得，进而得，再由是边的中线，且得，然后在中，由勾股定理求得的长． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 在中，，是边的中线， ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：由（1）可知：四边形是矩形， ， ， ， ， 是边的中线，且， ， 在中，， 由勾股定理得：． 16．如图，在四边形中，，，连接，过点作于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析； (2)线段的长为． 【分析】（）先证明，则，所以四边形是平行四边形，然后通过即可证明四边形是矩形； （）由勾股定理得，然后通过即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴线段的长为． 17．数学兴趣小组在开展“折纸数学”探究活动时，利用一张矩形纸片进行了如下两步深度操作． 活动探究 巧构特殊角 1．对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开． 2．再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段，使纸片展平． 妙分黄金矩形 宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图2，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开． 在图2的基础上，取的中点，如图3，连接，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，过点作于点． 解决问题： (1)问题一：图1中的度数为_____，请说明你的理由． (2)问题二：证明四边形是黄金矩形； (3)问题三：四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)，理由见详解； (2)证明见详解； (3)是，证明见详解． 【分析】（1）交于P，根据折叠的性质得，，，，则可得为的中位线，利用平行线的性质得，根据斜边上的中线性质得，，从而得到，然后利用可得到的度数． （2）先证明四边形是正方形；可得，，证明四边形是矩形，从而可得答案； （3）先证四边形是矩形，然后求得，由对折可得：，设，则，由面积可得：，列方程可求，再进一步可得结论． 【详解】（1）解：交于P，如图， ∵四边形为矩形， ∴， ∵折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，同时得到线段， ∴，， ∵对折矩形纸片，使与重合，得到折痕， ∴，， ∴为的中位线，， ∴P点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵折叠黄金矩形纸片，点B落在上的点E处， ，， 又∵四边形是矩形， ，，， ， ， ∴四边形是矩形， ， ∴四边形是正方形； ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形是黄金矩形； （3）解：四边形是黄金矩形，理由如下， ，四边形是正方形， ， 四边形是矩形； 由（2）可知，， 为的中点， ， ， 如图，连接， 由对折可得：，，， 设，则， ， ， 解得：， ， ， 四边形是黄金矩形． 考点04：利用萎形的性质求解 18．如图，在菱形中，过点作垂直于，交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质，求出的度数，再求出的度数． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵是菱形的对角线， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据菱形的性质得，结合等腰三角形的性质、三角形内角和定理可得，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到，利用等腰三角形的性质得，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 20．如图，在菱形中，，分别是，的中点，若，则菱形的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形中位线的性质求出，再根据菱形的性质解答即可求解． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是菱形， ∴菱形的周长是． 21．若菱形的边长为4，对角线的长为6，则对角线的长为（     ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理即可计算出对角线BD的长度． 【详解】解：设对角线与交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，，， 已知，∴， 又∵菱形边长为， 在 中，由勾股定理得：， ∴． 22．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，顶点A，C的坐标分别是，，点在轴上，则菱形的顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用菱形的性质得到对角线垂直平分对角线，求得点A，C的中点坐标是，据此即可求得点的坐标． 【详解】解：如图，连接，， ∵顶点A，C的坐标分别是，， ∴轴， ∵四边形是菱形， ∴对角线垂直平分对角线， ∴顶点A，C的中点坐标是即， ∴点的坐标是． 23．如图，四边形是菱形，，，于，则的长是（  ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】菱形对角线互相垂直平分，先利用对角线求出菱形面积与边长，再根据“菱形面积底高”，以为底、为高建立等式，求解长度． 【详解】解：四边形是菱形，， ， 由勾股定理：， ， ， 故菱形面积也可表示为代入已知数值： ， ． 考点05：菱形的判定 24．已知在平行四边形中，是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的固有性质和矩形的判定规则逐一判断选项即可． 【详解】解：∵平行四边形的对边本就相等， ∴，是平行四边形必然满足的性质，因此选项A和B不能判断该平行四边形为矩形，不符合题意； 当时，可以根据对角线相等的平行四边形是矩形得到平行四边形是矩形，故C符合题意； 当只能判定平行四边形是菱形，不能判定为矩形，故D不符合题意； 25．如图，在中，对角线，相交于点O，已知，，当____ 时，四边形是菱形． 【答案】5 【分析】菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形． 【详解】解：当时，四边形是菱形，理由如下： 四边形是平行四边形，，， ， ， 又， ， 是直角三角形，且． ， 平行四边形是菱形． 26．如图，点，，，分别是四边形的边，，，的中点．、是四边形的对角线，连接、、、，请添加一个条件：________使四边形为菱形．（填写一个即可） 【答案】 【详解】解：当 时，四边形是菱形； ，、、、分别是线段、、、的中点， 则、分别是、的中位线，、分别是、的中位线， ，， 当时， 成立， 则四边形是菱形． 考点06：菱形的性质与判定综合 27．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，已知，． (1)求菱形的边长； (2)若于点，直接写出的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据菱形的对角线相互垂直平分这一性质，判断，再由勾股定理求解即可； （2）利用，即可求解答案． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，相互垂直平分，即， ∵，， ∴， 即菱形的边长为； （2）解：由（1）可知，，， ∴， ， ∴， ∴． 28．如图，在平行四边形中，是的平分线，，交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果 ，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，进而可得四边形是平行四边形，再结合已知条件证明即可； （2）连接交于点O，如图，利用菱形的性质结合勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； ∵是的平分线， ∴ ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：连接交于点O，如图， 则，， ∴在直角三角形中，， ， ∴， ∴菱形的面积． 29．如图，在四边形中，，，对角线平分，过点作，垂足为． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的判定定理，先由题干条件证明四边形为平行四边形，再结合即可证明四边形为菱形； （2）设，由四边形为菱形，可得，再在中，用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明： ， ． 对角线平分， ， ． ， ，且， 四边形为平行四边形，且， 四边形为菱形． （2）设， 由（1）得四边形为菱形， ． ，， ， ，垂足为， 在中，，即， 解得， 的长为． 30．如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答． 【详解】（1）证明： ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，， ，，， ， 在中，， ， ， ， ． 考点07：利用正方形的性质求解 31．正方形具有而平行四边形不一定具有的性质是（     ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 【答案】C 【详解】解：平行四边形的性质为：对边相等，对角相等，对角线互相平分，正方形也是平行四边形，这些性质正方形都具备， 选项A，B，D都是正方形和平行四边形都具有的性质，不符合题意； 正方形的对角线互相垂直相等且平分，而一般平行四边形的对角线仅互相平分，不一定垂直， 选项C，是正方形具有，而平行四边形不一定具有的性质，符合题意． 32．如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为6，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据题意可得，结合正方形的性质证明，则两个正方形重叠部分的面积等于，即正方形面积的四分之一，已知正方形的边长，可据此求出重叠部分的面积． 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 正方形、正方形， ， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 则两个正方形重叠部分的面积为：． 33．如图，在正方形的外侧，作等边，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正方形、等边三角形的性质，得出，结合三角形内角和，列式计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 34．如图，在正方形中，点D的坐标是，则的长是（   ） A．3 B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据勾股定理求得，然后根据正方形的性质得出． 【详解】解：如图，连接， 四边形是正方形， ， 点D的坐标是， ， ． 35．如图，在边长为6的正方形中，在边上取一点G使得，连接，点E在边上，作交于点F，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作交于点，易得四边形为平行四边形，进而得到，证明，得到，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：过点作交于点， ∵边长为6的正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 36．如图，在边长为6的正方形中，E，F分别为边，的中点，连接，，点G，H分别为，的中点，连接，则的长为（    ）． A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】连接并延长交于M，连接，推出，由等量关系得出，即可得到解． 【详解】解：连接并延长交于M，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，， ∵G为的中点， ∴， 在和中， ， ∴（AAS）， ∴，， ∴ ∵点H为的中点， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴． 考点08：正方形的性质与判定综合 37．在正方形中，，分别为直线，上的点，． (1)如图1，，分别在边，上，求证：； (2)如图2，点在的延长线上，点在的延长线上，判断之间的数量关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）延长到点，使，连接．由正方形的性质证明，可得，，根据正方形的性质求出，再证，可得，则，即可得出答案； （2）在上截取，连接．证明，可得．，根据正方形的性质求出，再证，可得，则，即可得出答案． 【详解】（1）证明：延长到点，使，连接． 四边形为正方形， ， ， ， ，， 四边形为正方形， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：， 理由如下：如图，在上截取，连接． 四边形为正方形， ， ， ， ，， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． ， ． 38．如图，四边形是正方形，M，N分别在上，连接且， (1)证明： (2)如果正方形的边长是4，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据旋转（或截长补短）可得到即可得到答案； （2）由（1）的结论结合正方形的性质即可得到答案． 【详解】（1）证明：将顺时针旋转，得到， 则， ∴点E、B、C共线， ， ． 在和中， ， ． ， ， ； （2）解：由（1）得，； ， ∵正方形的边长为4， ． 考点09：特殊平行四边形求最值问题 39．如图，在正方形中，是上一点，是上一动点，则的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】由正方形性质可知两点关于对称，则，根据两点之间线段最短可知，连接，其与的交点为，此时的值最小． 【详解】解：连接，交于点，连接， 由题意，、两点关于对称，故， ，此时的值最小，最小值为的长； ，， ，， ∴，即则的最小值是5． 40．如图，在中，，，，为边上的动点，于点，于点，连接，则线段长度的最小值是（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】连接，判定四边形是矩形，得出，然后根据勾股定理求出相关线段的长度，根据垂线段最短以及等面积法求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， 根据垂线段最短可得，当时，的值最小，即的值最小， ∵，， ∴由勾股定理得， ∴当时，由等面积得， ∴， 即线段长度的最小值是． 41．如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接，则四边形周长的最小值为（　　） A． B． C．10 D．12 【答案】D 【分析】如图：延长至，使，延长至，使，连接，交于M，交于N，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据两点之间线段最短可知，就是四边形周长的最小值，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图：延长至，使，延长至，使，连接，交于M，交于N， ∵四边形是正方形， ∴， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴四边形周长， 根据两点之间线段最短可知，就是四边形周长的最小值． ∵E为边长是4的正方形的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形周长的最小值为． 42．如图，，是菱形的对角线，点P，E，F分别是对角线，边，边上的点．若，，则的最小值为（   ） A．2.4 B．3.6 C．4.8 D．5 【答案】C 【分析】此题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 设点G是上一点且与点F关于直线对称，连接，则，设与交于点O，得到当点E，P和点G共线，时，有最小值，即为的长，然后求出，，勾股定理求出，然后利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴与关于直线对称， 如图，设点G是上一点且与点F关于直线对称，连接，则，设与交于点O． ∴． 当点E，P和点G共线，且时，有最小值，即为的长． ∵，，四边形是菱形， ∴，． ∴，． ∴，即， 解得，即的最小值为4.8． 故选：C． 43．如图，正方形的边长为，点在边上运动，点在边上运动，运动过程中的长度保持不变，且．若是的中点，是边上的动点，则的最小值为_______． 【答案】/ 【分析】作点关于的对称点，连接、，根据直角三角形斜边中线的性质得出，根据轴对称的性质可得，，得出当点、、、在同一条直线上时，的值最小，此时取最小值，利用勾股定理求出，进而求出的长即可得出答案． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接、， ∵正方形的边长为， ∴，， ∵是的中点，， ∴， ∵点与点关于对称， ∴，， ∴， ∴当点、、、在同一条直线上时，的值最小，此时取最小值， ∵， ∴， ∴, ∴的最小值为． 44．如图，在边长为2的正方形中，若，分别是，边上的动点，，与交于点，连接，则的最小值为___________ 【答案】/ 【分析】根据正方形的性质可得，得到，取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，点到点的距离不变，再根据两点之间线段最短得，当点，，三点共线时最小，利用勾股定理求解即可； 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ，即， 取的中点，连接，， ， ， ， 当点，，三点共线时，取最小为， 的最小值为． 45．如图，是正方形外一点，，，则的长度的最大值是（   ） A．5 B．7 C．6 D．8 【答案】C 【分析】过作，且、在的两侧，使，根据等腰直角三角形的性质得到，由四边形是正方形，得到，．根据余角的性质得到，推出，根据全等三角形的性质得到，由三角形的三边关系得到，即可得到结论． 【详解】解：如图，过作，且、在的两侧，且， ． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 在与中， ， ， ． ， ， 长度的最大值为6． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键． 46．如图，已知，线段长为4，两端分别在，上滑动，以为边在的右侧作正方形，连接，则的最大值为（   ） A． B． C． D．8 【答案】A 【详解】解：如图所示，取的中点，连接，． ∵四边形是正方形，，点是的中点， ∴，，， 在中，， ∵，点是的中点， ∴（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∵， ∴当，，三点共线时，有最大值， 的最大值． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 特殊平行四边形重难点题汇编 （九大类型） 考点01：利用矩行的性质求解 考点02：矩形的判定 考点03：矩形的性质与判定综合 考点04：利用萎形的性质求解 考点05：菱形的判定 考点06：菱形的性质与判定综合 考点07：利用正方形的性质求解 考点08：正方形的性质与判定综合 考点09：特殊平行四边形求最值问题 考点01：利用矩行的性质求解 1．如图，在矩形中，与交于点O，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，矩形的对角线和相交于点O，于点E，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，矩形的对角线交于点O，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D．4 4．如图，在矩形中，，．分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点．作直线EF分别与，，相交于点M，O，N．则线段的长为（    ）． A．3 B．5 C．6 D． 5．如图，在矩形中，，，P为上任一点，过点P作于点E，于点F，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，的对角线交于点O，是等边三角形，，则的面积为（    ） A． B． C． D．8 7．如图，矩形的对角线、相交于点O，过点O的直线分别交、于点E、F．若，，则图中阴影部分的面积为（　　） A．6 B．10 C．12 D．24 8．如图所示，把长方形放在直角坐标系中，使、分别落在x轴、y轴上，点C的坐标为，将沿翻折，使C点落在该坐标平面内的D点处，交x轴于点E．则点D的坐标为________． 9．如图，在矩形中，，，点E是上一动点，在平面内将矩形沿折叠，若使点D恰好落在上的位置．则的长为________． 考点02：矩形的判定 10．如图，要使成为矩形，需要添加的条件可以是（    ） A． B． C． D． 11．如图，的对角线、相交于点，请你添加一个条件使成为矩形，这个条件可以是_____（写出一个即可） 12．如图，在中，对角线，相交于点．在不添加辅助线的前提下，增加一个条件，使得是矩形．这个条件可以是_____． 考点03：矩形的性质与判定综合 13．如图，在中，已知对角线和相交于点O， 过点A作于点E，延长到点F，使， 连接， ． (1)求证： 四边形是矩形； (2)若， ， ， 求的长． 14．如图，将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 15．已知，如图，在中，，是边的中线，过点A作，过点B作，两线交于点E，连接交于点O． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 16．如图，在四边形中，，，连接，过点作于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求线段的长． 17．数学兴趣小组在开展“折纸数学”探究活动时，利用一张矩形纸片进行了如下两步深度操作． 活动探究 巧构特殊角 1．对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开． 2．再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段，使纸片展平． 妙分黄金矩形 宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图2，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开． 在图2的基础上，取的中点，如图3，连接，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，过点作于点． 解决问题： (1)问题一：图1中的度数为_____，请说明你的理由． (2)问题二：证明四边形是黄金矩形； (3)问题三：四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 考点04：利用萎形的性质求解 18．如图，在菱形中，过点作垂直于，交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 19．图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 20．如图，在菱形中，，分别是，的中点，若，则菱形的周长是（     ） A． B． C． D． 21．若菱形的边长为4，对角线的长为6，则对角线的长为（     ） A． B． C．4 D．8 22．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，顶点A，C的坐标分别是，，点在轴上，则菱形的顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 23．如图，四边形是菱形，，，于，则的长是（  ）． A． B． C． D． 考点05：菱形的判定 24．已知在平行四边形中，是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是（   ） A． B． C． D． 25．如图，在中，对角线，相交于点O，已知，，当____ 时，四边形是菱形． 26．如图，点，，，分别是四边形的边，，，的中点．、是四边形的对角线，连接、、、，请添加一个条件：________使四边形为菱形．（填写一个即可） 考点06：菱形的性质与判定综合 27．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，已知，． (1)求菱形的边长； (2)若于点，直接写出的长． 28．如图，在平行四边形中，是的平分线，，交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果 ，求菱形的面积． 29．如图，在四边形中，，，对角线平分，过点作，垂足为． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 30．如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 考点07：利用正方形的性质求解 31．正方形具有而平行四边形不一定具有的性质是（     ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 32．如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为6，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 33．如图，在正方形的外侧，作等边，则为（   ） A． B． C． D． 34．如图，在正方形中，点D的坐标是，则的长是（   ） A．3 B． C．4 D．5 35．如图，在边长为6的正方形中，在边上取一点G使得，连接，点E在边上，作交于点F，则的长为（    ） A． B． C． D． 36．如图，在边长为6的正方形中，E，F分别为边，的中点，连接，，点G，H分别为，的中点，连接，则的长为（    ）． A． B． C． D．3 考点08：正方形的性质与判定综合 37．在正方形中，，分别为直线，上的点，． (1)如图1，，分别在边，上，求证：； (2)如图2，点在的延长线上，点在的延长线上，判断之间的数量关系并证明． 38．如图，四边形是正方形，M，N分别在上，连接且， (1)证明： (2)如果正方形的边长是4，求的周长． 考点09：特殊平行四边形求最值问题 39．如图，在正方形中，是上一点，是上一动点，则的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 40．如图，在中，，，，为边上的动点，于点，于点，连接，则线段长度的最小值是（   ） A． B． C．5 D．6 41．如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接，则四边形周长的最小值为（　　） A． B． C．10 D．12 42．如图，，是菱形的对角线，点P，E，F分别是对角线，边，边上的点．若，，则的最小值为（   ） A．2.4 B．3.6 C．4.8 D．5 43．如图，正方形的边长为，点在边上运动，点在边上运动，运动过程中的长度保持不变，且．若是的中点，是边上的动点，则的最小值为_______． 44．如图，在边长为2的正方形中，若，分别是，边上的动点，，与交于点，连接，则的最小值为___________ 45．如图，是正方形外一点，，，则的长度的最大值是（   ） A．5 B．7 C．6 D．8 46．如图，已知，线段长为4，两端分别在，上滑动，以为边在的右侧作正方形，连接，则的最大值为（   ） A． B． C． D．8 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $