精品解析：广东深圳市光明区高级中学2025－2026学年第二学期初三数学质量检测（6月）

2025-2026学年第二学期深圳市光明区高级中学（集团） 初三数学质量检测（6月） 一、选择题（共8题，每题3分，共24分） 1. 手机移动支付给生活带来便捷．如图是小颖某天微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小颖当天微信收支的最终结果是（ ） 转账——来自天青色 微信红包——发给高原红 A. 收入18元 B. 收入6元 C. 支出6元 D. 支出12元 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数的实际意义以及有理数加法运算．根据正负数的意义以及有理数的加法法则求和即可． 【详解】解：（元）， 答：小颖当天微信收支的最终结果是收入6元． 故选：B． 2. 下列是四个高校校徽的主体标识，其图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形．熟练掌握中心对称图形的概念，是解决问题的关键．如果一个图形绕一个点旋转后，能和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的概念逐一判断，即得． 【详解】A、是中心对称图形； B、不是中心对称图形； C、不是中心对称图形； D、不是中心对称图形． 故选：A． 3. 紫砂壶，被誉为中国非物质文化遗产的瑰宝，以其独特的成型工艺和多样的造型式样著称，陶器所散发的古朴典雅之色更是引人入胜．如图所展示的是一把精湛工艺紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是此紫砂壶的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，根据俯视图的定义，从上面看所得到的图形即为俯视图． 【详解】解：根据俯视图的定义，选项D中的图形符合题意， 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式加减运算与幂的运算，需根据对应运算法则判断各选项是否正确． 【详解】选项A：​和不是同类二次根式，不能相加得到，A错误． 选项B：，B错误． 选项C：，C正确． 选项D：和不是同类二次根式，不能合并，结果不等于，D错误． 5. 将一副三角尺按如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中的度数为（ ） A. 75° B. 105° C. 115° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得，再根据平行线的性质得，再根据可得答案． 【详解】解：由题意，得， ， ， ， ， ． 6. 在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后．任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.5附近．那么可以估算出m的值为（ ） A. 8 B. 12 C. 15 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量重复试验后，随机事件发生的频率会稳定在概率附近，根据概率公式列方程求解即可． 【详解】∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近， ∴摸到红球的概率为， 根据概率公式可得 ，， 解得 ， 经检验， 是方程的解，且符合题意． 7. 数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果、苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两个等量关系：999文钱买了甜果和苦果共1000个，分别列出方程，即可得到方程组． 【详解】解：∵设甜果个，苦果个，甜果和苦果共个， ∴可得方程， ∵文钱可买个甜果，文钱可买个苦果， ∴单个甜果价格为文，单个苦果价格为文， ∵总花费为文， ∴可得总花费方程， 综上，方程组为． 8. 如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点A在y轴正半轴上，已知，，将沿翻折得到交于点 F，则点 F的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在中，解直角三角形求出，，结合翻折的性质可求出，过F作于H，并反向延长交于H，根据矩形的判定与性质求出，证明，求出，则，根据待定系数法求出直线解析式为，然后把代入，求出x的值即可． 【详解】解：∵的边在x轴上，， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， 过F作于G，并反向延长交于H， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为，将代入得， 则， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 9. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】把代入一元二次方程可以得到关于的新方程，通过解新方程可以求得的值． 【详解】解：把代入一元二次方程， 得：， 解得， 故答案是：0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，方程的解，为能使方程左右两边相等的未知数的值，熟悉相关性质是解题的关键． 10. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《九章算术》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要著作．某中学拟从这4部数学著作中任选1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《九章算术》的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，直接根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：∵一共有4部数学著作，且每部数学著作被选择的概率相同， ∴从这4部数学著作中任选1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《九章算术》的概率是． 故答案为：． 11. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，点，，，，都在格点（小正方形的顶点）上，和所在圆的圆心均为点，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由图形可知，借助网格求出扇形的半径，根据扇形的面积公式即可求出结果． 【详解】解：由图可知， ，，， 在和中，， ∴， ， ． 12. 将一块含角的三角板按如图所示摆放在平面直角坐标系中，直角顶点在轴上．反比例函数的图象恰好经过点，且，若，则的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，含特殊角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 过点A作轴于点E， 过点D作轴于点F，证明，，可得，，即，，继而求出，则，根据，即可解答． 【详解】解：过点A作轴于点E， 过点D作轴于点F，如图， ∵，， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． 故答案为 13. 如图是的中位线，E是的中点，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先结合中位线的性质得，，，再根据中点的性质以及线段和差关系得，再证明，整理，得出，然后过点E作于点K，运用，证明为等腰直角三角形，再运用勾股定理列式计算得，，最后把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：设， ∵是的中位线， ∴，，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 如图，过点E作于点K， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（共7题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题9分，第18、19题各10分，第20题12分，共61分） 14. 计算： 【答案】6 【解析】 【分析】首先根据绝对值、负整数指数幂、零指数幂和三角函数的计算法则求出各式的值，然后进行求和． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查了余弦，绝对值，负整数指数幂，零指数幂等知识．解题的关键在于正确的计算． 15. 请你化简，写出完整的解答过程，若的值满足，求原式的值． 【答案】； 【解析】 【详解】解： ； 当时，原式． 16. 【项目背景】近年来，党和人民政府一直关心青少年的身心健康，在中小学配置专业心理老师，开设心理健康课，以提高青少年心理抗压和自我心理疏导能力．在开设心理健康课前后，某校对全校学生进行了两次心理健康知识测试，并随机抽取了50名学生，对他们的两次测试成绩进行对比分析，来检验心理健康课的开设效果． 【数据收集与整理】收集这50名学生在心理健康课前和课后的测试成绩，并按照学生得分（满分100，用表示学生的分数）进行分组，分组如下： 组别 A B C D E 整理1：学生在心理健康课后的部分测试成绩记录如下：…，79，80，81，82，83，84，85，85，85，85，85，89，89，89，89，89，89，90，… 整理2：将心理健康课前测试成绩绘制成如图①的频数分布直方图，将心理健康课后测试成绩绘制成如图②的扇形统计图． 整理3：这50名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于80分为优良）为20%． 【数据处理和应用】 （1）任务1：心理健康课前测试成绩在C组的有___人，并补全频数分布直方图； （2）任务2：心理健康课后这50名同学测试成绩的中位数是____，D组对应扇形的圆心角是_____； （3）任务3：已知心理健康课后的这50名同学的平均分为82.3分；心理健康课前测试成绩在A，B，C，D，E五组中的平均分分别为55，65，75，85，95；若心理健康课后的平均分比心理健康课前高出10分，就认为开设心理健康课的效果显著．请你通过计算说明该校开设的心理健康课是否达到“效果显著”？ 【答案】（1）12， （2），． （3）效果显著， 依题意，心理健康课前测试成绩的平均分为：， 分， ∵， ∴达到“效果显著”． 【解析】 【分析】（1）根据这名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于分为优良）为．得出组有人，进而求得组的人数，根据频数直方图求得组的人数，进而补全统计图； （2）根据图②可得心理健康课后这名同学测试成绩的中位数在组，进而求得第，个数据分别为，，即可求得中位数，根据组的人数为人，用其占比乘以，进而求得组对应圆心角的度数； （3）根据加权平均数的方法计算心理健康课前测试成绩的平均分，然后和心理健康课后的平均分比较，即可求解． 【小问1详解】 解：根据这名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于分为优良）为． ∴人 ∴组的人数为人 则组的人数为：人 补全频数分布直方图如图， 故答案为：． 【小问2详解】 根据图②可得心理健康课后这名同学测试成绩的中位数在组， 其中组占比为，共有人 根据整理1：学生在心理健康课后的部分测试成绩记录如下：…，，，，，，，，，，，，，，，，，，， ∴组的人数为人 ∴从大到小排列，第，个数据分别为， ∴心理健康课后这名同学测试成绩的中位数是 组对应扇形的圆心角是； 【小问3详解】 略 17. 自来水公司有种长度为的标准管道，根据施工要求，需按如图所示的两种截法，截得长度分别为和的A型管道和B型管道． 截法一： 截法二： 某小区铺设自来水管道，需要A型160根，B型管道178根．现有标准管道100根．设按截法一的标准管道为x根． （1）根据题意，完成以下表格： 标准管道截法一 标准管道截法二 x（根） _________（根） A型管道（根） x B型管道（根） _________ （2）若把100根标准管道按以上两种截法来分，共有哪几种截取方案？ 【答案】（1）， （2）共有两种截取方案：方案一：按截法一截39根标准管道，按截法二截61根标准管道；方案二：按截法一截40根标准管道，按截法二截60根标准管道 【解析】 【分析】（1）设按截法一的标准管道为x根，则标准管道截法二为根，结合图形可得B型管道（根）； （2）根据需要A型160根，B型管道178根，列出不等式，解不等式组即可． 【小问1详解】 解：根据题意得： 标准管道截法一 标准管道截法二 x（根） （根） A型管道（根） x B型管道（根） 【小问2详解】解：由题意，得， 由①得： 由②得：． ∴ ∵x取整数， ∴，40 答：共有两种截取方案： 方案一：按截法一截39根标准管道，按截法二截61根标准管道； 方案二：按截法一截40根标准管道，按截法二截60根标准管道； 【点睛】此题主要考查了不等式组的实际应用，解题的关键是根据题意列出不等式组求解即可． 18. 如图1，O为菱形对角线上一点，以点O为圆心，为半径的圆与菱形相邻两边的交点分别为点E、F． （1）若的半径为3，，则劣弧的长为_________；（结果保留或根式） （2）如图2，若与相切于点M．求证：与相切； （3）在（2）的基础上，若，，求的半径． 【答案】（1） （2）见解析 （3）3 【解析】 【分析】本题考查切线的性质和判定，求弧长，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）证明为等边三角形，进而得到，再利用弧长公式进行计算即可； （2）连接，作于点，切线的性质得到，角平分线的性质，得到，即可得证； （3）设的半径为，则，在中利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 证明：连接，作于点， ∵与相切于点M， ∴， ∵菱形， ∴平分， ∵，， ∴， ∴是的半径， 又∵， ∴与相切； 【小问3详解】 解：设的半径为，则， ∴， ∵， ∴， ∴，解得； ∴设的半径为3． 19. 【定义】在平面直角坐标系中，是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横差”．函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为函数的“最优纵横差” 【举例】已知点在函数的图象上，则点的“纵横差”为．函数的图象上所有点的“纵横差”可以表示为．当时，的最大值为，故函数的“最优纵横差”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： （1）点的“纵横差”为______； （2）已知二次函数． ①求证：无论b取何值，该二次函数的“最优纵横差”为定值； ②当时，此二次函数的“最优纵横差”为4，求出b的值； ③若此函数的顶点记为点M，它的“最优纵横差”对应的点记为点N，点M与点N到直线的距离相等，直接写出b的值______． 【答案】（1） （2）①见解析；②的值为或；③． 【解析】 【分析】（1）根据题干中的“纵横差”的定义计算即可； （2）①根据“最优纵横差”的定义可知，求得，推出无论取何值，该二次函数的“最优纵横差”为定值，定值为5； ②可知当时，有最大值5，所以可得不在之内，所以或，分两种情况求的值； ③先求得和，由点与点到直线的距离相等，得到点与点关于直线对称或，据此列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：点的“纵横差”为. 【小问2详解】 解：①∵ ， ∵， ∴， ∴， ∴无论取何值，该二次函数的“最优纵横差”为定值，定值为5； ②∵， ∴当时，有最大值5， ∴当时，二次函数的“最优纵横差”为5，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：或（舍）； 当时，， 解得（舍）或； 综上，的值为或； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∵点与点到直线的距离相等， ∴点与点关于直线对称或， 当点与点关于直线对称时，，即， 解得； 当时，， 此时方程无解； 综上，的值为． 20. 【定义】设一个钝角三角形的两个锐角为与，如果，那么我们称这个钝角三角形是单余三角形，这个锐角叫做单余角． （1）【性质】如图1，若是单余三角形，且是单余角，，为了探究其性质，小鸣根据定义中出现的，联想到直角三角形，于是过点作，交延长线于点，请你根据小鸣的分析，进行以下探究： ①求证： ②求证： （2）【判定】如图2，中，，，，点是对角线上一点，连接并延长交于点，若，求证：是单余三角形，且是单余角． （3）【应用】如图3，中，，，，点为斜边上一点，连接，是单余三角形，过点作，点在下方，且，求的长． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2）见解析 （3）或． 【解析】 【分析】(1) ①先推导出，，得到，，则，进而证明，即可解答； ②根据相似三角形推导出，由，得到，即可解答； （2）先求出，，得到，推导出，得到，进而推导出，则是单余三角形，且是单余角； （3）过点B作于点M，先求出，，得到，，进而推导出当是单余三角形时，或，分类讨论：①，②，逐个分析求解即可． 【小问1详解】 证明：①如图 ∵若是单余三角形，且是单余角，， ∴， 即 ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 即， ∵， ∴， ∴是单余三角形，且是单余角． 【小问3详解】 解：过点B作于点M，如图 ∵， ∴， ∵， ∴ 解得， ∴， ∴， 由，得， ∴是单余三角形时，或， ①当时，如图 过点O作于点P，有， 由（1）同理可得， ∴， 即， 解得 ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ 即， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即 ∴， ②当时，如图，过点A作的延长线于点P， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）同理可得， ∴ ∴ 即 解得，即， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴ ∵， ∴， ∴， 即 解得． 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期深圳市光明区高级中学（集团） 初三数学质量检测（6月） 一、选择题（共8题，每题3分，共24分） 1. 手机移动支付给生活带来便捷．如图是小颖某天微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小颖当天微信收支的最终结果是（ ） 转账——来自天青色 微信红包——发给高原红 A. 收入18元 B. 收入6元 C. 支出6元 D. 支出12元 2. 下列是四个高校校徽的主体标识，其图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 紫砂壶，被誉为中国非物质文化遗产的瑰宝，以其独特的成型工艺和多样的造型式样著称，陶器所散发的古朴典雅之色更是引人入胜．如图所展示的是一把精湛工艺紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是此紫砂壶的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将一副三角尺按如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中的度数为（ ） A. 75° B. 105° C. 115° D. 120° 6. 在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后．任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.5附近．那么可以估算出m的值为（ ） A. 8 B. 12 C. 15 D. 20 7. 数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果、苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点A在y轴正半轴上，已知，，将沿翻折得到交于点 F，则点 F的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 9. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______． 10. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《九章算术》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要著作．某中学拟从这4部数学著作中任选1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《九章算术》的概率是________． 11. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，点，，，，都在格点（小正方形的顶点）上，和所在圆的圆心均为点，则阴影部分的面积为______． 12. 将一块含角的三角板按如图所示摆放在平面直角坐标系中，直角顶点在轴上．反比例函数的图象恰好经过点，且，若，则的值为_____． 13. 如图是的中位线，E是的中点，，则的值为______． 三、解答题（共7题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题9分，第18、19题各10分，第20题12分，共61分） 14. 计算： 15. 请你化简，写出完整的解答过程，若的值满足，求原式的值． 16. 【项目背景】近年来，党和人民政府一直关心青少年的身心健康，在中小学配置专业心理老师，开设心理健康课，以提高青少年心理抗压和自我心理疏导能力．在开设心理健康课前后，某校对全校学生进行了两次心理健康知识测试，并随机抽取了50名学生，对他们的两次测试成绩进行对比分析，来检验心理健康课的开设效果． 【数据收集与整理】收集这50名学生在心理健康课前和课后的测试成绩，并按照学生得分（满分100，用表示学生的分数）进行分组，分组如下： 组别 A B C D E 整理1：学生在心理健康课后的部分测试成绩记录如下：…，79，80，81，82，83，84，85，85，85，85，85，89，89，89，89，89，89，90，… 整理2：将心理健康课前测试成绩绘制成如图①的频数分布直方图，将心理健康课后测试成绩绘制成如图②的扇形统计图． 整理3：这50名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于80分为优良）为20%． 【数据处理和应用】 （1）任务1：心理健康课前测试成绩在C组的有___人，并补全频数分布直方图； （2）任务2：心理健康课后这50名同学测试成绩的中位数是____，D组对应扇形的圆心角是_____； （3）任务3：已知心理健康课后的这50名同学的平均分为82.3分；心理健康课前测试成绩在A，B，C，D，E五组中的平均分分别为55，65，75，85，95；若心理健康课后的平均分比心理健康课前高出10分，就认为开设心理健康课的效果显著．请你通过计算说明该校开设的心理健康课是否达到“效果显著”？ 17. 自来水公司有种长度为的标准管道，根据施工要求，需按如图所示的两种截法，截得长度分别为和的A型管道和B型管道． 截法一： 截法二： 某小区铺设自来水管道，需要A型160根，B型管道178根．现有标准管道100根．设按截法一的标准管道为x根． （1）根据题意，完成以下表格： 标准管道截法一 标准管道截法二 x（根） _________（根） A型管道（根） x B型管道（根） _________ （2）若把100根标准管道按以上两种截法来分，共有哪几种截取方案？ 18. 如图1，O为菱形对角线上一点，以点O为圆心，为半径的圆与菱形相邻两边的交点分别为点E、F． （1）若的半径为3，，则劣弧的长为_________；（结果保留或根式） （2）如图2，若与相切于点M．求证：与相切； （3）在（2）的基础上，若，，求的半径． 19. 【定义】在平面直角坐标系中，是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横差”．函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为函数的“最优纵横差” 【举例】已知点在函数的图象上，则点的“纵横差”为．函数的图象上所有点的“纵横差”可以表示为．当时，的最大值为，故函数的“最优纵横差”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： （1）点的“纵横差”为______； （2）已知二次函数． ①求证：无论b取何值，该二次函数的“最优纵横差”为定值； ②当时，此二次函数的“最优纵横差”为4，求出b的值； ③若此函数的顶点记为点M，它的“最优纵横差”对应的点记为点N，点M与点N到直线的距离相等，直接写出b的值______． 20. 【定义】设一个钝角三角形的两个锐角为与，如果，那么我们称这个钝角三角形是单余三角形，这个锐角叫做单余角． （1）【性质】如图1，若是单余三角形，且是单余角，，为了探究其性质，小鸣根据定义中出现的，联想到直角三角形，于是过点作，交延长线于点，请你根据小鸣的分析，进行以下探究： ①求证： ②求证： （2）【判定】如图2，中，，，，点是对角线上一点，连接并延长交于点，若，求证：是单余三角形，且是单余角． （3）【应用】如图3，中，，，，点为斜边上一点，连接，是单余三角形，过点作，点在下方，且，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $