精品解析：广东深圳市光明区实验学校2025-2026学年第二学期九年级学情调研数学试卷

深圳实验光明学校2025-2026学年第二学期 九年级学情调研数学 （考试时间90分钟，满分100分） 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 中国人最早使用负数，时间可追溯到两千多年前的秦汉时期，的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数．求一个数的倒数，用1除以这个数即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故选：B． 【点睛】此题考查的目的是理解倒数的意义，掌握求倒数的方法，求一个数的倒数，用1除以这个数即可． 2. 甲是某零件的直观图，则它的主视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据主视图是从正面看得到的视图判定即可． 【详解】解：∵该几何体从正面看到的图形是： 故选A． 【点睛】本题考查了简单集合体的三视图，理解三视图的作法是解题关键． 3. 北京大兴国际机场直线距天安门约46公里，占地1400000平方米，相当于63个天安门广场！被英国《卫报》等媒体评为“新世界七大奇迹”榜首。其中数据1400000用科学记数法应表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用科学记数法的表示形式进行解答即可 【详解】科学记数法表示：1400 000=1.4×106 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法，解题关键在于掌握科学记数法是指把一个数表示成a×10的n次幂的形式（1≤a＜10，n 为正整数．） 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逐一进行判断即可得出答案． 【详解】A. ，故错误； B. ，故正确； C. ，故错误； D. ，故错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项，掌握同底数幂的乘除法，幂的乘方运算法则，合并同类项的法则是解题的关键． 5. 一次函数和的图像如图所示，其交点为，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数交点与不等式关系直接求解即可得到答案； 【详解】解：由图像可得， 在P点右侧的图像在的下方， ∴不等式的解集为：， 故选C． 【点睛】本题考查一次函数交点与不等式的关系，解题的关键是看懂一次函数图像． 6. 如图所示，直线，的顶点C在直线b上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平角的定义，求得，利用两直线平行，同位角相等计算． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了平角的定义，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 7. 某玩具厂共有300名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架20个或车轮40个，且1个车架与4个车轮可配成一套，设有x个工人生产车架，y个工人生产车轮，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据总工人数为名和1个车架与4个车轮可配成一套，两个等量关系列方程组即可． 【详解】由题意可得． 8. 如图，一束太阳光从天花板和落地窗交界处的点射入，经过地板反射到天花板上形成光斑．中午和下午某时刻光线与地板的夹角分别为．已知天花板与地面是平行的，且它们之间的距离为，当时，光斑移动的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，矩形的性质与判定，解直角三角形的应用；设中午和下午某时刻光线与地板的交点分别为，过点分别作的垂线，垂足分别为，过点作于点，则四边形是矩形，则，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，设中午和下午某时刻光线与地板的交点分别为，过点分别作的垂线，垂足分别为，过点作于点，则四边形是矩形，则， ∵， ∴， 根据对称性可得， ∴ 故选：B． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若a2-b2＝6，a-b＝，则a+b的值为_____． 【答案】18． 【解析】 【分析】根据平方差公式解答即可． 【详解】解：∵ ∴． 故答案为：18 【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟记公式并能灵活应用是解答本题的关键．平方差公式：． 10. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，根据从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵某中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容， ∴恰好选中《算学启蒙》的概率是， 故答案为： 11. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】把代入一元二次方程可以得到关于的新方程，通过解新方程可以求得的值． 【详解】解：把代入一元二次方程， 得：， 解得， 故答案是：0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，方程的解，为能使方程左右两边相等的未知数的值，熟悉相关性质是解题的关键． 12. 在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），AB=，点A在y轴上，反比例函数经过点B，求反比例函数解析式______． 【答案】 【解析】 【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长，在Rt△OAC中利用勾股定理求出OA的长，然后证明△OAC≌DCB，可得BD，CD的长，即可得点B的坐标，最后利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式． 【详解】解：过点B作BD⊥x轴于点D， 在Rt△ABC中，AC=BC，AB=， 由勾股定理可得AC=BC=2， ∵点C的坐标为（1，0）， ∴OC=1， 在Rt△OAC中， OA===． ∵∠OCA+∠DCB=90°，∠OCA+∠OAC=90°， ∴∠OAC=∠DCB， 在△OAC和△DCB中， ， ∴△OAC≌△DCB， ∴CD=OA=，BD=OC=1， ∴OD=CD+OC=+1， 即点B的坐标为（+1，1）． 设反比例函数的解析式为y=， 则1=， 解得k=+1， 所以反比例函数的解析式为y=． 故答案为：y=． 【点睛】本题综合考查了勾股定理，全等三角形和待定系数法求反比例函数的解析式，根据勾股定理和全等三角形得出点B的坐标是解决此题的关键． 13. 如图，是等边三角形，M是正方形ABCD对角线BD（不含B点）上任意一点，，（点N在AB的左侧），当AM+BM+CM的最小值为时，正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先通过SAS判定，得出，因为,,得出是等边三角形，AM+BM+CM=EN+MN+CM，而且为最小值，我们可以得出EC=，作辅助线，过点E作交CB的延长线于F，由题意求出，设正方形的边长为x，在中，根据勾股定理求得正方形的边长为． 【详解】 ∵为正三角形， ∴， ∴ ∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴ ∴． 在和中 ， ∴（SAS） ∴ 在中， 又∵， ∴为等边三角形， ∴． ∵AM+BM+CM最小值为． ∴EN+MN+CM的最小值为即CE=． 过点E作交CB的延长线于F，可得． 设正方形的边长为x，则BF=，． 在， ∵， ∴ 解得（负值舍去）． ∴正方形的边长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形和正方形边相等的性质，全等三角形的判定，灵活使用辅助线，掌握直角三角的性质，熟练运用勾股定理是解题的关键． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算绝对值，负整数指数幂，零指数幂，三角函数，再加减即可． 【详解】解： ． 15. 下面是小星同学进行分式化简的过程： 化简 解：原式 第一步 第二步 第三步 （1）小星同学的化简过程从第_______步开始出现错误，错误原因是_______． （2）请写出正确的化简过程，并从，0，1，2中选择合适的数代入求值． 【答案】（1）二，第二步计算减法时，没有变号 （2）过程见解析，当时，3 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值： （1）第二步计算减法时，没有变号； （2）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，选择一个使分式有意义的值，代入计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得：第二步计算减法时，没有变号， ∴小星同学的化简过程从第二步开始出现错误， 故答案为：二； 【小问2详解】 ， ， ， 当时，原式． 16. 随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次活动共调查了_______人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为_______； （2）将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“_______”； （3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率． 【答案】（1）200、81°；（2）补图见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再用360°乘以“支付宝”人数所占比例即可得； （2）用总人数乘以对应百分比可得微信、银行卡的人数，从而补全图形，再根据众数的定义求解可得； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】（1）本次活动调查的总人数为（45+50+15）÷（1﹣15%﹣30%）=200人， 则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为360°×=81°， 故答案为200、81°； （2）微信人数为200×30%=60人，银行卡人数为200×15%=30人， 补全图形如下： 由条形图知，支付方式的“众数”是“微信”， 故答案为微信； （3）将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C， 画树状图如下： 画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种， ∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为=． 【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 17. 东港市某学校要购买甲、乙两种消毒液用于日常预防，经市场调查，将获取相关数据整理如下： 购买的数量（单位：瓶） 总费用（元） 甲消毒液 乙消毒液 17 13 64 13 17 56 （1）每瓶甲消毒液、每瓶乙消毒液的价格分别是多少元？ （2）如果该校计划购买甲、乙两种消毒液共30瓶，其中购买甲消毒液a瓶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5瓶，又不超过乙消毒液的数量的2倍，则怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】（1） （2）当购买消毒液18瓶，购买乙消毒液12瓶时，总费用最少，最少费用为66元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：单价与单价和数量的关系，正确列出二元一次方程组；列出w关于a的函数关系式． （1）设每桶甲消毒液的价格是x元、每桶乙消毒液的价格是y元，根据题意列二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据题意可得出关于a的一元一次不等式组 ，解之即可得出a的取值范围，再根据所需资金总额=甲种消毒液的价格×购进数量+乙种消毒液的价格×购进数量，即可得出W关于a的函数关系式，再利用一次函数的增减性质即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设每瓶甲消毒液的价格是元，每瓶乙消毒液的价格是元， 根据题意得：， 解这个方程组得： 【小问2详解】 根据题意，得 由已知，得， 解得：． 是正整数， 可取18，19，20． ， 随的增大而增大， 当a取最小值18，时，取得最小值， 即． 答：当购买消毒液18瓶，购买乙消毒液12瓶时，总费用最少，最少费用为66元． 18. 如图，在中，． （1）实践与操作：点O在线段上，以O为圆心作，恰好过A，C两点，并与线段交于另一点D．小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示．请你用尺规作图：作出点O与点D，并补全． （2）推理与计算：在（1）的条件下，若． ①求证：直线是的切线； ②若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图中的画垂直平分线，垂径定理，圆周角定理，切线的判定．熟练掌握垂径定理，圆周角定理，切线的判定定理是解题的关键． （1）作的垂直平分线交于点O，再以点O为圆心，长为半径画圆，即可； （2）①连接，根据圆周角定理可得，再由，可得，即可求证；②设的半径为r，则，，在中，根据勾股定理求出r，即可． 【小问1详解】 解：如图所示，、点O、点D即为所求． 【小问2详解】 ①证明：连接， ， ， ， ， ， ． 又是的半径， 直线是的切线． ②解：设的半径为r，则，， 在中，， 即， 解得， 故的半径为． 19. 综合与探究 【定义】对于关于的函数，函数在范围内有最大值和最小值，则称为极差值，记作． 【示例】如图（a），根据函数的图象可知，在范围内，该函数的最大值是4，最小值为，即． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）直接写出反比例函数的的值为______； （2）已知二次函数的图象经过点． ①求该函数的表达式； ②在图（b）的平面直角坐标系中，画出此二次函数的图象； ③求该函数的的值． （3）已知函数，函数的图象经过点，且两个函数的相等，求的值． 【答案】（1）4 （2）①；②见解析；③16 （3）或3 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数的增减性，画二次函数图象，待定系数法求解析式，正确理解新定义是解题的关键． （1）先判断出反比例函数的增减性，再分别求出自变量为1和3时的函数值，从而得到当时，，据此根据极差值的定义求解即可； （2）①利用待定系数法求解即可；②根据①所求利用描点法画函数图象即可；③根据解析式判断出函数的增减性，进而求出当时函数值的取值范围即可得到答案； （3）先判断出的增减性，进而求出的最大值和最小值，则可得到的值，再利用待定系数法求出的解析式，根据的等于的求解即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小， 当时，，当时，， ∴当时，， ∴； 【小问2详解】 解：①∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为； ②如图所示函数图象即为所求； ③∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 ∴离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴当时，函数值在时取得最大值，最大值为， ∴当时，， ∴； 【小问3详解】 解：∵函数的图象经过点， ∴函数的图象经过第一、三象限，随的增大而增大， ∴当时，当时，有最小值，最小为，时，有最大值，最大值为 ∴函数的极差值为：； ∵函数的图象经过点， ∴， 解得，， 当时，， ∴函数的图象经过第二、四象限，随的增大而减小， ∴当中，当时，有最大值，最大为，时有最小值，最小值为， ∴函数的极差值为， ∵两个函数的相等， ∴， 解得，； 当时，， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴直线为，顶点坐标为， ∴当时，二次函数有最大值，最大值为，当时，随的增大而增大， 当时，函数的最小值为， ∵函数的极差值，两个函数的相等， ∴的最大值为， ∴ 当， 解得，，（舍去） ∴， ∴， 解得，， 综上所述，的值为或． 20. 【性质探究】 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G． （1）判断△AFG的形状并说明理由． （2）求证：BF=2OG． 【迁移应用】 （3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当时，求的值． 【拓展延伸】 （4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值． 【答案】（1）等腰三角形，理由见解析；（2）见解析；（3）；（4）或 【解析】 【分析】（1）如图1中，△AFG是等腰三角形，利用全等三角形的性质证明即可． （2）如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG=∠OLG．首先证明OG=OL，再证明BF=2OL即可解决问题． （3）如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA=∠CDA=90°，利用相似三角形的性质解决问题即可． （4）设OG=a，AG=k．分两种情形：①如图4中，连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上．②如图5中，当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF．分别求解即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1中，△AFG是等腰三角形． 理由：∵AE平分∠BAC， ∴∠1=∠2， ∵DF⊥AE， ∴∠AHF=∠AHG=90°， ∵AH=AH， ∴△AHF≌△AHG（ASA）， ∴AF=AG， ∴△AFG是等腰三角形． （2）证明：如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG=∠OLG． ∵AF=AG， ∴∠AFG=∠AGF， ∵∠AGF=∠OGL， ∴∠OGL=∠OLG， ∴OG=OL， ∵OL∥AB， ∴△DLO∽△DFB， ∴， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BD=2OD， ∴BF=2OL， ∴BF=2OG． （3）解：如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA=∠CDA=90°， ∵∠DAK=∠CAD， ∴△ADK∽△ACD， ∴， ∵S1=•OG•DK，S2=•BF•AD， 又∵BF=2OG，， ∴，设CD=2x，AC=3x，则AD= ， ∴． （4）解：设OG=a，AG=k． ①如图4中，连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上． ∵AF=AG，BF=2OG， ∴AF=AG=k，BF=2a， ∴AB=k+2a，AC=2（k+a）， ∴AD2=AC2﹣CD2=[2（k+a）]2﹣（k+2a）2=3k2+4ka， ∵∠ABE=∠DAF=90°，∠BAE=∠ADF， ∴△ABE∽△DAF， ∴， ∴， ∴， 由题意：=AD•（k+2a）， ∴AD2=10ka， 即10ka=3k2+4ka， ∴k=2a， ∴AD= ， ∴BE= = ，AB=4a， ∴tan∠BAE= ． ②如图5中，当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF． ∵AF=AG，BF=2OG， ∴AF=AG=k，BF=2a， ∴AB=k﹣2a，AC=2（k﹣a）， ∴AD2=AC2﹣CD2=[2（k﹣a）]2﹣（k﹣2a）2=3k2﹣4ka， ∵∠ABE=∠DAF=90°，∠BAE=∠ADF， ∴△ABE∽△DAF， ∴， ∴， ∴ ， 由题意：=AD•（k﹣2a）， ∴AD2=10ka， 即10ka=3k2﹣4ka， ∴k= ， ∴AD= ， ∴，AB= ， ∴tan∠BAE= ， 综上所述，tan∠BAE的值为或． 【点睛】本题是一道综合题，主要涉及到等腰三角形的判定及其性质、全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定及其性质、勾股定理的应用等知识点，解题的关键是综合运用所学到的相关知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳实验光明学校2025-2026学年第二学期 九年级学情调研数学 （考试时间90分钟，满分100分） 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 中国人最早使用负数，时间可追溯到两千多年前的秦汉时期，的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 甲是某零件的直观图，则它的主视图为（　　） A. B. C. D. 3. 北京大兴国际机场直线距天安门约46公里，占地1400000平方米，相当于63个天安门广场！被英国《卫报》等媒体评为“新世界七大奇迹”榜首。其中数据1400000用科学记数法应表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一次函数和的图像如图所示，其交点为，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，直线，的顶点C在直线b上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 某玩具厂共有300名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架20个或车轮40个，且1个车架与4个车轮可配成一套，设有x个工人生产车架，y个工人生产车轮，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一束太阳光从天花板和落地窗交界处的点射入，经过地板反射到天花板上形成光斑．中午和下午某时刻光线与地板的夹角分别为．已知天花板与地面是平行的，且它们之间的距离为，当时，光斑移动的距离为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若a2-b2＝6，a-b＝，则a+b的值为_____． 10. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是_____． 11. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______． 12. 在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），AB=，点A在y轴上，反比例函数经过点B，求反比例函数解析式______． 13. 如图，是等边三角形，M是正方形ABCD对角线BD（不含B点）上任意一点，，（点N在AB的左侧），当AM+BM+CM的最小值为时，正方形的边长为______． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14. 计算：． 15. 下面是小星同学进行分式化简的过程： 化简 解：原式 第一步 第二步 第三步 （1）小星同学的化简过程从第_______步开始出现错误，错误原因是_______． （2）请写出正确的化简过程，并从，0，1，2中选择合适的数代入求值． 16. 随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次活动共调查了_______人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为_______； （2）将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“_______”； （3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率． 17. 东港市某学校要购买甲、乙两种消毒液用于日常预防，经市场调查，将获取相关数据整理如下： 购买的数量（单位：瓶） 总费用（元） 甲消毒液 乙消毒液 17 13 64 13 17 56 （1）每瓶甲消毒液、每瓶乙消毒液的价格分别是多少元？ （2）如果该校计划购买甲、乙两种消毒液共30瓶，其中购买甲消毒液a瓶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5瓶，又不超过乙消毒液的数量的2倍，则怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 18. 如图，在中，． （1）实践与操作：点O在线段上，以O为圆心作，恰好过A，C两点，并与线段交于另一点D．小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示．请你用尺规作图：作出点O与点D，并补全． （2）推理与计算：在（1）的条件下，若． ①求证：直线是的切线； ②若，，求的半径． 19. 综合与探究 【定义】对于关于的函数，函数在范围内有最大值和最小值，则称为极差值，记作． 【示例】如图（a），根据函数的图象可知，在范围内，该函数的最大值是4，最小值为，即． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）直接写出反比例函数的的值为______； （2）已知二次函数的图象经过点． ①求该函数的表达式； ②在图（b）的平面直角坐标系中，画出此二次函数的图象； ③求该函数的的值． （3）已知函数，函数的图象经过点，且两个函数的相等，求的值． 20. 【性质探究】 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G． （1）判断△AFG的形状并说明理由． （2）求证：BF=2OG． 【迁移应用】 （3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当时，求的值． 【拓展延伸】 （4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $