甘肃兰州市某校2025-2026学年高一下学期第二次阶段考试数学试卷

2025-2026年度第二学期高一第二次阶段性考试试题 高一数学 一.选择题（每题5分，共40分) 1.已知：=3-答则() A.5 B.√6 C.2W2 D.3 2.样本数据4,16,5,27,6,30,11,21的第40百分位数为() x号 B.11 c号 D.21 3.已知向量a=(1,2),b=(3,-1),则(a+b)(2a-b)=() A.-1 B.1 C.2 D.3 4.已知直线a,b,c,下列命题中正确的是() A.若a⊥c,b⊥c,则a/b B.若a/1b/1c,则a,b,c共面 C.若a//b,c⊥a,则c⊥b D.若a,b异面，b,c异面，则a,c异面 5.已知向量a,b满足ā.b=-20,且d=(-3,4),则向量b在向量a上的投影向量为() A传9)B〔号9) C.(-12,16) D.(12,-16 6.滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一 色”而名传千古，流芳后世.如图，在滕王阁旁地面上共线的三点A,B,C处测得阁顶端点P的仰角分别 为30°，60°，45°，且AB=BC=90米，则滕王阁的高度OP=()米. 30°>A 0 B A.85 B.1815 C.145 D.295 高二数学共 7.已知am=-2,则sina-cosa的值() cos2a A.2 B.-2 C.3 D.-3 8.在△ABC中，2sim2=c-b(a,b,c分别为角A,B,C的对边)，则AABC是（) A.等边三角 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形 二、多项选择题（每题6分，共18分） 9.已知复数z=1+2i,则下列叙述正确的是() A.z的实部为1 B.z的共轭复数为1-21 C.=5 D.z2=5+4i 10.在长方体ABCD-ABCD中，AB=BC=1,AA=√3，E,F,P,Q分别为棱AB,AD,DD,BB的中 点，则下列结论正确的是() A.AC⊥BP B.BD⊥平面EFPQ C.BC,/I平面EFPQ D.直线AD和AC所成角的余弦值为巨 4 11.已知函数f(x)=cos4x-sin4x,则() A.f(x)的最小正周期为π B.x=亚是f()的对称轴 4 C.f()在区间20 上单调递增 D.2≥-1是f(x)=2有实根的充要条件 二、填空题（每题5分，共15分） 12.sin15+sin75°= 13.已知ā=(-2，-1)，b=(2,1),若a与b的夹角x为钝角，则实数元的取值范围为 14.若函数f(x)=3cosx+4sinx在x=6时取得最小值，则cosB的值为」 三、解答题（共77分) 15.某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)， [240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图. 2页第1页 频率 组距 0.0125 0.011 0.0095 0.005 0.0025 0062已 160180200220240260280300理科综合分数 (1)求直方图中x的值： (2)求理科综合分数的平均数和中位数； 16.已知向量a=1,2),b=(2,-2),c=(+3,1),向量a与向量b的夹角为0. (1)求cosB的值； (2)若c⊥(2a+b),求实数元的值. 17.如图，四棱柱ABCD-AB,CD,中，底面四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，AA=AC= AB=AD=2W2,点E在线段AD上. A D B 、E …D e1 B C (1)证明：AA⊥平面ABCD; (②当A5为何值时，AB11平面AC,并写出其证明过程. ED 18.已知函数f(x)=sin2x+V3 sinxcosx. (1)求f(x)的最小正周期： (2)若f)在区间-亚，m m上的最大值为，求m的最小值 19.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a cos B=(2c-b)cosA. (1)求角A的大小： (2)若a=4,求△ABC面积的最大值. 2, 高二数学共2页第2页2025-2026年度第二学期高一第二次阶段性考试答案 一、单选题 题号 1 6 4 5 6 8 9 10 答案 A B B C A B D B ABC ACD 题号 11 答案 AC 1.A 【详解】由题干2=3-2生，计算产：-1，得-32日-3+2 1-i 1-i 1-i 3+210+0-3+2-1+D=2+i. 所以z=3+34-i0D 2 所以z非√22+12=√5. 2.B 【分析】先从小到大把一组数据排序，再根据第p百分位数的位置计算方法运算即可. 【详解】原数据按从小到大顺序排序为4,5,6,11,16,21,27,30： 由第p百分位数的位置计算公式为i=n×p%. 样本容量n=8,得i=8×40%=3.2. 根据百分位数定义，当位置i不是整数时，向上取整得到的数即为对应百分位数的位置. 因为i=3.2不是整数，向上取整得4，即取排序后第4项，排序后第4项数据为11. 因此该组数据的第40百分位数为11. 3.B 【详解】由题得1d=5,=10,a.6=1x3+2×(-1)=1, 所以(a+b)(2a-b)=2+a-6-时=2x5+1-10=1,故B正确. 4.C 【分析】A.由直线与直线的位置关系判断：B.举例判断：C.由一条直线垂直于平行线 中的一条则垂直另一条判断；D.举例判断 【详解】A.若a⊥c,b⊥c,则a1b,a与b相交或异面，故错误； B.若a/1b1/1c,a,b,c不一定在同一平面内， D 如在正方体中， ,AAI1BB/1CC,但AA,BB,CC不共面，故 D 错误： C.由一条直线垂直于平行线中的一条则垂直另一条，故正确： D.若a,b异面，b,c异面，则a,c不一定异面， C A B 如在正方体中， AA与CD异面，CD与BB,异面，但A4I1BB, B 故错误； 故选：C 5.A 【详解】因为=(-3,4)，所以同=√-3)2+4=5，又ā.6=-20， 所以向量方在向量ā上的投影向量为 -器(3得 6.B 【分析】设OB=h,利用直角三角形边角关系、余弦定理建立方程，再解方程组求解作 答 【详解】设OB=h,在Rt△POB中，∠PBO=60°，OP=OB tan60°=√3h, 在R△P0A中，PA0=0,0A=O--动 tan30°√3 3 在Rt△P0C中，∠PC0=45°，0C=OP =√3h, tan45° 在△OBC中，OC2=OB2+BC2-2OB·BC.cOs∠OBC, 即3h2=h2+902-180hcos∠0BC, 在△OAB中，OA2=OB2+AB2-2OB·AB.COS∠OBA, 即9h2=h2+902-180hcos∠OBA, 由∠OBC+∠OBA=π，得coS∠OBC+COs∠OBA=0, 于是12h2=2h2+2×902,解得h=185, 所以滕王阁的高度oP=√5h=185. 7.D 【分析】根据同角的三角函数关系，结合二倍角公式化简求解即可. 【详解】由ana=-2,得sin-2,即sina=-2cosa, coS& 所以 (sina-cosa)2 sina-2sim(2cs)-2(-2cosa)cosc3 cos2a cos2 a-sin2 a cos2a-(-2cosa) -3c0s2 8.B 【分析】根据给定条件，利用二倍角公式及三角形射影定理判断得解. 【详解】由2cin2A=c-b,得c1-cosA=c-b,整理得b=ccosA, 2 在△ABC中，由射影定义得ccos A+acosC=b=ccosA,则acosC=0, 而a>0,因此cosC=0,又0<C<元，则C=, 所以△ABC是直角三角形. 故选：B 9.ABC 【详解】对于A,z的实部为1，正确： 对于B,z的共轭复数为1-2i,正确： 对于C,=P+22=5,正确： 对于D,z2=(1+2i)2=1+4i-4=-3+4i,错误. 10.ACD 【分析】A.根据线面垂直作出判断；B假设结论成立，然后通过条件验证假设；C.通过 面面平行来证明线面平行；D将直线平移至同一平面内，然后根据长度计算异面直线所 成角的余弦值， 【详解】A.如图所示， B C D O+ D 因为AB=BC=1,所以四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD, 又因为几何体为长方体，所以DD⊥平面ABCD,所以AC⊥DD, 又因为BD∩DD,=D,所以AC⊥平面BDD, 又因为BPC平面BDD,所以AC⊥BP,故结论正确； B.如图所示， B E D B D A D 假设B,D⊥平面EFPQ,因为PQc平面EFPQ,所以B,D⊥PQ, 显然BDIPO不成立，故假设错误，所以结论错误： C.如图所示， B E B D 连接BD,CD,由条件可知EF 1IBD,FPIIAD,BC IIAD,所以FP1IBC, 又因为BC∩BD=B,EF∩FP=F,所以平面BC,D1I平面EFPQ, 又因为BCC平面BC,D,所以BCI1平面EFPQ,故结论正确： D.如图所示， ⊙ E B A D 连接CB,AB,因为DA/1CB,所以AD和AC所成角即为∠B,CA或其补角， 由条件可知：BC2.AB2AC=2,所以.c0s_BCA-22,放结论正确 故选：ACD 【点睛】本题考查空间中的平行垂直关系的证明以及异面直线所成角的余弦值的计算， 属于立体几何的综合小题，难度一般.其解异面直线所成角的三角函数值时，可先通过 将直线平移至同一平面内，此时两条直线所形成的夹角即为异面直线所成角或其补角. 11.AC 【分析】先化简f()=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=cos2x,然后根据三角函数的性质逐项 分析判断选项， 【详解】对于f(x)=cosx-sinx进行化简，根据平方差公式可得 f(x)=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=cos?x-sin2x=cos2x. 对于A,根据余弦函数的周期公式T=2匹==，可得最小正周期T=匹，故A正确。 02 对于B,④到2到 c0s=0,而余弦函数对称轴处函数值应为±1，所以x=亚不 是∫(x)的对称轴，故B错误， 对于C,当xe0时，2xe[-元0，此时yc-2)在[-元0上单调递增，所以f网 在区间受0上单调递增，放C正确， 对于D,f(x)=cos2x的值域是[-1，]，所以-1≤≤1是f(x)=有实根的充要条件，故D 错误。 故选：AC 12. 6 【分析】依题意，将15角用45-30°来表示，将75°角用45°+30来表示，之后应用和差 角的正弦公式拆开，将其化成特殊角的三角函数值，最后求得结果 【详解】sin15+sin75=sim(45-30)+sin(45+30）=2xin45c0s30=6 2 【点睛】该题考查的是有关三角函数求值问题，题目中给的角不是特殊角，所以解题 的思想是向特殊角转化，再者就是可以应用诱导公式化为同角的正余弦的和，之后应 用辅助角公式求得结果 13. 【分析】由题意得出a.b<0且ā与b不共线，利用向量的坐标运算可求出实数2的取值 范围. 【详解】由于a与b的夹角a为钝角，则a.b<0且a与b不共线， d=(2-,6=(,0,解得1且*2， 「-21-1<0 因此，实数2的取值范围是（22小2m,故答案为：(2小(2+). 【点睛】本题考查利用向量的夹角求参数，解题时要找到其转化条件，设两个非零向 a.b>0 a.b<0 量ā与b的夹角为0,0为锐角一 a与6不共线' 0为钝角台 a与b不共线 4. 【解析】利用辅助角公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的最值求出辅助角，再 利用两角和的正、余弦公式求出cos6的值. 【详解】对于函数f(x)=3cosx+4sinx=5sin(x+p), 其中，c心9=手，sm- 4 5 当x=时，函数取得最小值， ∴.5sin(8+p)=-5,即sin(0+po)=-1,∴.cos(8+p)=0. 4 3 53sin0+亏cs6=- 则 5cos、3 4 in0=0 ，解得cos0=3 故答案为：- 3 【点睛】本题主要考查辅助角公式，两角和的正、余弦公式，属于中档题. 15.(1)0.0075;(2)225.6,224 【分析】(1)根据各矩形的面积和为1可求x的值. (2)利用频率分布直方图的平均数和中位数估计公式，可得解. 【详解】(1)由频率分布直方图可得 20×(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)=1, 解得：x=0.0075 (2)理科综合分数的平均数为： 20×(170×0.002+190×0.0095+210×0.011 +230×0.0125+250×0.0075+270×0.005+290×0.0025=225.6. 由于(0.002+0.0095+0.011)×20<0.5，(0.002+0.0095+0.011+0.0125)×20>0.5 因此理科综合分数的中位数在[220,240)内， 设中位数为a,由(0.002+0.0095+0.011)×20+0.0125×(a-220)=0.5,可得a=224, ∴.月平均用电量的中位数为224 16.(1)-h0 10 a=子 【分析】(1)由公式cos0=,a.b lal1B1' 代入数值求解： (2)由c⊥(2a+b)得c.(2a+b)=0,从而解得2的值. 【详解】(1)|a卡V2+22=V5,b上√22+(-2)2=22，a.b=1×2+2×(-2)=-2,. ∴.cos0= ab -20 |ab1√5.25-10· (2)2a+b=(4,2),且c⊥(2a+b), ∴.c.(2ā+b)=0,即4(2+3)+2=0， 解得1=-？ 17.(1)证明见解析 a:9 【分析】(1)由勾股定理证明AA⊥AB,AA1AD,并根据线面垂直的判定定理证明AA⊥ 平面ABCD; (2)连接BD交AC于点O,则O是BD的中点.由线面平行的性质定理可得EO平行于AB, 因此点E为A,D的中点.根据线面垂直的判定定理可证.由AA⊥平面ABCD求得三棱锥 A-ACD的体积，从而求得三棱锥E-ACD的体积. 【详解】(1)，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°， ∴.AB=AD=AC=2. A4=2,AB=2N2,AB=2,.AA2+AB2=AB2, AA⊥AB. 同理，A4⊥AD. 又·ABC平面ABCD,ADC平面ABCD,ABOAD=A, ∴.AA⊥平面ABCD. (2)连接BD交AC于点O,则O是BD的中点. 连接OE,则平面ABD⌒平面EAC=OE. 因为AB11平面EAC,ABC平面ABD,所以OEIIAB. 所以点E为AD的中点，所以A三-1. ED 即当AE ED 1时，AB/1平面EAC. 证明：当5=1时，点E为AD的中点 ED 连接BD交AC于点O,则O是BD的中点. 连接OE,则OE11AB. 又OEC平面EAC,AB￠平面EAC, 所以AB/1平面EAC. A D B C B 18.答案：(1)T=π (2) 解析：(1)f()=sin2x+√5 sinxcosx= 上2：5m2m2-的级小正 2 周期T= 2π 2 二 (2)若f()在区间 」的级大值为 可得2.x- 5 兀 ,2m- 6 6 6 即有2m-亚≥匹，解得m≥匹，则m的最小值为 62 3 19.(号 (2)4V5 【分析】(1)由正弦定理的边化角以及三角形三角的关系可得cosA= ,从而得到角A 的大小： (2)由余弦定理和基本不等式即可求出bc的范围，再根据三角形的面积公式求出△ABC 面积的范围. 【详解】(1)由题意得acos B=(2c-b)cosA=2 ccos A-bcosA,由正弦定理得 sin Acos B=2sin Ccos A-sin Bcos A=sin Acos B+cos Asin B=2sin Ccos A, 又因为sinC=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,则有sinC=2 sin CcosA, 由于C=(0,可→sinC>0,则有2eosA=1口c0sA=号而A∈Q,所以在6ABC中，A-背 (2)由(1)得，A=行，根据余弦定理有a=B+c2-2bcc0sA, 代入a=4,A=背得=6+c2-2bcx≥2c-c=bc,即c≤16，当且仅当b=c=4时取等号， 所以Srcs血As16x5-45,因此aMaC面积的最大值为.