微专题4 几类特殊函数课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦函数专题中的对勾函数、飘带函数、高斯函数等几类特殊函数，依据高考评价体系明确性质辨析、图像应用、值域求解三大考查要求。通过梳理近五年高考真题，总结出对勾函数单调性（占比30%）、高斯函数取整应用（占比25%）等高频考点，归纳出多选性质判断、复合函数转化等常考题型。 课件亮点在于“性质梳理+真题解析+技巧提炼”的备考模式，如以对勾函数例1分析单调性与值域的“分类讨论法”，高斯函数例2中“小数部分分离法”，培养学生的数学思维与数学语言表达能力。通过狄利克雷函数方程求解等典型题突破，帮助学生掌握特殊函数解题技巧，提升得分率，为教师提供系统的考点突破资源，助力高效复习。

第2章 函数 微专题4：几类特殊函数 2027届高考一轮复习 数学 1 1.对勾函数y=ax+(a>0，b>0) (1)性质 ①奇偶性:奇函数. ②单调性:单调递增区间:;单调递减区间:. ③渐近线:y=ax和x=0. 名师导学第一轮总复习 高三数学 2 (2)图象 名师导学第一轮总复习 高三数学 3 2.飘带函数y=ax-(a>0，b>0) (1)性质 ①奇偶性:奇函数. ②单调性:在(-∞，0)，(0，+∞)上单调递增. ③渐近线:y=ax和x=0. (2)图象 名师导学第一轮总复习 高三数学 4 3.高斯函数y=[x] (1)定义:不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例如，[3.4]=3，[-2.1]=-3，这一规定最早为数学家高斯所使用，故函数y=[x]称为高斯函数，又称取整函数. (2)性质 ①定义域:R;值域:Z. ②不具有单调性、奇偶性、周期性. (3)图象 名师导学第一轮总复习 高三数学 5 4.狄利克雷函数D(x)=的性质 (1)定义域R;值域{0，1}. (2)奇偶性:偶函数. (3)周期性:以任意正有理数为周期，无最小正周期. (4)无法画出函数的图象，但其图象客观存在. 5.最值函数的概念 设min{a，b}=max{a，b}= 直观上来说min{a，b}的作用就是求a，b的最小值，我们将其称为最小值函数，同样的，max{a，b}用来表示a，b的最大值，称作最大值函数. 名师导学第一轮总复习 高三数学 6 6.一次分式函数 (1)定义:我们把形如y=(a≠0，ad≠bc)的函数称为一次分式函数. (2)图象 名师导学第一轮总复习 高三数学 7 (3)性质 ①定义域:;值域; ②对称中心:; ③渐近线方程:x= -和y= ; ④单调性:当ad>bc时，函数在区间和分别单调递减; 当ad<bc时，函数在区间和分别单调递增. 名师导学第一轮总复习 高三数学 8 例1　(1)(多选)已知函数f(x)=x-(a≠0)，下列说法正确的是(　 　) A.当a>0时，f(x)在定义域上单调递增 B.当a=-4时，f(x)的单调递增区间为(-∞，-2)，(2，+∞) C.当a=-4时，f(x)的值域为(-∞，-4]∪[4，+∞) D.当a>0时，f(x)的值域为R [解析] 当a>0时，f(x)=x-，定义域为(-∞，0)∪(0，+∞). 则f(x)在(-∞，0)，(0，+∞)上分别单调递增， 当x→+∞时，f(x)→+∞，当x→0时，f(x)→-∞，故f(x)的值域为R，故A错误，D正确; BCD 名师导学第一轮总复习 高三数学 9 当a= -4时，f(x)=x+为对勾函数，其单调递增区间为(-∞，-2)，(2，+∞)，故B正确; 当x>0时，x+≥2 =4(当且仅当x=2时取等号)， 当x<0时，x+ = -≤-2= -4(当且仅当x= -2时取等号)，故f(x)的值域为(-∞，-4]∪[4，+∞)，故C正确. 名师导学第一轮总复习 高三数学 10 (2)(多选)对于任意的x∈R，[x]表示不超过x的最大整数.十八世纪，y=[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列结论正确的是(　 　) A.对于任意的x∈R，x<[x]+1 B.y=[x]，x∈R的图象关于原点对称 C.函数y=x-[x](x∈R)，y的取值范围为[0，1) D.对于任意的x，y∈R，[x]+[y]≤[x+y]恒成立 ACD [解析] 对于A，由定义知[x]≤x<[x]+1， 所以∀x∈R，x<[x]+1，故A正确; 对于B，当0≤x<1时，y=[x]=0，当-1<x<0时，y=[x]=-1， 所以y=[x]，x∈R不是奇函数，故B错误; 名师导学第一轮总复习 高三数学 11 对于C，因为x-1<[x]≤x，所以0≤x-[x]<1， 所以y=x-[x](x∈R)的值域为[0，1)，故C正确; 对于D，对于任意的x，y∈R， 设x=[x]+{x}，y=[y]+{y}， 若0≤{x}+{y}<1，则[x+y]=[x]+[y]; 若1≤{x}+{y}<2，则[x+y]=[x]+[y]+1，则[x]+[y]≤[x+y]，故D正确. 名师导学第一轮总复习 高三数学 12 (3)(多选)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名字命名，该函数解析式为D(x)=x∈R，其中Q为有理数集，则下列关于函数D(x)的说法正确的是(　　) A.当x为有理数时，不等式D(x)≥x2的解集为{x|-1≤x≤1，x∈Q} B.∀x1，x2∈R，D(x1x2)=D(x1)D(x2) C.∀t∈Q，D(t+x)=D(t-x) D.关于x的方程x2-2D(x)·x-3=0有四个不同的实数根 ACD [解析] 对于A:当x为有理数时，D(x)=1， 由D(x)≥x2得x2≤1，得-1≤x≤1且x∈Q;故A正确. 名师导学第一轮总复习 高三数学 13 对于B:取x1=，x2=2，显然D(x1x2)≠D(x1)D(x2)，故B错误. 对于C:当x为有理数时， 因为t∈Q，所以t+x，t-x均为有理数，所以D(t+x)=D(t-x)=1; 当x为无理数时， 因为t∈Q，所以t+x，t-x均为无理数，所以D(t+x)=D(t-x)=0，故C正确. 对于D:当x为有理数时，D(x)=1， 由x2-2D(x)·x-3=0得x2-2x-3=0，解得x=3或x=-1，符合题意; 当x为无理数时，D(x)=0，由x2-2D(x)·x-3=0得x2-3=0， 解得x=或x=-，符合题意. 所以关于x的方程x2-2D(x)·x-3=0有四个不同的实数根，故D正确. 故选ACD. 名师导学第一轮总复习 高三数学 14 1.已知狄利克雷函数D(x)=则下列结论正确的是(　　) A.D(x)是偶函数 B.D(x)是单调函数 C.D(x)的值域为[0，1] D.D(π)>D(3.14) A [解析] 对于A，当x∈Q时，显然-x∈Q，此时恒有D(x)=D(-x)=1， 当x∉Q时，此时x是无理数，显然-x也是无理数， 此时恒有D(x)=D(-x)=0，所以D(x)是偶函数，因此A正确; 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 15 对于B，因为D(0)=D(1)=1，所以函数D(x)不是实数集上的单调函数， 因此B不正确; 对于C，由函数的解析式，可知D(x)的值域为{0，1}，因此C不正确; 对于D，∵D(π)=0，D(3.14)=1， ∴D(π)<D(3.14)，因此D不正确. 名师导学第一轮总复习 高三数学 16 2.已知函数f(x)=3x+32-x，则(　　) A.f(x)在(0，2)单调递增 B.f(x)在(0，2)单调递减 C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称 D.y=f(x)的图象关于y轴对称 C [解析] 令t=3x>0，y=t+，根据对勾函数的图象特征， y=t+在(0，3)单调递减，在(3，+∞)单调递增，t=3x在R上单调递增， 根据复合函数的单调性可得， 当t∈(0，3)，即x∈(-∞，1)时，函数f(x)=3x+32-x单调递减， 当t∈(3，+∞)，即x∈(1，+∞)时，函数f(x)=3x+32-x单调递增，所以选项A，B错误; 由f(2-x)=32-x+32-(2-x)=32-x+3x=f(x)，y=f(x)的图象关于直线x=1对称，选项C正确; 由f(1)=6，f(-1)=，y=f(x)的图象不关于y轴对称，选项D错误.故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 17 3.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如:[-0.5]= -1，[1.5]=1，已知函数f(x)=-3×2x+4(0<x<2)，则函数y=[f(x)]的值域为(　　) A. B.{-1，0，1} C.{-1，0，1，2} D.{0，1，2} B [解析] f(x)=-3×2x+4(0<x<2)， 令t=2x，t∈(1，4)， 可得g(t)= t2-3t+4= (t-3)2-，g(t)在(1，3]上递减，在[3，4)上递增， 当t=3时，g(t)有最小值g(3)= -，又因为g(1)= ，g(4)=0， 名师导学第一轮总复习 高三数学 18 所以当t∈(1，4)时，g(t)∈，即函数f(x)的值域为， 当f(x)∈时，[f(x)]=-1; f(x)∈[0，1)时，[f(x)]=0; f(x)∈时，[f(x)]=1. 所以y=[f(x)]的值域是{-1，0，1}. 名师导学第一轮总复习 高三数学 19 $