第2章 第5节 第2课时 幂函数与几种特殊函数的应用(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（湘教版）

该高中数学讲义聚焦幂函数图象与性质、一次分式函数及对勾函数、高斯函数等特殊函数应用，按高考命题规律构建知识体系，通过自主练透、师生共研、真题训练等环节，帮助学生系统梳理考点，掌握解题方法，突破函数性质综合应用难点。 资料采用分层探究与真题衔接策略，如对勾函数性质证明培养数学思维，高斯函数新定义问题训练数学语言表达，设置基础巩固与能力提升练习。通过教材原题与高考真题对比，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第2课时　幂函数与几种特殊函数的应用 考点一　幂函数的图象与性质自主练透 1.若四个幂函数y=xa，y=xb，y=xc，y=xd在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是 (　　) A．d>c>b>a B．a>b>c>d C．d>c>a>b D．a>b>d>c 答案：B 解析：由幂函数的图象可知，在(0，1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a>b>c>d.故选B． 2.“n=1”是“幂函数f(x)=(n2-3n+3)x2n-3在(0，+∞)上单调递减”的 (　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：因为f(x)=(n2-3n+3)x2n-3是幂函数，所以n2-3n+3=1，即n2-3n+2=0，解得n=1或n=2，当n=1时，f(x)=x-1=在(0，+∞)上单调递减；当n=2时，f(x)=x在(0，+∞)上单调递增.所以“n=1”是“幂函数f(x)=(n2-3n+3)x2n-3在(0，+∞)上单调递减”的充要条件.故选C． 3.如图所示是函数y=(m，n均为正整数且m，n互质)的图象，则 (　　 ) A．m，n是奇数，且<1 B．m是偶数，n是奇数，且<1 C．m是偶数，n是奇数，且>1 D．m，n是奇数，且>1 答案：B 解析：由幂函数性质可知，y=与y=x的图象恒过定点(1，1)，即在第一象限内的交点坐标为(1，1)，当0<x<1时，>x，则<1；又y=的图象关于y轴对称，所以y=为偶函数，所以(-x===，又m，n互质，所以m为偶数，n为奇数.故选B． 4.1.5-3.1，23.1，2-3.1的大小关系是 (　　) A．23.1<2-3.1<1.5-3.1 B．1.5-3.1<23.1<2-3.1 C．1.5-3.1<2-3.1<23.1 D．2-3.1<1.5-3.1<23.1 答案：D 解析：1.5-3.1=，2-3.1=.易知幂函数y=x3.1在(0，+∞)上单调递增，且<<2，所以<<23.1，即2-3.1<1.5-3.1<23.1.故选D． 5. (双空题)已知幂函数f(x)=的图象经过点(2，)，则m=　　　　；满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围为　　　　.  答案：1　 解析：因为f(x)的图象过点，所以=，所以m2+m=2，又m∈N+，所以m=1.即f(x)=，其定义域为{x|x≥0}，且在定义域内单调递增，所以由f(2-a)>f(a-1)得0≤a-1<2-a，解得1≤a<. 幂函数的图象与性质特征的关系 1.幂函数的形式是y=xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式. 2.判断幂函数y=xα(α∈R)的奇偶性及求定义域时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断. 3.若幂函数y=xα在(0，+∞)上单调递增，则α>0，若在(0，+∞)上单调递减，则α<0. 考点二　一次分式函数师生共研 已知函数f(x)=，其中a∈R. (1)当函数f(x)的图象关于点P(-1，3)成中心对称时，求a的值； (2)若函数f(x)在(-1，+∞)上单调递减，求实数a的取值范围. 解：(1)f(x)===a+， 所以f(x)的对称中心为点(-1，a)， 由题意得a=3. (2)由f(x)=知直线x=-1为f(x)的一条渐近线， 由一次分式函数的性质知， 当且仅当2-2a>0， 即a<1时，f(x)在(-1，+∞)上单调递减， 故实数a的取值范围是(-∞，1). 一次分式函数的应用技巧 1.一次分式函数的图象是中心对称的双曲线，所以要善于利用其对称性、渐近线等性质解决问题. 2.熟练掌握一次分式函数分离参数的方法与技巧. 学生用书⬇第34页 对点练1.已知函数f(x)=的定义域是{x|x∈R，x≠-3}. (1)求函数f(x)的值域； (2)若f(x)在(-∞，b)上单调递增，求实数b的取值范围. 解：依题意知，函数f(x)的定义域为{x|x∈R，x≠-3}，所以a=3. (1)因为f(x)===2+，由于≠0，所以2+≠2，因此函数的值域为{y|y∈R，y≠2}. (2)因为f(x)=2+，所以函数f(x)的单调递增区间是(-∞，-3)和(-3，+∞). 又因为f(x)在区间(-∞，b)上单调递增，所以b≤-3，即b的取值范围为(-∞，-3]. 考点三　几类常见的特殊函数多维探究 角度1　对勾函数、飘带函数 因为函数y=x+(t>0)的图象形状像对勾，我们称形如“y=x+(t>0)”的函数为“对勾函数”. (1)证明对勾函数具有性质：在(0， )上单调递减，在(，+∞)上单调递增； (2)已知f(x)=2x+-5，x∈[1，3]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域； (3)对于(2)中的函数f(x)和函数g(x)=x2-mx+4，若对任意x1∈[1，3]，总存在x2∈[1，3]，使得g(x2)<f(x1)成立，求实数m的取值范围. 解：(1)证明：设x1，x2是任意两个实数，且f(x)=x+，任取0<x1<x2，则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=， 若x1，x2∈(0， ]，则x1-x2<0，0<x1x2<t， 即x1x2-t<0， 所以>0， 所以f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 所以y=x+(t>0)在(0， ]上单调递减； 若x1，x2∈(，+∞)，则x1-x2<0，x1x2>t， 即x1x2-t>0， 所以<0， 所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以y=x+(t>0)在(，+∞)上单调递增. 所以对勾函数具有性质：在(0，)上单调递减，在(，+∞)上单调递增. (2)f(x)=2x-1+-4， 令2x-1=m，因为1≤x≤3，所以1≤m≤5， 则f(x)=h(m)=m+-4，m∈[1，5]， 由对勾函数的性质，可得h(m)在[1，2]上单调递减，在(2，5]上单调递增， 所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，f(1)=1，f=0，f(3)=. 综上可得，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为，值域为. (3)由(2)知f(x1)∈时，若存在x2∈[1，3]，使得g(x2)<f(x1)成立， 只需g(x)=x2-mx+4<0在x∈[1，3]上有解即可，即m>， 令u(x)=x+，x∈[1，3]，由(2)知u(x)在[1，2]上单调递减，在(2，3]上单调递增，所以u(x)的最小值为u(2)=4， 所以m>4，即实数m的取值范围为(4，+∞). 角度2　高斯函数、狄利克雷函数 (1)(多选)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如[-2.1]=-3，[2.1]=2，则下列说法正确的是 (　　 ) A．函数y=x-[x]在区间[k，k+1)(k∈Z)上单调递增 B．若函数f(x)=，则y=[f(x)]的值域为{0} C．若函数f(x)=|-|，则y=[f(x)]的值域为{0，1} D．x∈R，x≥[x]+1 (2)(多选)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数f(x)=称为狄利克雷函数，则关于函数f(x)的叙述，正确的是 (　　 ) A．函数y=f(x)的图象是两条直线 B．f(f(x))=1 C．f()>f(1) D．∀x∈R，都有f(1-x)=f(2+x) 答案：(1)AC　(2)BD 解析：(1)对于A，x∈[k，k+1)，k∈Z，有[x]=k，则函数y=x-[x]=x-k在[k，k+1)上单调递增，故A正确；对于B，f==-∈(-1，0)，则=-1，故B不正确；对于C，f(x)===，当0≤|cos 2x|≤时，1≤2-2|cos 2x|≤2，1≤f(x)≤，有[f(x)]=1，当<|cos 2x|≤1时，0≤2-2|cos 2x|<1，0≤f(x)<1，有[f(x)]=0，所以y=[f(x)]的值域为{0，1}，故C正确；对于D，当x=2时，[x]+1=3，有2<[2]+1，故D不正确.故选AC． (2)对于A，函数y=f(x)的图象是断续的点集，不是两条直线，故A错误；对于B，当x为有理数时，f(x)=1，所以f(f(x))=f(1)=1，当x为无理数时，f(x)=0，f(f(x))=f(0)=1，故B正确；对于C，f()=0，f(1)=1，所以f(1)>f()，故C错误；对于D，由题意，函数定义域为R，且f(-x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，取不为零的有理数T，若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数；所以根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f(x+T)=f(x)对∀x∈R恒成立，故f(x+2)=f(x)=f(-x)=f(1-x)，所以∀x∈R，都有f(1-x)=f(2+x)，故D正确.故选BD． 1.解决对勾函数、飘带函数问题主要运用其图象及奇偶性、对称性、单调性等性质. 2.高斯函数、狄利克雷函数问题都属于新定义问题，其解题思想围绕着知识迁移，就是利用新、旧知识之间的联系，由旧知识的思考方式领会新知识的思考过程，而产生迁移的关键是正确概括两种知识之间包含的共同因素，并与函数的性质相结合. 学生用书⬇第35页 对点练2.函数f(x)=|x|-(x∈R)的图象不可能是 (　　 ) 答案：C 解析：当m=0时，f(x)=|x|(x≠0)，选项A有可能；当m=1时，f(x)=易得f(x) 在(0，+∞)上单调递增，根据对勾函数图象易得f(x)在(-∞，-1)上单调递减，在(-1，0)上单调递增，选项D有可能；当m=-1时，f(x)=易得f(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，选项B有可能，所以选项C不可能.故选C． 对点练3.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如：[-0.5]=-1，[1.5]=1，已知函数f(x)=-3×2x+4(0<x<2)，则函数y=[f(x)]的值域为 (　　 ) A． B．{-1，0，1} C．{-1，0，1，2} D．{0，1，2} 答案：B 解析：f(x)=-3×2x+4(0<x<2)，令t=2x，t∈(1，4)，可得g(t)=t2-3t+4=(t-3)2-(1<t<4)，g(t)在(1，3]上递减，在[3，4)上递增，当t=3时，g(t)有最小值g(3)=-，又因为g(1)=，g(4)=0，所以当t∈(1，4)时，g(t)∈，即函数f(x)的值域为，当f(x)∈时，[f(x)]=-1；f(x)∈[0，1)时，[f(x)]=0；f(x)∈时，[f(x)]=1.所以y=[f(x)]的值域是{-1，0，1}.故选B． 　[真题再现]　(2021·全国乙卷)设函数f(x)=，则下列函数中为奇函数的是 (　　) A．f-1 B．f+1 C．f-1 D．f+1 答案：B 解析：由题意可得f(x)==-1+.对于A，f-1=-2不是奇函数；对于B，f(x-1)+1=是奇函数；对于C，f-1=-2，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，f+1=，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选B． [教材呈现]　(湘教版必修一P90T9)已知函数f(x)=(a，b，c∈Z)是奇函数，且f(1)=2，f(2)<3，求a，b，c的值. 点评：本题与教材习题函数关系式非常相似，都可以求出对应函数的关系式，考查考点、解法完全相同，是高考试题源于教材的典例. 学科网（北京）股份有限公司 $