10.5　离散型随机变量及其分布列、数字特征课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“离散型随机变量及其分布列、数字特征”核心考点，依据高考评价体系明确分布列性质、均值方差计算、决策应用三大考查要求，通过真题分析归纳出分布列参数求解、均值方差性质应用、实际决策问题等常考题型，体现备考针对性。 课件特色在于“真题训练+技巧提炼+素养融合”，如结合2025年全国Ⅰ卷“有放回取球”真题，详解“取值列举-概率计算-期望公式应用”解题步骤，培养数学思维与数据观念。设“易错警示”强调分布列概率和为1、方差公式应用等要点，助力学生掌握得分技巧，教师可利用其系统框架实施精准复习，提升备考效率。

第五节　离散型随机变量及其分布列、数字特征 1 知识清单 1.离散型随机变量及其分布列 (1)离散型随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．可能取值为有限个或可以________的随机变量称为离散型随机变量． 一一列举 返回导航 2 (2)离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为离散型随机变量X的概率分布列，简称分布列．离散型随机变量的分布列常用表格表示： (3)离散型随机变量的分布列的性质 (1)pi_____0，i＝1，2，…，n. (2)p1＋p2＋…＋pn＝_____． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn ≥ 1 返回导航 3 2．离散型随机变量的均值(数学期望)与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 (1)均值 称E(X)＝________________＝________为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn x1p1＋x2p2＋…＋xnpn 返回导航 4 (2)方差 称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝________________为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)． (3)均值与方差的性质 ①E(aX＋b)＝__________．(a，b为常数) ②D(aX＋b)＝_________．(a，b为常数) aE(X)＋b a2D(X) 返回导航 5 【常用结论】 1．E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数． 2．E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)． 3．D(X)＝E(X2)－[E(X)]2. 4．若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)． 返回导航 6 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)测量全校所有同学的身高，在170 cm～175 cm之间的人数是离散型随机变量．(　　) (2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(　　) (3)离散型随机变量分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于 1.(　　) (4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．(　　) √ √ × √ 返回导航 7 2．(人教A版选修三P61T2改编)某位同学求得一个离散型随机变量的分布列为 则a＝________． X 0 1 2 3 P 0.2 0.3 a 0.45 0.05 解析：由分布列的性质可知0.2＋0.3＋a＋0.45＝1，解得a＝0.05． 返回导航 8 3．(衔接·人教A版选修三P66T1)已知随机变量X的分布列为 则E(X)＝________． X 1 2 3 4 5 P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1 2.8 解析：E(X)＝1×0.1＋2×0.3＋3×0.4＋4×0.1＋5×0.1＝2.8. 返回导航 9 4．(衔接·人教A版选修三P70T1)已知随机变量X的分布列为 则D(X)＝________，σ(2X＋7)＝________． X 1 2 3 4 P 0.2 0.3 0.4 0.1 0.84 解析：易知E(X)＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.4＋4×0.1＝2.4，所以E(X2)＝12×0.2＋22×0.3＋32×0.4＋42×0.1＝6.6，则D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝6.6－2.42＝0.84，所以D(2X＋7)＝22D(X)＝4D(X)＝3.36，故σ(2X＋7)＝＝. 返回导航 10 命题点一　分布列的性质 例1 (1)已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝0，1，2)，则m＝(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：由随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝0，1，2)，可得P(X＝0)＝m，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，根据分布列的性质，可得m＋＝1，解得m＝.故选D. 返回导航 11 (2)某位射箭运动员命中目标箭靶的环数X的分布列为 则P(X≥9)＝(　　) A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 X 6 7 8 9 10 P 0.06 0.14 m 2m 0.2 答案：C 解析：由分布列可得0.06＋0.14＋m＋2m＋0.20＝1，解得m＝0.2，则P(X≥9)＝0.4＋0.2＝0.6.故选C. 返回导航 12 学霸笔记：(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值． (2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率． (3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确． 返回导航 13 跟踪训练　(1)(衔接·人教A版选修三P91T4)已知离散型随机变量X的分布列为 则常数q＝(　　) A．0.2 B．0.4 C．0.8 D．1.8 X 0 1 2 P 0.36 1－2q q2 答案：A 解析：∵P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝1，∴0.36＋1－2q＋q2＝1，解得q＝0.2或q＝1.8.当q＝1.8时，1－2q＝－2.6<0，不符合题意，舍去，∴q＝0.2. 返回导航 14 (2)(衔接·人教A版选修三P61T4)某位射箭运动员命中目标的环数X的分布列为 如果命中9环或10环为优秀，则他一次射击成绩为优秀的概率为 ________． X 6 7 8 9 10 P 0.05 0.15 0.25 0.35 0.20 0.55 解析：由题知，成绩为优秀的概率是P＝P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.35＋0.20＝0.55.∴他射击一次成绩为优秀的概率是0.55. 返回导航 15 命题点二　离散型随机变量的数字特征 考向1　均值与方差的性质 例2 (多选)设离散型随机变量X的分布列为 若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有(　　) A．E(Y)＝5 B．E(X)＝3 C．D(Y)＝4.8 D．D(X)＝2.4 X 1 2 3 4 5 P 0.1 q 0.4 0.2 0.1 答案：BC 返回导航 16 解析：由题意有0.1＋q＋0.4＋0.2＋0.1＝1，得q＝0.2，所以E(X)＝1×0.1＋2×0.2＋3×0.4＋4×0.2＋5×0.1＝3，D(X)＝(1－3)2×0.1＋(2－3)2×0.2＋(3－3)2×0.4＋(4－3)2×0.2＋(5－3)2×0.1＝1.2，E(Y)＝E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×3＋1＝7，D(Y)＝D(2X＋1)＝22D(X)＝4×1.2＝4.8.故选BC. 返回导航 17 学霸笔记：若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数，一般思路是先求出E(X)，D(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)求E(Y)，D(Y)；也可以利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(Y)或D(Y)． 返回导航 18 跟踪训练　已知随机变量X的分布列如下表，且Y＝aX＋3. 若E(Y)＝－2，则a＝(　　) A．－3 B．－2 C． D．1 答案：A 解析：由E(X)＝1×＋2×＋3×＝，因为Y＝aX＋3，则E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝a＋3＝－2，解得a＝－3.故选A. 返回导航 19 考向2　求离散型随机变量的期望与方差 例3 (链接·2025年全国Ⅰ卷)一个箱子里有5个相同的球，分别以1～5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数为X，则数学期望E(X)＝________． 返回导航 20 解析：依题意，X的可能取值为1、2、3，总的选取可能数为53＝125，其中X＝1：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式，故P(X＝1)＝＝，X＝2：恰好两种不同球被取出(即一球出现两次，另一球出现一次)，选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式，其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件X＝2的可能情况有5×4×3＝60种，故P(X＝2)＝＝，X＝3：三种不同球被取出，由排列数可知事件X＝3的可能情况有5×4×3＝60种，故P(X＝3)＝＝，所以E(X)＝1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝1×＋2×＋3×＝. 返回导航 21 真题探源　(源自人教A版选修三P71T1)某品牌手机投放市场，每部手机可能发生按定价售出、打折后售出、没有售出而收回三种情况．按定价售出每部利润100元，打折后售出每部利润0元，没有售出而收回每部利润－300元．据市场分析，发生这三种情况的概率分别为0.6，0.3，0.1，则每部手机获利的方差为________． 14 100 返回导航 22 解析：设每部手机售价利润为X，则随机变量X的分布列为 E(X)＝100×0.6＋0×0.3＋(－300)×0.1＝30，D(X)＝(100－30)2×0.6＋(0－30)2×0.3＋(－300－30)2×0.1＝14 100. X 100 0 －300 P 0.6 0.3 0.1 返回导航 23 学霸笔记：求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ的所有可能取值； (2)求ξ取每个值的概率； (3)写出ξ的分布列； (4)由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ)． 返回导航 24 命题点三　期望与方差在决策中的应用 例4 某投资公司在2025年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个“低碳”项目供选择．项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利40%，也可能亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为.设按“项目一”和“项目二”投资的收益分别为ξ1万元和ξ2万元． 返回导航 25 (1)试分别写出随机变量ξ1和ξ2的分布列； (2)针对以上两个投资项目，请你从投资收益的角度，为投资公司选择一个合理的投资项目，并说明理由． 返回导航 26 解析：(1)由题意随机变量ξ1和ξ2的分布列为 ξ1 400 －100 P ξ2 500 －300 0 P 返回导航 27 (2)Eξ1＝400×＋(－100)×＝200(万元)，Eξ2＝500×＋(－300)×＋0×＝200(万元)， 又Dξ1＝(400－200)2×＋(－100－200)2×＝60 000， Dξ2＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000， 由Eξ1＝Eξ2，Dξ1<Dξ2说明项目一、项目二获利的期望值相等，但项目一的获利更稳定． 综上所述，该投资公司投资项目一更合理． 返回导航 28 学霸笔记：在做决策时，一般能通过概率进行决策的优先用概率，不能用概率决策的，再比较均值，当均值相等时，再比较方差． 返回导航 29 跟踪训练　(衔接·人教A版选修三P71T6)有A和B两道谜语，张某猜对A谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对B谜语的概率为0.5，猜对得奖金20元．规则规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道．如果猜谜顺序由张某选择，他应该选择先猜哪一道谜语？ 返回导航 30 解析：假如先猜的谜语是A道， 设获得资金为随机变量X，由题意知：X＝0，10，30， P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝10)＝0.8×(1－0.5)＝0.4， P(X＝30)＝0.8×0.5＝0.4，∴E(X)＝0×0.2＋10×0.4＋30×0.4＝16. 假如先猜的谜语是B道，设获得奖金为随机变量α， 由题意知；α＝0，20，30，P(α＝0)＝1－0.5＝0.5， P(α＝20)＝0.5×(1－0.8)＝0.1，P(α＝30)＝0.5×0.8＝0.4， ∴E(α)＝0×0.5＋20×0.1＋30×0.4＝14，∵14<16.故应该先选择A道作答． 返回导航 31 1．已知随机变量X服从0－1分布，且P(X＝1)＝2P(X＝0)－1，则P(X＝0)＝(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：P(X＝1)＝2P(X＝0)－1且P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，解得P(X＝0)＝.故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 32 2．若随机变量ξ的分布如下表： 则P(|ξ|<2)的值为(　　) A．0.3 B．0.4 C．0.55 D．0.85 ξ －2 －1 1 2 3 P 0.2 0.1 2m 0.25 m 答案：B 解析：∵0.2＋0.1＋2m＋0.25＋m＝1，解得m＝0.15；∴P(|ξ|<2)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝1)＝0.1＋2m＝0.1＋2×0.15＝0.4.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 33 3．已知随机变量X的取值为0，1，2，若P(X＝0)＝1,5，E(X)＝1，则标准差为(　　) A． B． C． D． 答案：C 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 34 解析：设P(X＝1)＝p，则可得分布列如下表； 根据期望公式得E(X)＝0×＋1×p＋2×＝－p＝1，解得p＝，所以根据方差公式得：D(X)＝(0－1)2×(1－1)2×＋(2－1)2×，即标准差为 .故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 35 4．已知随机变量X的分布列如下： 若E(X)＝0，则D(3X＋1)＝(　　) A． B．7 C．21 D．22 X －2 0 1 2 P m n 答案：C 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 36 解析：由题意可得解得则D(X)＝，所以D(3X＋1)＝9D(X)＝9×＝21.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 37 5．已知随机变量X的分布列如下表所示 若P(X≤0)＝，且2X＋Y＝1，则D(Y)＝(　　) A.　　　B． C．　　D． X －1 0 1 P m n 答案：C 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 38 解析：由P(X≤0)＝，得m＝，n＝1－P(X≤0)＝，则E(X)＝－1×－[E(X)]2＝1×－2＝，由2X＋Y＝1，得Y＝1－2X，所以D(Y)＝4D(X)＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 39 6．(2026·邯郸模拟)一袋子里有大小形状完全相同的3个红球，2个白球，1个黄球，现从袋子里这6个球中随机摸球，每次摸一球，不放回，摸到红球就结束摸球，X表示摸球次数，则X的数学期望E(X)＝(　　) A.　　　B． C．　　　D． 答案：A 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 40 解析：随机变量X的可能取值为1，2，3，4.P(X＝1)＝(第一次摸到红球)；P(X＝2)＝(第一次摸到非红球，第二次摸到红球)；P(X＝3)＝(前两次摸到非红球，第三次摸到红球)；P(X＝4)＝(前三次摸到非红球，第四次摸到红球)．数学期望E(X)＝1×.故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 41 7．已知随机变量ξi满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1，2.若0<p1<p2<1,2，则(　　) A.E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2) B.E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2) C.E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2) D.E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2) 答案：A 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 42 解析：依题意，E(ξ1)＝1×p1＋0×(1－p1)＝p1，E(ξ2)＝1×p2＋0×(1－p2)＝p2，则E(ξ1)<E(ξ2)，又D(ξ1)＝(1－p1)2p1＋(1－p1)＝p1(1－p1)，同理D(ξ2)＝p2(1－p2)，而0<p1<p2<，则D(ξ1)－D(ξ2)＝p1(1－p1)－p2(1－p2)＝p1－＝(p1－p2)－＝(p1－p2)(1－p1－p2)<0，所以D(ξ1)<D(ξ2)．故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 43 8．已知随机变量X有三个不同的取值，分别是0，1，x，其中x∈(0，1)，又P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，随机变量X的方差的最小值为(　　) A. B． C. D． 答案：A 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 44 解析：P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，可得P(X＝x)＝，所以随机变量X的期望为E(X)＝0×，则方差为D(X)＝，所以当x＝时，方差取得最小值，最小值为D(X)＝.故选A. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 45 9．已知随机变量X的分布列为 下列结论正确的是(　　) A．m＝0.15 B．E(X)＝2.5 C．E(2X)＝6 D．D(X)＝2 X 1 2 4 5 P 0.2 0.35 m 0.3 答案：AC 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 46 解析：由题意有0.2＋0.35＋m＋0.3＝1⇒m＝0.15，故A正确；由E(X)＝1×0.2＋2×0.35＋4×0.15＋5×0.3＝3，故B错误；E(2X)＝2E(X)＝2×3＝6，故C正确；由D(X)＝(1－3)2×0.2＋(2－3)2×0.35＋(4－3)2×0.15＋(5－3)2×0.3＝2.5，故D错误．故选AC. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 47 10．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝a,k＋1(k＝1，2，5)，a∈R，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是(　　) A．P(0<X<3)＝2,3 B．E(3X＋2)＝8 C．D(X)＝2 D．D(3X＋1)＝7 答案：BC 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 48 解析：因为随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝1，2，5)，由分布列的性质可知，P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝5)＝＝1，解得a＝1，对于A，P(0<X<3)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝，故A不正确；对于B，∵E(X)＝1×＝2，∴E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×2＋2＝8，故B正确；对于C，D(X)＝×(1－2)2＋×(2－2)2＋(5－2)2＝2，故C正确；对于D，∵D(X)＝2，∴D(3X＋1)＝9×D(X)＝18，故D不正确．故选BC. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 49 11．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3)，则E(aX＋4) ＝________． 18 解析：由分布列的性质可得＝＝1，解得a＝6，所以E(X)＝1×，故E(aX＋4)＝E(6X＋4)＝6E(X)＋4＝6×＋4＝18. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 50 12．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上得2分，反面向上得－1分．若连续抛掷2次，记所得总分为随机变量X，则E(X)＝________． 1 解析：根据题意，随机变量X的可能取值为－2，1，4，对应的概率为P(X＝－2)＝，P(X＝4)＝，P(X＝1)＝，所以E(X)＝4×＋(－2)×＝1. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 51 13．(13分)(2026·深圳模拟)“读万卷书，行万里路”，小茗同学利用假期时间从所居住的A城市到B，C两个城市旅行，行程为：先从A城市到B城市，再从B城市到C城市，最后从C城市返回A城市．在每两个城市之间都只能选择高铁、飞机、大巴三种交通工具中的一种．为了体验沿途的不同风光，她决定不连续两次乘坐同一种交通工具．已知在每次乘坐高铁后，下一次乘坐飞机的概率为1,3；在每次乘坐飞机后，下一次乘坐高铁的概率为1,4；在每次乘坐大巴后，下一次乘坐飞机的概率为3,5． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 52 (1)若小茗乘坐飞机从A城市到B城市，求她从C城市返回A城市乘坐高铁的概率； (2)在小茗乘坐高铁从A城市到B城市的前提下，求她此次旅行乘坐高铁的次数ξ的分布列和数学期望． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 53 解析：(1)根据题意若小茗乘坐飞机从A城市到B城市，要从C城市返回A城市乘坐高铁，则从B城市到C城市只能乘坐大巴．因此可知小茗应依次乘坐飞机、大巴、高铁， 所以她从C城市返回A城市乘坐高铁的概率P＝＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 54 (2)因为小茗乘坐高铁从A城市到B城市， 所以从B城市到C城市可选乘飞机、大巴， 可知从B到C，再从C到A的交通工具组合有以下四种情况：(飞机，高铁)、(飞机，大巴)、(大巴，高铁)、(大巴，飞机)． ξ的所有可能取值为1，2. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 55 P(ξ＝1)＝＋， P(ξ＝2)＝＋＝， 则分布列为 期望E(ξ)＝1×. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 56 14．(15分)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． (1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列． (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？请说明理由． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 57 解析：(1)由题可知，X的所有可能取值为0，20，100. P(X＝0)＝1－0.8＝0.2， P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32， P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48. 所以X的分布列为 X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 58 (2)由(1)知， E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4. 若小明先回答B问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100. P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4， P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12， P(Y＝100)＝0.8×0.6＝0.48. 所以E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6. 因为54.4<57.6，所以小明应选择先回答B类问题． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 59 15．(5分)(2026·郑州模拟)已知随机变量X，Y均服从两点分布，且P(X＝1)＝，P(Y＝1)＝，若P(XY＝0)＝，则P(Y＝1|X＝0)＝(　　) A．　　B． C．　　　D． 答案：D 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 60 解析：∵随机变量X，Y均服从两点分布，∴P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝，P(X＝1，Y＝1)＝P(XY＝1)＝1－P(XY＝0)＝，又∵P(Y＝1)＝P(X＝0，Y＝1)＋P(X＝1，Y＝1)＝P(X＝0，Y＝1)＋，∴P(X＝0，Y＝1)＝，由条件概率公式P(Y＝1|X＝0)＝.故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 61 16．(5分)有3个分别标有数字1，2，3的小球，从中有放回地随机取4次，每次取1个球．记X为这3个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望E(X)＝________． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 62 解析：依题意，X的可能取值为1，2，3，总的选取可能数为34＝81，其中X＝1：即4次抽取同一球，选择球的编号有3种方式，故P(X＝1)＝；X＝2：恰好两种不同球被取出；情况一：一种球出现1次、另一种球出现3次，可能情况有＝24种，情况二：一种球出现2次、另一种球出现2次，可能情况有＝18种，故P(X＝2)＝；X＝3：三种不同球被取出，则一种球出现1次、另一种球出现1次、第三种球出现2次，可能情况有＝36种，故P(X＝3)＝；所以E(X)＝1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝1×. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 63 $