第10章 第5节 离散型随机变量及其分布列、数字特征——2027届高三数学一轮复习课件

该高中数学高考复习课件聚焦“离散型随机变量及其分布列、数字特征”专题，依据课标要求覆盖随机变量概念、分布列性质、均值与方差等核心考点，对接高考评价体系，通过知识要点分点解析、课前自测诊断、考点突破例题与跟踪练习，明确分布列求解、数字特征应用等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题引领+素养导向”，融入2025全国Ⅰ卷、2024新课标Ⅱ卷等高考真题，通过“分布列求法三步骤”“均值方差性质应用”等方法，培养学生数学思维与数据观念，如决策问题中通过期望对比选择方案，帮助学生掌握答题技巧，教师可利用其系统框架精准教学，提升复习效率。

第10章 概率、随机变量及其分布 第5节 离散型随机变量及其分布列、数字特征 2027届高中数学一轮复习 1 1. 课标要求 2.知识要点 3.课前自测 4.考点突破 目录 2 【课标要求】 1.通过具体实例，了解离散型随机变量的概念. 2.理解离散型随机变量分布列及其数字特征(均值、方差). 名师导学第一轮总复习 高三数学 3 知识要点 4 【知识要点】 1.离散型随机变量 (1)随机变量 一般地，对于随机实验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，就称X为随机变量. 表示:用大写英文字母表示随机变量，如X，Y，Z;用小写英文字母表示随机变量的取值，如x，y，z. (2)离散型随机变量 定义:可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量. 名师导学第一轮总复习 高三数学 5 2.离散型随机变量的分布列 (1)分布列的定义与表示 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi(i=1，2，…，n)的概率P(X=xi)=pi为X的　 　，简称　 　.  离散型随机变量的分布列也可以用表格表示如下: X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (2)离散型随机变量的分布列的性质: ①pi≥0(i=1，2，…，n); ②　 　=1.  概率分布列 分布列 p1+p2+…+pn 名师导学第一轮总复习 高三数学 6 3.离散型随机变量的均值与方差 一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示. X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn x1p1+x2p2+…+xnpn (1)均值 E(X)=　 　 =为离散型随机变量X的均值或数学期望(简 称期望)，它刻画了X的　 　.  平均取值 名师导学第一轮总复习 高三数学 7 离散程度(或波动大小) 标准差 (3)均值与方差的性质 ①若X与Y都是离散型随机变量,且Y=aX+b(a≠0),则E(Y)=E(aX+b)=　 　(a,b为常数).  ②D(Y)=D(aX+b)=　 　(a,b为常数).  ③D(X)=E(X2)-(E(X))2.   aE(X)+b a2D(X) (2)方差 D(X)=[x1-E(X)]2p1+[x2-E(X)]2p2+…+[xn-E(X)]2pn=[xi-E(X)]2pi为离散型随机变量X的方差,它刻画了离散型随机变量的　 　,称为离散型随机变量X的　 　.  名师导学第一轮总复习 高三数学 8 课前自测 9 概念辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量.(　　) (2)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布.(　　) (3)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　　) (4)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.(　　) (5)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小.(　　) √ × × √ √ 名师导学第一轮总复习 高三数学 10 教材改编 2.甲、乙两人下象棋，胜者得1分，平局得0分，负者得-1分，共下5局.用ξ表示甲的得分，则ξ=3表示(　　) A.甲胜3局负2局 B.甲胜4局负1局 C.甲胜3局平2局或甲胜3局负2局 D.甲胜4局负1局或甲胜3局平2局 D [解析] 由已知可得，当ξ=3时，应该为3胜2平或4胜1负.故选D. 名师导学第一轮总复习 高三数学 11 3.[选择性必修3p66T1]设随机变量X的分布列如下: X 1 2 3 4 5 P p 则p为(　　) A. B. C. D. C [解析] 由分布列的性质知，++++p=1，∴p=1-(+++)=. 名师导学第一轮总复习 高三数学 12 4.[选择性必修3p70T2]随机变量X的可能取值为0，1，2，若P(X=0)=，E(X)=1，则D(X)=　　　　.  [解析] 设P(X=1)=p，P(X=2)=q，由题意得解得p=，q=，∴D(X)=×(0-1)2+×(1-1)2+×(2-1)2=. 名师导学第一轮总复习 高三数学 13 5.[选择性必修3p67T3]甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为: X 0 1 2 3 P 0.4 0.3 0.2 0.1 Y 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2 若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是　　　　.  乙 [解析] E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1. E(Y)=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0.9， ∵E(Y)<E(X)，∴乙技术好. 名师导学第一轮总复习 高三数学 14 考点突破 15 考点1 离散型随机变量分布列的性质 例1　(1)已知m，n∈(0，1)，离散型随机变量ξ的分布列如下表，若P=，则E(ξ)=(　　) ξ 0 3m 2 P m n A. B. C. D. C [解析] 若3m≤，即m≤时，则P=m+=，m=-不符合; 若3m>，即m>时，P=m=，符合，则m++n=1，n=， 则E(ξ)=0×m+3m×+2n=m+2n=+=.故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 16 (2)设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m ①求随机变量Y=2X+1的分布列; ②求随机变量η=|X-1|的分布列. 名师导学第一轮总复习 高三数学 17 ①求随机变量Y=2X+1的分布列; X 0 1 2 3 4 2X+1 1 3 5 7 9 [解析] ①由分布列的性质知，0.2+0.1+0.1+0.3+m=1，得m=0.3. 列表 从而Y=2X+1的分布列为 Y 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 名师导学第一轮总复习 高三数学 18 ②求随机变量η=|X-1|的分布列. [解析] ②列表 X 0 1 2 3 4 |X-1| 1 0 1 2 3 ∴P(η=0)=P(X=1)=0.1， P(η=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3， P(η=2)=P(X=3)=0.3， P(η=3)=P(X=4)=0.3. 故η=|X-1|的分布列为 η 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 名师导学第一轮总复习 高三数学 19 [小结]应用离散型随机变量分布列性质的1个注意点:利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数. 名师导学第一轮总复习 高三数学 20 1.一袋中装有4个白球和2个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量X，则P(X≤2)=(　　) A. B. C. D. A [解析] 令X=k表示前k个球为白球，第k+1个球为红球， 此时P(X=0)==，P(X=1)=×=，P(X=2)=××=， 则P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=++=.故选A. 跟踪练习 名师导学第一轮总复习 高三数学 21 2.(多选)已知随机变量ξ的分布列为: ξ -2 -1 0 1 2 3 P 若P(ξ2<x)=，则实数x的值可能是(　　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 BCD 名师导学第一轮总复习 高三数学 22 [解析] 由随机变量ξ的分布列可知，随机变量ξ2的可能取值为0，1，4，9， ξ2的分布列为:P(ξ2=0)=P(ξ=0)=， P(ξ2=1)=P(ξ=-1)+P(ξ=1)=+=， P(ξ2=4)=P(ξ=-2)+P(ξ=2)=+=， P(ξ2=9)=P(ξ=3)=， 用表格表示为 ξ2 0 1 4 9 P 名师导学第一轮总复习 高三数学 23 ∴对于A:当x=1时，P(ξ2<1)=P(ξ2=0)=≠，故A错误; 对于B:当x=2时，P(ξ2<2)=P(ξ2=0)+P(ξ2=1)=+=，故B正确; 对于C:当x=3时，P(ξ2<3)=P(ξ2=0)+P(ξ2=1)=+=，故C正确; 对于D:当x=4时，P(ξ2<4)=P(ξ2=0)+P(ξ2=1)=+=，故D正确. 故选BCD. 名师导学第一轮总复习 高三数学 24 考点2 求离散型随机变量的分布列 例2　(1)某校开展网络知识竞赛.每人可参加多轮答题活动，每轮答题情况互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都有两道题，只有第一组的两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学第一组每道题答对的概率均为，第二组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一枚纪念章.记甲同学在一轮比赛答对的题目数为X，请写出X的分布列. 名师导学第一轮总复习 高三数学 25 [解析] 由题意，X可取0，1，2，3，4. P(X=0)=×=，P(X=1)=××=， P(X=2)=×××=， P(X=3)=××××=，P(X=4)=×××=， 则X的分布列为: X 0 1 2 3 4 P 名师导学第一轮总复习 高三数学 26 (2)某单位为丰富员工的业余生活，利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分A，B，C三大类，其中A类有3个项目，每项需花费2小时，B类有3个项目，每项需花费3小时，C类有2个项目，每项需花费1小时.要求每位员工从中随机选择3个项目，每个项目被选择的机会均等.设小张所选3个项目花费的总时间为X小时，求X的分布列. [解析] 由题知X的所有可能取值为4，5，6，7，8，9， 则P(X=4)==， P(X=5)==， P(X=6)==， 名师导学第一轮总复习 高三数学 27 P(X=7)==， P(X=8)==，P(X=9)==. 所以X的分布列为 X 4 5 6 7 8 9 P 名师导学第一轮总复习 高三数学 28 [小结]离散型随机变量分布列求法的3个步骤 (1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i=1,2,3,…,n); (2)求出各取值的概率P(X=xi)=pi; (3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确. 名师导学第一轮总复习 高三数学 29 3.现有标号依次为1，2，3的3个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余两个盒子里都是1个红球和1个白球.现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子.求3号盒子里的红球的个数X的分布列. [解析] 由题意可知，X的所有可能取值为1，2，3， P(X=1)=×+×=， P(X=3)=×+×=， P(X=2)=1-P(X=1)-P(X=3)=， 所以3号盒子里的红球的个数X的分布列为 X 1 2 3 P 跟踪练习 名师导学第一轮总复习 高三数学 30 4.在全国硕士研究生统一招生考试中，甲、乙、丙三名应届本科毕业生都以优秀的成绩通过了某重点大学的初试，即将参加该重点大学组织的复试.已知甲、乙、丙三名同学通过复试的概率分别为，p，复试是否通过互不影响，且甲、乙、丙三名同学都没有通过复试的概率为. (1)求p的值; (2)设甲、乙、丙三名同学中通过复试的人数为X，求随机变量X的分布列. 名师导学第一轮总复习 高三数学 31 (1)求p的值; [解析] (1)因为甲、乙、丙三名同学都没有通过复试的概率为， 所以××(1-p)=，则p=. 名师导学第一轮总复习 高三数学 32 (2)设甲、乙、丙三名同学中通过复试的人数为X，求随机变量X的分布列. [解析] (2)由题意知，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3. P(X=0)=， P(X=1)=××+××+××=， P(X=3)=××=，P(X=2)=1---=. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 名师导学第一轮总复习 高三数学 33 考点3 离散型随机变量的数字特征 角度1.均值与方差 例3　(1)(多选)口袋中有7个白球，3个红球，依次从口袋中任取一球，若取到红球，则继续取球，且取出的红球不放回;若取到白球，则停止取球.记取球的次数为X，则(　　) A.1≤X≤4 B.P(X=4)= C.E(X)= D.D(X)= ABC 名师导学第一轮总复习 高三数学 34 [解析] 由题意可知X的所有可能取值为1，2，3，4， P(X=1)=，P(X=2)==， P(X=3)==， P(X=4)==， X的分布列为 X 1 2 3 4 P 名师导学第一轮总复习 高三数学 35 E(X)=1×+2×+3×+4×=， D(X)=×+×+×+×=， 因此ABC正确，D错误.故选ABC. 名师导学第一轮总复习 高三数学 36 (2)已知羽毛球比赛的单打规则是:若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球;若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方.现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，若甲发球，甲得分的概率为，乙得分的概率为;若乙发球，乙得分的概率为，甲得分的概率为.每回合比赛的结果相互独立.经抽签决定，第一回合由甲发球. (ⅰ)求第三回合甲发球的概率; (ⅱ)设前三个回合中，甲的总得分为X，求X的分布列与期望. 名师导学第一轮总复习 高三数学 37 (ⅰ)求第三回合甲发球的概率; [解析] (ⅰ)若第三回合甲发球，则前三回合发球的顺序分别为甲甲甲，或者甲乙甲，故第三回合甲发球的概率为×+×=. 名师导学第一轮总复习 高三数学 38 (ⅱ)设前三个回合中，甲的总得分为X，求X的分布列与期望. [解析](ⅱ)设甲在第i回合得分记为事件Ai，乙在第i回合得分记为事件Bi，i∈{1，2，3}， 甲的总得分X的可能取值为0，1，2，3， 则P(X=0)=P(B1B2B3)=××=， P(X=1)=P(A1B2B3)+P(B1A2B3)+P(B1B2A3)=××+××+××=， P(X=2)=P(A1A2B3)+P(A1B2A3)+P(B1A2A3)=×+××+××=， P(X=3)=P(A1A2A3)==， 名师导学第一轮总复习 高三数学 39 故X的分布列为: X 0 1 2 3 P 故E(X)=0×+1×+2×+3×=. 名师导学第一轮总复习 高三数学 40 角度2.决策问题 例4　(1)(多选)有一座高度是20级(第1级~第20级)台阶的楼梯，小明在楼梯底部(第0级)从下往上走，每跨一步只能向上1级或者向上2级，且每步向上1级与向上2级的概率相同，设第n步后小明所在台阶级数为随机变量Xn，则(　 　) A.P(X2=2)= B.E(X2)=3 C.P(X4=6)<P(X4=7) D.P(Xn=10)中P(X7=10)最大 ABD 名师导学第一轮总复习 高三数学 41 [解析] 小明每步向上1级与向上2级的概率都是，X2=2表示跨2步到达第2级台阶，所以每步向上1级台阶，P(X2=2)==，故A正确; X2的所有可能取值为2，3，4，P(X2=2)=， P(X2=3)==，P(X2=4)==，所以E(X2)=2×+3×+4×=3，故B正确; X4=6表示跨4步到达第6级台阶，所以有2步每步向上1级台阶，有2步每步向上2级台阶，P(X4=6)==， X4=7表示跨4步到达第7级台阶，所以有1步向上1级台阶，有3步每步向上2级台阶，P(X4=7)==，故C错误; 名师导学第一轮总复习 高三数学 42 由题意n∈[5，10]，X5=10表示跨5步到达第10级台阶，所以每步向上2级台阶，P(X5=10)==，X6=10表示跨6步到达第10级台阶，所以有2步每步向上1级台阶，有4步每步向上2级台阶，P(X6=10)==，以此类推可得P(X7=10)==，P(X8=10)==，P(X9=10)==，P(X10=10)==，其中P(X7=10)=最大，故D正确.故选ABD. 名师导学第一轮总复习 高三数学 43 (2)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.该机器有一个易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个零件200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件的个数，得到如图所示的柱状图.以这100台机器更换的易损零件的个数的频率代替1台机器更换的易损零件的个数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件的个数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件的个数. 名师导学第一轮总复习 高三数学 44 (ⅰ)求X的分布列; (ⅱ)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值; (ⅲ)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个? 名师导学第一轮总复习 高三数学 45 (ⅰ)求X的分布列; [解析] (ⅰ)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件的个数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2， 从而P(X=16)=0.2×0.2=0.04， P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16， P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24， P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24， P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2， P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08， P(X=22)=0.2×0.2=0.04. 名师导学第一轮总复习 高三数学 46 所以X的分布列为 X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 名师导学第一轮总复习 高三数学 47 (ⅱ)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值; [解析](ⅱ)由(ⅰ)知P(X≤18)=0.44，P(X≤19)=0.68， 故n的最小值为19. 名师导学第一轮总复习 高三数学 48 (ⅲ)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个? 名师导学第一轮总复习 高三数学 49 [解析](ⅲ)记Y表示2台机器购买易损零件所需的费用(单位:元). 当n=19时，E(Y)=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4040. 当n=20时，E(Y)=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4080. 可知当n=19时所需费用的期望值小于当n=20时所需费用的期望值， 故应选n=19. 名师导学第一轮总复习 高三数学 50 [小结]1.对离散型随机变量的期望应注意: (1)Eξ是一个实数,由ξ的分布列唯一确定,即作为随机变量ξ是可变的,可取不同值,而Eξ是不变的,它描述ξ取值的平均状态; (2)Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…直接给出了Eξ的求法,即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加. 2.对离散型随机变量的方差应注意: (1)Dξ表示随机变量ξ对Eξ的平均偏离程度,Dξ越大表明平均偏离程度越大,说明ξ的取值越分散;Dξ越小,ξ的取值越集中,在Eξ附近,统计中常用来描述ξ的分散程度. (2)Dξ与Eξ一样也是一个实数,由ξ的分布列唯一确定. 名师导学第一轮总复习 高三数学 51 5.(多选)若随机变量X服从两点分布，且P(X=0)=，则(　 　) A.P(X=1)=E(X) B.D(X)= C.E(4X+1)= D.D(4X+1)= ABD [解析] ∵随机变量X服从两点分布且P(X=0)=，∴P(X=1)=1-=， 对于A，E(X)=0×+1×=，∴P(X=1)=E(X)，A正确; 对于B，D(X)=×+×=，B正确; 对于C，E(4X+1)=4E(X)+1=4×+1=，C错误; 对于D，D(4X+1)=16D(X)=16×=，D正确.故选ABD. 跟踪练习 名师导学第一轮总复习 高三数学 52 6.互不相等的正实数x1，x2，x3，x4∈{1，2，3，4}，xi1，xi2，xi3，xi4是x1，x2，x3，x4的任意顺序排列，设随机变量X，Y满足:X=max{min{xi1，xi2}，min{xi3，xi4}}，Y=min{max{xi1，xi2}，max{xi3，xi4}}，则(　　) A.E(X)<E(Y)，D(X)>D(Y) B.E(X)>E(Y)，D(X)>D(Y) C.E(X)<E(Y)，D(X)=D(Y) D.E(X)>E(Y)，D(X)=D(Y) C 名师导学第一轮总复习 高三数学 53 [解析] 因为随机变量X，Y满足: X=max{min{xi1，xi2}，min{xi3，xi4}}， Y=min{max{xi1，xi2}，max{xi3，xi4}}， 所以当{x1，x2}={1，2}或{3，4}时，X=3，Y=2; 当{x1，x2}={1，3}或{2，4}时，X=2，Y=3; 当{x1，x2}={1，4}或{2，3}时，X=2，Y=3; 所以X，Y的分布列为: X 2 3 P Y 2 3 P 名师导学第一轮总复习 高三数学 54 所以E(X)=2×+3×=， E(Y)=2×+3×=， D(X)=×+×=， D(Y)=×+×=， 所以E(X)<E(Y)，D(X)=D(Y)，故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 55 7.(2025·北京)某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率p; (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计X=1的概率及X的数学期望; (3)假设:如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案;如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为100%，乙校学生选择正确的概率为85%.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为p1，p2，判断p1与p2的大小(结论不要求证明). 名师导学第一轮总复习 高三数学 56 (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率p; [解析] (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率p==. 名师导学第一轮总复习 高三数学 57 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计X=1的概率及X的数学期望; [解析] (2)设A为“从甲校抽取1人做对”，则P(A)=0.8，P()=0.2， 设B为“从乙校抽取1人做对”，则P(B)=0.75，P()=0.25， 设C为“恰有1人做对”，故P(C)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.35， 依题可知，X的所有可能取值为0，1，2， P(X=0)=P()=0.05，P(X=1)=0.35，P(X=2)=0.8×0.75=0.6， 故X的分布列如下表: X 0 1 2 P 0.05 0.35 0.6 故E(X)=1×0.35+2×0.6=1.55. 名师导学第一轮总复习 高三数学 58 (3)假设:如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案;如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为100%，乙校学生选择正确的概率为85%.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为p1，p2，判断p1与p2的大小(结论不要求证明). [解析] (3)设D为“甲校掌握这个知识点的学生做该题”， 因为甲校掌握这个知识点则有100%的概率做对该题目， 未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个， 故P(D)+[1-P(D)]=0.8， 即p1+×(1-p1)=0.8，故p1=， 同理有，0.85p2+×(1-p2)=0.75，故p2=，故p1<p2. 名师导学第一轮总复习 高三数学 59 8.某新型双轴承电动机需要装配两个轴承才能正常工作，且两个轴承互不影响.现计划购置甲、乙两个品牌的轴承，两个品牌轴承的使用寿命及价格情况如下表: 品牌 价格/(元/件) 使用寿命/月 甲 1000 7或8 乙 400 3或4 已知甲品牌使用7个月或8个月的概率均为，乙品牌使用3个月或4个月的概率均为. (1)若从4件甲品牌和2件乙品牌共6件轴承中，任选2件装入电动机内，求电动机可工作时间不少于4个月的概率; (2)现有两种购置方案，方案一:购置2件甲品牌;方案二:购置1件甲品牌和2件乙品牌(甲、乙两品牌轴承搭配使用).试从性价比(即电动机正常工作时间与购置轴承的成本之比)的角度考虑，选择哪一种方案更实惠? 名师导学第一轮总复习 高三数学 60 (1)若从4件甲品牌和2件乙品牌共6件轴承中，任选2件装入电动机内，求电动机可工作时间不少于4个月的概率; [解析] (1)电动机工作时间不少于4个月共有三种情况: ①装入两件甲品牌，概率为=; ②装入一件甲品牌，一件乙品牌，且乙品牌的使用寿命为4个月， 概率为×=; ③装入两件乙品牌，且两件的使用寿命均为4个月，概率为××=. ∴电动机可工作时间不少于4个月的概率为P=++=. 名师导学第一轮总复习 高三数学 61 (2)现有两种购置方案，方案一:购置2件甲品牌;方案二:购置1件甲品牌和2件乙品牌(甲、乙两品牌轴承搭配使用).试从性价比(即电动机正常工作时间与购置轴承的成本之比)的角度考虑，选择哪一种方案更实惠? [解析] (2)若采用方案一，设电动机可工作时间为X(单位:月)， 则X的所有可能取值为7，8， P(X=8)=×=，P(X=7)=1-P(X=8)=， 所以X的分布列为 X 7 8 P 名师导学第一轮总复习 高三数学 62 ∴E(X)=7×+8×=，它与购置轴承的成本之比为=. 若采用方案二，设两件乙品牌轴承的使用寿命之和为Y(单位:月)， 则Y的所有可能取值为6，7，8， P=×=，P=2××=，P=×=. 设甲品牌轴承的使用寿命为M(单位:月)，此时电动机可工作时间为Z(单位:月)，则Z的所有可能取值为6，7，8， P=P=， P=P+P=×+×=， P=P=×=， 名师导学第一轮总复习 高三数学 63 所以Z的分布列为 Z 6 7 8 P ∴E=6×+7×+8×=， 它与购置轴承的成本之比为=， ∵<，∴从性价比的角度考虑，方案二更实惠. 名师导学第一轮总复习 高三数学 64 走进高考 1.(2025·全国Ⅰ卷)一个箱子里有5个相同的球，分别以1~5标号，若每次取一个，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数为X，则数学期望E(X)=　　　　.  [解析] 法一:依题意，X的可能取值为1，2，3，总的选取可能数为53=125， 其中X=1:三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式，故P(X=1)==， X=2:恰好两种编号不同球被取出(即一球出现两次，另一球出现一次)，选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式，其中选取出现一次球的次序有3种可能，故事件X=2的可能情况有5×4×3=60种，故P(X=2)==， X=3:三种不同球被取出，由排列数可知事件X=3的可能情有况5×4×3=60种， 名师导学第一轮总复习 高三数学 65 故P(X=3)==， 所以E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)=1×+2×+3×=. 法二:依题意，假设随机变量Xi，其中i=1，2，3，4，5， 其中Xi= 名师导学第一轮总复习 高三数学 66 名师导学第一轮总复习 高三数学 67 2.(2024·新课标Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分;若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立. (1)若p=0.4，q=0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率. (2)假设0<p<q. (ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛? (ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛? 名师导学第一轮总复习 高三数学 68 (1)若p=0.4，q=0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率. [解析] (1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分， 则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， ∴比赛成绩不少于5分的概率P=(1-0.63)(1-0.53)=0.686. 名师导学第一轮总复习 高三数学 69 (2)假设0<p<q. (ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛? [解析] (2)(ⅰ)若甲先参加第一阶段比赛， 则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P甲=[1-(1-p)3]q3， 若乙先参加第一阶段比赛， 则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P乙=[1-(1-q)3]·p3， ∵0<p<q， ∴P甲-P乙=q3-(q-pq)3-p3+(p-pq)3=(q-p)(q2+pq+p2)+(p-q)·[(p-pq)2+(q-pq)2+(p-pq)(q-pq)] =(p-q)(3p2q2-3p2q-3pq2)=3pq(p-q)(pq-p-q)=3pq(p-q)[(1-p)(1-q)-1]>0， ∴P甲>P乙，应该由甲参加第一阶段比赛. 名师导学第一轮总复习 高三数学 70 (ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛? [解析] (ⅱ)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩X的所有可能取值为0，5，10，15， P(X=0)=(1-p)3+[1-(1-p)3]·(1-q)3， P(X=5)=[1-(1-p)3]q·(1-q)2， P(X=10)=[1-(1-p)3]·q2(1-q)， P(X=15)=[1-(1-p)3]·q3， ∴E(X)=15[1-(1-p)3]q=15(p3-3p2+3p)·q. 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩Y的所有可能取值为0，5，10，15， 名师导学第一轮总复习 高三数学 71 同理E(Y)=15(q3-3q2+3q)·p， ∴E(X)-E(Y)=15[pq(p+q)(p-q)-3pq(p-q)] =15(p-q)pq(p+q-3)， 因为0<p<q，则p-q<0，p+q-3<1+1-3<0， 则(p-q)pq(p+q-3)>0， ∴应该由甲参加第一阶段比赛. 名师导学第一轮总复习 高三数学 72 $