离散型随机变量及其分布列、数字特征课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“离散型随机变量及其分布列、数字特征”专题，依据课标要求和高考评价体系，梳理了分布列性质应用、均值与方差计算、两点分布等核心考点，通过近五年真题分析明确“分布列参数求解”“均值方差性质应用”等高频题型占比，构建三级训练体系实现精准备考。 课件亮点在于“真题情境+思维路径+素养落地”，如以2024新高考Ⅱ卷投篮比赛问题为例，拆解“明取值-算概率-列分布-求期望”四步解题法，培养学生的数学思维和模型意识，特设“易错警示”模块纠正方差性质误用等问题，助力学生掌握得分技巧，教师可据此开展靶向教学提升复习效率。

数 学 构建知识体系 形成关键能力 提高学科素养 精准高效备考 高考能力梯级集训 第6节　离散型随机变量及其分布列、数字特征 返回目录 目录 1 2 3 基础满分练 课前 自检自测·夯基固本 能力高分练 课中 关键能力·可视思维 素养提升练 课中 高考定向·捕捉热点 第6节　离散型随机变量及其分布列、数字特征 基础 满分练 课前 自检自测·夯基固本 三个高考关键点 关键点1 离散型随机变量的分布列及性质的应用 1.某人进行投篮训练,最多投篮4次,命中一次就停止投篮,记投篮次数为X,则{X=4}表示的试验结果是(　　)[命题点❶] A.第4次投篮命中 B.第4次投篮未命中 C.前3次投篮均未命中 D.投篮命中4次 C 解析:根据变量X的意义可知{X=4}表示前3次投篮均未命中,可以进行第4次投篮,则投篮次数为4.故选C. 返回目录 2.随机变量X的分布列为P(X=n)=(n=0,1,2),其中a是常数,以下错误的是(　　)[命题点❷❸] A.P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1 B.a= C.P(0≤X<2)= D.P(X=2)= D 返回目录 解析:根据题意,随机变量X的分布列为P(X=n)=,则P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)==1,解得a=,故A,B正确; P(0≤X<2)=P(X=0)+P(X=1)=,C正确; P(X=2)=,D错误.故选D. 返回目录 关键点2 两点分布 3.已知随机变量ξ服从两点分布,且P(ξ=1)=0.28,设η=1-3ξ,则P(η=1)=(　　)[命题点❸❹] A.0.72 B.0.28 C.0.16 D.0.84 A 解析:由题意可得P(η=1)=P(ξ=0)=1-P(ξ=1)=0.72.故选A. 返回目录 4.随机变量X服从两点分布,若P(X=0)=,则下列结论正确的是(　　) [命题点❸❹❺❻❼] A.P(X=1)= B.D(X)= C.E(2X+1)= D.D(2X+1)= C 返回目录 解析:随机变量X服从两点分布,P(X=0)=,根据分布列的性质,可得P(X=1)=1-P(X=0)=,所以A错误; 因为E(X)=0+1,D(X)=,所以B错误;因为E(2X+1)=2E(X)+1=2+1=,所以C正确; 因为D(2X+1)=22·D(X)=4,所以D错误.故选C. 返回目录 关键点3 离散型随机变量的均值与方差的应用 5.随机变量ξ的分布列如下表,若E(ξ)=,则D(ξ)=(　　)[命题点❸❺❻] ξ -1 0 1 2 P 2a a 2a b A. B. C. D. D 返回目录 解析:由解得 所以D(ξ)=故选D. 返回目录 6.(2025·广东中山模拟)一个盒子里有三个相同的球,分别标有数字2,3,4,若每次不放回地从盒子中随机取出一个球,直到取出的所有球的数字之积大于或等于8为止.记此时取出的所有球的数字之和为X,则E(X)=(　　) [命题点❸❺] A. B.7 C. D.6 A 返回目录 解析:由题意,X的可能取值为6,7,9,X=6表示取出的两个球上的数字为2,4,相当于将三个球排序,2,4排在前两位,所以P(X=6)=;X=7表示取出的两个球上的数字为3,4,相当于将三个球排序,3,4排在前两位,所以P(X=7)=;X=9表示三个球全部取出,相当于将三个球排序,2,3排在前两位,所以P(X=9)= X的分布列为 X 6 7 9 P E(X)=6+7+9故选A. 返回目录 回归教材•考教衔接 1.随机变量的有关概念[❶] (1)随机变量:一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量. (2)离散型随机变量:可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量. 离散型随机变量X的每一个可能的取值为实数,其实质代表的是“事件”,即事件是用一个反映结果的实数表示的 返回目录 2.离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列.[❷] (2)离散型随机变量分布列的性质[❸] ①pi>0,i=1,2,…,n; ②p1+p2+…+pn=1. 事件X=x1,X=x2,…,X=xn彼此互斥 返回目录 3.两点分布[❹] 如果P(A)=p,则P()=1-p,那么X的分布列为 X 0 1 P 1-p p 我们称X服从两点分布或0—1分布. [微提醒]随机变量X只取两个值的分布未必是两点分布. 返回目录 4.离散型随机变量的均值(数学期望)与方差 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (1)均值(数学期望)[❺] 称E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=xipi为随机变量X的均值或数学期望.它反映了随机变量取值的平均水平. 返回目录 (2)方差 方差是一个常数 称D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+pn=pi为随机变量X的方差,并称为随机变量X的标准差,记为σ(X),它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度.[❻] 方差、标准差越小,偏离程度越小 返回目录 5.均值(数学期望)与方差的性质[❼] (1)E(aX+b)=aE(X)+b. (2)D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数). 返回目录 能力 高分练 课中 关键能力•可视思维 考点1　离散型随机变量的分布列及性质 命题视角:常以“给定含参数的分布列求参数或概率”的形式命题. 例1 (1)已知随机变量X的分布列如下表所示,则P(|2X-3|<3)=(　　) X 1 2 3 4 P 0.1 m 0.3 0.2 A. B. C. D. C 解析:由0.1+m+0.3+0.2=1,得m=0.4,P(|2X-3|<3)=P(0<X<3) =P(X=1)+P(X=2)=0.1+0.4=0.5.故选C. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)已知随机变量ξ等可能取值为1,2,3,…n(n∈N*),若P(ξ<5)=,则n=(　　) A.20 B.18 C.16 D.14 C 解析:由题意可得P(ξ=i)=(i=1,2,3,…,n)(n∈N*),所以P(ξ<5)=P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4)=,解得n=16.故选C. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练1 (1)若随机变量ξ的分布列如下表所示. ξ -2 -1 1 2 3 P 0.2 0.1 2m 0.25 m 则P(|ξ|<2)的值为(　　) A.0.3 B.0.4 C.0.55 D.0.85 B 解析:由0.2+0.1+2m+0.25+m=1,得m=0.15,P(|ξ|<2)=P(ξ=-1)+P(ξ=1)= 0.1+2×0.15=0.4.故选B. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)已知随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=2,3,4),则P(X=2)=(　　) A. B. C. D. B 解析:P(X=i)==a() (i=2,3,4), 由P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=1,得a[(1-)+()+()]=1,解得a=,所以P(X=i)=,所以P(X=2)=故选B. 返回目录 考点1 考点2 考点3 关键能力思维链 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 1.定题型:明确题目核心(求参数或概率). 2.抓核心:锚定“概率值大于或等于0”“所有概率和等于1”两大性质. 3.列式解:根据已知条件和分布列性质列方程、不等式计算求解. 4.验结果:代入性质验证解的合理性(如参数对应概率非负). 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点2　离散型随机变量的分布列及数字特征 角度 1 求离散型随机变量的均值与方差 命题视角:直接根据分布列求期望E(X)与方差D(X). 例2 (2024·北京,18)已知某险种的保费为0.4万元,前3次出险每次赔付0.8万元,第4次赔付0.6万元. 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 800 100 60 30 10 返回目录 考点1 考点2 考点3 在总体中抽样1 000单,以频率估计概率: (1)求随机抽取一单,赔偿不少于2次的概率; (2)(ⅰ)毛利润是保费与赔偿金额之差.设毛利润为X,估计X的数学期望; (ⅱ)若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%,已赔偿过的增加20%.估计保单下一保险期毛利润的数学期望. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解:(1)设A为“随机抽取一单,赔偿不少于2次”,则P(A)==0.1. (2)(ⅰ)设ξ为赔偿金额,则ξ可取0,0.8,1.6,2.4,3.由题意可得, P(ξ=0)==0.8,P(ξ=0.8)==0.1,P(ξ=1.6)==0.06, P(ξ=2.4)==0.03,P(ξ=3)==0.01. E(ξ)=0×0.8+0.8×0.1+1.6×0.06+2.4×0.03+3×0.01=0.278. 故E(X)=0.4-0.278=0.122(万元). (ⅱ)由题设可知,每一单保费变为0.4×0.8×96%+0.4×(1-0.8)×1.2 =0.403 2,设保单下一保险期毛利润为Y,则E(Y)=0.403 2-E(ξ)=0.125 2(万元). 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练2 (2025·江苏镇江模拟改编)现某高校一学生和智能机器人进行一场“网球”比赛,规则如下:比赛采用三局两胜制(率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利且比赛结束),已知该同学第一局获胜的概率为,从第二局开始,如果上一局获胜,则本局获胜的概率为;如果上一局失败,则本局获胜的概率为,每局比赛均没有平局. (1)该同学在以2∶1获得比赛胜利的条件下,求他连胜两局的概率; (2)记整场比赛该同学的获胜局数为ξ,求ξ的分布列、期望和方差. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解:(1)设事件A=“该同学以2∶1获得比赛胜利”,B=“该同学连胜两局”,若该同学以2∶1获得比赛胜利,则三局比赛的结果为赢输赢,输赢赢,共两种情况,所以P(A)=(1-+(1-,P(AB)= (1-,则P(B|A)=,该同学在以2∶1获得比赛胜利的条件下,连胜两局获胜的概率为 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)由题意,ξ的所有可能取值为0,1,2. P(ξ=0)= (1-)×(1-)=, P(ξ=1)=(1-)×(1-)+ (1-(1-)=, P(ξ=2)=P(A)+, 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 则ξ的期望为E(ξ)=0+1+2E(ξ2)=0+1+4, D(ξ)=E(ξ2)-[E(ξ)]2=-()2= 返回目录 考点1 考点2 考点3 角度 2 离散型随机变量的均值与方差性质的应用 命题视角:利用均值与方差的性质解决问题,可以简化计算、减少计算量. 例3 (1)已知随机变量ξi满足P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1-pi,i=1,2.若0<p1<p2<,则 (　　) A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) B.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2) C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2) A 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:依题意,E(ξ1)=1×p1+0×(1-p1)=p1,E(ξ2)=1×p2+0×(1-p2)=p2,因为0<p1<p2,所以E(ξ1)<E(ξ2);D(ξ1)=p1+(1-p1)=p1(1-p1),同理, D(ξ2)=p2(1-p2),由0<p1<p2<,得D(ξ1)-D(ξ2)=(p1-p2)(1-p1-p2)<0,所以D(ξ1)<D(ξ2).故选A. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)(多选)(2025·福建福州模拟)已知离散型随机变量X的分布列如下表所示,则下列选项正确的是(　 　) X 0 1 2 P 0.36 1-2q q2 A.q=0.2 B.E(X)=0.68 C.E(X2)=0.462 4 D.D(X)=0.297 6 ABD 解析:选项A,由0.36+1-2q+q2=1,得q=0.2,正确;选项B, E(X)=0×0.36+1×0.6+2×0.04=0.68,正确;选项C, E(X2)=0×0.36+1×0.6+4×0.04=0.76,错误;选项D,D(X)=E(X2)-E2(X)= 0.76-0.682=0.297 6,正确.故选ABD. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练3 离散型随机变量X的可能取值为0,1,2,若P(X=0)=0.2, P(X=1)=a,P(X=2)=b,E(X)=1,则D(2X-1)=(　　) A.-0.2 B.0.6 C.0.8 D.1.6 D 解析:由题意知 解得 D(X)=(0-1)2×0.2+(1-1)2×0.6+(2-1)2×0.2=0.4,D(2X-1)=4D(X)=1.6.故选D. 返回目录 考点1 考点2 考点3 关键能力思维链 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 关键能力思维链 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 1.辨性质,定公式:(1)若为“线性变换”,则E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X); (2)若为“独立变量”,则E(X+Y)=E(X)+E(Y),D(X+Y)=D(X)+D(Y)(非独立变量不可用). 2.算已知,补前提:若原变量X的E(X),D(X)未知,先通过分布列性质求参数,再计算E(X),D(X). 3.代公式,避误区:(1)方差线性变换漏平方(如误写D(2X-1)=2D(X)); (2)非独立变量误用和的方差性质(如X与Y相关时,D(X+Y)=D(X)+D(Y)); (3)混淆E(X2)与[E(X)]2. 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点3　均值与方差在决策中的应用 命题视角:比较多个方案的收益(均值)与波动(方差),选收益大且波动小的方案. 例4 (2024·新高考Ⅱ,18)某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少投中一次,则该队进入第二阶段,由该队的另一名队员投篮3次,每次投中得5分,未投中得0分,该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和. 某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率; (2)假设0<p<q, (ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,则该由谁参加第一阶段比赛? (ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛? 返回目录 考点1 考点2 考点3 解:(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分,则甲第一阶段至少投中1次,乙第二阶段也至少投中1次,则所求概率P=(1-0.63)×(1-0.53)=0.686. (2)(ⅰ)若甲参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P甲=[1-(1-p)3]q3; 若乙参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为 P乙=[1-(1-q)3]p3. P甲-P乙=q3-(q-pq)3-p3+(p-pq)3=(q-p)(q2+pq+p2)+(p-q)[(p-pq)2+(q-pq)2+ (p-pq)(q-pq)]=(p-q)(3p2q2-3p2q-3pq2)=3pq(p-q)(pq-p-q) =3pq(p-q)[(1-p)(1-q)-1]>0,所以P甲>P乙,故应该由甲参加第一阶段比赛. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (ⅱ)若甲参加第一阶段比赛,比赛成绩X(单位:分)的所有可能取值为0,5,10,15,P(X=0)=(1-p)3+[1-(1-p)3](1-q)3, P(X=5)=[1-(1-p)3]q(1-q)2, P(X=10)=[1-(1-p)3]q2(1-q), P(X=15)=[1-(1-p)3]q3, 所以E(X)=[1-(1-p)3][5q(1-q)2+10q2(1-q)+15q3]=15[1-(1-p)3]q =15q(p3-3p2+3p). 若乙参加第一阶段比赛,比赛成绩Y(单位:分)的所有可能的取值为0,5,10,15, P(Y=0)=(1-q)3+[1-(1-q)3](1-p)3, P(Y=5)=[1-(1-q)3]p(1-p)2, 返回目录 考点1 考点2 考点3 P(Y=10)=[1-(1-q)3]p2(1-p), P(Y=15)=[1-(1-q)3]p3, 所以E(Y)=15p(q3-3q2+3q),则E(X)-E(Y)=15pq(p-q)(p+q-3)>0,故应该由甲参加第一阶段比赛. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练4 某学校组织知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分. 已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关. (1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列; (2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解:(1)X的可能取值为0,20,100. P(X=0)=1-0.8=0.2, P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32, P(X=100)=0.8×0.6=0.48. 所以X的分布列为 X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)若小明先回答A类问题,期望为E(X). 则E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4. 若小明先回答B类问题,Y为小明的累计得分,则Y的可能取值为0,80,100, P(Y=0)=1-0.6=0.4, P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12, P(Y=100)=0.6×0.8=0.48. E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6. 因为E(X)<E(Y),所以小明应选择先回答B类问题. 返回目录 考点1 考点2 考点3 关键能力思维链 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 1.定目标:明确决策核心是选“高均值(平均优)”“低方差(稳定强)”或二者兼顾. 2.算指标:提取或计算关键变量的均值E(X),方差D(X). 3.做对比:侧重平均比E(X)(选大的),侧重稳定比D(X)(选小的),冲突时结合场景偏好. 4.下结论:将指标对比转化为实际决策(如风险厌恶者选低方差). 返回目录 考点1 考点2 考点3 素养 提升练 课中 高考定向•捕捉热点 命题趋势1:分布列的性质:根据题意取值,列出分布列. 1.(原创)在篮球比赛中,规定一次中距离投篮投中得2分,投不中得0分,则选手甲在三次中距离投篮中的总得分ξ的所有可能取值的和是(　　) A.8 B.10 C.12 D.14 C 解析:选手甲在三次中距离投篮中可能都不中得0分,中一次得2分,中两次得4分,中三次得6分,故总得分ξ的所有可能取值为0,2,4,6,所以总得分ξ的所有可能取值的和为12.故选C. 返回目录 2.已知随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=1,2,3,4,5),则P(X≥3)=(　　) A. B. C. D. C 解析:由题意可得,P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=3故选C. 返回目录 命题趋势2:均值与方差的公式与性质 3.已知离散型随机变量X的分布列如下表所示,若E(12X)=7,则D(2X+3)=(　　) X -1 0 a 2 P b A. B. C. D. A 返回目录 解析:由分布列可知+b+=1,解得b=,由E(12X)=7,得12E(X)=7,则E(X)=12(-+0+a+2)=7,解得a=1,D(X)=, 所以D(2X+3)=22·D(X)=4故选A. 返回目录 命题趋势3:新情境下的决策问题的应用:在风险可控(方差不过大)的前提下,优先选择期望收益最大的方案;若期望值相近,则选择方差小(更稳定)的方案. 4.有甲、乙两种水稻,测得每种水稻各10株的分蘖数据,计算出样本均值E(X甲)=E(X乙),方差分别为D(X甲)=11,D(X乙)=3.4.由此可以估计(　　) A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 B 返回目录 解析:已知乙种水稻的方差约为3.4,甲种水稻的方差约为11.因为3.4<11,所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐.故选B. 返回目录 5.(多选)某人有10 000元全部用于投资,现有甲、乙两种股票可供选择.已知每股收益的分布列分别如表1和表2所示,且两种股票的收益相互独立,假设两种股票的买入价都是每股1元,则下列说法正确的有(　　) 表1　甲每股收益的分布列 收益X/元 -1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 表2　乙每股收益的分布列 收益Y/元 0 1 2 概率 0.3 0.3 0.4 返回目录 A.甲每股收益的数学期望大于乙每股收益的数学期望 B.相对于投资甲种股票,投资乙种股票更稳妥(方差小) C.此人投资甲、乙两种股票,收益的数学期望之和为11 000元 D.此人按照1∶1的资金分配方式投资甲、乙两种股票时,收益的方差之和最小 答案:BC　 返回目录 解析:E(X)=-1×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1,E(Y)=0×0.3+1×0.3+2×0.4=1.1,选项A错误; D(X)=(-1-1.1)2×0.1+(0-1.1)2×0.3+(2-1.1)2×0.6=1.29, D(Y)=(0-1.1)2×0.3+(1-1.1)2×0.3+(2-1.1)2×0.4=0.69,选项B正确; 因为E(X)=E(Y),所以总期望为1.1×10 000=11 000元,选项C正确; 设投资甲m元,投资乙(10 000-m)元,方差和=1.29×m2+0.69×(10 000-m)2 =1.98m2-13 800m+0.69×10 0002,则当m=时,方差之和最小,选项D错误.故选BC. 返回目录 $