2025-2026学年北师大版七年级数学下册期末解答题分类训练（六板块）

**基本信息** 北师大版七年级下册期末解答题分类训练，聚焦整式乘除等六板块，以“基础巩固-能力提升-综合应用”分层设计，通过运算、推理、建模三阶路径强化知识迁移，适配期末复习与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一知识点直接应用|如整式计算、角的关系判断，强化运算能力与概念理解| |能力提升|跨知识点关联应用|如化简求值、平行证明，培养推理意识与逻辑表达| |综合应用|实际情境与动态问题|如图形面积验证公式、统计图表分析，发展模型意识与创新思维|

期末解答题分类训练2025-2026学年北师大版 七年级下册（六板块） 板块一：整式的乘除 1．计算： (1)(2) 2．计算： (1)若，，求的值． (2)若，求x的值． 3．先化简，再求值：，其中x= -1，． 4．已知，，求下列式子的值： (1)； (2)． 5．将边长为的正方形的左上角剪掉一个边长为的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2）． (1)设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，请用含、的式子表示和； (2)用上面的结果可以验证哪个乘法公式？ (3)利用（2）中得到的公式，解答下列问题： ①已知，，求的值； ②计算：． 板块二：相交线与平行线 1．如图，直线与相交于点O，是的平分线，，．    (1)图中除直角外，还有相等的角吗？请写出两对． (2)如果，求的度数． (3)平分吗？请写出理由． 2.如图，点G在上，已知，平分，平分，请说明的理由． 解：（已知）， （_______） （_______）． ∵平分， _______（_______）． 平分， _______， 得（_______）， （_______）． 3.如图，已知AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，∠2＝∠3．求证：BE∥DF． 4.如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠ACM．当∠DCM＝60°时，求∠O的度数． 5．已知，直线，点E为直线上一定点，直线交于点F，平分 (1)如图1，当时， °； (2)点P为射线上一点，点M为直线上的一动点，连接，过点P作交直线于点N． ①如图2，点P在线段上，若点M在点E左侧，求与的数量关系； ②点P在线段的延长线上，当点M在直线上运动时，的一边恰好与射线平行，直接写出此时的度数（用含α的式子表示）． 板块三：概率初步 1.八月底，八年级（1）班学生小颖对全班同学这一个多月来去重庆大学图书馆的次数做了调查统计，将结果分为A、B、C、D、E五类，其中A表示“0次”、B类表示“1次”、C类表示“2次”、D类表示“3次”、E类表示“4次及以上”．并制成了如下不完整的条形统计和扇形统计图（如图所示）． 请你根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1）填空：a＝　 　； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中D类的扇形所占圆心角的度数； （3）从全班去过该图书馆的同学中随机抽取1人，谈谈对新图书馆的印象和感受．求恰好抽中去过“4次及以上”的同学的概率． 2.乒乓球馆有20盒白色乒乓球，但在整理过程中，发现其中混入了若干黄色乒乓球．经过统计后，发现每盒白色乒乓球中最多混入了2个黄色乒乓球，具体数据见下表： 黄色乒乓球数 0 1 2 盒数 8 m n 从20盒白色乒乓球中任意选取1盒； （1）“盒中没有黄色乒乓球”是 　 　事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）； （2）“盒中有黄色乒乓球”的概率是 　 　； （3）若“盒中有1个黄色乒乓球”的概率为，求m和n的值． 3.暑假将至，某商场为了吸引顾客，设计了可以自由转动的转盘（如图所示，转盘被均匀地分为20份），并规定：顾客每 200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．若某顾客购物300元． （1）求他此时获得购物券的概率是多少？ （2）他获得哪种购物券的概率最大？请说明理由． 4.某校音乐组决定围绕在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中，你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制如下两幅不完整的统计图． 请你根据统计图解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽查了　 　名学生．其中喜欢“舞蹈”活动项目的人数占抽查总人数的百分比为　 　．扇形统计图中喜欢“戏曲”部分扇形的圆心角为　 度． （2）请你补全条形统计图． （3）某班7位同学中，1人喜欢舞蹈，2人喜欢乐器，1人喜欢声乐，3人喜欢乐曲，李老师要从这7人中任选1人参加学校社团展演，则恰好选出1人喜欢乐器的概率是　 　． 板块四：三角形 1.已知：如图，在△ABC中，∠DAE＝10°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，∠B＝60°，求∠C的度数． 2．如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数． 3.如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线交AC于点E，过点E作DF∥BC，交AB于点D，且EC平分∠BEF． （1）若∠ADE＝50°，求∠BEC的度数； （2）若∠ADE＝α，则∠AED＝　 （含α的代数式表示）． 4．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点M是边AB上任意一点，连接CM，过点A，B分别作AE⊥CM，BF⊥CM，垂足分别为E，F，若BF＝2.6cm，AE＝0.9cm，分别求出CF，EF的长. 5.如图，在中，，是边上的中线，延长至点，延长至点，使，连接、．求证：平分． 板块五：图形的轴对称 1.如图，在正方形网格上有一个． (1)画关于直线的对称图形(不写画法)； (2)若网格上的每个小正方形的边长为1，求的面积； (3)在直线上求作一点P，使最小(保留作图痕迹，不写作法)． 2.如图，与关于直线对称，与的交点在直线上．若，，，． (1)求出的长度； (2)求的度数． 3.如图，16个相同的小正方形拼成一个正方形网格，其中的三个小方格已涂黑，请你用四种方法在图中再涂黑一个小方格，使它成为轴对称图形． 4.如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，连接AD，AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，连接D′C，若BD=CD′； (1)求证：△ABD≌△ACD′； (2)若∠BAC=120°，求∠DAE的度数． 5.如图，已知线段，是的中点，直线于点，直线于点，点是左侧一点，到的距离为.作出点关于的对称点，并在上取一点，使点、关于对称. (1)求证：. (2)已知，试猜想与有何数量关系，并说明理由. 6.有一张正方形纸片，点E是边上一定点，在边上取点F，沿着折叠，点A落在点处，在边上取一点G，沿折叠，点B落在点处． (1)如图，当点落在直线上时，猜想两折痕的夹角的度数并说明理由． (2)当时，设． ①试用含x的代数式表示的度数． ②探究是否可能平分，若可能，求出此时的度数；若不可能，请说明理由． 7.已知，如图，平分，，垂足为，点在的延长线上，，垂足为点，垂直平分，为垂足，连结，． 求证：． 板块六：变量之间的关系 1.某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费(元)与印刷数量(张)之间关系如表： 印刷数量(张) … 100 200 300 400 … 收费(元) … 15 30 45 60 … (1)表格体现了哪两个变量之间的关系? (2)直接写出收费(元)与印刷数量(张)之间关系式； (3)若收费为300元，求印刷宣传单的数量． 2.姐姐帮小明荡秋千(如图①)，秋千离地面的高度h(m)与摆动时间t(s)之间的关系如图②所示，结合图象： (1)变量h，t中，自变量是 ，因变量是 ，h最大值和最小值相差 m． (2)当t=5.4s时，h的值是 m，除此之外，还有 次与之高度相同； (3)秋千摆动第一个来回 s． 3.将长为、宽为的长方形白纸，按如图所示的方法黏合起来，黏合部分宽为． (1)根据图，将表格补充完整： 白纸张数 纸条长度 (2)设张白纸黏合后的总长度为，则与之间的关系式是什么？ (3)你认为白纸黏合起来总长度可能为吗？为什么？ 4.据统计，某公交车每月的支出费用为3000元，每月利润(利润＝票款收入－支出费用)(元)与每月的乘车人数(人)的变化关系如下表所示(公交车票价固定不变)． 每月的乘车人数/人 600 900 1200 1500 1800 … 每月利润/元 －1800 －1200 －600 0 600 … (1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ； (2)观察表中数据可知，每月乘车人数达到 人以上时，该公交车才不会亏损； (3)由表中数据可推断出该公交车的票价为 元； (4)求每月乘车人数为5000人时的每月利润． 5.为表彰在“世界地球日，一起爱地球”主题活动中表现优秀的同学，某班需要购买6个书包和若干个文具盒(不少于6个)．某文具超市制定了两种优惠方案：①买一个书包赠送一个文具盒，多于书包数的文具盒按原价收费；②书包和文具盒均按原价的9折收费．已知每个书包定价为30元，每个文具盒定价为5元． (1)设需要购买x个文具盒，选择第一种方案购买所需费用为元，选择第二种方案购买所需费用为元，请分别写出，与x之间的关系式； (2)购买多少个文具盒时，两种方案所需费用相同？ 6.一辆汽车油箱内有油a升，从某地出发，每行驶1小时耗油6升，若设剩余油量为Q升，行驶时间为t/小时，根据以上信息回答下列问题： (1)开始时，汽车的油量______升； (2)在行驶了______小时汽车加油，加了______升，写出加油前Q与t之间的关系式______； (3)当这辆汽车行驶了9小时，剩余油量多少升？ 7.小南一家到某度假村度假．小南和妈妈坐公交车先出发，爸爸自驾车沿着相同的道路后出发．爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到东西后又马上驾车前往度假村(取东西的时间忽略不计)．如下图是他们离家的距离s(km)与小南离家的时间t(h)的关系图．请根据图回答下列问题： (1)图中的自变量是_________，因变量是_________，小南家到该度假村的距离是_____km． (2)小南出发___________小时后爸爸驾车出发，爸爸驾车的平均速度为___________km/h，图中点A表示 ． (3)小南从家到度假村的路途中，当他与爸爸相遇时,离家的距离约是___________km． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末解答题分类训练2025-2026学年北师大版 七年级下册（六板块） 板块一：整式的乘除 1．计算： (1)(2) 【答案】(1)(2)0 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算： (1)若，，求的值． (2)若，求x的值． 【答案】(1)18(2) 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵． ∴， 解得 3．先化简，再求值：，其中x= -1，． 【答案】 解： ； 当x= -1，时， 原式 ． 4．已知，，求下列式子的值： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解： ． 5．将边长为的正方形的左上角剪掉一个边长为的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2）． (1)设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，请用含、的式子表示和； (2)用上面的结果可以验证哪个乘法公式？ (3)利用（2）中得到的公式，解答下列问题： ①已知，，求的值； ②计算：． 【答案】(1)， (2) (3)①4；②750000 【详解】（1）解：根据图形以及正方形和长方形的面积计算公式可得： ，． （2）以上结果可以验证的乘法公式是． （3）①，， ． ② ． 板块二：相交线与平行线 1．如图，直线与相交于点O，是的平分线，，．    (1)图中除直角外，还有相等的角吗？请写出两对． (2)如果，求的度数． (3)平分吗？请写出理由． 【答案】(1)，； (2) (3)平分，理由见解析 【详解】（1）∵是的平分线， ∴， 根据对顶角相等得出：； （2）∵． ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即：， ∴平分． 2.如图，点G在上，已知，平分，平分，请说明的理由． 解：（已知）， （_______） （_______）． ∵平分， _______（_______）． 平分， _______， 得（_______）， （_______）． 【答案】邻补角的定义；同角的补角相等；；角平分线的定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行； 3.如图，已知AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，∠2＝∠3．求证：BE∥DF． 【答案】证明：∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， 即∠3+∠4＝90°， ∵∠1+∠2＝90°，且∠2＝∠3， ∴∠1+∠3＝90°， ∴∠1＝∠4， ∴BE∥DF，理由是：同位角相等，两直线平行． 4.如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠ACM．当∠DCM＝60°时，求∠O的度数． 【答案】解：∵CD平分∠ACM， ∴∠ACM＝2∠DCM． ∵∠DCM＝60°， ∴∠ACM＝120°． ∵直线AB与OM交于点C， ∴∠OCB＝∠ACM＝120°（对顶角相等）， ∵AB∥ON， ∴∠O+∠OCB＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠O＝60°． 5．已知，直线，点E为直线上一定点，直线交于点F，平分 (1)如图1，当时， °； (2)点P为射线上一点，点M为直线上的一动点，连接，过点P作交直线于点N． ①如图2，点P在线段上，若点M在点E左侧，求与的数量关系； ②点P在线段的延长线上，当点M在直线上运动时，的一边恰好与射线平行，直接写出此时的度数（用含α的式子表示）． 【答案】(1)55 (2)①，②或 【详解】（1）∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：55； （2）①过点P作，如图， 则 ∴， ∵， ∴， 即， ∴ ∵， ∴， ∴， ②当时，如图， ∵， ∴ ∴， ∵平分 ∴ ∵， ∴， 当时，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵平分 ∴ ∵ ∴， ∵， ∴ ∴ ． 故∠PNF的度数为或． 板块三：概率初步 1.八月底，八年级（1）班学生小颖对全班同学这一个多月来去重庆大学图书馆的次数做了调查统计，将结果分为A、B、C、D、E五类，其中A表示“0次”、B类表示“1次”、C类表示“2次”、D类表示“3次”、E类表示“4次及以上”．并制成了如下不完整的条形统计和扇形统计图（如图所示）． 请你根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1）填空：a＝　 　； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中D类的扇形所占圆心角的度数； （3）从全班去过该图书馆的同学中随机抽取1人，谈谈对新图书馆的印象和感受．求恰好抽中去过“4次及以上”的同学的概率． 【答案】解：（1）调查的总人数为12÷24%＝50（人）， 所以a%＝＝20%，即a＝20； 故答案为20； （2）C类人数为50﹣8﹣12﹣10﹣4＝16（人）， 条形统计图为： 扇形统计图中D类的扇形所占圆心角的度数为360°×20%＝72°； （3）恰好抽中去过“4次及以上”的同学的概率＝＝＝． 2.乒乓球馆有20盒白色乒乓球，但在整理过程中，发现其中混入了若干黄色乒乓球．经过统计后，发现每盒白色乒乓球中最多混入了2个黄色乒乓球，具体数据见下表： 黄色乒乓球数 0 1 2 盒数 8 m n 从20盒白色乒乓球中任意选取1盒； （1）“盒中没有黄色乒乓球”是 　 　事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）； （2）“盒中有黄色乒乓球”的概率是 　 　； （3）若“盒中有1个黄色乒乓球”的概率为，求m和n的值． 【答案】解：（1）20盒白色的乒乓球中，有的混入黄色的乒乓球，有的没有混入黄色乒乓球， 因此“盒中没有黄色乒乓球”是随机事件， 故答案为：随机； （2）“盒中有黄色乒乓球”的盒数为20﹣8＝12（盒）， 所以“盒中有黄色乒乓球”的概率为＝， 故答案为：； （3）因为“盒中有1个黄色乒乓球”的概率为， 所以＝， 即m＝5， n＝20﹣8﹣5＝7， 答：m＝5，n＝7． 3.暑假将至，某商场为了吸引顾客，设计了可以自由转动的转盘（如图所示，转盘被均匀地分为20份），并规定：顾客每 200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．若某顾客购物300元． （1）求他此时获得购物券的概率是多少？ （2）他获得哪种购物券的概率最大？请说明理由． 【答案】解：（1）∵转盘被均匀地分为20份，他此时获得购物券的有10份， ∴他此时获得购物券的概率是：＝； （2）∵P（获得200元购物券）＝，P（获得100元购物券）＝，P（获得50元购物券）＝＝， ∴他获得50元购物券的概率最大． 4.某校音乐组决定围绕在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中，你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制如下两幅不完整的统计图． 请你根据统计图解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽查了　 　名学生．其中喜欢“舞蹈”活动项目的人数占抽查总人数的百分比为　 　．扇形统计图中喜欢“戏曲”部分扇形的圆心角为　 度． （2）请你补全条形统计图． （3）某班7位同学中，1人喜欢舞蹈，2人喜欢乐器，1人喜欢声乐，3人喜欢乐曲，李老师要从这7人中任选1人参加学校社团展演，则恰好选出1人喜欢乐器的概率是　 　． 【答案】解：（1）在这次调查中，一共抽查了8÷16%＝50名学生， 其中喜欢“舞蹈”活动项目的人数占抽查总人数的百分比为：×100%＝24%， 扇形统计图中喜欢“戏曲”部分扇形的圆心角为：360°×＝28.8°， 故答案为：50，24%，28.8； （2）喜欢戏曲的学生有：50﹣12﹣16﹣8﹣10＝4（人）， 补全的条形统计图如右图所示； （3）∵某班7位同学中，1人喜欢舞蹈，2人喜欢乐器，1人喜欢声乐，3人喜欢乐曲， ∴李老师要从这7人中任选1人参加学校社团展演，则恰好选出1人喜欢乐器的概率是， 故答案为：． 板块四：三角形 1.已知：如图，在△ABC中，∠DAE＝10°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，∠B＝60°，求∠C的度数． 【答案】 解：∵AD⊥BC，∠B＝60°， ∴在△ABD中，∠BAD＝180°﹣90°﹣60°＝30°， 又∵∠DAE＝10°， ∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝30°+10°＝40°， 又∵AE平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠BAE＝80°， ∴在△ABC中，∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°． 答：∠C的度数是40°． 2．如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数． 【答案】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠DAE=∠BAC= （∠EAB﹣∠CAD）= ． ∴∠DFB=∠FAB+∠B=∠FAC+∠CAB+∠B=10°+55°+25°=90° ∠DGB=∠DFB﹣∠D=90°﹣25°=65°． 综上所述：∠DFB=90°，∠DGB=65° 3.如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线交AC于点E，过点E作DF∥BC，交AB于点D，且EC平分∠BEF． （1）若∠ADE＝50°，求∠BEC的度数； （2）若∠ADE＝α，则∠AED＝　 （含α的代数式表示）． 【答案】 解：（1）∵DF∥BC， ∴∠ADE＝∠ABC＝50°，∠CEF＝∠C， ∵BE平分∠ABC， ∴∠DEB＝∠EBC＝25°， ∵EC平分∠BEF， ∴∠CEF＝∠BEC＝∠C， ∵∠BEC+∠C+∠EBC＝180°， ∴∠BEC＝77.5°； （2）∵DF∥BC， ∴∠ADE＝∠ABC＝α， ∵BE平分∠ABC， ∴∠DEB＝∠EBC＝α， ∵EC平分∠BEF， ∴∠AED＝∠CEF＝（180°﹣α）＝90°﹣α． 故答案为：90°﹣α． 4．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点M是边AB上任意一点，连接CM，过点A，B分别作AE⊥CM，BF⊥CM，垂足分别为E，F，若BF＝2.6cm，AE＝0.9cm，分别求出CF，EF的长. 【答案】证明：∵AE⊥CM.BF⊥CM， ∴∠AEC＝∠BFC＝∠ACB＝90°， ∴∠CAE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BCF＝90°， ∴∠CAE＝∠BCF， 在△ACE和△CBF中， ， ∴△ACE≌△CBF（AAS）， ∴AE＝CF＝0.9（cm），BF＝CE＝2.6（cm）， ∴EF＝CE﹣CF＝1.7（cm）. 5.如图，在中，，是边上的中线，延长至点，延长至点，使，连接、．求证：平分． 【答案】证明：∵在中，，是边上的中线， ∴，，平分，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 即平分． 板块五：图形的轴对称 1.如图，在正方形网格上有一个． (1)画关于直线的对称图形(不写画法)； (2)若网格上的每个小正方形的边长为1，求的面积； (3)在直线上求作一点P，使最小(保留作图痕迹，不写作法)． 【答案】(1)见解析 (2)8.5 (3)见解析 【详解】(1)解：如图，△即为所求； (2)解：的面积． (3)解：如图，点P即为所求． 2.如图，与关于直线对称，与的交点在直线上．若，，，． (1)求出的长度； (2)求的度数． 【答案】(1)＝3cm；(2)＝18° 【详解】解：(1)∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，ED＝4cm，FC＝1cm， ∴BC＝ED＝4cm， ∴BF＝BC−FC＝3cm． (2)∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°， ∴∠EAD＝∠BAC＝76°， ∴∠CAD＝∠EAD−∠EAC＝76°−58°＝18°． 3.如图，16个相同的小正方形拼成一个正方形网格，其中的三个小方格已涂黑，请你用四种方法在图中再涂黑一个小方格，使它成为轴对称图形． 【答案】见解析 【详解】解：如图所示，即为所求． 4.如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，连接AD，AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，连接D′C，若BD=CD′； (1)求证：△ABD≌△ACD′； (2)若∠BAC=120°，求∠DAE的度数． 【答案】(1)见解析；(2) 【详解】(1)根据对称得出AD=AD′，根据SSS证△ABD≌△ACD′即可； (2)根据全等得出∠BAD=∠CAD′，求出∠BAC=∠DAD′，根据对称得出∠DAE=∠DAD′，代入求出即可． ()证明：∵以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E， ∴， 在△ABD和△ACD′中， ∵ ， ∴ △ABD≌△ACD′(SSS). ()解：∵≌， ∴， ∴， ∵以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E， ∴， 即． 5.如图，已知线段，是的中点，直线于点，直线于点，点是左侧一点，到的距离为.作出点关于的对称点，并在上取一点，使点、关于对称. (1)求证：. (2)已知，试猜想与有何数量关系，并说明理由. 【答案】(1)见解析；(2)，见解析 【详解】解：(1)∵、关于对称，点在上， ∴. 又∵， ∴ (2)猜想： 理由：根据题意可知，. 又∵， ∴， ∴， ∴，即 6.有一张正方形纸片，点E是边上一定点，在边上取点F，沿着折叠，点A落在点处，在边上取一点G，沿折叠，点B落在点处． (1)如图，当点落在直线上时，猜想两折痕的夹角的度数并说明理由． (2)当时，设． ①试用含x的代数式表示的度数． ②探究是否可能平分，若可能，求出此时的度数；若不可能，请说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)①或，②可能，当点B落在内部时，；当点B落在内部时， 【详解】(1)解：猜想：；理由如下： ∵， ∵折叠， ∴， ∴； (2)(2)①(Ⅰ)当点落在内部时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；                            (Ⅱ)如图，当点B落在内部时， ， ∴ ， ∴， ∴， ∴．       综上所述，或； ②可能． (Ⅰ)当点B落在内部时， ∵平分， ∴， ∴， 解得， ∴；                 (Ⅱ)当点B落在内部时，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， 解得：， 此时， 综上所述，可能平分，或． 7.已知，如图，平分，，垂足为，点在的延长线上，，垂足为点，垂直平分，为垂足，连结，． 求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：平分，，， ， 垂直平分， ， ，， ， 在和中， ． 板块六：变量之间的关系 1.某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，收费(元)与印刷数量(张)之间关系如表： 印刷数量(张) … 100 200 300 400 … 收费(元) … 15 30 45 60 … (1)表格体现了哪两个变量之间的关系? (2)直接写出收费(元)与印刷数量(张)之间关系式； (3)若收费为300元，求印刷宣传单的数量． 【答案】(1)上表反映了印刷数量和收费两个变量之间的关系；(2)；(3)花费300元时，印了2000张宣传单． 【详解】解：(1)上表反映了印刷数量和收费两个变量之间的关系； (2)由上表可知：印刷数量每增加100张，收费增加15元， 所以每张的价格是0.15元． 所以收费(元)与印刷数量(张)之间的关系式为 (3)由(2)知， 所以， 解得 所以花费300元时，印了2000张宣传单． 【点睛】本题主要考查了用表格表示两个变量的关系，解题的关键在于能够准确根据表格找到对应的关系. 2.姐姐帮小明荡秋千(如图①)，秋千离地面的高度h(m)与摆动时间t(s)之间的关系如图②所示，结合图象： (1)变量h，t中，自变量是 ，因变量是 ，h最大值和最小值相差 m． (2)当t=5.4s时，h的值是 m，除此之外，还有 次与之高度相同； (3)秋千摆动第一个来回 s． 【答案】(1)t，h，1；(2)1，7；(3)2.8． 【详解】解：(1)由图象可知，变量h，t中，自变量是t，因变量是h，h最大值和最小值相差1.5﹣0.5=1m， 故答案为：t，h，1； (2)由图象知，当t=5.4s时，h=1m，除此之外，还有7次与之高度相同， 故答案为：1，7； (3)由于秋千从最高点开始摆动一个来回要经过两次最低点，根据图象可知，秋千摆动第一个来回需要2.8s， 故答案为：2.8． 【点睛】本题考查用图象表示变量间关系，理解题意，能从图象中获取有效信息是解答的关键． 3.将长为、宽为的长方形白纸，按如图所示的方法黏合起来，黏合部分宽为． (1)根据图，将表格补充完整： 白纸张数 纸条长度 (2)设张白纸黏合后的总长度为，则与之间的关系式是什么？ (3)你认为白纸黏合起来总长度可能为吗？为什么？ 【答案】(1) ， ；(2)；(3)不可能，理由见解析 【详解】解：(1)由题意可得，白纸张数为2时，长度为 当白纸张数为5时，长度为 故答案为：，； (2)当白纸张数为张时，长度 故答案为 不可能． 理由：将代入，得， 解得． 因为为整数， 所以总长度不可能为． 【点睛】本题主要考查了函数关系式的知识，解答本题的关键在于熟读题意发现题目中纸张长度的变化规律，并求出正确的函数关系式． 4.据统计，某公交车每月的支出费用为3000元，每月利润(利润＝票款收入－支出费用)(元)与每月的乘车人数(人)的变化关系如下表所示(公交车票价固定不变)． 每月的乘车人数/人 600 900 1200 1500 1800 … 每月利润/元 －1800 －1200 －600 0 600 … (1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ； (2)观察表中数据可知，每月乘车人数达到 人以上时，该公交车才不会亏损； (3)由表中数据可推断出该公交车的票价为 元； (4)求每月乘车人数为5000人时的每月利润． 【答案】(1)每月乘车人数，每月利润 (2)1500 (3)2 (4)7000元 (1) 解：在这个变化过程中，每月乘车人数是自变量，每月的利润是因变量， 故答案为：每月乘车人数，每月的利润； (2) 解：观察表中数据可知，每月乘客量达到观察表中数据可知，每月乘客量达到1500人以上时，该公交车才不会亏损， 故答案为：1500； (3) 解：由表中数据可知，当每月乘车人数为1500人时，每月利润为0元，则题中票款收入=支出费用，而每月固定支出费用为3000元，从而得到票价为元， 故答案为：2； (4) 解：由表中数据可知，每月的乘车人数每增加300人，每月的利润可增加600元，当每月的乘车人数为1500人时，每月利润为0元，则当每月乘车人数为5000人时，每月利润为元， 故答案为：7000元． 5.为表彰在“世界地球日，一起爱地球”主题活动中表现优秀的同学，某班需要购买6个书包和若干个文具盒(不少于6个)．某文具超市制定了两种优惠方案：①买一个书包赠送一个文具盒，多于书包数的文具盒按原价收费；②书包和文具盒均按原价的9折收费．已知每个书包定价为30元，每个文具盒定价为5元． (1)设需要购买x个文具盒，选择第一种方案购买所需费用为元，选择第二种方案购买所需费用为元，请分别写出，与x之间的关系式； (2)购买多少个文具盒时，两种方案所需费用相同？ 【答案】(1)， (2)24个 (1) 解：由题意得：，即， ，即． (2) 解：令，则， 解得，符合题意， 答：购买24个文具盒时，两种方案所需费用相同． 6.一辆汽车油箱内有油a升，从某地出发，每行驶1小时耗油6升，若设剩余油量为Q升，行驶时间为t/小时，根据以上信息回答下列问题： (1)开始时，汽车的油量______升； (2)在行驶了______小时汽车加油，加了______升，写出加油前Q与t之间的关系式______； (3)当这辆汽车行驶了9小时，剩余油量多少升？ 【答案】(1)42；(2)5 ， 24  ，；(3)当这辆汽车行驶了9小时，剩余油量12升． 【详解】解：(1)由图象可知，开始时，汽车的油量42升， 故答案为：42； (2)由图象可知，在行驶了5小时汽车加油，加了36﹣12=24升， ∵加油前汽车每小时的耗油(42-12)÷5=6(升)， ∴加油前汽车剩余油量Q=42﹣6t， 故答案为：5  ，24 ， ； (3)由题意，加油后汽车每小时的耗油6升， ∴加油后剩余油量Q=(升)， 故当这辆汽车行驶了9小时，剩余油量12升． 【点睛】本题考查用图象表示变量间的关系、有理数的混合运算，理解题意，能从图象中获取有效信息是解答的关键． 7.小南一家到某度假村度假．小南和妈妈坐公交车先出发，爸爸自驾车沿着相同的道路后出发．爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到东西后又马上驾车前往度假村(取东西的时间忽略不计)．如下图是他们离家的距离s(km)与小南离家的时间t(h)的关系图．请根据图回答下列问题： (1)图中的自变量是_________，因变量是_________，小南家到该度假村的距离是_____km． (2)小南出发___________小时后爸爸驾车出发，爸爸驾车的平均速度为___________km/h，图中点A表示 ． (3)小南从家到度假村的路途中，当他与爸爸相遇时,离家的距离约是___________km． 【答案】(1)t，s，60；(2) 1,60,小南出发2.5小时后，离家的距离为50km ;(3)30或45． 【详解】(1)自变量是时间或t，因变量是距离或s；小亮家到该度假村的距离是：60； (2)小亮出发1小时后爸爸驾车出发：爸爸驾车的平均速度为60÷1=km/h； 图中点A表示：小亮出发2.5小时后，离度假村的距离为10km； (3)当20t=60(t-1)，解得：t=1.5 则离家20×1.5=30(千米) 当20t=120-60(t-1),解得：t=2.25 则离家20×2.25=45(千米) 小亮从家到度假村的路途中，当他与他爸爸相遇时．离家的距离约是30或45． 学科网（北京）股份有限公司 $