培优 期望递推的常见题型（专项训练）数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦期望递推5类核心题型，以“核心思想+解题步骤”构建方法体系，通过典例与变式练习实现从模型认知到问题解决的逻辑递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |首次成功型|1典例+11练习|试验至首次成功或停止，分步计算概率与期望|基于几何分布，从有限次到无限次拓展| |连续成功型|1典例+2练习|定义连续成功状态，建立线性递推方程求解|从单次成功到连续n次成功的状态迁移| |全期望公式应用|1典例+8练习|明确转移规则，利用全期望公式构建递推关系|盒子传球模型中红球期望的传递与转化| |不放回抽取型|1典例+5练习|分析随机机制，计算条件期望与方差|微生物分裂、抽球补球等动态过程的期望建模| |赌徒破产模型|1典例+9练习|分解停止事件，建立期望递推式|随机游走中终止条件与边界问题的推理应用|

培优 期望递推的5种常见题型 题型1 首次成功型 核心思想：试验直到首次成功或者达到最大次数则停止 解题步骤： 1.写出概率： 当时， 当时， 2.计算期望 根据期望的计算公式代入即可. 【典例】已知箱中有若干个大小相同的红球和白球，每次抽一个球，若抽到白球，则放回并再次抽球，若抽到红球，则不再抽取．设每次抽到红球的概率为（），记X为停止抽球时所抽取的次数，的数学期望为． (1)若最多抽4次，且，求的分布列及数学期望； (2)在成功概率为（）的伯努利试验中，记为首次成功时所需的试验次数，的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量的概率分布为几何分布．若抽球一直进行下去，则服从几何分布． ①求恰好第次抽到红球的概率； ②求． 练习1：抛均匀硬币，抛出正面立刻停止抛掷，最多抛掷 5 次，为抛掷总次数，则（） A 　 B .　 C .　 D . 练习2：单次抽奖中奖概率，中奖立刻停止，最多抽 6 次，则（） A . 　 B . 　 C . 　D . 练习3：课间抛均匀硬币，抛出正面立刻停止抛掷，最多连续抛掷 7 次，为抛掷总次数，则（） 练习4：无上限抽奖，单次中奖概率，首次中奖抽取次数服从几何分布，则. 练习5：文创盲盒抽奖，每次拆开盲盒抽中隐藏款概率，抽到隐藏款立即停止抽奖，活动限制每人最多拆 6 个盲盒，为拆盲盒的数量，则. 练习6：射箭日常训练，运动员每次射中靶心概率，射中立刻结束本轮训练，无射击次数上限，记为首次命中时射箭次数，借助错位相减法推导. 练习7：桌游摇 8 面骰子，摇出数字 8 即可通关，规则限制玩家最多连续摇 7 次，为摇骰子次数，则. 练习8：飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算 “到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数．在一次游戏中，飞机距终点只剩 3 步，设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为，则． 练习9：某射击运动员进行定点射击训练，每次射击命中目标的概率为，各次射击相互独立.规则：连续射击直到第一次命中目标，或者打满 5 发子弹后停止.设射击次数为，求的数学期望. 练习10：盲盒抽隐藏款，单次中奖，抽到即停止，最多拆 5 个，为拆盒数量. (1) 求的分布列；((2) 求. 练习11：小明玩抛硬币游戏，规则是：不断抛掷一枚质地均匀的硬币，直到第一次出现正面向上，或者总共抛满 10 次就强制结束.设游戏结束时抛掷的总次数为随机变量，求的数学期望. 题型2 连续成功型 核心思想：求首次出现连续次成果所需的试验次数期望，使用状态递推 解题步骤： 1.定义状态:当前已连续次成果，从该状态出发到首次达到连续次所需的期望剩余次数； 2.建立递推方程； 3.解线性递推方程. 【典例】已知常数，在成功的概率为的伯努利试验中，记为首次成功时所需的试验次数，的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量的概率分布为几何分布. (1)对于正整数，求 ，并根据，求； (2)对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为.现提供一种求的方式： 先进行第一次试验， 若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为； 若第一次试验成功，则进行第二次试验： 当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为 2； 若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为. (i)求； (ii)记首次出现连续 (n) 次成功时所需的试验次数的期望为，求. 练习1：伯努利试验单次成功概率，记为首次连续两次成功所需试验次数的期望. (1) 列期望方程；(2) 求解. 练习2：在一系列独立重复试验中，每次试验成功的概率为，失败概率为.记为第一次出现连续 2 次成功时所需的试验总次数的期望，求. 题型3 全期望公式的综合应用（盒子传球的期望） 核心思想：利用全期望公式和递推关系求解 解题步骤： 1.明确每一步的转移规则； 2.记第号盒子中红球个数的期望为； 3.利用全期望公式： 4.计算条件期望时，需知第号盒子中红球的数目或更细的状态； 5.若需要具体概率，可设辅助概率，建立递推数列求解. 【典例】现有标号依次为的个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球.现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…,依次进行到从号盒子里取出2个球放入号盒子为止. (1)当时，求2号盒子里有2个红球的概率； (2)当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列； (3)记号盒子中红球的个数为,求的期望. 练习1：1 号盒：3 红 1 白，其余盒子初始 2 红 2 白，依次每次取 2 球放入下一盒，则（） A .　 B .　C .　 D . 练习2：甲乙两盒初始各 2 黑 1 白，每次互相交换一球，为次交换后甲盒黑球期望，则（） A .　 B .　C .　 D . 随变化 练习3：个编号纸箱：1 号箱装有 3 红 2 白，其余所有箱子初始都是 1 红 2 白；规则：从第箱随机取 1 颗小球放入号箱依次传递，记为从号箱取出红球的概率，已知，则. 练习4：A、B 两个储物盒初始均装有 3 黑 2 白，每轮操作：两盒各随机取出一球互相交换；设为次交换后 A 盒恰好 3 黑 2 白的概率，为 A 盒恰好 4 黑 1 白的概率，构造满足，，则. 练习5：承接新型盒子传递模型：1 号盒 4 红 1 白，其余盒子固定 2 红 2 白，依次从前一盒取出 2 球放入后一盒，为号盒子内红球数量，由全期望可证为定值，则. 练习6：有个编号分别为的盒子，第1个盒子中有2个红球和1个白球，其余盒子中均为1个红球和1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，现从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，，依次进行． (1)求从第2个盒子中取到红球的概率； (2)求从第个盒子中取到红球的概率； (3)设第个盒子中红球的个数为，的期望值为，求证：. 练习7：甲、乙两个盒子中都装有大小、形状、质地相同的2个黑球和1个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复次这样的操作后，记甲盒子中黑球的个数为，甲盒中恰有2个黑球的概率为，恰有3个黑球的概率为. (1)求； (2)设，证明：； (3)求的数学期望的值. 练习8：马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备 “无记忆” 的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲、乙两口袋中各装有 1 个黑球和 2 个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，其中恰有 1 个黑球的概率为，恰有 2 个黑球的概率为. (1) 求，的值； (2) 求的值（用表示）； (3) 求的数学期望. 题型4 不放回抽取型（条件期望与全期望公式） 核心思想：利用条件期望和全期望公式处理随机过程，求期望和方差. 解题步骤： 1.分析每一步的随机机制（如每个个体独立地以概率0.5死亡或分裂为2个）； 2.根据上一步的数量，写出下一步的条件分布（如 服从） 3.计算条件期望； 4.利用方差公式计算方差. 【典例】设离散型随机变量的取值分别为,.定义关于事件“” 的条件数学期望为，已知条件数学期望满足全期望公式.解决如下问题：为了研究某药物对于微生物生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验.在第1天上午，实验人员向培养皿中加入10个的个体.从第1天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物.当加入药物时，的每个个体立即产生1次如下的生理反应设的每个个体在当天的其他时刻均不发生变化，不同个体的生理反应相互独立）：①直接死亡；②分裂为2个个体，且这两种生理反应是等可能的. 设第天上午培养皿中的个体数量为.规定,. (1) 求； (2) 证明； (3) 已知，求，并结合(2)说明其实际含义. 附：对于随机变量. 练习1：初始20个微生物，单日每个菌体概率死亡，否则则分裂为2个，第天菌体数量，则（） A .　B .　C .　 D . 练习2：袋中有2白3黑5个球，随机抽一球，抽到白球放回，抽到黑球拿走并补1白球，（） A .　 B .　 C .　 D . 练习3：全期望公式是条件数学期望的一个非常重要的性质.全期望公式具有广泛的应用.例如，小明按照如下规则扔一个骰子：如果扔到1点，就再扔一次并规则不变，如果扔到其他点数则停止.设为小明停止扔骰子后扔骰子的总次数，则根据全期望公式可得，解得，其中表示小明投一次1点后，再投骰子停止后次数期望仍为，加上之前投的一次总次数为.参考以上方法完成下列问题：一只小白鼠陷入一个有三扇门的迷宫中，它每次都是等可能得选择其中一扇门，如选择第一扇门，小白鼠2分钟后到达安全区；如选择第二扇门，小白鼠3分钟后回到迷宫起点；如选择第三扇门，小白鼠5分钟后回到迷宫起点.设小白鼠达到安全区所需的时间为，则__________分钟. 练习4：微生物培育实验：初始投放 30 个菌体，单个菌体每日独立：概率死亡，概率分裂为 2 个新菌体；为第日菌体数量，，则. 练习5：一袋中有个白球和个黑球．从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复次这样的操作后，记袋中白球的个数为. (1) 求； (2) 设，求； (3) 证明：，并求. 题型5 赌徒破产模型（随机游走） 核心思想：根据游戏规则，将停止事件分解为互斥的初始步骤情形，建立关于期望的递推式. 解题步骤： 1.设为最多抛掷次时游戏停止次数的期望（或直接设无上限但考虑终止条件）. 2.分析前几步的所有可能结果，每种结果对应剩余期望的递推（如本例中分三次：第一次反面；前两次正面；第一次正面第二次反面）. 3. 根据全概率公式建立递推方程： . 4. 结合初始值（如）递推计算. 关键技巧：将复杂停止规则分解为若干简单路径，每条路径对应一个“重置”后的期望，注意边界条件（如最大次数限制）. 【典例】有一枚质地均匀的硬币，现进行连续抛硬币游戏，规则如下：在抛掷的过程中，无论何时，连续出现奇数次正面后出现一次反面，则游戏停止；否则游戏继续进行.最多抛掷10次，则该游戏抛掷次数的数学期望为______. 练习1：甲乙单局胜率均，任意一方净胜 2 局比赛结束，（） A .　 B .　 C .　 D . 练习2：象棋比赛中每一局甲获胜概率、乙，净胜 2 局结束，则（） A .　 B .　 C .　 D . 练习3：均匀硬币抛掷，出现连续奇次正+一次反面停止，最多抛 4 次，，，则（） 练习4：甲单局胜率、乙，净胜两局终止，则. 练习5：排球友谊赛单局甲胜率，乙胜率；规则：任意一方净胜 2 局比赛结束，两局打平概率，，为总局数，则. 练习6：桌球对局甲胜率、乙，净胜两局立刻终止，则. 练习7：乒乓球被称为我国的“国球”.甲､乙两名运动员进行乒乓球比赛，其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的. ①若比赛为五局三胜制，则需比赛五局才结束的概率为__________. ②若两人约定其中一人比另一人多赢两局时比赛结束，则需要进行的比赛局数的数学期望为__________. 附：当时，，. 练习8：随着疫情时代的结束，越来越多的人意识到健康的重要性，更多的人走出家门，走进户外.近期文旅消费加速回暖，景区人流不息､酒店预订爆满､市集红红火火，旅游从业者倍感振奋.某乡村旅游区开发了一系列的娱乐健身项目，其中某种游戏对抗赛，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人约定其中一人比另一人多赢两局就停止比赛，每局比赛相互独立.设比赛结束时比赛进行的局数为.附：当时，，.求： (1)当时，甲赢得比赛的概率； (2)的数学期望. 练习9：2021 年奥运会我国射击项目收获丰盛，在我国射击也是一项历史悠久的运动.某射击运动爱好者甲来到靶场练习. (1) 已知用于射击打靶的某型号枪支弹夹中一共有发子弹，甲每次打靶的命中率均为，一旦出现子弹脱靶或者子弹打光便立即停止射击.记标靶上的子弹数量为随机变量，求的分布列和数学期望； (2) 若某种型号的枪支弹巢中一共可装填 6 发子弹，现有一枪支其中有发为实弹，其余均为空包弹，现规定：每次射击后，都需要在下一次射击之前填充一发空包弹，假设每次射击相互独立且均随机，在进行次射击后，记弹巢中空包弹的发数为， ①当时，请直接写出数学期望与的关系； ②求出关于的表达式. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优 期望递推的5种常见题型 题型1 首次成功型 核心思想：试验直到首次成功或者达到最大次数则停止 解题步骤： 1.写出概率： 当时， 当时， 2.计算期望 根据期望的计算公式代入即可. 【典例】已知箱中有若干个大小相同的红球和白球，每次抽一个球，若抽到白球，则放回并再次抽球，若抽到红球，则不再抽取．设每次抽到红球的概率为（），记X为停止抽球时所抽取的次数，的数学期望为． (1)若最多抽4次，且，求的分布列及数学期望； (2)在成功概率为（）的伯努利试验中，记为首次成功时所需的试验次数，的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量的概率分布为几何分布．若抽球一直进行下去，则服从几何分布． ①求恰好第次抽到红球的概率； ②求． 【解析】（1）的所有可能取值为， ，, , X的分布列为： 1 2 3 4 0.1 0.09 0.081 0.729 所以X的数学期望为； （2）①恰好第k次抽到红球，这意味着前次抽到的都是白球，如果，可以视为第一次就抽到了红球， 从而； ②,， ， 两式相减得， 所以, 事实上，，所以， 所以. 练习1：抛均匀硬币，抛出正面立刻停止抛掷，最多抛掷 5 次，为抛掷总次数，则（） A 　 B .　 C .　 D . 【解析】时，； . 答案： 练习2：单次抽奖中奖概率，中奖立刻停止，最多抽 6 次，则（） A . 　 B . 　 C . 　D . 【解析】即前 5 次全部未中奖，，答案： 练习3：课间抛均匀硬币，抛出正面立刻停止抛掷，最多连续抛掷 7 次，为抛掷总次数，则（） 【解析】时，首次正面：； ：前 6 次全反面强制终止：. 两式相减： 最终，. 练习4：无上限抽奖，单次中奖概率，首次中奖抽取次数服从几何分布，则. 【解析】几何分布期望. 练习5：文创盲盒抽奖，每次拆开盲盒抽中隐藏款概率，抽到隐藏款立即停止抽奖，活动限制每人最多拆 6 个盲盒，为拆盲盒的数量，则. 【解析】随机变量的取值：. 前 5 次抽到隐藏款：满足首次成功分布：； 第 6 次：前 5 次全部未中奖强制终止：. 由离散随机变量期望定义： 练习6：射箭日常训练，运动员每次射中靶心概率，射中立刻结束本轮训练，无射击次数上限，记为首次命中时射箭次数，借助错位相减法推导. 【解析】，期望定义：. 设，记有限项和，列方程组： 上下两式错位相减： 又，则. 两边取极限：，故. 代入，. 练习7：桌游摇 8 面骰子，摇出数字 8 即可通关，规则限制玩家最多连续摇 7 次，为摇骰子次数，则. 【解析】代表前6次全部未摇出数字8，第7次无论点数强制结束游戏；单次失败概率，各次试验独立. 练习8：飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算 “到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数．在一次游戏中，飞机距终点只剩 3 步，设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为，则． 【答案】 【分析】先确定对应的期望方程，利用期望递推求期望. 【详解】每次投掷骰子，只有掷出点可以到达终点，成功概率；掷剩余 5 个点数，概率，飞机退回距终点 3 步，状态不变. 设， 整理：，解得. 练习9：某射击运动员进行定点射击训练，每次射击命中目标的概率为，各次射击相互独立.规则：连续射击直到第一次命中目标，或者打满 5 发子弹后停止.设射击次数为，求的数学期望. 【解析】 . 练习10：盲盒抽隐藏款，单次中奖，抽到即停止，最多拆 5 个，为拆盒数量. (1) 求的分布列；((2) 求. 解:1) ； (2) 练习11：小明玩抛硬币游戏，规则是：不断抛掷一枚质地均匀的硬币，直到第一次出现正面向上，或者总共抛满 10 次就强制结束.设游戏结束时抛掷的总次数为随机变量，求的数学期望. 【解析】取值： . 题型2 连续成功型 核心思想：求首次出现连续次成果所需的试验次数期望，使用状态递推 解题步骤： 1.定义状态:当前已连续次成果，从该状态出发到首次达到连续次所需的期望剩余次数； 2.建立递推方程； 3.解线性递推方程. 【典例】已知常数，在成功的概率为的伯努利试验中，记为首次成功时所需的试验次数，的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量的概率分布为几何分布. (1)对于正整数，求 ，并根据，求； (2)对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为.现提供一种求的方式： 先进行第一次试验， 若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为； 若第一次试验成功，则进行第二次试验： 当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为 2； 若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为. (i)求； (ii)记首次出现连续 (n) 次成功时所需的试验次数的期望为，求. 【解析】 (1)由题可知 , 记 则 相减得 因此 (2) (i)由题意得方程 解方程： (ii) 求. 设首次出现连续次成功所需试验次数的期望为.考虑第一次试验：若失败概率，则状态重置，后续期望仍为，总次数为；若成功概率，则进入“已连续1次成功”的状态，记从该状态到首次出现连续次成功的期望剩余次数为.更一般地，设表示当前已连续次成功（），首次达到连续次成功所需次数的期望.则有 其中（无连续成功时的期望）. 边界：，且. 同时. 由递推可解得 . 练习1：伯努利试验单次成功概率，记为首次连续两次成功所需试验次数的期望. (1) 列期望方程；(2) 求解. 【解析】(1) 第一次失败：概率，后续总次数； 第一次成功、第二次失败：概率，总次数； 连续两次成功：概率，试验终止，次数. (2) 代入，解得：. 练习2：在一系列独立重复试验中，每次试验成功的概率为，失败概率为.记为第一次出现连续 2 次成功时所需的试验总次数的期望，求. 【解析】由递推方程： 代入，解得：. 题型3 全期望公式的综合应用（盒子传球的期望） 核心思想：利用全期望公式和递推关系求解 解题步骤： 1.明确每一步的转移规则； 2.记第号盒子中红球个数的期望为； 3.利用全期望公式： 4.计算条件期望时，需知第号盒子中红球的数目或更细的状态； 5.若需要具体概率，可设辅助概率，建立递推数列求解. 【典例】现有标号依次为的个盒子，标号为1号的盒子里有2个红球和2个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球.现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…,依次进行到从号盒子里取出2个球放入号盒子为止. (1)当时，求2号盒子里有2个红球的概率； (2)当时，求3号盒子里的红球的个数的分布列； (3)记号盒子中红球的个数为,求的期望. 【解析】(1) 由题可知 2 号盒子里有 2 个红球的概率为. (2) 由题可知可取 1, 2, 3, 所以 3 号盒子里的红球的个数的分布列为 X 1 2 3 P (3) 记为第号盒子有三个红球和一个白球的概率，则为第号盒子有两个红球和两个白球的概率，则, 则第号盒子有一个红球和三个白球的概率为, 且, 化解得, 得, 而, 则数列为等比数列，首项为, 公比为 , 所以, 又由 求得： 因此. 练习1：1 号盒：3 红 1 白，其余盒子初始 2 红 2 白，依次每次取 2 球放入下一盒，则（） A .　 B .　C .　 D . 【解析】长期稳态，红球期望恒为 2，答案 练习2：甲乙两盒初始各 2 黑 1 白，每次互相交换一球，为次交换后甲盒黑球期望，则（） A .　 B .　C .　 D . 随变化 【解析】期望守恒，，答案 练习3：个编号纸箱：1 号箱装有 3 红 2 白，其余所有箱子初始都是 1 红 2 白；规则：从第箱随机取 1 颗小球放入号箱依次传递，记为从号箱取出红球的概率，已知，则. 【解析】，因此： 练习4：A、B 两个储物盒初始均装有 3 黑 2 白，每轮操作：两盒各随机取出一球互相交换；设为次交换后 A 盒恰好 3 黑 2 白的概率，为 A 盒恰好 4 黑 1 白的概率，构造满足，，则. 【解析】变形递推式：，是公比的等比数列. ，. 练习5：承接新型盒子传递模型：1 号盒 4 红 1 白，其余盒子固定 2 红 2 白，依次从前一盒取出 2 球放入后一盒，为号盒子内红球数量，由全期望可证为定值，则. 【解析】利用全期望迭代：，期望恒等于初始传递稳态值，. 练习6：有个编号分别为的盒子，第1个盒子中有2个红球和1个白球，其余盒子中均为1个红球和1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，现从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，，依次进行． (1)求从第2个盒子中取到红球的概率； (2)求从第个盒子中取到红球的概率； (3)设第个盒子中红球的个数为，的期望值为，求证：. 【分析】（1）由题意，记“从第个盒子中取到红球”为事件，利用全概率公式进行求解即可； （2）结合（1）中所得信息以及等比数列的定义可得数列是以为首项，为公比的等比数列，代入通项公式中即可求解； （3）先得到的所有可能取值，结合（2）中信息得到相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中再进行求解即可． 【解析】（1）记“从第个盒子中取到红球”为事件， 此时，， 则 （2）因为 ， 所以， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 此时， 即， 当时，，符合题意， 综上，从第个盒子中取到红球的概率为； （3）证明：易知的所有可能取值为1，2， 此时， ， 则的分布列为： X 1 2 P 所以， 由于， 故． 练习7：甲、乙两个盒子中都装有大小、形状、质地相同的2个黑球和1个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复次这样的操作后，记甲盒子中黑球的个数为，甲盒中恰有2个黑球的概率为，恰有3个黑球的概率为. (1)求； (2)设，证明：； (3)求的数学期望的值. 【解析】（1）由题可知：，. （2）次操作后，甲盒有一个黑球的概率，由全概率公式知： , , , , 即 （3）, 又 ， ,即, . 练习8：马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备 “无记忆” 的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲、乙两口袋中各装有 1 个黑球和 2 个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，其中恰有 1 个黑球的概率为，恰有 2 个黑球的概率为. (1) 求，的值； (2) 求的值（用表示）； (3) 求的数学期望. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）由题意根据古典概型概率计算公式先求得；（2）由全概率公式得递推公式，构造等比数列即可求解；（3）利用期望公式结合定值计算. 【详解】（1）总取法种， 甲仍 1 黑：同色交换：，； 甲变为 2 黑：甲黑乙白：，；剩余. （2）列出转移方程：， 令，化简得，，故，即， 代入：，变形， 首项，公比，. （3）. 题型4 不放回抽取型（条件期望与全期望公式） 核心思想：利用条件期望和全期望公式处理随机过程，求期望和方差. 解题步骤： 1.分析每一步的随机机制（如每个个体独立地以概率0.5死亡或分裂为2个）； 2.根据上一步的数量，写出下一步的条件分布（如 服从） 3.计算条件期望； 4.利用方差公式计算方差. 【典例】设离散型随机变量的取值分别为,.定义关于事件“” 的条件数学期望为，已知条件数学期望满足全期望公式.解决如下问题：为了研究某药物对于微生物生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验.在第1天上午，实验人员向培养皿中加入10个的个体.从第1天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物.当加入药物时，的每个个体立即产生1次如下的生理反应设的每个个体在当天的其他时刻均不发生变化，不同个体的生理反应相互独立）：①直接死亡；②分裂为2个个体，且这两种生理反应是等可能的. 设第天上午培养皿中的个体数量为.规定,. (1) 求； (2) 证明； (3) 已知，求，并结合(2)说明其实际含义. 附：对于随机变量. 【解析】 (1)事件发生当且仅当在第1天内 个体有2个分裂，8个死亡. 所以 【方法1】在事件发生的条件下，如果在第三天下午加入药物后，有 个个体分裂，则的取值为，所以的取值集合为 . 所以 . 【方法2】在事件发生的条件下，如果在第三天下午加入药物后，有 个个体分裂，则的取值为. 所以. (2)由 (1) 可类似得到：在事件发生的条件下，如果在第天下午加入药物之后，有个个体分裂，则的取值为.在事件发生的条件下，令随机变量表示第天下午加入药物之后分裂的个体数目，则且 .因此 . 设的取值集合为，则由全期望公式可知 . 这表明是常数列，所以. (3)由（2）可知 . 这表明是公差为10的等差数列. 又因为，所以， 从而 可以看出，随着的增大而增大，而为定值. 这表明药物的介入会使得微生物的种群数量越来越不稳定，种族灭绝的风险越来越大. 练习1：初始20个微生物，单日每个菌体概率死亡，否则则分裂为2个，第天菌体数量，则（） A .　B .　C .　 D . 【解析】期望不变，答案 练习2：袋中有2白3黑5个球，随机抽一球，抽到白球放回，抽到黑球拿走并补1白球，（） A .　 B .　 C .　 D . 【解析】，答案 练习3：全期望公式是条件数学期望的一个非常重要的性质.全期望公式具有广泛的应用.例如，小明按照如下规则扔一个骰子：如果扔到1点，就再扔一次并规则不变，如果扔到其他点数则停止.设为小明停止扔骰子后扔骰子的总次数，则根据全期望公式可得，解得，其中表示小明投一次1点后，再投骰子停止后次数期望仍为，加上之前投的一次总次数为.参考以上方法完成下列问题：一只小白鼠陷入一个有三扇门的迷宫中，它每次都是等可能得选择其中一扇门，如选择第一扇门，小白鼠2分钟后到达安全区；如选择第二扇门，小白鼠3分钟后回到迷宫起点；如选择第三扇门，小白鼠5分钟后回到迷宫起点.设小白鼠达到安全区所需的时间为，则__________分钟. 【解析】由全期望公式可知，，解得分钟. 故答案为：10. 练习4：微生物培育实验：初始投放 30 个菌体，单个菌体每日独立：概率死亡，概率分裂为 2 个新菌体；为第日菌体数量，，则. 【解析】全期望公式：，为常数列. 练习5：一袋中有个白球和个黑球．从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复次这样的操作后，记袋中白球的个数为. (1) 求； (2) 设，求； (3) 证明：，并求. 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）总球数，抽到白球概率，；抽到黑球概率，， . （2），，，递推，. （3）设，， 取期望：，不动点，等比，首项，公比， . 题型5 赌徒破产模型（随机游走） 核心思想：根据游戏规则，将停止事件分解为互斥的初始步骤情形，建立关于期望的递推式. 解题步骤： 1.设为最多抛掷次时游戏停止次数的期望（或直接设无上限但考虑终止条件）. 2.分析前几步的所有可能结果，每种结果对应剩余期望的递推（如本例中分三次：第一次反面；前两次正面；第一次正面第二次反面）. 3. 根据全概率公式建立递推方程： . 4. 结合初始值（如）递推计算. 关键技巧：将复杂停止规则分解为若干简单路径，每条路径对应一个“重置”后的期望，注意边界条件（如最大次数限制）. 【典例】有一枚质地均匀的硬币，现进行连续抛硬币游戏，规则如下：在抛掷的过程中，无论何时，连续出现奇数次正面后出现一次反面，则游戏停止；否则游戏继续进行.最多抛掷10次，则该游戏抛掷次数的数学期望为______. 【答案】 【解析】记最多抛掷次时该游戏抛掷次数的数学期望为.易知，.考虑 的情形.最多投掷次，分以下三种情形讨论. 1. 第一次投掷为反面，概率为，变为的情形，数学期望为； 2. 第一次、二次投掷均为正面，概率为，变为的情形，数学期望为； 3. 第一次投掷为正面，第二次为反面，游戏停止，概率为.数学期望为2. 综上，知 因为，所以递推可得 故答案为. 练习1：甲乙单局胜率均，任意一方净胜 2 局比赛结束，（） A .　 B .　 C .　 D . 【解析】，答案 练习2：象棋比赛中每一局甲获胜概率、乙，净胜 2 局结束，则（） A .　 B .　 C .　 D . 【解析】，答案 练习3：均匀硬币抛掷，出现连续奇次正+一次反面停止，最多抛 4 次，，，则（） 【解析】 . 练习4：甲单局胜率、乙，净胜两局终止，则. 【解析】. 练习5：排球友谊赛单局甲胜率，乙胜率；规则：任意一方净胜 2 局比赛结束，两局打平概率，，为总局数，则. 【解析】，. 练习6：桌球对局甲胜率、乙，净胜两局立刻终止，则. 【解析】：甲连胜 2 局或乙连胜 2 局： 练习7：乒乓球被称为我国的“国球”.甲､乙两名运动员进行乒乓球比赛，其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的. ①若比赛为五局三胜制，则需比赛五局才结束的概率为__________. ②若两人约定其中一人比另一人多赢两局时比赛结束，则需要进行的比赛局数的数学期望为__________. 附：当时，，. 【解析】①需比赛五局才结束，则说明前四局双方为2:2，概率为. ②假设比赛局数为随机变量， 由已知，需比赛局数为偶数，则可取. 则， 当时，双方前局战为平局，且任意前，且）局双方均战为平局， 则，显然，满足该式. 设，则有， 所以，是以为首项，为公比的等比数列. 设，则. 设的前项和为，则， ， 作差可得，， 整理可得，. 由题意可得，，. 则. 故答案为：；. 练习8：随着疫情时代的结束，越来越多的人意识到健康的重要性，更多的人走出家门，走进户外.近期文旅消费加速回暖，景区人流不息､酒店预订爆满､市集红红火火，旅游从业者倍感振奋.某乡村旅游区开发了一系列的娱乐健身项目，其中某种游戏对抗赛，每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人约定其中一人比另一人多赢两局就停止比赛，每局比赛相互独立.设比赛结束时比赛进行的局数为.附：当时，，.求： (1)当时，甲赢得比赛的概率； (2)的数学期望. 【解析】（1）由题意可知：4局结束比赛时甲、乙胜负情况为3比1或1比3， 若甲胜，则第三、四局必为甲胜，若乙胜，则第三、四局必为乙胜， 所以比四局结束比赛的概率为： 其中甲赢得比赛的概率为， 故所求概率 （2）根据题意可知比赛局数为偶数，不妨设， 当时，，此时 当时，，此时； 所以的期望 所以， ， 两式相减，得， 因为当时，，， 所以，则. 即的数学期望是. 练习9：2021 年奥运会我国射击项目收获丰盛，在我国射击也是一项历史悠久的运动.某射击运动爱好者甲来到靶场练习. (1) 已知用于射击打靶的某型号枪支弹夹中一共有发子弹，甲每次打靶的命中率均为，一旦出现子弹脱靶或者子弹打光便立即停止射击.记标靶上的子弹数量为随机变量，求的分布列和数学期望； (2) 若某种型号的枪支弹巢中一共可装填 6 发子弹，现有一枪支其中有发为实弹，其余均为空包弹，现规定：每次射击后，都需要在下一次射击之前填充一发空包弹，假设每次射击相互独立且均随机，在进行次射击后，记弹巢中空包弹的发数为， ①当时，请直接写出数学期望与的关系； ②求出关于的表达式. 【答案】(1)；(2)①；② 【分析】（1）根据给定条件，求出的所有可能值，再求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望作答；（2）①分类射出空包、实弹求条件期望；②构造等比数列求通项. 【详解】（1）可取， ，，， 错位相减求得：. （2）①设，， 两边取期望：. ②，，等比， ，即. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $