专题04 概念、命题与证明（期末真题汇编，北京专用北京版）七年级数学下学期

**基本信息** 北京各区七年级下册期末数学试题汇编，聚焦“概念、命题与证明”专题，覆盖命题、相交线、平移及平行线性质与判定等核心考点，基础题与综合探究题结合，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|约10题|对顶角识别、命题真假判断、平行线判定条件|结合图形辨析，考查基础概念理解| |填空|约10题|平移性质、余角计算、假命题反例构造|注重知识应用，设置开放性反例题| |解答|约15题|平行线性质与判定证明、角平分线综合、动态几何探究|分层设计，含补全推理过程、跨考点综合题，贴合北京期末命题趋势|

专题04 概念、命题与证明 3大高频考点概览 考点01 命题、相交线、平移 考点02 平行线的性质与判定 考点03 平行线综合 地 城 考点01 命题、相交线、平移 一、单选题 1．(24-25七下·北京顺义区·期末)下列图形中，与互为对顶角的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25七下·北京顺义区·期末)下列图形中，可以由一个三角形通过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25七下·北京延庆区·期末)如图，直线，相交于点，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25七下·北京石景山·期末)下列命题是真命题的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．如果是线段的中点，那么 C．若，则 D．如果，那么点是的中点 5．(24-25七下·北京昌平区·期末)下列命题为假命题的是（   ） A．对顶角相等 B．同旁内角互补，两直线平行 C．若，则 D．若，则 6．(24-25七下·北京房山区·期末)下面各图中，和是对顶角的为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．(24-25七下·北京延庆区·期末)用一组a，b，c的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是a＝____，b＝____，c＝____． 8．(24-25七下·北京顺义区·期末)如图，点在直线上，．若，则______． 9．(24-25七下·北京石景山·期末)一个角是它余角的2倍，则这个角的度数是______________． 10．(24-25七下·北京石景山·期末)如图所示的网格是正方形网格，是网格线交点，线段经过平移后可以得到线段______；图中与长度相等的线段是______． 11．(24-25七下·北京通州区·期末)命题“如果，那么”，该命题是______命题．（填“真”或“假”） 12．(24-25七下·北京房山区·期末)若用一组x，y的值说明命题“若，则”是假命题，则这样的一组值可以是______，______． 三、解答题 13．(24-25七下·北京平谷区·期末)如图，直线和直线相交于点，在直线上有一点，按要求画图并填空： (1)按要求画图： ①过点作，垂足为点； ②过点作．（在左侧，在右侧） (2)①请你写出图中与互余的角是___________，与互补的角是___________；（各写出一个即可） ②若，直接写出的度数：___________． 14．(24-25七下·北京通州区·期末)已知：直线与直线相交于点，且，平分． (1)依题意画出图形； (2)求的度数． 地 城 考点02 平行线的性质与判定 一、单选题 1．(24-25七下·北京石景山·期末)如图，能判断的条件是（  ） A． B． C． D． 2．(24-25七下·北京昌平区·期末)如图，直线，，则（   ） A． B． C． D． 3．(24-25七下·北京房山区·期末)下面各图中，由，能得到的是(   ) A． B． C． D． 二、填空题 4．(24-25七下·北京延庆区·期末)如图，点D在上，任意添加一个条件，使得，则这个条件可以是________________． 5．(24-25七下·北京通州区·期末)如图，一副三角板中两个三角形三个角的度数分别为；．把两个三角板与一个直尺摆放成如图所示的图形，则______°． 6．(24-25七下·北京房山区·期末)如图，在四边形中，点E是延长线上一点，请你添加一个条件，使，那么可以添加的条件是________．（写出一个即可） 7．(24-25七下·北京房山区·期末)一副三角尺按如图所示（共顶点A）的方式叠放在一起．若固定三角尺ABC，三角尺ADE绕点A旋转一周，则当的度数为_______时，． 三、解答题 8．(24-25七下·北京延庆区·期末)如图，在四边形中，，点E，F分别是的延长线上的点，连接，与交于点G，H，且．求证：．完成下面的推理过程： 证明：∵，（理由： ） ， ∴．（理由： ） ∴． （理由： ） ∴．（理由： ） ∵， ∴． ∴．   （理由： ） 9．(24-25七下·北京延庆区·期末)如图，在直角三角形中，，点D是上一点，过点D作交于点E，点F是上一点，连接，且．求证：平分． 10．(24-25七下·北京顺义区·期末)完成下面的证明： 已知：如图，． 求证：． 证明：（已知）， （______）． 又（已知）， （______）． （______）． 11．(24-25七下·北京顺义区·期末)阅读材料，并完成任务． 数学课上，同学们学习了两条直线平行的判定方法．之后小明又进行了探究，部分过程如下： （1）如图，两条直线，被第三条直线所截，其中与，与分别叫做外错角； （2）经过画图、观察、测量、验证等过程，得到猜想：“外错角相等，两直线平行”； （3）对于（2）中的猜想，先分清命题的条件和结论，然后画出相应的图形、写出已知和求证，最后完成证明． 已知：如图，， 求证：______． 画图： 证明： 请你阅读以上材料，补全上表． 12．(24-25七下·北京石景山·期末)如图，点分别在上，．求证：． 13．(24-25七下·北京昌平区·期末)完成下列证明． 已知：如图，为上一点，交于点，点，分别在、上，． 求证：． 证明： （已知）， ① （② ）． （已知）， ③ （④ ）． （⑤ ）． 14．(24-25七下·北京昌平区·期末)通过小学的学习，我们知道三角形内角和是．小燕在学习了平行线的相关定理之后，证明了这个结论，她想到了两种添加辅助线的方法，请你选择其中一种，完成证明． 已知：如图，三角形． 求证：． 方法一 证明：如图，过点作． 方法二 证明：如图，过点作． 15．(24-25七下·北京通州区·期末)如图，在三角形中，点是边上一点，过点画，交边于点．画，交边于点． (1)依题意补全图形； (2)求证：． 16．(24-25七下·北京房山区·期末)请你补全下面的推理过程： 已知：如图，，求的度数． 解：（已知）， （_______________）， （等量代换）， （_______________）， _______________（_______________）， ， _______________． 地 城 考点03 平行线综合 一、解答题 1．(24-25七下·北京延庆区·期末)如图，点A，B分别是直线上的点，连接，过点B作与互余．    (1)求证：； (2)如图2，平分交于点D，平分交于点H． ①补全图形； ②设，求的度数（用含α的式子表示）． 2．(24-25七下·北京顺义区·期末)已知（点在点右侧），点是直线上的一个动点（不与点重合），平分，交直线于点D，平分，交直线于点． (1)如图，当点在点右侧时． ①若，则______； ②依题意补全图形，并证明； (2)当点在点左侧时，与之间存在怎样的数量关系？请写出结论，并证明． 3．(24-25七下·北京石景山·期末)已知，点在之间． (1)如图1，求证：． (2)若平分，点在上，． ①如图2，若平分，求的度数； ②如图3，若平分，请直接写出与的数量关系． 4．(24-25七下·北京通州区·期末)如图1， ，点E是直线和直线之间内一点，连结，，求证：． 沐沐同学的证明思路是：如图2，过点E作，这样把分成与，然后分别证明，，因此可以证明． 解答下列问题： (1)请选择与沐沐不同的解题思路，证明． (2)如图3，已知，平分，平分，如果，求的度数． (3)如图4， ，点A，B是直线上两个定点，点C、D是直线上两个定点，点M、N分别是直线上动点，连结，，，直接写出，，，四个角之间所有的等量关系． 5．(24-25七下·北京房山区·期末)如图，已知直线，． (1)求证：； (2)画的角平分线交于点，求证：． 6．(24-25七下·北京房山区·期末)已知：点是的边上的一点(点不与点重合)，将线段沿方向平移，得到线段，点在上，连接． (1)请你依题意在图1中补全图形，并求证：； (2)过点作交射线BC于点，连接，当点不与点重合时，请你依题意在图2中补全图形，用等式表示与的数量关系，并证明． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 概念、命题与证明 3大高频考点概览 考点01 命题、相交线、平移 考点02 平行线的性质与判定 考点03 平行线综合 地 城 考点01 命题、相交线、平移 一、单选题 1．(24-25七下·北京顺义区·期末)下列图形中，与互为对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角的定义，如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，根据对顶角的定义逐项分析即可得解，熟练掌握对顶角的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、与不是对顶角，故不符合题意； B、与不是对顶角，故不符合题意； C、与不是对顶角，故不符合题意； D、与是对顶角，故符合题意； 故选：D． 2．(24-25七下·北京顺义区·期末)下列图形中，可以由一个三角形通过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质，根据图形，并结合平移的性质逐项分析即可得解，熟练掌握平移的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、可以通过平移得到，故此选项正确，符合题意； B、可以通过旋转，并结合平移得到，故此选项错误，不符合题意； C、可以通过轴对称得到，故此选项错误，不符合题意； D、可以通过旋转得到，故此选项错误，不符合题意； 故选：A． 3．(24-25七下·北京延庆区·期末)如图，直线，相交于点，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的性质、角平分线的性质等知识点，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．根据对顶角相等，角平分线的性质得到，相加即可得到． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∴． 故选：C． 4．(24-25七下·北京石景山·期末)下列命题是真命题的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．如果是线段的中点，那么 C．若，则 D．如果，那么点是的中点 【答案】B 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据对顶角的概念、线段中点的概念、平方根的概念逐一判断． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，例如，两直线平行时的同位角相等，但并非对顶角，故A为假命题； B、若C是线段的中点，则，因此，符合中点定义，故B为真命题； C、由可得或，但命题仅给出，未包含负数解，故C为假命题； D、仅说明C到A、B距离相等，但C未必在线段上（如的垂直平分线上任意一点均满足），因此C不一定是的中点，故D为假命题． 故选：B． 5．(24-25七下·北京昌平区·期末)下列命题为假命题的是（   ） A．对顶角相等 B．同旁内角互补，两直线平行 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查命题的真假判断，对顶角的性质，等式的性质，平行直线的判定等知识．正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，对所学知识的熟练掌握． 逐一判断各选项是否为真命题，找出假命题即可． 【详解】解：A. 对顶角相等，正确； B. 同旁内角互补时两直线平行，属于平行线判定定理，正确； C. 若，则两边平方必然相等，即，正确； D. 若，则或，故D错误； 故选：D． 6．(24-25七下·北京房山区·期末)下面各图中，和是对顶角的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角，有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角，据此判断即可，掌握对顶角的定义是解题的关键． 【详解】解：、和有公共顶点，但是两条边不互为反向延长线，所以不是对顶角； 、和有公共顶点且两条边都互为反向延长线，所以是对顶角； 、和有公共顶点，但是两条边不互为反向延长线，所以不是对顶角； 、和没有公共顶点，所以不是对顶角． 故选：． 二、填空题 7．(24-25七下·北京延庆区·期末)用一组a，b，c的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是a＝____，b＝____，c＝____． 【答案】 2 1 （答案不唯一） 【分析】本题主要考查了假命题，举反例，弄清题意是解题的关键； 假设a，b为正数，c为负数，可知该命题是假命题． 【详解】解：当时，，则， 所以“如果，那么”是假命题． 故答案为：（答案不唯一）． 8．(24-25七下·北京顺义区·期末)如图，点在直线上，．若，则______． 【答案】 【分析】本题考查邻补角、垂直定义，先根据邻补角定义求得，再根据垂直定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．(24-25七下·北京石景山·期末)一个角是它余角的2倍，则这个角的度数是______________． 【答案】/60度 【分析】先设这个角的度数为x，表示出余角，根据题意列出方程，再求出解即可． 【详解】设这个角的度数为x，则余角是，根据题意，得 ， 解得， 所以这个角的度数是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了余角，根据等量关系列出方程是解题的关键． 10．(24-25七下·北京石景山·期末)如图所示的网格是正方形网格，是网格线交点，线段经过平移后可以得到线段______；图中与长度相等的线段是______． 【答案】 【分析】根据平移的性质去解答即可． 本题考查了平移的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得线段经过平移后可以得到线段；图中与长度相等的线段是． 故答案为：，． 11．(24-25七下·北京通州区·期末)命题“如果，那么”，该命题是______命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】本题考查了真假命题，根据平方的性质即可判断，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴该命题是真命题， 故答案为：真． 12．(24-25七下·北京房山区·期末)若用一组x，y的值说明命题“若，则”是假命题，则这样的一组值可以是______，______． 【答案】 0 -2 【分析】根据x>y给出x、y值，计算乘方，使x2<y2即可． 【详解】解：若x=0，y=-2，则满足x>y的条件， ∴x2=0，y2=4， ∴x2<y2，不符合， 故答案为：0，-2（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了有理数的大小比较，假命题的判断，正确理解命题中的题设和结论，对应给出数值是解题的关键． 三、解答题 13．(24-25七下·北京平谷区·期末)如图，直线和直线相交于点，在直线上有一点，按要求画图并填空： (1)按要求画图： ①过点作，垂足为点； ②过点作．（在左侧，在右侧） (2)①请你写出图中与互余的角是___________，与互补的角是___________；（各写出一个即可） ②若，直接写出的度数：___________． 【答案】(1)见解析 (2)①（或；（或或或；② 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线、作已知直线的垂线，平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①根据垂线的定义画图即可．②结合平行线的判定画图即可． （2）①根据余角、补角的定义计算即可得解；②根据平行线的性质结合垂线的定义计算即可得解． 【详解】（1）解：①如图，即为所求． ②如图，直线即为所求． （2）解：①图中与互余的角是，． 与互补的角是，，，． 故答案为：（或；（或或或． ②， ． ， ， ． 故答案为：． 14．(24-25七下·北京通州区·期末)已知：直线与直线相交于点，且，平分． (1)依题意画出图形； (2)求的度数． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，对顶角相等． （1）根据题意画出图形即可； （2）根据对顶角定义和角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： ； （2）解：∵直线与直线相交于点， ∴（对顶角定义）， ∵平分（已知）， ∴（角平分线定义）， ∵（已知）， ∴， ∵， ∴， ∴． 地 城 考点02 平行线的性质与判定 一、单选题 1．(24-25七下·北京石景山·期末)如图，能判断的条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定． 根据平行线的判定方法注意判断即可． 【详解】解：A．∵，∴，故A符合题意； B．∵，∴，故B不符合题意； C．∵，∴，故C不符合题意； D．无法判断平行，故D不符合题意； 故选：A． 2．(24-25七下·北京昌平区·期末)如图，直线，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题了平行线的性质． 先根据平行线的性质得出的度数，再由平角的定义即可得出结论． 【详解】解：∵， ． ， ， ． 故选：B． 3．(24-25七下·北京房山区·期末)下面各图中，由，能得到的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线判定定理逐项判断即可解题． 【详解】解：A、，可得，不能判定，故本选项不符合题意； B、，对顶角相等不能用来推导平行， 故本选项不符合题意； C、，可以得到，故本选项符合题意； D、，同旁内角相等不能用来推导平行，故本选项不符合题意； 故选：C． 二、填空题 4．(24-25七下·北京延庆区·期末)如图，点D在上，任意添加一个条件，使得，则这个条件可以是________________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平行线的判定定理添加条件即可． 本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：根据同位角相等，两直线平行，可以添加条件为：，答案不唯一． 故答案为：． 5．(24-25七下·北京通州区·期末)如图，一副三角板中两个三角形三个角的度数分别为；．把两个三角板与一个直尺摆放成如图所示的图形，则______°． 【答案】75 【分析】本题考查平行线的性质、与三角形板有关的角度运算，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．根据题意可得到，，进而根据邻补角定义和两直线平行，同位角相等求解即可． 【详解】解：如图， 由题意，， 则， 故答案为：75． 6．(24-25七下·北京房山区·期末)如图，在四边形中，点E是延长线上一点，请你添加一个条件，使，那么可以添加的条件是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．根据内错角相等，两直线平行即可得． 【详解】解：使，那么可以添加的条件是，（内错角相等，两直线平行） 故答案为：．（答案不唯一） 7．(24-25七下·北京房山区·期末)一副三角尺按如图所示（共顶点A）的方式叠放在一起．若固定三角尺ABC，三角尺ADE绕点A旋转一周，则当的度数为_______时，． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线以及三角尺等知识点，掌握平行线的判定定理以及三角尺各角的度数是解题的关键． 本题三角尺绕点旋转过程中，的情况会出现两种，依据平行线的判定定理，结合三角尺的角度特征，即可计算的度数． 【详解】解：有两种情况： 情况一：如下图， 在中，， 由“内错角相等，两直线平行”可得： 当时，； 情况二：如下图， 在中，， 由“内错角相等，两直线平行”可得： 当时，， 此时，． 故答案为：或 ． 三、解答题 8．(24-25七下·北京延庆区·期末)如图，在四边形中，，点E，F分别是的延长线上的点，连接，与交于点G，H，且．求证：．完成下面的推理过程： 证明：∵，（理由： ） ， ∴．（理由： ） ∴． （理由： ） ∴．（理由： ） ∵， ∴． ∴．   （理由： ） 【答案】对顶角相等  ；等量代换；C；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行 【分析】根据平行线的判定和性质，等量代换思想解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，等量代换，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵，（理由：对顶角相等） ， ∴．（理由：等量代换） ∴． （理由：同位角相等，两直线平行） ∴．（理由：两直线平行，同旁内角互补） ∵， ∴． ∴．   （理由：同旁内角互补，两直线平行） 故答案为：对顶角相等  ；等量代换；C；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行． 9．(24-25七下·北京延庆区·期末)如图，在直角三角形中，，点D是上一点，过点D作交于点E，点F是上一点，连接，且．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键； 先根据“同位角相等两直线平行”证明，即可得，再结合已知条件可得，则答案可证． 【详解】证明：， ． ， , ， ． ， ， ∴平分． 10．(24-25七下·北京顺义区·期末)完成下面的证明： 已知：如图，． 求证：． 证明：（已知）， （______）． 又（已知）， （______）． （______）． 【答案】同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，同位角相等 【分析】本题考查平行线的判定与性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 根据平行线的判定与性质直接填空即可． 【详解】证明：（已知）， （同旁内角互补，两直线平行）． 又（已知）， （平行于同一直线的两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． 11．(24-25七下·北京顺义区·期末)阅读材料，并完成任务． 数学课上，同学们学习了两条直线平行的判定方法．之后小明又进行了探究，部分过程如下： （1）如图，两条直线，被第三条直线所截，其中与，与分别叫做外错角； （2）经过画图、观察、测量、验证等过程，得到猜想：“外错角相等，两直线平行”； （3）对于（2）中的猜想，先分清命题的条件和结论，然后画出相应的图形、写出已知和求证，最后完成证明． 已知：如图，， 求证：______． 画图： 证明： 请你阅读以上材料，补全上表． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定定理、对顶角相等，根据对顶角相等并结合题意可得，再由同位角相等，两直线平行即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解： 已知：如图，， 求证：． 画图： 证明：∵，， ∴， ∴ 12．(24-25七下·北京石景山·期末)如图，点分别在上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的判定和性质解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：， （两直线平行，同旁内角互补）． （已知）， （同角的补角相等）． （同位角相等，两直线平行）． 13．(24-25七下·北京昌平区·期末)完成下列证明． 已知：如图，为上一点，交于点，点，分别在、上，． 求证：． 证明： （已知）， ① （② ）． （已知）， ③ （④ ）． （⑤ ）． 【答案】①；②两直线平行，同位角相等；③；④等量代换；⑤内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用，根据平行线的判定和性质，填写各步骤的结论和依据即可，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：①；②两直线平行，同位角相等；③；④等量代换；⑤内错角相等，两直线平行． 14．(24-25七下·北京昌平区·期末)通过小学的学习，我们知道三角形内角和是．小燕在学习了平行线的相关定理之后，证明了这个结论，她想到了两种添加辅助线的方法，请你选择其中一种，完成证明． 已知：如图，三角形． 求证：． 方法一 证明：如图，过点作． 方法二 证明：如图，过点作． 【答案】详见解析 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 方法一：过点作，根据平行线的性质得到，．再根据平角定义得出，然后等量代换即可得出结论； 方法二：过点作．根据平行线的性质得到，，然后等量代换即可得出结论． 【详解】证明：方法一： 过点作， ， ，．（两直线平行，内错角相等） 点，，在同一条直线上， ．（平角的定义） ． 即三角形的内角和为． 方法二： 过点作． ， ，（两直线平行，内错角相等） ，（两直线平行，同旁内角互补） ， ． 即三角形的内角和为． 15．(24-25七下·北京通州区·期末)如图，在三角形中，点是边上一点，过点画，交边于点．画，交边于点． (1)依题意补全图形； (2)求证：． 【答案】(1)图见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查平行线判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答的关键． （1）按要求画出图形即可； （2）先根据平行线的性质得到，进而得到，根据内错角相等，两直线平行可得结论． 【详解】（1）解：补全图形如图： （2）证明：∵ （已知） ∴（两条直线平行，同位角相等） ∵（已知） ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两条直线平行） 16．(24-25七下·北京房山区·期末)请你补全下面的推理过程： 已知：如图，，求的度数． 解：（已知）， （_______________）， （等量代换）， （_______________）， _______________（_______________）， ， _______________． 【答案】对顶角相等；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补； 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，对顶角相等，由已知和对顶角相等可得，即得，再根据平行线的性质解答即可求解，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：（已知）， （对顶角相等）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， ， ， 故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；． 地 城 考点03 平行线综合 一、解答题 1．(24-25七下·北京延庆区·期末)如图，点A，B分别是直线上的点，连接，过点B作与互余．    (1)求证：； (2)如图2，平分交于点D，平分交于点H． ①补全图形； ②设，求的度数（用含α的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析，② 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，同角的余角相等， 对于（1），根据“同角的余角相等”得，再根据“内错角相等，两直线平行”得出答案； 对于（2），作出图形解答①； ②作，根据平行线的性质得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质得，进而得，最后根据可得答案． 【详解】（1）证明：， ， ． 与互余， ， ， ； （2）解：①如图所示； ②过点H作． 平分，平分， ． ， ． ， ． ， ， ． ， ， ， ． （已证）， ． 2．(24-25七下·北京顺义区·期末)已知（点在点右侧），点是直线上的一个动点（不与点重合），平分，交直线于点D，平分，交直线于点． (1)如图，当点在点右侧时． ①若，则______； ②依题意补全图形，并证明； (2)当点在点左侧时，与之间存在怎样的数量关系？请写出结论，并证明． 【答案】(1)①85；②见解析； (2)，证明见解析 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解答的关键． （1）①先根据平行线的性质得到，进而，再根据角平分线的定义求得即可； ②设，则，利用平行线的性质可得到，，再利用角平分线的定义可得，进而求得即可求解； （2）设，同理，利用平行线的性质和角平分线的定义推导出可求得 ， ，进而可得结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：85； ②补全图形如图所示： 设， ∵平分， ∴，则 ∵， ∴，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：． 证明：如图： 设， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 3．(24-25七下·北京石景山·期末)已知，点在之间． (1)如图1，求证：． (2)若平分，点在上，． ①如图2，若平分，求的度数； ②如图3，若平分，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）过E作，利用平行线的性质，等量代换证明即可． （2）①如图，延长交于点Q，利用（1）中的结论，平行线的性质，三角形外角性质，角的平分线，等量代换解答即可； ②利用（1）中的结论，平行线的性质，三角形外角性质，角的平分线，等量代换解答即可； 本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角性质，角的平分线，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过E作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）①解：如图，延长交于点Q， 根据（1）的结论，得， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． ②解：根据（1）的结论，得， ∵平分， ∴， ∴， 同理可得，， ∵， ∴， ∵平分， ∴，， ∴ ∴． 4．(24-25七下·北京通州区·期末)如图1， ，点E是直线和直线之间内一点，连结，，求证：． 沐沐同学的证明思路是：如图2，过点E作，这样把分成与，然后分别证明，，因此可以证明． 解答下列问题： (1)请选择与沐沐不同的解题思路，证明． (2)如图3，已知，平分，平分，如果，求的度数． (3)如图4， ，点A，B是直线上两个定点，点C、D是直线上两个定点，点M、N分别是直线上动点，连结，，，直接写出，，，四个角之间所有的等量关系． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)或或或． 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质求角的度数，探究角的关系等知识． （1）过点B，作交于点N．由平行线的性质得出，，，即可得出，等量代换可得出，即． （2）过点E作，由平行线的性质得出，，，由角平分线的定义得出，，则可得出，根据平角的定义得出，等量代换可得出，即可求出． （3）分4种情况，画出图形，利用平行线的性质得出角的关系即可． 【详解】（1）证明：过点B，作交于点N． ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 即． （2）解：过点E作， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵平分，平分 ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． （3）解：分下列4种情况： 情况1 ：如图1， 根据题意可知：， ∴，，， ∴ 即 情况2：如图2， 根据题意可知：， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 情况3：如图3， 根据题意可知：， ∴，，， ∴， ， ∴ 情况4：如图4， 根据题意可知：， ∴，，， ∵，， ∴ 5．(24-25七下·北京房山区·期末)如图，已知直线，． (1)求证：； (2)画的角平分线交于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据题意，结合图形，得到，证得结论； （2）根据题意，得，结合已知条件，则有，即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，作的角平分线交于点H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 6．(24-25七下·北京房山区·期末)已知：点是的边上的一点(点不与点重合)，将线段沿方向平移，得到线段，点在上，连接． (1)请你依题意在图1中补全图形，并求证：； (2)过点作交射线BC于点，连接，当点不与点重合时，请你依题意在图2中补全图形，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析，证明见解析 (2)图见解析，当点M在线段上时，；当点M在线段的延长线上时，，理由见解析 【分析】本题考查平移的性质，平行线的性质，垂直的定义等知识，审清题意正确画图是解题的关键． （1）根据题意在上取一点D，在上取一点E，分别过点D和点E作和的平行线，交于点F即可，再根据平移的性质证明即可； （2）根据平行线的性质和垂直的定义得到，，由（1）可知，分当点M在线段上时和当点M在线段的延长线上时，两种情况讨论得到和，再分别整理即可． 【详解】（1）解：根据题意作图如下： ∵线段沿方向平移，得到线段， ∴，， ∴， ∴； （2）与的数量关系是：当点M在线段上时，；当点M在线段的延长线上时，，理由如下： 当点M在线段上时，画出图形如下： ， ∵，， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴． 故与的数量关系是：． 当点M在线段的延长线上时，画出图形如下： ， 同理可得： ， 由（1）可知：， ∴， ∴． 故与的数量关系是：当点M在线段上时，；当点M在线段的延长线上时，． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $