专题05 因式分解（期末真题汇编，北京专用北京版）七年级数学下学期

**基本信息** 专题聚焦因式分解，汇编北京多区七下期末真题，分基础巩固与选填压轴两层设计，覆盖核心方法与综合应用 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|3|因式分解概念辨析、几何面积关系|北京昌平/房山/石景山期末真题，结合图形拼摆情境| |填空|13|提公因式法、完全平方公式、实际问题建模|含欧拉定理数学史、饮料套餐价格等跨情境题| |解答|3|多项式因式分解（两步分解）|通州/房山期末解答题，强化步骤规范性|

专题05 因式分解 2大高频考点概览 考点01 因式分解 考点02 选填压轴 地 城 考点01 因式分解 一、单选题 1．(24-25七下·北京昌平区·期末)下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．逐一验证各选项是否符合因式分解的定义即可． 【详解】选项A：是平方和，而平方差公式为，不适用于平方和，因此分解错误； 选项B：是完全平方式，应分解为，但选项B未完成分解，仍保留加法运算，不符合因式分解要求； 选项C：是多项式乘法展开的结果，等于，但题目要求因式分解，而此选项为展开过程，方向错误； 选项D：通过提取公因式2，正确分解为，符合因式分解的定义； 故选：D． 2．(24-25七下·北京房山区·期末)下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式”进行判断即可得，解题的关键是掌握因式分解的定义． 【详解】解：左边是乘积形式，右边是展开后的多项式，属于整式乘法，不是因式分解； 左边是乘积形式，右边是展开后的多项式，属于整式乘法，不是因式分解； 左边是多项式，右边是的乘积形式，是因式分解； 右边是平方与常数的和，未形成乘积形式，不是因式分解； 故选：． 二、填空题 3．(24-25七下·北京延庆区·期末)分解因式：x3﹣6x2+9x=___． 【答案】x（x﹣3）2 【详解】解：x3﹣6x2+9x =x（x2﹣6x+9） =x（x﹣3）2 故答案为：x（x﹣3）2 4．(24-25七下·北京顺义区·期末)分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查提取公因式和公式法进行因式分解，掌握基本的因式分解方法是解题关键． 先提取公因式，然后利用平方差公式进行分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5．(24-25七下·北京石景山·期末)关于的整式可以用完全平方公式进行因式分解，则______． 【答案】 【分析】根据完全平方公式的形式解答即可， 本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：∵是一个完全平方式， 故将写成，根据多项式对应项的系数相等，得到， 解得． 故答案为：． 6．(24-25七下·北京昌平区·期末)因式分解：___________ 【答案】 【分析】本题考查因式分解.．综合运用提公因式法和公式法分解因式是解题的关键，先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可得出答案． 【详解】解：． 7．(24-25七下·北京通州区·期末)分解因式：______． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法．利用提公因式的方法求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8．(24-25七下·北京房山区·期末)因式分解：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的提公因式法和平方差公式，熟练掌握提公因式法的步骤及平方差公式的结构特征是解题的关键． 先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 三、解答题 9．(24-25七下·北京石景山·期末)因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解． （1）先提取公因式2，再根据完全平方公式分解因式即可； （2）先提取公因式b，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 10．(24-25七下·北京通州区·期末)分解因式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键． （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得； （2）先提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 11．(24-25七下·北京房山区·期末)因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解． 【详解】解： ． 地 城 考点02 选填压轴 一、单选题 1．(24-25七下·北京石景山·期末)有4张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个正方形，图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为．若，则满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式在图形中的应用，因式分解的应用． 先根据多项式的乘法求出，，再根据列出等式，因式分解即可． 【详解】解：由题意可知：， 正方形面积， ∴ ∵ ∴， 即， ∴ ∴或（舍去） 故选：B． 二、填空题 2．(24-25七下·北京延庆区·期末)某饮料店售卖一款饮料套餐，包含一杯茉莉花茶和一杯冰鲜柠檬水，且一份套餐的价格比单买一杯茉莉花茶和一杯冰鲜柠檬水的总价少2元．小明打算到该饮料店购买两份套餐，到店后，发现店内有“买一杯茉莉花茶送一杯茉莉花茶”的限时促销活动．且购买一杯茉莉花茶和两杯冰鲜柠檬水的总价，比购买两份套餐的总价少3元．则单买一杯茉莉花茶的价格是_______元． 【答案】7 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设单买一杯茉莉花茶的价格是元，单买一杯冰鲜柠檬水的价格是元，则一份套餐的价格是元，根据“购买一杯茉莉花茶和两杯冰鲜柠檬水的总价，比购买两份套餐的总价少3元”，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设单买一杯茉莉花茶的价格是元，单买一杯冰鲜柠檬水的价格是元，则一份套餐的价格是元， 根据题意得：， 即， 解得：， ∴单买一杯茉莉花茶的价格是7元． 故答案为：7． 3．(24-25七下·北京顺义区·期末)学完乘法公式后，为了优化二项式乘法运算，小宇画了下面的流程图． 则图中A表示______；当B处的结果是，则原乘法算式可以是______． 【答案】 另一项相同 （形式不唯一） 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式以及多项式乘以多项式运算，正确理解题意是解题的关键． 根据题意以及完全平方公式和平方差公式结构特征判断求解． 【详解】解：由题意得：A表示另一项相同； 根据平方差公式可得，当B处的结果是，则原乘法算式可以是（形式不唯一）， 故答案为：另一项相同；（形式不唯一）． 4．(24-25七下·北京顺义区·期末)某市将举办“创意与科创成果”主题展览．距离展览开幕还有7天，有四个不同的展区需要布置展品．布置每个展区需要一定数量的志愿者连续合作若干天完成，所需的志愿者人数（单位：人）和天数（单位：天）如下： 展区 A B C D 志愿者人数 3 5 4 2 天数 4 3 2 5 （1）如果开幕前将每个展区都布置完成，主办方至少应招募______名志愿者； （2）每名志愿者的补贴标准为：每天补贴元，天数按照所有展区布置完成的天数计算．若主办方准备的补贴预算不超过元，且要在最短时间内完成工作，请问最少______天布置完成． 【答案】 7 5 【分析】本题考查了逻辑推理、有理数混合运算的应用、代数式的应用，理解题意是解题的关键． （1）设1名志愿者布置1天展区为1个工作量，由题意得所有的工作量，结合距离展览开幕还有7天，计算可得主办方应招募不少于7名志愿者，再验证招募7名志愿者时符合题意，即可得出结论； （2）由题意得，布置D展区需要2名志愿者连续合作5天，分析可知将每个展区都布置完成的时间不少于5天，当主办方需要在5天内完成工作，计算此时需要的志愿者人数，再结合补贴预算不超过元，即可得出结论． 【详解】解：（1）设1名志愿者布置1天展区为1个工作量， 则将每个展区都布置完成的工作量， ∵距离展览开幕还有7天，， ∴主办方应招募不少于7名志愿者， 当主办方招募7名志愿者时，并且给志愿者编号， 编号为的志愿者需工作7天，安排4天布置A展区，3天布置B展区， 编号为的志愿者需工作7天，安排2天布置C展区，5天布置D展区， 编号为的志愿者需工作5天，安排3天布置B展区，2天布置C展区， ∴招募7名志愿者可以在开幕前将每个展区都布置完成，符合题意； ∴主办方至少应招募7名志愿者， 故答案为：7； （2）由题意得，布置D展区需要2名志愿者连续合作5天， ∴将每个展区都布置完成的时间不少于5天， 当主办方需要在5天内完成工作， 招募3名志愿者，安排4天布置A展区； 招募5名志愿者，安排3天布置B展区，其中4名志愿者再安排2天布置C展区； 招募2名志愿者，安排5天布置D展区； 则一共招募了名志愿者， 所以需要提供志愿者补贴为元，符合题意； ∴要在最短时间内完成工作，最少5天布置完成． 故答案为：5． 5．(24-25七下·北京石景山·期末)某次考试有30人参加，一共考了4道解答题，其中每题做对的人数统计如下表： 题号 一 二 三 四 做对的人数 22 16 10 5 已知没有人全对，只做错1题的有9人，4题全错的5人，那么做错3道题的有______人． 【答案】6 【分析】设做错3道题的有x人，则做错2道题的有人，根据题意，得解答错题数为（道），错题数表示为，建立等式解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：设做错3道题的有x人，则做错2道题的有人，根据题意，得解答错题数为（道）， 即， 解得， 故答案为：6． 6．(24-25七下·北京昌平区·期末)欧拉定理是数学史上最著名的定理之一，由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉于1752年提出．这个定理阐述了凸多面体中顶点数（）、面数（）和棱数（）之间存在一定的数量关系． 名称 图形 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 8 12 十二面体 20 12 30 （1）表中的值为________； （2）在简单多面体中，，，之间的数量关系是________． 【答案】 6 【分析】本题考查多面体，总结归纳出多面体的顶点，面，棱的关系是解题的关键． （1）根据图形直接数出顶点个数即可； （2）根据观察表格数据可得，顶点数和面数的和减去棱数刚好等于2，即可． 【详解】解：（1）由图或得八面体共有6个顶点， ∴； 故答案为：6． （2）三棱锥中，； 长方体中，； 五棱柱中，； 正八面体中，； ∴顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的代数关系式为： ． 故答案为：． 7．(24-25七下·北京通州区·期末)某餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：①回收餐具与剩菜、清洁桌面；②清洁椅面与地面；③摆放新餐具．前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示： 步骤 时间（分钟） 桌别 回收餐具与剩菜、清洁桌面 清洁椅面与地面 摆放新餐具 大桌 5 3 2 小桌 3 2 1 现有三名餐厅工作人员分别负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面，②清洁椅面与地面，③摆放新餐具，每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作．现有两张小桌和一张大桌需要清理，那么将三张桌子收拾完毕最短需要 ___分钟． 【答案】 【分析】设工作人员1负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面；工作人员2负责②清洁椅面与地面；工作人员3负责③摆放新餐具，当工作人员1清理大桌子同时，工作人员2清理两张小桌子；第5分钟，当工作人员1清理小桌子①的同时，工作人员2开始清理1张大桌子；第8分钟，当工作人员1清理小桌子②的同时，工作人员3开始在大桌子和小桌子①上摆放新餐具；第分钟，工作人员3开始在小桌子②上摆放新餐具，进而即可求解． 【详解】解：设工作人员1负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面；工作人员2负责②清洁椅面与地面；工作人员3负责③摆放新餐具，具体流程如下图： 由流程图可知：将三张桌子收拾完毕最短需要分钟， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实际问题的方案设计，事件的统筹安排，尽可能让①回收餐具与剩菜、清洁桌面，与②清洁椅面与地面，在同一时间段进行，节约时间是解题的关键． 8．(24-25七下·北京房山区·期末)对于一个四位正整数，若它的千位数字比个位数字大6，百位数字比十位数字大2，则称正整数为“数”． （1）最小的“数”为__________； （2）一个“数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，若能被8整除，则满足条件的的最大值为__________． 【答案】（1）6200；（2）9753 【分析】本题考查整式的加减，代数式求值等知识，读懂题意，审清概念是解题的关键． （1）根据“千位数字比个位数字大6，百位数字比十位数字大2”可知：当个位数字和十位数字都是0，取得最小的“数”，从而得解； （2）根据题意可知，从而代入消去c和d，从而得到，要使得取最大值，则千位数字a取9，由可让、7……依次判断即可． 【详解】解：（1）∵千位数字比个位数字大6，百位数字比十位数字大2， ∴当个位数字和十位数字都是0时，千位数字是6，百位数字是2，此时取得最小的“数”，最小的“数”为6200， （2）一个“数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， ∴， 由题意可知：，即， ∴， 又∵， ∴， ∴要使得取最大值，则千位数字a取9， 则若，则，不能被8整除，不合题意； 若，则，能被8整除，符合题意，此时，； ∴满足条件的的最大值为9753． 故答案是：（1）6200；（2）9753． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 因式分解 2大高频考点概览 考点01 因式分解 考点02 选填压轴 地 城 考点01 因式分解 一、单选题 1．(24-25七下·北京昌平区·期末)下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25七下·北京房山区·期末)下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．(24-25七下·北京延庆区·期末)分解因式：x3﹣6x2+9x=___． 4．(24-25七下·北京顺义区·期末)分解因式：______． 5．(24-25七下·北京石景山·期末)关于的整式可以用完全平方公式进行因式分解，则______． 6．(24-25七下·北京昌平区·期末)因式分解：___________ 7．(24-25七下·北京通州区·期末)分解因式：______． 8．(24-25七下·北京房山区·期末)因式分解：______． 三、解答题 9．(24-25七下·北京石景山·期末)因式分解： (1)； (2)． 10．(24-25七下·北京通州区·期末)分解因式 (1) (2) 11．(24-25七下·北京房山区·期末)因式分解：． 地 城 考点02 选填压轴 一、单选题 1．(24-25七下·北京石景山·期末)有4张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个正方形，图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为．若，则满足（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．(24-25七下·北京延庆区·期末)某饮料店售卖一款饮料套餐，包含一杯茉莉花茶和一杯冰鲜柠檬水，且一份套餐的价格比单买一杯茉莉花茶和一杯冰鲜柠檬水的总价少2元．小明打算到该饮料店购买两份套餐，到店后，发现店内有“买一杯茉莉花茶送一杯茉莉花茶”的限时促销活动．且购买一杯茉莉花茶和两杯冰鲜柠檬水的总价，比购买两份套餐的总价少3元．则单买一杯茉莉花茶的价格是_______元． 3．(24-25七下·北京顺义区·期末)学完乘法公式后，为了优化二项式乘法运算，小宇画了下面的流程图． 则图中A表示______；当B处的结果是，则原乘法算式可以是______． 4．(24-25七下·北京顺义区·期末)某市将举办“创意与科创成果”主题展览．距离展览开幕还有7天，有四个不同的展区需要布置展品．布置每个展区需要一定数量的志愿者连续合作若干天完成，所需的志愿者人数（单位：人）和天数（单位：天）如下： 展区 A B C D 志愿者人数 3 5 4 2 天数 4 3 2 5 （1）如果开幕前将每个展区都布置完成，主办方至少应招募______名志愿者； （2）每名志愿者的补贴标准为：每天补贴元，天数按照所有展区布置完成的天数计算．若主办方准备的补贴预算不超过元，且要在最短时间内完成工作，请问最少______天布置完成． 5．(24-25七下·北京石景山·期末)某次考试有30人参加，一共考了4道解答题，其中每题做对的人数统计如下表： 题号 一 二 三 四 做对的人数 22 16 10 5 已知没有人全对，只做错1题的有9人，4题全错的5人，那么做错3道题的有______人． 6．(24-25七下·北京昌平区·期末)欧拉定理是数学史上最著名的定理之一，由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉于1752年提出．这个定理阐述了凸多面体中顶点数（）、面数（）和棱数（）之间存在一定的数量关系． 名称 图形 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 8 12 十二面体 20 12 30 （1）表中的值为________； （2）在简单多面体中，，，之间的数量关系是________． 7．(24-25七下·北京通州区·期末)某餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：①回收餐具与剩菜、清洁桌面；②清洁椅面与地面；③摆放新餐具．前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示： 步骤 时间（分钟） 桌别 回收餐具与剩菜、清洁桌面 清洁椅面与地面 摆放新餐具 大桌 5 3 2 小桌 3 2 1 现有三名餐厅工作人员分别负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面，②清洁椅面与地面，③摆放新餐具，每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作．现有两张小桌和一张大桌需要清理，那么将三张桌子收拾完毕最短需要 ___分钟． 8．(24-25七下·北京房山区·期末)对于一个四位正整数，若它的千位数字比个位数字大6，百位数字比十位数字大2，则称正整数为“数”． （1）最小的“数”为__________； （2）一个“数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，若能被8整除，则满足条件的的最大值为__________． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $