云南省玉溪第一中学（南校区）2026届高三下学期仿真模拟考考试（二）数学试题

2026年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷 数学答案 一.选择题 题号 1 2 3 4 5 6 8 选项 D A C B C B C 解析： 1.A={x∈Nx2≤2}={0,1}，又因为U={-2,-1,0,1,2},所以CuA={-2,-1,2},故选：D 2.对A,因为y=x和y=x都是定义在R上的增函数，所以y=x+x是增函数，又 (-x3+(-x)=-(x+x),所以y=x3+x为奇函数，正确： 对B,由反比例函数性质可知，y=上在定义域内不单调，错误： 对C,由对勾函数性质可知，y=x+上在定义域内不单调，错误： 对，因为y)是，所以小立，所以v=是锅同影，由琴商数 性质可知，函数y=x2在(-o,0)上单调递增，在(0，+o)上单调递减，错误 3.AB=2e+e2:BC=-e+3e2 CD=Ae-e,:.BD=BC+CD=(-1)e+2e,A,B, D三点共线，则存在实数k使得AB=kBD,即2，+e=k(a-1)+2],日，e是不共线向 「2=k(元-1) 量， 1=2k ，=5. 4:k知k如=-}-62=上e= 1b2V6 3-aa=3e=1-=3 5.球与圆台都是旋转体，取过轴的任意一个截面来分析均可，如图，AD1O2B于D,则02D= 01A=1,BD=02B-O2D=1,由切线长相等可知，AC=A01=1,BC=B02=2,所以AB= AC+BC=3,故圆台侧面积S1=π(1+T2)l=π×(1+2)×3=9m,再算球的半径，在△ABD 中由勾股定理求解即可，设球的半径为R,则AD=O1O2=2R,在△ABD中，AD2+BD2=AB2, 即4R2+1=9→R=√2，所以球的表面积S2=4rR2=8π，故该圆台的侧面积与球的表面积之 比为号=层 6对于A,已知4+=P0+P®-X8),将P0背P)}P4+号代入可 得：+PaB,PaB=+4+3-6-因PPB=x5=PaB. 23+4 34212121212 3412 所以事件A,B相互独立，A选项不正确. 对于B,根据条件概率公式PA8)=PC) ,将)立®)代入可狗： 4 P(A)=12-1 112 4片子，B选项错误。 对子C,国-ωM)专立告立子面子所以r的=K到.c错深 对于D.先求国=1-0-1写号)(-aB)-}名是 41212126 。再根据条件概 幸公式-需，将的-合八闭=后代入可得：团--片D法项痛 3 7.:f(x+1)是奇函数，所以f(x)关于(1,0)对称，且f)=0,又f(2)=0,所以f(0)=-2, 因为g(4-x)+g(x)=0,所以g(x)关于点(2,0)对称，则f(x)关于直线x=2对称，所以f(x)的 周期为4，f(3)=f1)=0,f(4)=f(0)=-2,f1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,所以 f①)+f(2)+f(3)+.+f(2026)=2 8.由条件可得，g(x)=i [-到-om号》而)=mor+osm,作出两个 函数的图象，如图：A,B,C是f(x)与g(x)图象的连续相邻的三个交点，不妨设B在x轴下方，A,C 在x轴上方，D为AC的中点，连接BD,由对称性可得△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形， 14Cl=T=2元=2lcD.由cos@x=coax-3 得cosx=c0 S@xCOS号+sincxsin 3,整理得 COSw=-V3 sinaw,又cos'ax+sin'ax=l,所以COO=±y5,则 2 e=-=5,所以B0=2,5.要使△1BC为锐角三角形，只需 2 B-5@>1,所以m5 v-cos(ox ∠ACB>T即可，即tan∠ACB= X D 兀 二.多选题 题号 9 10 11 选项 AB BCD ABD 2 解析： 9.若三=0，即=0，=0，则：=0，A正确： 若z-z∈R,即=的虚部为0，则z∈R,B正确； 者：=con号，则os智+m行，c绩误： 若z-i=1,设=x+yi(x,y∈R),即x2+(y-1)?=1,则z表示圆上的点到原点的距离，其最大 值为2，D不正确 10.对于A第1天小明选择了米饭套餐，根据题意小明同学第二天选择面食套餐的可能性为80%， 不是100%，所以A不正确： 依题意1=1，p2=20%=0.2,则23=0.8×0.8+0.2×0.2=0.68，故B正确： 当第n-1天选择米饭套餐时，第n天选择米饭套餐的概率为0.2P,m-1;当第n-1天选择面食套餐时， 第n天选择米饭套餐的概率为0.81-P-1),故Pn=0.2P-1+0.8(1-P1)(n≥2，n∈N),故C正确： 设第n天小明同学午餐花费为4，则4=15pn+101-Pn)=10+5P,n,因为 Pn=0.2p-1+0.8(1-Pn-1)(n≥2，n∈N)，所以pn=0.8-0.6pn-1(n≥2，n∈N),所以 Pn-0.5=-0.6(P-1-0.5)，所以数列{Dn-0.5}是首项为1-0.5=0.5，公比为0.6的等比数列，所 以Pn-0.5=0.5×(-0.6)m-1,所以2=0.5+0.5×(-0.6)-1，所以 a=10+5×0.5+5×0.5×(-0.6)”1=12.5+2.5×(-0.6)-1,所以前n天小明同学午餐花费的总费用数 +1616x(,故D正确 学期望为4+凸++a=125m+05x1-0.0三235u+25-25 3 1+0.6 11.对于A由图可知，坐标平面xOz中，y=0,故坐标平面xOz的方程为：y=0,正确 B.平面Oz截曲面C得方程中，y=0,故得-号=1，结合双曲线的标准方程可知，平面x02 4 截曲面C所得交线是双曲线，正确，符合题意： C.平面xOy截曲面C所得交线是：=0的方程，故为x2+y2=1,交线是圆，选项错误 D.设M(,4,)是直线1上任意一点，故QM=td,即(：+1乃+1三+2)=(t,0,2), Me-1,-1,21-2》,故-1+--2-2-f-21+2-1-f+21-1=1,因此Mk,X,)在曲 4 面C上，故直线l在曲面C上，选项D正确. 3 三.填空题 题号 12 13 14 24 选项 25 15 子2.w 12.simg-cosg-1,两边平方得1-sima= 2 2 sin a =24 25 25 13.+炉的展开式通项为Cxy,,=0,1,2,3,4,5,则x+上Xx+旷的展开式有 1 xCi, 上Cxy,取r=3和r=1时可得10y,5xy,合并后系数为15. 14.看到a2+c2-b2,想到余弦定理，因为b2=a2+c2-2 accos∠B,所以 a2+c2-b2=2 accos/B①，式子中出现了ac和∠B,所以求面积用S=方acsin.∠B,由恩意， acsin B--停(a2+c2-b),将式①代入得：acsin B--92 aceos/,B整理得：taB-V, 1 结合LBE(O,)可得LB=;要求的范围，此为边的齐次分式，可先边化角，再利用LA与∠C的 关系消元，由正弦定理，三=s血S=血I-A-∠包-血得_号0sA+hA。月 a sinA sin∠A sinA 因为LC为钝角，所以LA为锐角，从而{ 0<A<号 <C-晋-2A<元 故0<∠A<君 所0<aA<停从而品>8.故后品+日>2 四.解答题 15.(1)设{a}的公差为d,数列{b}的公比为q(q>0), a1+4+a=3a=9 由 4=3 bb,b==27 得 b,=3’… 3分 因为44=b,b4-b=18,所以3+2d=3g,3q2-3q=18,得q=3,d=3,5分 故a=3+3(n-2）=3-3,b=3×32=3-1；7分 3n-3,n为奇数 (2)由(1)可知，cn= 3-,n为偶数 ’8分 则Sm=(G十C3十+C3m1）+(C3+C4十…+C2m）.10分 =(0+6++6n-6)+(3+33++32m-1） 1-9(3r3m39-1 (0+6n-6)n.3-32m+1 13分 8 16.(1)解：依题意，因为0.01×5+0.02×5+0.04×5=0.35<0.5， 而0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×5=0.65>0.5， 所以中位数位于[15,20)内，所以中位数为15+05-0,35=175」 6分 0.06 ②》根据统计数茹。甲使用支付宝的颜率为甜号乙使用支付宝的短率为0-子 903’ 8分 甲、乙两人在下周内各自网购2次，两人采用支付宝支付的次数之和X的所有可能的取值为0,1， 2,3,4 9分 x--6 px--》若 x-2-+c号-》号-引-品 x-=c-》引号 P(X=4)= 所以随机变量X的分布列为 0 2 4 1 1 13 1 1 14分 36 6 36 3 9 所以X的数学期望E(X)=+2×+3x4x .15分 6 36 3 93 17.(1)由题意，函数y=f)-x+1=nx-x+1,则y=1-(x>0). 2分 令y'=0,解得x=1,当0<x<1时，y'>0,所以函数y=nx-x+1单调递增， 当x>1时，y'<0,所以函数y=nx-x+1单调递减， 所以函数y=nx-x+1在区间(0,1)单调递增 .4分 在区间A,+0)单调递减6分 (2)由题意，函数8=e-eh(>0),则g=e_e 8分 X 可得函数8(9单增，因为g'四=e-e<0,g(2)= >0, 2 所以在(0，+)上存在一个0，使得g')=eb-e =0 即eb=e ,hx=-x+2… 10分 Xo 当x∈(0，)时，g'(x)<0,函数g(x)单调递减， 当x∈(，+0)时，g()>0，函数g(x)单调递增，…12分 所以8(x)≥g(x)=eo-e2lnx= ge2h,=-g+e5-282=5-26le>0, 所以ex-e2lnx>0,所以g(x)=e-e2f(x)的图象在x轴的上方.15分 18.(1)设P(x,y),x>0,因为位于y轴右侧的动点P到(1,0)的距离比它到y轴的距离大1， 所以动点P到(1,0)的距离与它到直线：x=-1的距离相等.由抛物线的定义知动点P的轨迹是 以(1,0)为焦点，1：x=-1为准线的抛物线（不包含原点），其方程应为y°=2Px(p>0)的形式， 而号=1，所以p=2,2p=4,所以点P的轨迹C的方程为：y2=4x(>0).5分 2 (2)①若直线B的斜率不存在时，因为线段4B的中点在直线×-上， [y2=4x 所以ABx):联立了● x=- 2 解得A,B坐标分别为 可后而：所以4国-20，不合短意： 若直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k+b,设A(,y),B(x,y,), 三4K,化为kx-(2-4)x+=0, [y=kx+b 联立 △=(2kb-4)-4k2b2>0,解得b<1. 6 4-2kb b2 所以x+3= k,5尺8分 因为若线段AB的中点在直线x-上，且|AB=3, 4-2b =5 k- 3 3 可得 所以 或 - 4 b=- 3 所以直线AB的方程为：2x-3y+4=0或2x+3y+4=0; 10分 "→y2-4w-4=0, x=nv+n ②设直线AB:x=y+n,A(x,),B(x2,),联立 y2=4x △=16m2+16n>0,y+3=4m,3=-42, 因为直线AB与圆D相切，即1=W-山 所以2=n-2n≥0，又因为 V1+ △=16m2+16n>0.∴n≥2 直线AB与x轴的交点为(n,0), 则△01B的面积Sos方nx-小-12分 1 x16m+16m-2nxi6-2mj+16m=2N-n=2-P, 14分 设/=i-i,n2+),故了o)=n-3n=r口-}0， 即f(m在[2，+∞)上单调递增，所以f()在n=2处取得最小值，即f(n)m=f(2)=8, 故△OAB面积的最小值为4V√217分 19.(1)连接AB,因为ABBA为平行四边形，且点E为AB1的中点，可知点E为AB的中点， C B 又因为点D为AC的中点，则DE∥BC, A 且DE丈平面ABC,BCC平面ABC,所以DE/I平面ABC 4分 (2)因为BC=4,C41AB,设∠ABC=0∈0，，则AB=40s0,AC=4in0 2 则AB.AC=0,AB·A4=4V2cos日，AC.AA=4sin日， 7 又因为C网=A-AC,瓜=AB+4,D丽=D元+网+A丽=西-Ac-A),6分 则C4·AB,=(A4-AC(AB+A4)=A4AB+4-ABAC-AC.A4 =-4sin0+4V√2cos0+4, DR-()B2C2B+2AC.AA =46c0s20+16sin-0+4-8V5cos9+8sin9)=2sin0-2V2c0s8+5, CA:AB-4sin0+4v2 cos0+4 14 则 -2 DF 2sin0-22 cos0+5 2(sin0-v2 cos0)+5 8分 DE 2f(0)+52, 可知f9在(0到内单调递嘴，且f0)=5,)-1, 则-√2<f()<1,可得， 14 则☒14 36+282 17 2f9)+52e0, 17 所以44的取值范围 0,36+28V2 10分 DE 17 (3)因为AC=4sim6∈[2,23]，即sin6e 9且则君引 在平面BCC,B内，以点B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则C(4,0),B(0,0),设I(x,y), 因为C=弧，则(x+到-3+少，整理可得个x+ 2*29 4 可知点1的轨迹是以行0为调心，半径r-的圆。 12分 则B≥BG-1=BG- 3 因为 G-G丽6西48西日c4 6 则 c-得-4面+4C+G4c-+0 4 1cs4-cossinsin5 16 6 则 即B,G=im0-V2cos0+ 16 B≥BGsm0-V2cos0463 162 由(2)可知f(0)=sim6-√2cos0在 π兀 6’3 内单调递增，则f()的最小值点为日= 6 当6=时，B取到最小值，此时AB=2√5，AC=2,14分 6 AB.AA=26,AC.AA=2, 设点4在底面的投影为O,AO=1AB+uAC, =AO-AA =1AB+MAC-AA, A0.AB=AAB'+AC.AB-AAAB=0 可得 40.AC-AAB.AC+HAC-AAAC-0 即121-2V6=0 4u-2=0 解得。，则和-正-A, 6 =2 2 可得 而+c-西c5而-ac 6 4 3 =2+1+4+0-4-2=1,限即4可=1,16分 所以三棱锥C1-ADF的体积 2 6 17分 2026年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷 数学答案 1． 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 D A C B C D B C 解析： 1.，又因为，所以，故选： 2.对A，因为和都是定义在上的增函数，所以是增函数，又，所以为奇函数，正确； 对B，由反比例函数性质可知，在定义域内不单调，错误； 对C，由对勾函数性质可知，在定义域内不单调，错误； 对D，因为，所以，所以是偶函数，由幂函数性质可知，函数在上单调递增，在上单调递减，错误. 3.，，，因为A，B，D三点共线，则存在实数k使得，即，，是不共线向量，， 4. 5.球与圆台都是旋转体，取过轴的任意一个截面来分析均可，如图，于，则，，由切线长相等可知，，，所以，故圆台侧面积，再算球的半径，在中由勾股定理求解即可，设球的半径为，则，在中，，即，所以球的表面积，故该圆台的侧面积与球的表面积之比为． 6. 对于A，已知，将，，代入可得： ， 因，所以事件，相互独立，A选项不正确． 对于B，根据条件概率公式，将，代入可得：，B选项错误． 对于C，，而，所以，C错误． 对于D，先求，．再根据条件概率公式，将，代入可得：，D选项正确． 7. 是奇函数，所以关于（1，0）对称，且，又，所以， 因为，所以关于点（2，0）对称，则关于直线对称，所以的周期为4，所以 8. 由条件可得，，而，作出两个函数的图象，如图：是与图象的连续相邻的三个交点，不妨设在轴下方，在轴上方，为的中点，连接，由对称性可得是以为顶角的等腰三角形，．由，得，整理得，又，所以，则，所以．要使为锐角三角形，只需即可，即，所以． 2． 多选题 题号 9 10 11 选项 AB BCD ABD 解析： 9. 若，即，，则，A正确； 若，即的虚部为0，则，B正确； 若，则，C错误； 若，设（），即，则表示圆上的点到原点的距离，其最大值为2，D不正确 10.对于A第1天小明选择了米饭套餐，根据题意小明同学第二天选择面食套餐的可能性为，不是100%，所以A不正确； 依题意，，则，故B正确； 当第天选择米饭套餐时，第天选择米饭套餐的概率为；当第天选择面食套餐时，第天选择米饭套餐的概率为，故，故C正确； 设第天小明同学午餐花费为，则，因为，所以，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，所以，所以前n天小明同学午餐花费的总费用数学期望为，故D正确. 11.对于A由图可知，坐标平面中，，故坐标平面的方程为：，正确 B．平面截曲面得方程中，，故得，结合双曲线的标准方程可知，平面截曲面所得交线是双曲线，正确，符合题意； C．平面截曲面所得交线是的方程，故为，交线是圆，选项错误 D．设是直线上任意一点，故，即，，，故，因此在曲面上，故直线在曲面上，选项D正确. 三．填空题 题号 12 13 14 选项 15 12.，两边平方得. 13.的展开式通项为，，1，2，3，4，5，则的展开式有，，取和时可得，，合并后系数为 14.看到，想到余弦定理，因为，所以  ，式子中出现了和，所以求面积用，由题意，，将式代入得：，整理得：，结合可得；要求的范围，此为边的齐次分式，可先边化角，再利用与的关系消元，由正弦定理，， 因为为钝角，所以为锐角，从而，故， 所以，从而，故． 四．解答题. 15.（1）设的公差为，数列的公比为， 由，得，.............................................3分 因为，，所以，，得，，......................5分 故，；.............................................7分 （2）由（1）可知，，.............................................8分 则.............................................10分 .............................................13分 16.（1）解：依题意，因为， 而， 所以中位数位于内，所以中位数为..............................................6分 （2）根据统计数据，甲使用支付宝的概率为，乙使用支付宝的概率为，........8分 甲、乙两人在下周内各自网购2次，两人采用支付宝支付的次数之和的所有可能的取值为0，1，2，3，4. ............................................9分 ， . ， ， . 所以随机变量的分布列为 X 0 1 2 3 4 .....................................14分分 所以的数学期望.....................................15分 17. （1）由题意，函数，则...................................2分 令，解得，当时，，所以函数单调递增， 当时，，所以函数单调递减， 所以函数在区间单调递增....................................4分 在区间单调递减.....................................6分 （2）由题意，函数，则....................................8分 可得函数单增， 因为， 所以在上存在一个，使得 即，....................................10分 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增，....................................12分 所以， 所以，所以的图象在轴的上方.....................................15分 18．（1）设，因为位于轴右侧的动点到的距离比它到轴的距离大1， 所以动点到的距离与它到直线的距离相等．由抛物线的定义知动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为的形式， 而，所以，，所以点的轨迹的方程为：．............................5分 （2）①若直线的斜率不存在时，因为线段AB的中点在直线 上， 所以，联立， 解得坐标分别为，所以，不合题意； 若直线的斜率存在时，设直线的方程为，设， 联立，化为， ，解得． 所以，，....................................8分 因为若线段AB的中点在直线上，且 ， 可得，所以或， 所以直线的方程为：或；.....................................10分 ②设直线：，，联立 ， ，，， 因为直线AB与圆D相切，即，所以，又因为 直线与x轴的交点为， 则的面积.....................................12分 ，............................14分 设，，故， 即在上单调递增，所以在处取得最小值，即， 故面积的最小值为......................................17分 19．（1）连接，因为为平行四边形，且点为的中点，可知点为的中点， 又因为点为的中点，则， 且平面，平面，所以平面.................................4分 （2）因为，，设，则，， 则，，， 又因为，，，.....................6分 则 ， ， 则，..............................................8分 令，，则， 可知在内单调递增，且，， 则，可得，则， 所以的取值范围为.......................................................10分 （3）因为，即，且，则， 在平面内，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，设， 因为，则，整理可得， 可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆，.....................................12分 则， 因为 则 即，则 ， 由（2）可知在内单调递增，则的最小值点为， 当时，取到最小值，此时，，.....................................14分 ，， 设点在底面的投影为，， 则， 可得， 即，解得，则， 可得 ，即，.....................................16分 所以三棱锥的体积......................................17分 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核对条形码上的姓名和考生号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再填涂其它答案标号．回答非选择题时将答案写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，集合，则 A． B． C． D． 2．以下哪个函数既是奇函数，又是增函数 A． B． C． D． 3．已知，是不共线向量，，，，且A，B，D三点共线，则实数等于 A．3 B．4 C．5 D．6 4．已知椭圆的长轴端点为A，B，点P是椭圆上异于A，B的点，且直线和的斜率之积，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 5．已知圆台上底面半径为1，下底面半径为2，球与圆台的两个底面和侧面均相切，则该圆台的侧面积与球的表面积之比为 A． B． C． D． 6．设，是一个随机试验的两个事件，且，，，则 A．事件，不相互独立 B． C． D． 7．已知函数是定义在上的连续可导函数，且的导函数为，为奇函数，设，且，则 A． B． C． D． 8．已知函数，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，点，，是与图象的连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则的最大值为 10．开学后，某学校食堂为了减少师生就餐排队时间，特推出即点即取的米饭套餐和面食套餐两种，已知小明同学每天中午都会在食堂提供的米饭套餐和面食套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份15元，面食套餐的价格是每份10元，如果小明当天选择了某种套餐，她第二天会有的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天小明选择了米饭套餐，第天选择米饭套餐的概率为，则以下论述中正确的是 A．小明同学第二天一定选择面食套餐 B． C．（，） D．前天小明同学午餐花费的总费用的数学期望为 11．类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，可以定义曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②坐标满足三元方程的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为．已知曲面的方程为，则下列选项中正确的是 A．坐标平面的方程为 B．平面截曲面所得交线是双曲线 C．平面截曲面所得交线是椭圆 D．若直线过曲面上一点，且以为方向向量，则直线在曲面上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则________． 13．的展开式中的系数为________． 14．若的面积为，且为钝角，则________；的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知等差数列和正项等比数列满足，，，． （1）求和的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和． 16．（15分）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调查．经统计这100位居民的网购消费金额均在区间内，按，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示． （1）估计该社区居民最近一年网购消费金额的中位数； （2）调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响．统计最近一年两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示： 类别 网购总次数 支付宝支付次数 银行卡支付次数 微信支付次数 甲 80 40 16 24 乙 90 60 18 12 将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为，求的数学期望． 17．（15分）已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求证：函数的图象在轴上方． 18．（17分）在平面直角坐标系中，位于轴右侧的动点到点的距离比它到轴的距离大1，记点的轨迹为． （1）求的方程； （2）已知不重合的两点，均在上， ①若线段的中点在直线上，且，求直线的方程； ②若直线与轴正半轴相交，且与圆相切，求面积的最小值． 19．（17分）已知三棱柱中，，，，，，且，，分别为，，的中点． （1）求证：平面； （2）求的取值范围； （3）已知，若点是四边形所在平面上的一个动点，且．求取最小值时三棱锥的体积． 学科网（北京）股份有限公司 $