云南省玉溪第一中学（南校）2026届高三下学期高考仿真模拟考（一）数学试题

玉溪一中高2026届高考仿真模拟考（一） 数学学科试卷 总分：150分考试时间：120分钟 一、单选题 1．若，则的真子集个数为（ ） A． B． C． D． 2．已知复数，是方程的两个虚数根，则（ ） A． B． C． D． 3．若，则（ ） A． B． C． D． 4．下列函数中最小值为的是（ ） A． B． C． D． 5．已知变量和的成对样本数据的经验回归方程为，且，当增加了个样本数据后，重新得到的经验回归方程的斜率为，则新的经验回归方程为（ ） A． B． C． D． 6．已知数列满足，设，则数列的前项和（ ） A． B． C． D． 7．画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆是，若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（ ） A．或 B．或 C． D． 8．已知函数，若的零点个数为，则实数取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，则下列描述正确的是（ ） A． B．的展开式中，所有含的偶数次项的二项式系数和为 C．被8除所得的余数是1 D． 10．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为60米，转盘直径为50米，设置有24个座舱，摩天轮开启前，距地面最近的点为0号座舱，距地面最远的座舱为12号，座舱逆时针排列且均匀分布，游客甲坐2号舱位，乙坐6号舱位，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要24分钟，游客甲在摩天轮转动过程中距离地面的高度为米，下列说法正确的是（ ） A．关于的函数解析式为 B．开启后第20分钟这一时刻游客甲和乙第二次距离地面高度相同 C．开启后第10分钟游客乙距离地面47.5米 D．开启后第10分钟至第18分钟游客甲和乙运动方向相同（上升或下降） 11．如图，在正方体中，，是正方形内部（含边界）的一个动点，则（ ） A．存在唯一点，使得 B．存在唯一点，使得直线与平面所成的角取到最小值 C．若，则三棱锥外接球的表面积为 D．若异面直线与所成的角为，则动点的轨迹是抛物线的一部分 三、填空题 12．已知随机变量服从正态分布，若，则_________． 13．如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为________． 14．设数列的前项和为，，且对任意的都有．若存在，使得，则实数等于________． 四、解答题 15．如图，在直三棱柱中，点、分别是棱、上的点（点异于点），且． （1）求证：平面平面； （2）若是正三角形，，且三棱柱的体积是三棱锥的体积的12倍，求与平面所成的角的余弦值． 16．在中，． （1）求的大小； （2）若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求最长边上的高线的长． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 17．在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问．对一些敏感性问题，更要精心设计问卷及调查方法，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况．某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的80名初中生和120名高中生进行了调查．调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的10个白球和20个黑球的袋子．每个被调查者随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生若吸烟，则写下①，若不吸烟，则写下②；摸到黑球的学生若吸烟，则写下②，若不吸烟，则写下①．由于问题的答案只有①和②，而且摸到的是白球还是黑球也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．设事件“被调查者吸烟”，“被调查者写下①”． （1）为了进一步了解学生的吸烟情况，从被调查的初中生和高中生中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取3名学生进行问卷调查，记抽取的3名学生中初中生的人数为，求的分布列和数学期望； （2）用频率估计概率，若200名学生中有130人写下①，试估计的值； 18．已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若有两个极值点，，且， （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 19．已知抛物线：，点在上，为常数，，按如下方式依次构造点，过点作轴的垂线交于点，过且斜率为的直线与的另一个交点为记的坐标为． （1）当时，求，； （2）设，证明：数列是等差数列； （3）设为的面积，证明：为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $玉溪一中高2026届高考仿真模拟考（一）数学学科参考答案 一、单选题 1.【答案】D 2.【答案】A 3.【答案】A 4.【答案】C 5.【答案】B 6.【答案】c 7.【答案】B 8.【答案】D 二、多选题 9.【答案】ABC 10.【答案】BCD 11.【答案】BCD 三、填空题 12.【答案】2 √万 13.【答案】14 14.【答案】13或-12 四、解答题 15.【详解】(1)因为=棱柱ABC-ABC是直三棱柱，所以CC上平面ABC, 1分 又ADc平面ABC,所以CC⊥AD 2分 又AD⊥DE,CCODE=E 3分 CC、DEc平面BCCB,所以AD⊥平面BCCB 4分 又ADC平面ADE,所以平面ADE⊥平面BCCB 5分 (2)解法一：由AD⊥平面BCCB,BCC平面BCCB,可知AD⊥BC, 又因为△ABC是正三角形，所以BD=CD. 设BC=CC=2,由'c-4G=12y楼E-c,Sa1Bc=2Sa40C, 2SAc2=12}SAc·CE 可 3 故CE=1, 以点A为坐标原点，CB、AD、A4的方向分别为x、'、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐 标系， 8分 Z小 D 则4(00,2)、D0,0、A0,0,0).E(-1,v3, 所以D=0,5.0）正=（13，，4E-(15,-1 设平面ADE的一个法向量为n=(x,少2). n·AD=√5y=0 则nA正=-x+V5y+z=0,取x=1,可得1=(，0) 10分 n·AE sina 设4E与平面ADE所成的角为u,则 州4E V2V55 12分 5 所以AE与平面ADE所成的角的余弦值为5， 13分 解法二： 连接4D,过A作AGL平面ADE,垂足为G,连接GE, 则∠ABG就是直线4E与平面ADE所成的角， 取AC的中点M,连接BM,取CM的中点N,连接DN, C G E D 因为△ABC为等边三角形，M为AC的中点，所以BM⊥AC, 因为D、N分别为BC、CM的中点，所以ONIIBM,则DN⊥AC, 因为三棱柱ABC-AB,C为直三棱柱，所以A4上平面ABC, 因为DNC平面ABC,所以DN⊥平面A4CC月DN=CDsm60°=V3 2 x22=2V楼D-ME3八A46DW7 2x5 因为 ，故 3 23, 因为AD⊥平面BCCB,DEC平面BCCB,所以AD⊥DE, 4D=4Bsin60=2x5 又因为 2 DE-CD+C So-DE 所 2, 1V V=技AADE日3SADe·AG=2x 所以 x4G- 32 3,解得4G=V2 又4E=V4C+CE2-V2+=V5 sin∠4EG=AG-V1o 5 AE5,所以AE与平面ADE所成的角的余弦值为5. 解法三：设F是B,C的中点，连接4F、DF、EF, 因为BB,ICC,BB=CC,故四边形BB,CC为平行四边形， 所以BC/BC,BC=B,C. 因为D、F分别为BC、B,C的中点，所以BD/BF,BD=BF, 故四边形BB,FD为平行四边形，所以BB /IDF,BB,=DF 又因为A4BB,A4=BB,所以A4IDF,AA=DF, 所以四边形M4FD为平行四边形，所以AFAD 因为AF￠平面ADE,ADC平面ADE,所以AF∥平面ADE, 点A与F到平面ADE的距离相等。 由四边形BCCB是正方形，E、F、D分别为CC、B,C、BC的中点， 故CD=CE=CE=CF,所 ∠FEC,=∠CED=T∠FED= 4,故 2,即EF⊥ED, 又平面ADE⊥平面BCCB,EFC平面BCCB,平面BCCB∩平面ADE=DE, 故EF⊥平面DE,易知EF=VCE+CF=+1=V5,故4到平面4DE的距离也为V2, 又4E=VAC+CE=V2+P=V5 sino=22 vio 设4E与平面ADE所成的角为,则AE55 5 所以4E与平面ADE所成的角的余弦值为5· 16.【详解】(1)因为c0s2A+c0sA=0,所以2c0s2A+cosA-1=0, 2分 所以2cosA-1(cos4+1)-=0所uosA=方 2,cosA=-1, 4分 因为A∈(0，m),所以cosA=-1舍，所以 sA=A= 2, 3 7分 (2港0a=7,b=10.A-了，自余液定得2=方+c2-2c60sA, 得C2-10c+51=0,此时，△<0，所以，三角形不存在。 Asπ c a 55=5 选择②因为 3,由正弦定理sinC sinA,代入142得c=5, 10分 法一：由余弦定理a2=b2+c2-2 becosA,代入得 49=25+b2-2.56. 所以(6-8)b+3)=0,所以b=8或b=-3(合)， 13分 3 所以AC边最长，AC边上的高线 =csinA= 2 15分 C<π Bsπ 法二：因为C=5,a=7,所以C<A,所以3，所以3，所以b为最长边， AC边上的高线 h=c.sinA=5 2. .1 S=- besin 4=103 Asπ 选择③因为°2 所以bc=40,因为3，由余弦定理a2=b2+c2-2 becosA, b=8 b=5 所以49=b2+c2-bc=b2+c2-40,所以c=5或c=8,三角形不唯一，不能选择条件@. 1 2 17.【答案】(1)分布列见解析， EX)-9 (2)20(3)3, P 【详解】(1)抽取的10名学生中有4名初中生，6名高中生， 1分 X的可能取值为0,1,2,3. 2分 P(x-2)-CiCi3 p(X=3)-己30 C=1 ∴.X的分布列为 X 0 1 P 1 3 1 6 2 10 30 E(X)=3x4-6 ×105: 7分 (2)设事件C=“被调查者摸到白球”， P()-P(C)()+P()(C)-P()(-P( 12分 P(B)=13 0时， P(4)=20 15分 18.【答案】(1)单调递增区间是(0，+0） 2)102 （ⅱ)证明见解析： f)--hx+2axe0+m）. a= 【详解】(1)(1)当2时 则f'(x)=x-lnr+1 1分 令)=-n+1,则m(创=是 xx, 当x∈(0，)时，m'()<0,m(单调递减， 当x∈（山，+o)时，m()>0,m()单调递增， 故m(x)≥m(0)=2>0,即f(>0, 3分 则f()在(0，+切)上单调递增，故f(:的单调递增区间是(0，+o）,无单调递减区间 4分 2)i:fx的定义域为(0，+o),f()=2ar-lhx-1 5分 若f()有两个极值点，，且<， lmr+l-2ax=0xr>0)的两个根为，，且>x>0, y=l+l 则 x与y=2a有两个交点， 6分 令8()nr+1 当x∈(0,1时，8'(x)>0,8()单调递增， 当x∈（山，+）时，8'()<0,8()单调递减， y=g(x) y=2a 故8)mx=g0=lh1+1=L,xe(,+o）,g(x)>0, 8分 1 1 ln-+1 (e- s0 e 且 e 9分 0<a< 要使8()与y=2a有两个交点，则0<2a<1,即 2 1a的取值范围是() 10分 1nx+1=2ax, Inx2 -Inx .∴.a= (ii)x:+1=2ax,:2a()=Inx-n2) 12分 、1 要证：a(:+)>1,即证 x1+x2> a, 2-1 2(飞-）÷1nx-nx> +x-x “+1 只需证 14分 t点>1F(y=m 令 2-少t>0 t+1 15分 F0=≥0 t+)之0在1e(+o)恒成立. F(x)在e(山，+)为增函数，F()>f()=0, 、1 .x1+x2> a 17分 1=2p× 19.【解析】解：(1)因为点 在C上，所以P2,解得p=1, 1分 中光Q伤} 直线巴的方程为： 2分 +1=》 y3=2x2-2 由y=2x ，整理得-2x ,解得=2，=2； 4分 (2)证明：法一：由题意知21的坐标为化，-)】 所以y=2x1,又2=2xn, y,+y=2 两式相减得层-=2（化，-），即x-x。-y。 yn+yn-L=k 2 由题意知xn-七n- ,可得 y-Y-1=k, 6分 2 所以数列.}是以1为首项，太为公差的等差数列， ,=1+(a-×元 2_2n+k-2 =2n+k-2 所以 k,可得 2K2 ,=x4-x,=2m+k-2n+k-2-4n+2k-2 所以 2k2 k2 9分 4 可得 1-a= ,所以数列a,}是等差数列： 10分 法二： 由题意知2.1的坐标为（化--）， 所以直线P的方程为y+y=k(x-x), y+y-=k(x-x-) 由(y2=2x ，可得2-2y-2y1-21=0. 由题意知21，P是直线O-P与C的公共点， 2 y-3-k, 所 6分 2 所以数列{少}是以1为首项，无为公差的等差数列， =1+m-1)x22n+k-2 所以 k k 7分 =2n+k-22 可得 2k2 ,=x1-x,-20+-2n+k-2}-4+2k-2 所以 2k2 k2 9分 4 所以，1一0，衣，所以数列a,}是等差数列： 10分 (3)证明：法一：△PPP2的三个顶点为P(c）,P(）,P(c+2y2), [=2x 因为=2x1,两式相减得-片=2(x1-x）, 2 yntl-yn= 即xn-xnya+ya, 2 所以直线P,P的斜率为y1+, P=1+ -小4+0，t+x2-4++ 一×一 可得 4 k 12分 2-(x-x) 直线P,B1的方程为”.+ya1 即2x-(y+y+)y+(yn+y41)y。-2.xn=0 设P+2到直线P1的距离为d, d-22-0m+.y+0+y以，-2x_2(c2-x)(+y0a-y】 则 V4+(yn1+y)月 V4+(Yn+ya) （-）-(m+y.y.-y.)_y2-y)y2+y.）-(01+0y2-y V4+(0y1+y)2 V4+(0yn1+yn)2 42 (y2-)(Y2-) 8 V4+(0yn+1+yn) V4+0y1+y)2k2V4+0y1+y)月 15分 s.-d- V4+0y1+y} 8 4 k 所以 V4+0y1+F 所以Sn为定值： 17分 法二： △PPP2的三个顶点为.(），(xa),P(x2y2）, =(k-wy)(a,别 可得 .=ka-以a-y）a是别 wasin() =)P.PPPV-cos2(PE,PP〉 2 -. 12分 + 4 4 )2 andn++ k2 ar +din-2andat (a1-a)2 4 2 k2 3 所以Sn为定值： 17分 法3： 要证S为定值，只需证S,=S, 即证△PPP2与△PnPP3面积相等， y72=2x2 因为，=2x1,两式相减得a-=2(化2-）， Ym2-Yntl 2 即+2-Xn1yn+2+yn+l, 2 2 一三 yn+2+y12n+k+2+2n+k2n+k+1 所以直线P22的斜率 k k 13分 2 2 n*3+yn2n+k+4+2n+k-22n+k+1 同理可得直线P,P+3的斜率为 k k 15分 所以nP+2l1PP+3,可得点Pn,Pn+3到直线PPn+2的距离相等， 16分 所以S,=S1,即Sn为定值， 17分玉溪一中2026届高三模拟仿真考试一 数学答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 正确填涂 考 号 注意事项 ■ 1. 答题前请将姓名、班 级、考场、淮考证号填写清 [o] [o] [o] [0] [o] [o] 缺考标记 楚。 [1] [1] [1] [1] [1] [1] 口 2.客观题答题，必须使用 [2] [2] [2] [2] [2] [2] 2B铅笔填涂，修改时用橡皮 [3] [3] [3] [3] [3] [3] 回脚回 [4] [4] [4 [4] [4] [4] 擦干净。 3.必须在题号对应的答题 [5] [5] [5] [5] [5] [5] 可 区域内作答，超出答题区域 [6] [6] [6 [6] [6] [6] 书写无效。 [7] [7] [7] [7] [7] [7] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 一、单选题 1[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 二、多选题 9[A][B][c][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题 12. 13 14 囚囚■ 第1页共6页 四、解答题 A 15.(13分) 9 B E D B ㄖ囚■ 第2页共6页 16.(15分) ■ 第3页共6页 ■ 17.(15分) 1 囚■ㄖ 第4页共6页 18.(17分) 囚■囚 第5页共6页 ▣ 19.(17分) ■ 第6页共6页双向细目表 2026届仿真（一）数学双向细目表 项目 主要指标 题号 模块 试题考点 题型 分值 难度 系数 分值 命题人 1 集合 子集，真子集个数问题 单选 5 易 4.6 谢娇艳 2 复数 实系数一元二次方程虚根成对问题 单选 5 易 4.2 谢娇艳 3 三角 同角三角函数基本关系 单选 5 易 4.4 杨芬 4 函数 基本不等式 单选 5 易 4.2 姚艳萍 5 统计概率 成对数据的统计分析 单选 5 中 4.6 谢娇艳 6 数列 数列（通项研究） 单选 5 中 3.5 黄旭 7 圆锥曲线 圆与椭圆综合 单选 5 中 4.2 杨芬 8 函数 函数嵌套问题 单选 5 难 2 姚艳萍 合计 40 9 统计概率 二项式定理 多选 6 易 4.2 谢娇艳 10 三角 三角函数（水车模型） 多选 6 中 3.6 黄旭 11 立几 空间中的动态问题，轨迹为圆锥曲线 多选 6 难 2.1 姚艳萍 合计 18 12 统计概率 正态分布 填空 5 易 4.6 谢娇艳 13 平面向量 平面向量 填空 5 中 4 谢娇艳 14 数列 数列 填空 5 难 0.5 黄旭 合计 15 15 立几 锥体体积，线面角 解答 13 易 11.5 黄旭 16 三角 结构不良问题 解答 15 中 12 黄旭 17 统计概率 超几何分布，全概率公式 解答 15 中 8.3 谢娇艳 18 函数 双变量不等式证明 解答 17 难 7.3 姚艳萍 19 圆锥曲线 圆锥曲线与数列或者新定义结合 解答 17 难 5.2 杨芬 合计 95 总合计 $