专题21.3.1 矩形（4大知识点+9大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年人教版八年级数学下学期培优讲义

本讲义聚焦矩形核心知识，系统梳理矩形的定义、性质（四角直角、对角线相等平分、对称性）、判定方法（定义法、三直角、对角线相等）及直角三角形斜边上的中线性质，通过与平行四边形对比构建知识网络，形成从基础到综合的学习支架。 资料以分层题型设计为亮点，基础题型巩固性质应用，培优题型结合折叠、坐标综合，压轴题型探究动点存在性，培养几何直观与推理能力。实际应用题如测量旗杆高度，助力学生用数学语言解决现实问题，课中辅助教学，课后帮助查漏补缺。

专题21.3.1 矩形 知识点1：矩形的定义与性质 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质）。 2.特有性质 角：四个角都是直角（数学语言：∵四边形是矩形，∴）。 对角线：相等且互相平分（数学语言：∵四边形是矩形，∴，）。 对称性：既是中心对称图形（对称中心为对角线交点），也是轴对称图形（有两条对称轴，过两组对边中点的直线）。 3.推论：矩形的对角线把矩形分成四个全等的等腰三角形，且四个三角形面积相等。 知识点2：直角三角形斜边上的中线性质 1.核心性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（数学语言：在中，，为中点，∴）。 2.逆命题（判定直角三角形）：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形（可用于直角三角形的判定）。 3.应用场景：常用于线段倍分关系证明、直角三角形相关计算，连接中点构造中线可转化线段长度。 知识点3：矩形的判定方法 判定类型 具体条件 数学语言 定义法（平行四边形+直角） 有一个角是直角的平行四边形是矩形 在中，∵，∴是矩形 角的判定（四边形+三直角） 有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形中，∵，∴四边形是矩形 对角线判定（平行四边形+对角线相等） 对角线相等的平行四边形是矩形 在中，∵，∴是矩形 对角线判定（四边形+对角线平分且相等） 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 ∵，，，∴四边形是矩形 知识点4：矩形与平行四边形的关系 1.包含关系：矩形是特殊的平行四边形，平行四边形不一定是矩形。 2.性质对比： 性质 平行四边形 矩形 对边 平行且相等 平行且相等（同平行四边形） 对角 相等 相等且均为直角 对角线 互相平分 互相平分且相等 对称性 中心对称图形 中心对称图形+轴对称图形 【基础必考题型】 【题型1】矩形性质的直接应用（角度计算） 1.核心知识点 矩形的四个角为直角；矩形对角线相等且互相平分的性质；等腰三角形的性质。 2.解题方法技巧 结合矩形对角线平分的性质，识别等腰三角形（如）；利用直角三角形内角和、等腰三角形底角相等的性质，逐步推导所求角度；注意对角线夹角与矩形内角的关联。 【例题1】.（2026·陕西咸阳·一模）如图，矩形的对角线相交于点O，点E在上，连接，若，则的度数为______． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，延长矩形的边至点，使，连接．若，则____________． 【变式题1-2】.（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，点是矩形外一点，且在上方，连接，点在边上，连接交边于点F．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在矩形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【题型2】矩形性质的直接应用（线段计算） 1.核心知识点 矩形对边相等、对角线相等的性质；勾股定理。 2.解题方法技巧 明确矩形中相等的线段（对边、对角线），将所求线段转化为直角三角形的边；利用勾股定理建立方程，求解线段长度；注意对角线与矩形边长的关系（如对角线平方等于长和宽的平方和）。 【例题2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，矩形中，对角线、交于O，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．7 D．5 【变式题2-1】.（湖南明德学校第一中学教育集团2025-2026学年八年级下学期3月学情质量监测数学试题）如图，在矩形中，对角线、相交于点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（2026·安徽阜阳·一模）如图，在矩形中，，，平分交于点E，连接，取的中点F，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（25-26九年级下·辽宁锦州·开学考试）如图，矩形的对角线相交于点，点为上的一点，连接，为的中点，若，则的长为_____． 【题型3】矩形的判定 1.核心知识点 矩形的三种判定方法；平行四边形的性质。 2.解题方法技巧 先判断图形是否为平行四边形，若为平行四边形，可通过“一个直角”或“对角线相等”判定为矩形；若为一般四边形，可通过“三个直角”或“对角线互相平分且相等”判定；注意区分不同判定方法的适用条件。 【例题3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，用一张矩形纸片折出一个正方形，只需把一个角沿折痕翻折上去，使和边上的重合，则展开铺平后所得的四边形就是一个正方形，判断的依据是______________________． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是_____________________． 【变式题3-3】.（24-25八年级下·云南昆明·期末）课堂上，某同学制作了一个四边形门框模型，就如何判断门框模型是否是矩形？老师提出了以下四个判定方法，方法一：测量四个角是否相等；方法二：测量四条边是否相等；方法三：测量两条对角线是否相等；方法四：验证是否是轴对称图形其中能判定这个四边形门框模型是矩形的是（   ） A．方法一 B．方法二 C．方法三 D．方法四 【题型4】直角三角形斜边上的中线性质应用 1.核心知识点 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；直角三角形的性质。 2.解题方法技巧 识别直角三角形，找到斜边中点，构造中线；利用中线与斜边的倍分关系，转化线段长度；结合直角三角形其他性质（如勾股定理、内角和）求解未知量。 【例题4】.（2026·河南商丘·一模）如图，在中，，，．点F是中点，连接，把线段沿射线方向平移到，点D在上．则线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长是（    ） A．20 B．18 C．16 D．14 【变式题4-1】.（23-24九年级上·四川乐山·期末）如图，中，E，F分别是，的中点，点D在上，延长交于N，，，，则（　　） A．2 B． C．1 D． 【变式题4-2】.（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，是边上一点，且的垂直平分线经过点，是的中点．若，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式题4-3】.（2026·陕西西安·模拟预测）如图，是的中位线，是的高线，若，则的长度为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【培优高频题型】 【题型5】矩形与折叠问题（单折叠） 1.核心知识点 矩形的性质；折叠的性质（对应边相等、对应角相等）；勾股定理。 2.解题方法技巧 折叠后标注对应相等的线段和角，设未知线段为；利用矩形对边相等、直角相等的性质，将相关线段用表示；在直角三角形中建立勾股定理方程，求解未知量；注意折叠后图形的位置关系（如点在矩形内、外的情况）。 【例题5】.（25-26九年级下·广西河池·开学考试）如图，将一张长方形纸条翻折，是折痕．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（2022·山东泰安·模拟预测）如图，矩形纸片中，，把纸片沿直线折叠，点落在处，交于点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【变式题5-2】.（2026·山西晋中·一模）如图，在矩形中，，点是边上一点，将沿折叠，点落在矩形内的点处，连接，若是直角三角形，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式题5-3】.（2026·新疆乌鲁木齐·一模）如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，若，则的长度为___________． 【题型6】矩形与坐标综合（坐标计算） 1.核心知识点 矩形的性质；平面直角坐标系的坐标特征；勾股定理。 2.解题方法技巧 根据矩形对边平行、邻边垂直的性质，确定顶点坐标的关系（如横坐标相等或纵坐标相等）；利用坐标计算线段长度（水平线段算横坐标差，垂直线段算纵坐标差）；结合矩形对角线相等的性质，验证坐标或求解未知顶点坐标。 【例题6】.（25-26九年级上·河南开封·月考）如图，在矩形中，，，，求点B到原点O的距离．      【变式题6-1】.（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（25-26九年级下·河南商丘·月考）如图，矩形的边在x轴上，且过原点，连接．将沿翻折，点B的对应点恰好落在边上．若点的坐标为，则点C的坐标为____________． 【变式题6-3】.（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，对于矩形，，，为平面直角坐标系的原点，，，点在第三象限． (1)直接写出点的坐标： __________． (2)点从原点出发，沿着的路线每秒移动2个单位长度． ①当点移动了时，直接写出此时点的坐标：__________； ②当点到轴的距离为4个单位长度时，求出点移动的时间． (3)若过点的直线与矩形的边交于点，且将矩形的面积分为1∶4的两部分，求点的坐标． 【题型7】矩形的实际应用（情境题） 1.核心知识点 矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线性质。 2.解题方法技巧 从实际情境（如测量、建筑、折叠物品）中抽象出矩形模型；明确问题中的已知条件（如边长、角度、对角线），转化为数学问题；利用矩形的性质或直角三角形中线性质求解实际问题（如距离、长度、面积）；注意单位统一和实际意义的验证。 【例题7】.（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，我校数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为1米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为3米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的1米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即的长）？ 【变式题7-1】.（25-26八年级上·江苏苏州·月考）（1）如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距24千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出的距离．（保留作图痕迹，不用说明作图过程） 【变式题7-2】.（25-26七年级上·全国·课后作业）在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，求旗杆的高度和玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度． 【变式题7-3】.（25-26九年级下·江苏南京·月考）如图，某公园里一个区域的平面设计图，景点A到景点D设计了两条路线，从景点A出发行走100米到达景点C，此时景点D在景点C的东南方向上，从景点A出发行走80米到达景点B，此时景点A、C分别在景点B的正西和正北方向，接着从B点沿北偏东方向行走24米到达景点E，景点D就在点E的正北方向．（结果保留一位小数，参考数据：，，） (1)求B、C两点之间的距离； (2)请通过计算比较：路线①和路线②的路程谁更短？ 【压轴素养题型】 【题型8】矩形中的动点问题（存在性） 1.核心知识点 矩形的性质；平行四边形的判定；动点运动规律。 2.解题方法技巧 分析动点运动速度和路径，用运动时间表示相关线段长度；根据矩形对边平行且相等的性质，结合平行四边形的判定条件（如一组对边平行且相等），建立关于的方程；求解方程并验证动点是否在运动范围内，确定符合条件的值。 【例题8】.（24-25八年级下·河南开封·期末）已知如图，在四边形中，，，，．动点P从点A出发，以的速度向点D运动；动点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，运动几秒时，四边形是平行四边形； (2)从运动开始，运动几秒时，四边形是矩形． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·吉林长春·月考）如图，在长方形中，，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动；同时动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿的路径运动，连接．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)写出的长（用含的代数式表示）． (2)当线段将长方形分割为两个长方形时，______． (3)若点到达点后，以原速度的2倍返回到点，同时点以原速度继续向点运动．在点的整个运动过程中： ①当线段平分长方形的周长时，求的值； ②作点关于点的中心对称点，直接写出的面积是面积的时的值． 【变式题8-2】.（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（   ） A． B．4 C． D． 【变式题8-3】.（25-26九年级上·吉林·开学考试）如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1) ； ； ； ； (2)当t为多少秒时，四边形成为矩形？请求出t值 (3)当t为多少时，？（直接写出答案即可） (4)是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，说明理由． 【题型9】矩形的判定与性质综合 1.核心知识点 矩形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；全等三角形；勾股定理。 2.解题方法技巧 先根据已知条件判定四边形为矩形（选择合适的判定方法）；再利用矩形的性质推导相关线段、角的关系；结合全等三角形证明线段相等或角相等，为计算铺垫；最后通过勾股定理、线段倍分关系求解未知量；注意证明过程的逻辑连贯性（如先判定后性质）。 【例题9】.（25-26九年级上·陕西西安·期末）[问题探究] 如图1，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接．已知，则的最小值是 ； [尝试应用] 如图2，矩形中，，点P是矩形内一动点，且，求周长的最小值． [实践创新] 如图3， ，长度为2的线段在射线上滑动，点C在射线上，且，的两个内角的角平分线相交于点F，过F作，垂足为G，求的最大值． 【变式题9-1】.（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，°，°，M是射线上的一动点，将线段绕点M逆时针旋转得到． (1)如图1，当点M与点C重合时，连接，求证：四边形是平行四边形． (2)如图2，当点M在线段上(与点A，C都不重合时)，连接，过点M作垂直交于点E，连接，求的度数． (3)当点M与点A，C都不重合时，若，，请直接写出的长． 【变式题9-2】.（25-26八年级下·重庆·开学考试）在等腰中，，，点是线段的中点，点是线段中垂线上的一点，连接、、、，点是线段上的一点． (1)如图，当点在边上时，连接，若，，求的长度； (2)如图，当点在内部时，延长至点，点是线段的中点，连接、、，若平分，，求证：； (3)如图，当点在外（下方）时，与交于点，连接、、，若，点是线段的中点，当线段取得最小值时，请直接写出四边形的面积． 【变式题9-3】.（23-24八年级下·广东珠海·期中）在矩形中，，连接，且，将三角形沿翻折得，交于G，连接． (1)如图（1）判断与的位置关系和数量关系，并证明； (2)如图若沿线段由B向D运动，速度每秒1个单位，连接． ①如图（2）当时，判断四边形的形状，并证明； ②如图（3）在运动过程中，四边形的面积是否发生变化？若不变，求出面积，若变化，说明理由． 易错点 1.判定矩形时，混淆“平行四边形”前提：如误将“对角线相等的四边形是矩形”当作正确判定，忽略“对角线互相平分”的条件（等腰梯形对角线相等但不是矩形）。 2.折叠问题中，遗漏折叠后的对应关系：如未考虑折叠后点的位置（在矩形内或外），导致线段长度表示错误；忽略折叠后直角的转化，影响勾股定理的应用。 3.直角三角形中线性质应用错误：如未确认三角形为直角三角形，或找错斜边中点，导致中线与斜边的倍分关系误用。 4.矩形与平行四边形性质混淆：如认为矩形的对角线互相垂直（实际不垂直，菱形对角线才垂直），或忽略矩形的轴对称性质。 重点 1.熟练掌握矩形的性质（角、对角线、对称性）和三种判定方法，能根据已知条件灵活选择判定方式。 2.理解并运用直角三角形斜边上的中线性质，能通过构造中线解决线段倍分问题和直角三角形判定问题。 3.掌握矩形与折叠、坐标、动点结合的基础题型解题思路，能利用勾股定理、方程思想求解未知量。 4.能从实际情境中抽象出矩形模型，运用矩形的知识解决实际问题，体现数学建模素养。 难点 1.矩形与多知识点综合（如折叠+全等+勾股定理）：难以梳理复杂图形中的对应关系，建立有效的等量关系。 2.矩形中的最值问题：难以确定动点的运动轨迹和最值存在的位置，缺乏转化线段的思路（如轴对称转化）。 3.矩形的探究式问题：需要结合矩形的性质进行逻辑推理和规律归纳，对演绎推理能力要求较高。 4.直角三角形中线性质的逆用：难以识别“中线等于边的一半”的条件，进而判定直角三角形，缺乏逆向思维。 【对应练习题】 一、单选题 1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边平行且相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 2．如图，在中，，是斜边的中点，连接，若，，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 4．如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，把一张矩形的纸片沿对角线折叠，若，，则的长为（   ） A．1 B．3 C．4 D．6 二、填空题 6．如图，矩形中，，对角线和相交于点O，且，过点D作的平行线，过点C作的平行线，两平行线交于点E，那么四边形的面积是_________． 7．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．学习了勾股定理后，小明也绘制了一幅如图1所示的“赵爽弦图”，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图2所示的矩形．若矩形的周长为24，则大正方形的边长为____． 8．如图，在矩形中，，，和分别是线段和上的动点，且，则的最小值是__________． 9．如图，在中，，，P是内一点．若，，则______． 10．如图，在平面直角坐标系中，长方形的边分别在x轴，y轴上，点D在边上，将该长方形沿折叠，点C恰好落在边上的E处，若点，点，则点D的坐标是___________．    三、解答题 11．在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，平分，求的长． 12．如图，是矩形的对角线，，． (1)尺规作图：作的中垂线l，垂足为O，l与相交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，求线段的长． 13．如图，在中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 14．在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求证：平分． 15．在矩形中，点是上的一个动点（点不与端点重合），点为的中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，，当线段的长为整数时，直接写出线段的长． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.3.1 矩形 知识点1：矩形的定义与性质 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质）。 2.特有性质 角：四个角都是直角（数学语言：∵四边形是矩形，∴）。 对角线：相等且互相平分（数学语言：∵四边形是矩形，∴，）。 对称性：既是中心对称图形（对称中心为对角线交点），也是轴对称图形（有两条对称轴，过两组对边中点的直线）。 3.推论：矩形的对角线把矩形分成四个全等的等腰三角形，且四个三角形面积相等。 知识点2：直角三角形斜边上的中线性质 1.核心性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（数学语言：在中，，为中点，∴）。 2.逆命题（判定直角三角形）：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形（可用于直角三角形的判定）。 3.应用场景：常用于线段倍分关系证明、直角三角形相关计算，连接中点构造中线可转化线段长度。 知识点3：矩形的判定方法 判定类型 具体条件 数学语言 定义法（平行四边形+直角） 有一个角是直角的平行四边形是矩形 在中，∵，∴是矩形 角的判定（四边形+三直角） 有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形中，∵，∴四边形是矩形 对角线判定（平行四边形+对角线相等） 对角线相等的平行四边形是矩形 在中，∵，∴是矩形 对角线判定（四边形+对角线平分且相等） 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 ∵，，，∴四边形是矩形 知识点4：矩形与平行四边形的关系 1.包含关系：矩形是特殊的平行四边形，平行四边形不一定是矩形。 2.性质对比： 性质 平行四边形 矩形 对边 平行且相等 平行且相等（同平行四边形） 对角 相等 相等且均为直角 对角线 互相平分 互相平分且相等 对称性 中心对称图形 中心对称图形+轴对称图形 【基础必考题型】 【题型1】矩形性质的直接应用（角度计算） 1.核心知识点 矩形的四个角为直角；矩形对角线相等且互相平分的性质；等腰三角形的性质。 2.解题方法技巧 结合矩形对角线平分的性质，识别等腰三角形（如）；利用直角三角形内角和、等腰三角形底角相等的性质，逐步推导所求角度；注意对角线夹角与矩形内角的关联。 【例题1】.（2026·陕西咸阳·一模）如图，矩形的对角线相交于点O，点E在上，连接，若，则的度数为______． 【答案】 79 【分析】先根据矩形的性质结合三角形内角和定理求出，再利用三角形外角的性质求出，最后由即可求解． 【详解】解：在矩形中，， ； ， ； ， ， ． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，延长矩形的边至点，使，连接．若，则____________． 【答案】/15度 【分析】连接，与交于点，根据矩形的性质得出，，，则，．结合，得出，则，再结合即可求解． 【详解】解：连接，与交于点， 四边形是矩形， ，，， ，． 又， ， ． ， ∴． 故答案为： 【变式题1-2】.（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，点是矩形外一点，且在上方，连接，点在边上，连接交边于点F．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的外角性质，先由矩形得出，然后结合三角形的外角性质列式，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，， ，， ， ， 故选：A． 【变式题1-3】.（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在矩形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质得到，，，证明是等边三角形，进而求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型2】矩形性质的直接应用（线段计算） 1.核心知识点 矩形对边相等、对角线相等的性质；勾股定理。 2.解题方法技巧 明确矩形中相等的线段（对边、对角线），将所求线段转化为直角三角形的边；利用勾股定理建立方程，求解线段长度；注意对角线与矩形边长的关系（如对角线平方等于长和宽的平方和）。 【例题2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，矩形中，对角线、交于O，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．7 D．5 【答案】D 【分析】根据矩形的性质和勾股定理得出，进而利用矩形的性质解答即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ，， ， ． 【变式题2-1】.（湖南明德学校第一中学教育集团2025-2026学年八年级下学期3月学情质量监测数学试题）如图，在矩形中，对角线、相交于点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用矩形对角线的性质证明为等边三角形，然后求出对角线，再由勾股定理求出 ． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 、相交于点， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ． 【变式题2-2】.（2026·安徽阜阳·一模）如图，在矩形中，，，平分交于点E，连接，取的中点F，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得，，结合平分，可以推出，在中，先使用勾股定理计算出斜边的长，再用直角三角形的性质算出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵点F是的中点， ∴是斜边上的中线， ∴． 【变式题2-3】.（25-26九年级下·辽宁锦州·开学考试）如图，矩形的对角线相交于点，点为上的一点，连接，为的中点，若，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，中位线，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半．关键是根据矩形的性质得出解答．根据矩形的性质得出，进而利用三角形中位线得出，进而利用勾股定理得出，进而利用直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， 为的中点， 是的中位线， ， ，， ， ， 为的中点， ． 【题型3】矩形的判定 1.核心知识点 矩形的三种判定方法；平行四边形的性质。 2.解题方法技巧 先判断图形是否为平行四边形，若为平行四边形，可通过“一个直角”或“对角线相等”判定为矩形；若为一般四边形，可通过“三个直角”或“对角线互相平分且相等”判定；注意区分不同判定方法的适用条件。 【例题3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形”即可求解． 【详解】解：A、对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故该选项不符合题意； C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； D、图形中无法判断角是直角，不一定是矩形，故该选项符合题意； 【变式题3-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，用一张矩形纸片折出一个正方形，只需把一个角沿折痕翻折上去，使和边上的重合，则展开铺平后所得的四边形就是一个正方形，判断的依据是______________________． 【答案】有一组邻边相等的矩形是正方形 【分析】首先根据矩形的性质可知、为直角，折叠后可得为直角且，由此可判定四边形是矩形，又因为该矩形的一组邻边与相等，根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”即可判定四边形是正方形． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿折痕翻折，使与边上的重合， ∴，， ∴四边形中， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是_____________________． 【答案】对角线相等的平行四边形是矩形 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形这一判定方法是解题的关键． 先明确平行四边形的性质，再根据对角线相等的平行四边形是矩形这一判定定理，判断该平行四边形是否为矩形，从而得出侧边与上下底垂直的结论． 【详解】解：已知四边形是平行四边形， 若对角线， 则平行四边形是矩形， 其数学依据是对角线相等的平行四边形是矩形． 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形． 【变式题3-3】.（24-25八年级下·云南昆明·期末）课堂上，某同学制作了一个四边形门框模型，就如何判断门框模型是否是矩形？老师提出了以下四个判定方法，方法一：测量四个角是否相等；方法二：测量四条边是否相等；方法三：测量两条对角线是否相等；方法四：验证是否是轴对称图形其中能判定这个四边形门框模型是矩形的是（   ） A．方法一 B．方法二 C．方法三 D．方法四 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的判定、轴对称的性质等知识点，掌握矩形的判定定理成为解题的关键． 根据矩形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：①四边形的四个角相等．四边形内角和为360°，若四个角相等，则每个角为90°，即为矩形．符合矩形定义，故①不符合题意； ②四条边相等．四边相等的四边形是菱形，不一定是矩形（需额外有直角），故②不符合题意； ③对角线相等．仅对角线相等无法判定矩形（如等腰梯形对角线相等但不是矩形），需结合平行四边形条件，故③不符合题意； ④轴对称图形．轴对称图形不唯一（如菱形、等腰梯形均轴对称），无法确定是矩形，故④不符合题意． 故选A． 【题型4】直角三角形斜边上的中线性质应用 1.核心知识点 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；直角三角形的性质。 2.解题方法技巧 识别直角三角形，找到斜边中点，构造中线；利用中线与斜边的倍分关系，转化线段长度；结合直角三角形其他性质（如勾股定理、内角和）求解未知量。 【例题4】.（2026·河南商丘·一模）如图，在中，，，．点F是中点，连接，把线段沿射线方向平移到，点D在上．则线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长是（    ） A．20 B．18 C．16 D．14 【答案】C 【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得，由中位线得，再利用平行四边形周长公式求解． 【详解】解：∵，，．点F是中点， ∴， ∵把线段沿射线方向平移到，点D在上， ∴是的中位线， ∴， ∴线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长是． 【变式题4-1】.（23-24九年级上·四川乐山·期末）如图，中，E，F分别是，的中点，点D在上，延长交于N，，，，则（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据三角形中位线的性质得到，然后根据直角三角形的性质得到，进而根据求解即可． 【详解】解： E，F分别是，的中点，， ， ，， ， ． 【变式题4-2】.（25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，是边上一点，且的垂直平分线经过点，是的中点．若，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】由的垂直平分线经过点得，由，是的中点得． 【详解】解：的垂直平分线经过点， ， ，是的中点， ． 【变式题4-3】.（2026·陕西西安·模拟预测）如图，是的中位线，是的高线，若，则的长度为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，再结合直角三角形中，斜边的中线等于斜边一半即可求解． 【详解】解： 是的中位线， 为的中点，为的中点， ， 是的高线， ，， 为的中点， ． 【培优高频题型】 【题型5】矩形与折叠问题（单折叠） 1.核心知识点 矩形的性质；折叠的性质（对应边相等、对应角相等）；勾股定理。 2.解题方法技巧 折叠后标注对应相等的线段和角，设未知线段为；利用矩形对边相等、直角相等的性质，将相关线段用表示；在直角三角形中建立勾股定理方程，求解未知量；注意折叠后图形的位置关系（如点在矩形内、外的情况）。 【例题5】.（25-26九年级下·广西河池·开学考试）如图，将一张长方形纸条翻折，是折痕．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠可得，且，根据直线得，最后由对顶角的性质求得． 【详解】解：如图所示： ∵是折痕， ， ， ， 又 ∵， ， ， 又 ∵， ． 【变式题5-1】.（2022·山东泰安·模拟预测）如图，矩形纸片中，，把纸片沿直线折叠，点落在处，交于点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先由折叠得到，然后结合平行线的性质得到，推出，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：由折叠得，， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， 在直角三角形中，， ． 【变式题5-2】.（2026·山西晋中·一模）如图，在矩形中，，点是边上一点，将沿折叠，点落在矩形内的点处，连接，若是直角三角形，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】先确定点F的位置，设长为x，求出，再利用勾股定理列式求解即可． 【详解】解：若，则， 由翻折可知，，， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，此时点F在上，则不满足点落在矩形内； 若，则点F在上， 又∵， ∴点F不可能在上，即此情况不存在； ∴只有当时满足是直角三角形， 由翻折可知， ∴此时三点共线，如图， 设长为x，则， 由翻折可得，， 由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 【变式题5-3】.（2026·新疆乌鲁木齐·一模）如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，若，则的长度为___________． 【答案】/ 【分析】根据题意，得，设，则，构造方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 设，则， ， ， 解得， 故． 【题型6】矩形与坐标综合（坐标计算） 1.核心知识点 矩形的性质；平面直角坐标系的坐标特征；勾股定理。 2.解题方法技巧 根据矩形对边平行、邻边垂直的性质，确定顶点坐标的关系（如横坐标相等或纵坐标相等）；利用坐标计算线段长度（水平线段算横坐标差，垂直线段算纵坐标差）；结合矩形对角线相等的性质，验证坐标或求解未知顶点坐标。 【例题6】.（25-26九年级上·河南开封·月考）如图，在矩形中，，，，求点B到原点O的距离．      【答案】点B到原点O的距离为 【分析】该题考查了矩形的性质，勾股定理，先根据已知条件求出，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵在矩形中，，，， ∴， ∴点B到原点O的距离为． 【变式题6-1】.（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设，，利用中点坐标公式，建立等式，根据矩形的对角线相等，利用两点间距离公式建立新等式，解答即可． 本题考查了坐标的特点，中点坐标公式，两点间距离公式，矩形的性质，熟练掌握公式和性质是解题的关键． 【详解】解：由轴，，， 不妨设，， 由矩形， 故点E是与的中点，且， 故，或， 同一点的坐标是相同的， 故， 故， 故 故， 解得， 故， 故选：A． 【变式题6-2】.（25-26九年级下·河南商丘·月考）如图，矩形的边在x轴上，且过原点，连接．将沿翻折，点B的对应点恰好落在边上．若点的坐标为，则点C的坐标为____________． 【答案】 【分析】由点的坐标得到和的长，根据勾股定理求出，由折叠得到，，设，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴，， ∴在中，， ∵将沿翻折，点的对应点恰好落在边上， ∴，， ∴， ∴在矩形中，，，， 设，则， ∵在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为． 【变式题6-3】.（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，对于矩形，，，为平面直角坐标系的原点，，，点在第三象限． (1)直接写出点的坐标： __________． (2)点从原点出发，沿着的路线每秒移动2个单位长度． ①当点移动了时，直接写出此时点的坐标：__________； ②当点到轴的距离为4个单位长度时，求出点移动的时间． (3)若过点的直线与矩形的边交于点，且将矩形的面积分为1∶4的两部分，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①  ②或 (3)或． 【分析】（1）根据长方形的性质即可得出点B的坐标； （2）①根据题意，的运动速度与移动的时间，可得运动了个单位，进而结合矩形的长与宽可得答案；②点到轴的距离为4个单位长度，结合图形分两种情况：当在上时，当在上时，分别得出坐标即可； （3）分两种情况：当点在上时；当点在上时，根据直线将矩形的面积分为两部分，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：． ∵矩形，，， ∴，，， ∵点在第三象限， ∴． （2）解：①． 点从原点出发，沿着的路线每秒移动个单位长度． 当点移动了时，移动的距离是个单位长度， ∵， ∴此时点在线段上，坐标为； ②点到轴的距离为4个单位长度， 点在或上． 当点在上时，，此时； 当点在上时，． 综上所述，点移动的时间为或． （3）解：当点在上时，设（）． ， ， 即，解得， ； 当点在上时，设（）． ， ， 即，解得， ． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查坐标与图形、三角形的面积，熟练掌握坐标与图形的性质，采用数形结合的思想以及分类讨论的思想解题是解题的关键． 【题型7】矩形的实际应用（情境题） 1.核心知识点 矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线性质。 2.解题方法技巧 从实际情境（如测量、建筑、折叠物品）中抽象出矩形模型；明确问题中的已知条件（如边长、角度、对角线），转化为数学问题；利用矩形的性质或直角三角形中线性质求解实际问题（如距离、长度、面积）；注意单位统一和实际意义的验证。 【例题7】.（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，我校数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为1米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为3米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的1米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即的长）？ 【答案】(1)4米； (2)小明需要后退1米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及矩形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）设旗杆的高度为x米，则米，然后在中，由勾股定理列出方程，解方程即可； （2）过E作于点M，证明四边形为矩形，得出米，，再由勾股定理得米，即可解决问题． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为x米，则米， 在中，，米， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：旗杆的高度为4米； （2）解：如图，过E作于点M， 则， ∴四边形为矩形， ∴， ∵米， ∴（米），（米）， 在中，， 由勾股定理得：（米）， ∴米， ∴（米）， 答：小明需要后退1米． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·江苏苏州·月考）（1）如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距24千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出的距离．（保留作图痕迹，不用说明作图过程） 【答案】（1）26；（2）作图见解析，22千米 【分析】本题考查了勾股定理的运用、矩形的判定与性质、垂直平分线的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）如图：过点D作构建直角三角形，然后运用矩形的性质以及勾股定理列式计算即可解答； （2）先根据，作的垂直平分线交于P，设千米，则千米，根据勾股定理列式代入数值计算化简即可解答． 【详解】解：（1）如图：过点D作， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴千米，千米， ∴千米， ∴千米 ∴两个村庄的距离为26千米； 故答案为：26． （2）如图，连接，作的垂直平分线交于P，点P即为所求． 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ， ，解得∶． ∴AP的距离为22千米． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·全国·课后作业）在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，求旗杆的高度和玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度． 【答案】米，米 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用以及全等三角形的应用．首先得出，进而得出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：作，垂足分别是E、F， 则由题意得：， ∴四边形是矩形， 同理，四边形是矩形， ， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 则， 所以， 所以， 又因为由勾股定理得， 所以． 答：旗杆的高度为15米，玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度为2米． 【变式题7-3】.（25-26九年级下·江苏南京·月考）如图，某公园里一个区域的平面设计图，景点A到景点D设计了两条路线，从景点A出发行走100米到达景点C，此时景点D在景点C的东南方向上，从景点A出发行走80米到达景点B，此时景点A、C分别在景点B的正西和正北方向，接着从B点沿北偏东方向行走24米到达景点E，景点D就在点E的正北方向．（结果保留一位小数，参考数据：，，） (1)求B、C两点之间的距离； (2)请通过计算比较：路线①和路线②的路程谁更短？ 【答案】(1)60米 (2)路线的路程更短 【分析】（1）由题意可知，米，米，且、分别在点的正西、正北方向，故．在中，运用勾股定理进行计算即可； （2）过、作的垂线，构造出直角三角形与矩形．结合、及米，利用含的直角三角形的性质与矩形性质，求出、的长度．分别计算两条路线总路程，再进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意可得：米，米，， 在中： （米）， 答：、两点之间的距离是60米； （2）解：分别过点、作的垂线，垂足分别为、． 则， 又由题意可知：，，米，， （米），（米）， 又， ， ， 故四边形是矩形， 米，， 米，（米）， （米）， 路线①的路程为： （米）， 路线②的路程为： （米）， 故有， 答：路线的路程更短． 【点睛】本题以公园路线设计为实际背景，核心通过作垂线构造直角三角形与矩形，结合勾股定理、含的直角三角形的性质求解线段长度，再比较两条路线的总路程，充分体现了数形结合与数学建模的几何解题思想． 【压轴素养题型】 【题型8】矩形中的动点问题（存在性） 1.核心知识点 矩形的性质；平行四边形的判定；动点运动规律。 2.解题方法技巧 分析动点运动速度和路径，用运动时间表示相关线段长度；根据矩形对边平行且相等的性质，结合平行四边形的判定条件（如一组对边平行且相等），建立关于的方程；求解方程并验证动点是否在运动范围内，确定符合条件的值。 【例题8】.（24-25八年级下·河南开封·期末）已知如图，在四边形中，，，，．动点P从点A出发，以的速度向点D运动；动点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，运动几秒时，四边形是平行四边形； (2)从运动开始，运动几秒时，四边形是矩形． 【答案】(1)从运动开始，运动6秒时，四边形是平行四边形 (2)从运动开始，运动6.5秒时，四边形是矩形 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，解题的关键是掌握并灵活运用平行四边形的性质． （1）设经过，，根据平行四边形的性质进行解答即可得； （2）当时，四边形是矩形．建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设运动秒，由已知得，， ， ，当时，四边形是平行四边形． ，解得， 答：从运动开始，运动6秒时，四边形是平行四边形． （2）解： ，，当时，四边形是矩形． ， 解得． 即从运动开始，运动6.5秒时，四边形是矩形． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·吉林长春·月考）如图，在长方形中，，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动；同时动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿的路径运动，连接．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)写出的长（用含的代数式表示）． (2)当线段将长方形分割为两个长方形时，______． (3)若点到达点后，以原速度的2倍返回到点，同时点以原速度继续向点运动．在点的整个运动过程中： ①当线段平分长方形的周长时，求的值； ②作点关于点的中心对称点，直接写出的面积是面积的时的值． 【答案】(1) (2) (3)①或；②的面积是面积的时的值为或或． 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）分两种情况：当时，，当时，； （2）依题意可知，当线段将长方形分割后，所得两个图形是长方形，则，得到，即，求解即可； （3）①分两种情况：当时，当时，分别求解即可； ②分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形，， ， ∵动点从点出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿的方向运动；同时动点从点出发，以每秒 5 个单位长度的速度沿的路径运动， ∴点到达点的时间为：， 点到达点的时间为：， 点到达点的时间为：， 当时，， 当时，， ． （2）解：依题意可知，当线段将长方形分割后，所得两个图形是长方形，则，如图： ， ， 解得：， 故答案为：； （3）解：①点到达点后，以原速度的 2 倍返回到点的时间为：， 长方形的周长为：． 当平分周长时，， 当时，， 解得：， 当时，． 解得：； ②当时，，如图： ， ， ， ∵的面积是面积的， ， 解得：， 当时，，如图： ， ， ， ∵的面积是面积的， ， 解得：， 当时，， 如图：     ， ， ， ∵的面积是面积的， ， 解得：， 综上，的面积是面积的时的值为或或． 【变式题8-2】.（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的性质．由题意得，，，求得，根据等腰三角形的性质得到，再利用，列式计算即可求解． 【详解】解：作于点，如图， ∵矩形， ∴四边形是矩形， ∴， 由题意得，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：D． 【变式题8-3】.（25-26九年级上·吉林·开学考试）如图，在四边形中，，，且，，，若动点P从A点出发，以每秒的速度沿线段向点D运动；动点Q从C点出发以每秒的速度沿向B点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题： (1) ； ； ； ； (2)当t为多少秒时，四边形成为矩形？请求出t值 (3)当t为多少时，？（直接写出答案即可） (4)是否存在t，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)；3t；18；； (2) (3)或 (4)存在，，4或 【分析】（1）由题意可得，，，则，过点作于点，则四边形是矩形，得到，，，从而得出，进而表示出和； （2）当时，四边形成为矩形，列方程求解即可； （3）分两种情况讨论：当时，四边形是平行四边形，此时；当四边形是等腰梯形时，，过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形，分别列方程求解即可； （4）是等腰三角形时，分三种情况讨论，利用边相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， ， ， 如图，过点作于点，则四边形是矩形， ，，， ， ， ， 故答案为：；；18；； （2）解：，， 当时，四边形成为矩形， ， 解得， 即当t为秒时，四边形成为矩形； （3）解：当时，四边形是平行四边形，此时， ， 解得； 当四边形是等腰梯形时，， 过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形， ，， ， ， ， 解得， 综上可知，当t为或秒时，； （4）解：存在，，4或， 是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时，如图，过点作于点， 由（1）可知，，， ，， ， ， 解得； ②当时，， 解得； ③当时，如图， 则，， 在中，, 解得， 综上可知，存在使得是等腰三角形，t的值为，4或． 【点睛】本题考查了动点问题，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的定义，一元一次方程的应用，勾股定理等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 【题型9】矩形的判定与性质综合 1.核心知识点 矩形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；全等三角形；勾股定理。 2.解题方法技巧 先根据已知条件判定四边形为矩形（选择合适的判定方法）；再利用矩形的性质推导相关线段、角的关系；结合全等三角形证明线段相等或角相等，为计算铺垫；最后通过勾股定理、线段倍分关系求解未知量；注意证明过程的逻辑连贯性（如先判定后性质）。 【例题9】.（25-26九年级上·陕西西安·期末）[问题探究] 如图1，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接．已知，则的最小值是 ； [尝试应用] 如图2，矩形中，，点P是矩形内一动点，且，求周长的最小值． [实践创新] 如图3， ，长度为2的线段在射线上滑动，点C在射线上，且，的两个内角的角平分线相交于点F，过F作，垂足为G，求的最大值． 【答案】[问题探究] ；[尝试应用] ；[实践创新] 【分析】[问题探究]如图1中，过点A作交的延长线于H，连接．解直角三角形求出，即可解决问题． [尝试应用]如图2中，作于M，作点D关于直线的对称点E，连接，．设．由垂直平分线段，推出，推出，利用勾股定理求出的值即可． [实践创新]如图3中，连接，过点F作于M，于N，过点C作于H．由题意，推出，推出当的值最小时，的值最大，如图4中，过点C作，使得，作点K关于直线的对称点J，连接交于E，连接交于T，此时的值最小，最小值的长，据此求出结论． 【详解】解：[问题探究]如图1中，过点A作交的延长线于H，连接． ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． [尝试应用]如图2中，作于M，作点D关于直线的对称点E，连接，．设． ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的周长的最小值为． [实践创新]如图3中，连接，过点F作于M，于N，过点C作于H． ∵的两个内角的角平分线相交于点F，， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当的值最小时，的值最大， 如图4中，过点C作，使得， 作点K关于直线的对称点J，连接交于E，在上截取，连接，连接交于T， 则四边形是平行四边形， ， 则， 此时的值最小，最小值的长． 由图3可知， 在中，∵， ∴， ∴的最小值， ∴的最大值． 【变式题9-1】.（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，°，°，M是射线上的一动点，将线段绕点M逆时针旋转得到． (1)如图1，当点M与点C重合时，连接，求证：四边形是平行四边形． (2)如图2，当点M在线段上(与点A，C都不重合时)，连接，过点M作垂直交于点E，连接，求的度数． (3)当点M与点A，C都不重合时，若，，请直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定， 对于（1），先说明，再根据旋转性质得，即可得，，最后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出结论； 对于（2），先根据“边角边”证明，再说明四边形是矩形，即可得出答案； 对于（3），分两种情况：当点M在线段上时，作，交于点M，交于点E，连接，由（2）得是等腰直角三角形，四边形是矩形，可根据勾股定理求出，然后根据得出答案； 当点M在射线上时，作，交于点M，交的延长线于点E，连接，仿照上述根据求出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． 根据旋转，得， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形， ∴； （3）解：或． 当点M在线段上时，作，交于点M，交于点E，连接， 由（2），得是等腰直角三角形，四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． 根据勾股定理，得， ∴； 当点M在射线上时，作，交于点M，交的延长线于点E，连接， 由（2），得是等腰直角三角形，四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． 根据勾股定理，得， ∴． 所以的长为或． 【变式题9-2】.（25-26八年级下·重庆·开学考试）在等腰中，，，点是线段的中点，点是线段中垂线上的一点，连接、、、，点是线段上的一点． (1)如图，当点在边上时，连接，若，，求的长度； (2)如图，当点在内部时，延长至点，点是线段的中点，连接、、，若平分，，求证：； (3)如图，当点在外（下方）时，与交于点，连接、、，若，点是线段的中点，当线段取得最小值时，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)四边形的面积为． 【分析】（）由等腰三角形性质可得，则，然后通过直角三角形性质可得，所以由勾股定理求出，又点是线段中垂线上的一点，则，再根据等腰三角形的判定得出，最后由勾股定理即可求解； （）连接，，设与交于点，由点是线段的中点，，，则，，，所以，，通过垂直平分线性质可得，则，然后证明，，从而可得，所以，，通过勾股定理得，最后通过线段的和与差即可求证； （）取中点，连接，先求出，则有是中位线，，故有，，所以，可得在中位线上运动，设与交于点，当线段时，取得最小值，如图，延长交于点，证明四边形是矩形，则，，，然后证明，所以，再证明，则，求得，再求出，然后通过四边形即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是线段中垂线上的一点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：连接，，设与交于点， ∵点是线段的中点，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵点是线段中垂线上的一点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵点是线段中垂线上的一点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，取中点，连接， ∵点是线段的中点，，， ∴， ∵点是线段中垂线上的一点，点是线段的中点， ∴是中位线，， ∴，， ∴， ∴在中位线上运动，设与交于点，当线段时，取得最小值，如图，延长交于点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形 ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，中位线定理，垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 【变式题9-3】.（23-24八年级下·广东珠海·期中）在矩形中，，连接，且，将三角形沿翻折得，交于G，连接． (1)如图（1）判断与的位置关系和数量关系，并证明； (2)如图若沿线段由B向D运动，速度每秒1个单位，连接． ①如图（2）当时，判断四边形的形状，并证明； ②如图（3）在运动过程中，四边形的面积是否发生变化？若不变，求出面积，若变化，说明理由． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)①结论：四边形是矩形，理由见解析；②四边形的面积不变，四边形的面积，理由见解析 【分析】（1）根据矩形的性质，折叠的性质，以及含30度角的直角三角形的性质，进行判断即可； （2）①取的中点，连接，先证明是等边三角形，推出，同理推出，进而得到，结合，即可得出结论； ②过点D作于点J，于点K，易得四边形是矩形，求出四边形的面积，证明，推出四边形的面积等于四边形的面积即可． 【详解】（1）解： ，． 理由：四边形是矩形， ， 由翻折变换的性质可知， ， ， ， ， ； （2）①结论：四边形是矩形． 理由：取的中点，连接． ， ， 是等边三角形， ， ， 同法可得， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形； ②四边形的面积不变． 理由：如图过点D作于点J，于点K， ， ∴四边形是矩形， ， ， 矩形的面积， 由平移变换的性质可知， ， 的面积的面积， ∴四边形的面积矩形的面积． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，折叠问题，平移的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 易错点 1.判定矩形时，混淆“平行四边形”前提：如误将“对角线相等的四边形是矩形”当作正确判定，忽略“对角线互相平分”的条件（等腰梯形对角线相等但不是矩形）。 2.折叠问题中，遗漏折叠后的对应关系：如未考虑折叠后点的位置（在矩形内或外），导致线段长度表示错误；忽略折叠后直角的转化，影响勾股定理的应用。 3.直角三角形中线性质应用错误：如未确认三角形为直角三角形，或找错斜边中点，导致中线与斜边的倍分关系误用。 4.矩形与平行四边形性质混淆：如认为矩形的对角线互相垂直（实际不垂直，菱形对角线才垂直），或忽略矩形的轴对称性质。 重点 1.熟练掌握矩形的性质（角、对角线、对称性）和三种判定方法，能根据已知条件灵活选择判定方式。 2.理解并运用直角三角形斜边上的中线性质，能通过构造中线解决线段倍分问题和直角三角形判定问题。 3.掌握矩形与折叠、坐标、动点结合的基础题型解题思路，能利用勾股定理、方程思想求解未知量。 4.能从实际情境中抽象出矩形模型，运用矩形的知识解决实际问题，体现数学建模素养。 难点 1.矩形与多知识点综合（如折叠+全等+勾股定理）：难以梳理复杂图形中的对应关系，建立有效的等量关系。 2.矩形中的最值问题：难以确定动点的运动轨迹和最值存在的位置，缺乏转化线段的思路（如轴对称转化）。 3.矩形的探究式问题：需要结合矩形的性质进行逻辑推理和规律归纳，对演绎推理能力要求较高。 4.直角三角形中线性质的逆用：难以识别“中线等于边的一半”的条件，进而判定直角三角形，缺乏逆向思维。 【对应练习题】 一、单选题 1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边平行且相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 【答案】C 【分析】此题主要考查了矩形与平行四边形的性质与区别，熟练区分它们的性质是解题关键． 根据矩形和平行四边形的性质，矩形是特殊的平行四边形，具有所有平行四边形的性质，但对角线相等是矩形特有的性质，而平行四边形不一定具有. 【详解】解：A、对边平行且相等，矩形和平行四边形都具有，不符合题意； B、对角相等，矩形和平行四边形都具有，不符合题意； C、对角线相等，矩形具有，而平行四边形不具有； D、对角线互相垂直，是菱形的性质，矩形不一定具有该性质，不符合题意 故选：C． 2．如图，在中，，是斜边的中点，连接，若，，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由勾股定理可求，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， 是斜边的中点， ． 3．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求证四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用三角形面积求得最短时的长，然后即可求出的最小值． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∵于E，于F， ∴四边形是矩形， ∴，与互相平分， ∵M是的中点， ∴M为的中点， ∴， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即时，最短，同样也最短， ∴当时，， ∴最短时，， ∴当最短时，． 4．如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在平行四边形中，证出有一个直角或对角线相等，即可判定为矩形，据此对选项进行判断． 【详解】解：选项：，无法推出或有直角，故无法证明平行四边形是矩形； 选项：，对角线相等，可证平行四边形是矩形； 选项：，则，可证平行四边形是矩形； 选项：由，则，又，，则，可证平行四边形是矩形． 5．如图，把一张矩形的纸片沿对角线折叠，若，，则的长为（   ） A．1 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】由翻折的性质可知：．再根据矩形的性质得，由平行线的性质得出．从而，根据等角对等边得出，根据线段的和差得出结论。 【详解】解：由折叠不变性知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 二、填空题 6．如图，矩形中，，对角线和相交于点O，且，过点D作的平行线，过点C作的平行线，两平行线交于点E，那么四边形的面积是_________． 【答案】 【分析】证明出是等边三角形，得到，利用勾股定理求出，然后求出矩形的面积，得到，证明出四边形是平行四边形，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴． 7．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．学习了勾股定理后，小明也绘制了一幅如图1所示的“赵爽弦图”，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图2所示的矩形．若矩形的周长为24，则大正方形的边长为____． 【答案】 【分析】设直角三角形的较长直角边长为，较短直角边长为，则中间的小正方形边长为，由图2可得，小正方形的边长为，得出．根据矩形的周长为24，列方程求出，，再根据大正方形的边长为求解即可． 【详解】解：设直角三角形的较长直角边长为，较短直角边长为，则中间的小正方形边长为， 由图2可得，小正方形的边长为， ∴，即． ∵矩形的周长为24， ∴， 解得， ∴， ∴大正方形的边长为． 8．如图，在矩形中，，，和分别是线段和上的动点，且，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】设，则，利用勾股定理列出与的函数关系式，进而求最值即可. 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∵矩形中， ∴， ∵， ∴开口向上， ∵， ∴当时，最小，此时最小，最小值为. 9．如图，在中，，，P是内一点．若，，则______． 【答案】 【分析】过点P作于点D，于点E，证明四边形为矩形，得出，，设，则，求出，根据，得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：过点P作于点D，于点E，如图所示： 则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，则， 在中，， 在中， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ， ∴． 10．如图，在平面直角坐标系中，长方形的边分别在x轴，y轴上，点D在边上，将该长方形沿折叠，点C恰好落在边上的E处，若点，点，则点D的坐标是___________．    【答案】 【分析】根据题意，由勾股定理可以得到，进而的长度，设，则，由勾股定理列出a的方程求得a的值，便可求得D点坐标． 【详解】解：∵点，点， ∴，， 设，则， 由题意可得，，由折叠知，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴点D的坐标为． 故答案为：． 三、解答题 11．在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，平分，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为 【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，而，则四边形是平行四边形，再由，可推四边形是矩形； （2）由，，，根据勾股定理可求得，则，再利用角平分线证明，根据等角对等边求出． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 于点，点在上， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． （2）解：，，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 的长为5． 12．如图，是矩形的对角线，，． (1)尺规作图：作的中垂线l，垂足为O，l与相交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，求线段的长． 【答案】(1)见详解； (2)． 【分析】（1）分别以、为圆心，大于为半径画弧即可完成作图； （2）根据线段垂直平分线的性质得，设，则，结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图； （2）连接，如图， 为的中垂线， ， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， 在直角中，， ， ， ． 13．如图，在中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证四边形为平行四边形，再证，即可得出结论； （2）根据矩形的性质可得，再利用勾股定理结合完全平方公式公式变形得出，进而求得，再结合，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， （2）解：四边形是矩形， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 14．在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得与的关系，根据平行四边形的判定，可得四边形是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案； （2）根据平行线的性质，可得，根据等腰三角形的判定与性质，可得，根据角平分线的判定，可得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴， ∴， 即平分． 15．在矩形中，点是上的一个动点（点不与端点重合），点为的中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，，当线段的长为整数时，直接写出线段的长． 【答案】(1)见详解 (2)或或或 【分析】（1）过点作交于，延长交于，结合矩形的判定及性质，由判定，由判定，由全等三角形的性质即可得证； （2）由点的运动路径得，设，由直角三角形的特征得，可求，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：过点作交于，延长交于， ， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形，， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接， 四边形是矩形， ， ， 点是上的一个动点（点不与端点重合）， ， ， 设， 是的中点， ， ， 解得， ， 线段的长为整数， 为或或或， 为或或或， 当时， ， 同理可求时，， 时，， 时，， 综上，的长为或或或． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $