精品解析：贵州省遵义市滨湖中学2025-2026学年度第二学期八年级期中综合素质评价单数学试题卷

2025−2026学年度第二学期八年级综合素质评价单（二） 数学试题卷 （全卷总分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂满．） 1. 下列四个数中，最大的是（ ） A. B. C. D. 2. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在直角中，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 以下列各组长度的线段为边，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 以下生活现象利用四边形的不稳定性的是（ ） A. 太阳能热水器 B. 伸缩门 C. 自行车三脚架 D. 三角形支架 7. 的结果为（ ） A. B. C. D. 8. 若一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则该正多边形是（ ） A. 正四边形 B. 正五边形 C. 正六边形 D. 正七边形 9. 如图，在四边形中，对角线，相交于点，，，添加下列选项，可使四边形为矩形的是（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，，，的面积为，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 11. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，问折断处离地面的高度是（ ） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 12. 宽与长的比是（约）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，我们可以折叠出一个黄金矩形．第一步，在一张矩形纸片的一端利用图的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步，如图，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平，折痕是；第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图中所示的处，折痕为；第四步，如图，展平纸片，按照所得的点折出，使．得到矩形，若，则的值是多少（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔直接答在答题卡的相应位置上．） 13. 计算：_______． 14. 如图，点在数轴上，其表示的数为，过点作，且，以点为圆心，为半径画弧，与数轴正半轴交于点，则点表示的实数为__________． 15. 如图，在中，，，为中点，在上，连接，，且，，则________． 16. 如图，在矩形中，，，是上一点，连接，将沿着折叠后，点的对应点刚好落在的中点处，是的中点，是的中点，连接，求________． 三、解答题（本题共9小题，共98分．答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔直接答在答题卡的相应位置上，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤．） 17. 计算与解不等式组 （1）计算： （2）解不等式组，并将解集表示在数轴上． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，四边形是由左边的一个零件抽象出来的一个平面图形，已知，，，，且． （1）求点到点的距离； （2）根据要求，该零件需要，，三点连接起来是一个直角三角形才合格，请你通过所学知识，判断这个零件是否合格． 20. 如图，在中，，的平分线，分别交，于点，，点，恰好是，边的中点．给定下列两个条件：①，②平分；请从上述两个条件中任选一个，证明四边形是菱形． 21. 如图，将的边延长至点，使，连接，是边的中点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求出的面积． 22. 某校数学兴趣小组开展了“测量学校旗杆高度”的实践活动．如图，线段表示垂直于地面的旗杆，系在旗杆顶端处的绳子垂直到地面处后，还多出（即绳长比旗杆高，绳子拉直时长度不变）． （1）小明同学将绳子拉直，使绳子末端恰好接触地面上的点，此时测得点到旗杆底部的距离为，求旗杆的高度； （2）小华同学觉得上述方法需要弯腰测量不方便，于是他站立在旗杆旁，将绳子举过头顶竖直拉直后末端恰好落在处．已知小华竖直举着手的高度，此时他站立的位置离旗杆底部的水平距离为，请通过计算说明，小华的这种测量结果与第一问中求得的旗杆高度是否一致？ 23. 为了调查某款直饮水饮水机流水时间和流水量的关系，凌云组的同学通过实验，记录了秒内量杯中的水量，如下表． 时间 量杯中的水量 （1）请根据上表的信息，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接这些点； （2）观察平面直角坐标系中各点的分布规律，写出关于的函数解析式________； （3）通过观察，该班每个课间平均有名同学会排队接水，如果最后一个同学要在下一节课铃声响前5分钟内喝到水，请根据（2）中所求的函数解析式，平均每人接水最多为多少（该校课间休息时间为10分钟，教师都不会拖堂，该段时间饮水机一直流水到水杯里）． 24. 阅读材料： 在二次根式中，两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式，也叫共轭二次根式． 例如： 和互为有理化因式，因为； 和互为有理化因式，因为． 如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫作分母有理化． 例如： ； ． 请你仿照材料中的方法，解决下列问题： （1）写出的一个有理化因式________； （2）化简：； （3）计算： 25. 背景描述：在几何学中，有一类经典的图形被称为“十字模型”（也称“十字架模型”）．它通常是指在正方形中，两条互相垂直的线段，其端点分别落在正方形的对边或邻边上．由于正方形具有四条边相等且四个角均为直角的对称美，这种垂直关系往往蕴含着线段相等、全等变换等丰富的几何性质．某数学兴趣小组对此开展了专题探究． 初步探究： （1）如图（1），在正方形中，点，分别是边，的中点，连接，，写出线段与线段之间的关系，数量关系：________，位置关系：________； 深入探究： （2）如图（2），在正方形中，点，，分别是边，，上的点，且，若正方形的边长为，，，求的长； 拓展延伸： （3）如图（3），在正方形中，动点，分别是射线，上的点，且，以为边向右构造正方形，连接交射线于点，在点的运动过程中，是否保持不变，若改变，请说明理由，若不变，请求出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026学年度第二学期八年级综合素质评价单（二） 数学试题卷 （全卷总分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂满．） 1. 下列四个数中，最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵是负数，其余三个数均为正数， ∴最小，排除A； 又∵，， ∴四个数的大小关系为 ， ∴最大的数是． 2. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵二次根式在实数范围内有意义， ∴被开方数需满足非负要求，即， 解得． 3. 如图，在直角中，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：在直角中，，， ． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的乘除加减运算法则，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：∵二次根式乘法法则为， ∴，原计算正确，符合题意； 选项B：∵和不是同类二次根式，不能合并， ∴，原计算错误，不符合题意； 选项C：∵和不是同类二次根式，不能合并， ∴，原计算错误，不符合题意； 选项D：∵，原计算错误，不符合题意． 5. 以下列各组长度的线段为边，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，故A错误； B、，，，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故B正确； C、，，，不能构成直角三角形，故C错误； D、，，，不能构成直角三角形，故D错误． 6. 以下生活现象利用四边形的不稳定性的是（ ） A. 太阳能热水器 B. 伸缩门 C. 自行车三脚架 D. 三角形支架 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性解答即可． 【详解】解：A、C、D选项都含有三角形，故利用了三角形的稳定性； 选项B伸缩门是用到了四边形的不稳定性． 7. 的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 8. 若一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则该正多边形是（ ） A. 正四边形 B. 正五边形 C. 正六边形 D. 正七边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和，设此多边形边数为，根据多边形的内角和公式可得方程，求解即可．解题的关键是掌握多边形内角和定理：（且为整数）． 【详解】解：设此多边形边数为， 依题意，得：， 解得：． 故选：C． 9. 如图，在四边形中，对角线，相交于点，，，添加下列选项，可使四边形为矩形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据对角线互相平分判定四边形为平行四边形，再根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）进行选择即可． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， 若要使平行四边形成为矩形， 根据矩形的判定定理，需添加对角线相等或有一个角是直角， A. 添加，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可判定，A符合题意； B. 添加，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可判定，B不符合题意； C. 添加，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可判定，C不符合题意； D. 添加，无法判定四边形是矩形，D不符合题意． 10. 如图，，，的面积为，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形面积公式求出平行线间的距离，再利用平行线间距离处处相等的性质求解． 【详解】解：设平行线与之间的距离为， ， ， 解得， ，点在上，点在上， 点到的距离等于平行线与之间的距离， 点到的距离为． 11. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，问折断处离地面的高度是（ ） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， ∴折断处离地面的高度是尺， 故选：． 12. 宽与长的比是（约）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，我们可以折叠出一个黄金矩形．第一步，在一张矩形纸片的一端利用图的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步，如图，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平，折痕是；第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图中所示的处，折痕为；第四步，如图，展平纸片，按照所得的点折出，使．得到矩形，若，则的值是多少（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据折叠的性质可知正方形的边长为，折痕平分正方形，从而求出和的长，利用勾股定理求出的长，由折叠性质可得，进而求出的长，最后计算比值即可． 【详解】解： 第一步折出一个正方形，且， 正方形的边长为，即， 第二步折痕把正方形折成两个相等的矩形， 为的中点， ， 在中，， ，  第三步把折到处， ，  第四步，四边形为矩形， ， ． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔直接答在答题卡的相应位置上．） 13. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据二次根式的加法运算计算即可． 【详解】解：． 14. 如图，点在数轴上，其表示的数为，过点作，且，以点为圆心，为半径画弧，与数轴正半轴交于点，则点表示的实数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出，根据点在数轴正半轴即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵以点为圆心，为半径画弧，与数轴正半轴交于点， ∴点表示的实数为． 15. 如图，在中，，，为中点，在上，连接，，且，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据勾股定理的逆定理判定为直角三角形，从而得出，再求出的长，利用勾股定理求出的长，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解． 【详解】解：在中，，，， ，， ， 是直角三角形，且， ， ， ，， ， 在中，， ，为中点， ． 16. 如图，在矩形中，，，是上一点，连接，将沿着折叠后，点的对应点刚好落在的中点处，是的中点，是的中点，连接，求________． 【答案】 【解析】 【分析】在上作点F关于的对称点H，连接，则，，根据折叠的性质可得点H为的中点，从而得到，进而得到，再结合矩形的性质以及勾股定理可得，，从而得到，连接，过点H作于点M，则，可得为等边三角形，从而得到，，即可求解． 【详解】解：如图，在上作点F关于的对称点H，连接，则，， 由折叠的性质得：， ∵是的中点，是的中点， ∴，即点H为的中点， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵点刚好落在的中点， ∴， 在中， ， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， 如图，连接，过点H作于点M，则， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本题共9小题，共98分．答题请用黑色墨水笔或黑色签字笔直接答在答题卡的相应位置上，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤．） 17. 计算与解不等式组 （1）计算： （2）解不等式组，并将解集表示在数轴上． 【答案】（1） （2） ，解集表示在数轴上见解析 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为． 不等式解集在数轴上表示如下： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】利用平方差公式，同时利用分式除法法则变形，约分得到最简结果，将的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 19. 如图，四边形是由左边的一个零件抽象出来的一个平面图形，已知，，，，且． （1）求点到点的距离； （2）根据要求，该零件需要，，三点连接起来是一个直角三角形才合格，请你通过所学知识，判断这个零件是否合格． 【答案】（1） （2）这个零件合格． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理列式计算，即可作答． （2）先分别算出得出，满足勾股逆定理，得出是直角三角形，即可作答． 【小问1详解】 解：连接，如图所示： ∵，，． ∴ 【小问2详解】 解：这个零件是合格的，理由如下： 由（1）得， ∵，， ∴ 即 ∴是直角三角形， ∴这个零件是合格的． 20. 如图，在中，，的平分线，分别交，于点，，点，恰好是，边的中点．给定下列两个条件：①，②平分；请从上述两个条件中任选一个，证明四边形是菱形． 【答案】见详解 【解析】 【分析】首先证明四边形为平行四边形，再分别选择条件①或②，根据“一组邻边相等的平行四边形为菱形”，证明结论即可． 【详解】选择条件①，证明如下： ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵点，是，边的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形； 选择条件②，证明如下： ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵点，是，边的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 21. 如图，将的边延长至点，使，连接，是边的中点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求出的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，且，根据F是的中点，点E在的延长线上，得出，，根据，得出，即可得出结论； （2）作于点H，先求出，得出，得出，列出，求解，再得，最后代入数值到三角形面积公式计算，进而得出答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，且， ∵F是的中点，点E在的延长线上， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：作于点H，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，且，， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴． 22. 某校数学兴趣小组开展了“测量学校旗杆高度”的实践活动．如图，线段表示垂直于地面的旗杆，系在旗杆顶端处的绳子垂直到地面处后，还多出（即绳长比旗杆高，绳子拉直时长度不变）． （1）小明同学将绳子拉直，使绳子末端恰好接触地面上的点，此时测得点到旗杆底部的距离为，求旗杆的高度； （2）小华同学觉得上述方法需要弯腰测量不方便，于是他站立在旗杆旁，将绳子举过头顶竖直拉直后末端恰好落在处．已知小华竖直举着手的高度，此时他站立的位置离旗杆底部的水平距离为，请通过计算说明，小华的这种测量结果与第一问中求得的旗杆高度是否一致？ 【答案】（1）8米 （2）小华的这种测量结果与第一问中求得的旗杆高度一致，见详解 【解析】 【分析】（1）设米，根据题意可得米，在中，利用勾股定理解得的值，即可获得答案； （2）过点作于点，证明四边形为矩形，易得，，根据题意，可得米，米；设米，则米，米，在中，利用勾股定理解得的值，可知旗杆的高度为8米，即小华的这种测量结果与第一问中求得的旗杆高度一致． 【小问1详解】 解：如下图， 设米， 根据题意，可得米，米，且， 在中，， 即，解得米， ∴旗杆的高度为8米； 【小问2详解】 如下图，过点作于点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 根据题意，可得米，米， 设米，则米，米， 在中，， 即，解得米， ∴旗杆的高度为8米， ∴小华的这种测量结果与第一问中求得的旗杆高度一致． 23. 为了调查某款直饮水饮水机流水时间和流水量的关系，凌云组的同学通过实验，记录了秒内量杯中的水量，如下表． 时间 量杯中的水量 （1）请根据上表的信息，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接这些点； （2）观察平面直角坐标系中各点的分布规律，写出关于的函数解析式________； （3）通过观察，该班每个课间平均有名同学会排队接水，如果最后一个同学要在下一节课铃声响前5分钟内喝到水，请根据（2）中所求的函数解析式，平均每人接水最多为多少（该校课间休息时间为10分钟，教师都不会拖堂，该段时间饮水机一直流水到水杯里）． 【答案】（1）解：依题意，如图所示： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据表格数据进行描点，再运用平滑曲线连接这些点，即可作答． （2）运用待定系数法进行求解关于的函数解析式，即可作答． （3）充分理解题意，得出把代入，得出，再结合每个课间平均有名同学会排队接水，进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设关于的函数解析式为， 把代入，得， 解得； ∴关于的函数解析式为． 【小问3详解】 解：依题意，（分钟），（秒） 由（2）得， 依题意，把代入，得出， ∴平均每个人最多接水量为． 24. 阅读材料： 在二次根式中，两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式，也叫共轭二次根式． 例如： 和互为有理化因式，因为； 和互为有理化因式，因为． 如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫作分母有理化． 例如： ； ． 请你仿照材料中的方法，解决下列问题： （1）写出的一个有理化因式________； （2）化简：； （3）计算： 【答案】（1） （答案不唯一） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题干求解作答即可； （2）根据，再根据根据题干方法求解即可； （3）先进行分母有理化，再计算，即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴的有理化因式可以是； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： = = = = =． 25. 背景描述：在几何学中，有一类经典的图形被称为“十字模型”（也称“十字架模型”）．它通常是指在正方形中，两条互相垂直的线段，其端点分别落在正方形的对边或邻边上．由于正方形具有四条边相等且四个角均为直角的对称美，这种垂直关系往往蕴含着线段相等、全等变换等丰富的几何性质．某数学兴趣小组对此开展了专题探究． 初步探究： （1）如图（1），在正方形中，点，分别是边，的中点，连接，，写出线段与线段之间的关系，数量关系：________，位置关系：________； 深入探究： （2）如图（2），在正方形中，点，，分别是边，，上的点，且，若正方形的边长为，，，求的长； 拓展延伸： （3）如图（3），在正方形中，动点，分别是射线，上的点，且，以为边向右构造正方形，连接交射线于点，在点的运动过程中，是否保持不变，若改变，请说明理由，若不变，请求出的度数． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据正方形的性质得，进而得出，再根据“边角边”证明，可得，然后说明，则此题可证； （2）作，交于点G，交于点L，可得四边形是平行四边形，进而得出，再根据“角边角”证明，可得，然后根据勾股定理得出，求出解即可； （3）由（2）可知，可得，再根据“边角边”证明，可得，即可得，然后说明．接下来仿照上述过程解答当点E，F在射线上即可． 【小问1详解】 解：，； ∵四边形是正方形， ∴． ∵点E，F是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解：过点B作，交于点G，交于点L ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得； 【小问3详解】 解：． 连接， 由（2）可知， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 当点E，F在射线上时，如图所示， 由（2）可知， ∴， ∴，即． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $