精品解析：贵州省遵义市红花岗区第三教育集团2024-2025学年下学期期中质量监测八年级数学试题卷

红花岗区第三教育集团2024——2025学年度第二学期期中质量监测 八年级数学试题卷 全卷总分150分，考试时间120分钟 一、选择题（以下每题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每题3分，共36分） 1. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，满足：①被开方数不含能开得尽方的因数；②被开方数不含分数，这样的二次根式叫最简二次根式，据此逐一判断即可求解，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：、被开方数是分数，不是最简二次根式，该选项不合题意； 、是最简二次根式，该选项符合题意； 、被开方数含开方开得尽的因数，不是最简二次根式，该选项不合题意； 、被开方数是小数，不是最简二次根式，该选项不合题意； 故选：B． 2. 下列各组数中，能围成直角三角形的是（ ） A. 1， 1， 2 B. 2， 3， 4 C. 3， 4， 5 D. 6， 8， 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，要验证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、因为，所以不能构成三角形，故此选项不符合题意； B、因为，所以不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C、因为，所以能构成直角三角形，故此选项符合题意； D、因为，所以不能构成直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算和二次根式的性质．注意二次根式的加减可以类比合并同类项法则，化简后只有被开方数相同才能进行合并．根据二次根式的加减运算法则和二次根式性质进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，的被开方数不一样，不能合并，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项错误； D、，故D选项正确． 故选：D． 4. 在平行四边形ABCD中，若∠B=135°，则∠D=（ ） A. 45° B. 55° C. 135° D. 145° 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质解答即可． 【详解】解：∵在平行四边形ABCD中，∠B＝135°， ∴∠D＝∠B＝135°， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质的知识，解答本题的关键是根据平行四边形的性质得出∠D＝∠B． 5. 如图，若正方形A，B的面积分别为25和16，则正方形C的面积为（ ） A. 9 B. 11 C. 36 D. 41 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理在图形面积中应用．熟记勾股定理是解题关键．设正方形A、B、C的边长分别为：，由勾股定理即可求解． 【详解】解：设正方形A、B、C的边长分别为：， 由题意得：， ∴， 即正方形的面积为9． 故选：A． 6. 如图，小义同学想测量池塘 A、B两处之间的距离．他先在 A、B外选一点C，然后步测、的中点为D、E，测得，则A、B 之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理应用，首先证明出是的中位线，然后根据三角形的中位线定理求解即可． 【详解】解：∵D，E是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：D． 7. 如图，平行四边形的顶点O，A，C的坐标分别是，则顶点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形性质，点坐标平移的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．根据平行四边形的性质，以及点的平移性质，即可求出点B的坐标． 【详解】解:∵四边形是平行四边形， ∴， ∴点B的纵坐标为3， ∵点O向右平移2个单位，向上平移3个单位得到点C， ∴点A向右平移2个单位，向上平移3个单位得到点B， ∴点B的坐标为：； 故选：A． 8. 如图，数轴上点分别对应1和2，过点作直线，在直线上截取，以原点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点对应的是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴得到OB的长，根据勾股定理求出OC＝OP＝即可． 【详解】解：根据数轴可知：OB＝2， ∵∠OBC＝90°， ∴OC＝， ∴OP＝OC＝， ∴点P对应的是， 故选：A． 【点睛】本题考查了数轴和实数、勾股定理等知识点，能求出OC长是解此题的关键． 9. 如图，中，，点为的中点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线性质可，然后利用等腰三角形的性质可得，进而可得出结论． 【详解】解：∵， D为中点， ， ， ． 故选：A． 10. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，过点的直线分别交，于点，，若矩形面积为，则阴影部分的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质以及全等三角形的判定和性质．首先结合矩形的性质证明，得到，从而，进而即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵矩形面积为12， ∴． 故选：A． 11. 古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺， 设为x尺， 则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设为x尺，则尺，运用勾股定理即可列出方程，利用题目信息构造直角三角形，运用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：设为x尺，则尺，依题意得： ， 故选：B． 12. 如图所示的网格是正方形网格，点，，是网格线的交点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角性质，等腰直角三角形的判定和性质，延长交格点于，连接，由网格可知，，则可证明为等腰直角三角形，则，最后通过三角形的外角性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交格点于，连接， 由网格可知：，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题（每题4分，共16分） 13. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】x≥1 【解析】 【分析】根据二次根式性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0， ∴x≥1， 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0． 14. 如图，在中，E，F分别是边AD，BC上的点，连接AF，CE，只需添加一个条件即可证明四边形AFCE是平行四边形，这个条件可以是_____________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据的性质得到，然后由“对边相等且平行的四边形是平行四边形”添加条件即可． 【详解】解：如图，在中，，则． 当添加时，根据“对边相等且平行的四边形是平行四边形”可以判定四边形是平行四边形， 故答案是：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是能够灵活应用平行四边形的判定解决问题． 15. 如图，用4根长度相等的木棒拼成的四边形，，则该四边形的周长为________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．根据四边相等的四边形是菱形可得四边形是菱形，再由菱形的两条对角线互相垂直平分和勾股定理求出边长，求出菱形的周长即可． 【详解】解：∵， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴ ∴该四边形的周长为：． 故答案为：20． 16. 如图， 在中，， 点D为边的中点， 点E，F分别在边上，， 则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】延长至G，使，连接,,，设，则，，先证明得到，，再推出垂直平分，得到，根据勾股定理列式计算即可得出最后结果． 【详解】解：∵， ∴， 如图，延长至G，使得，连接,,， 设， 则，， 点D为边的中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线为解答本题的关键． 三、解答题（本大题共9题，共计98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2） 若从下列代数式，，中选择一个进行求值； ， 【答案】（1）；（2）选： ；选：15；选：4（任选其一即可） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，分式加减运算，二次根式性质，熟练掌握相关运算法则和性质是解题的关键． （1）根据二次根式混合运算法则和二次根式性质，进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，结合平方差公式和完全平方公式，进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ， ， ； ； ． 18. 如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）在图中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数； （3）在你所画的图中，求出斜边上的高（每个小正方形的边长为1）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，准确的理解勾股定理和构造直角三角形是解题的关键． （1）画一个边长为3,4,5的三角形即可； （2）利用勾股定理，找长为、和4的线段，画三角形即可； （3）根据等积法求出斜边上的高即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作的三角形；（答案不唯一） ； 【小问2详解】 解：如图，即为所求作的三角形．（答案不唯一） ，； 【小问3详解】 解：设直角三角形斜边上的高为h，则， ∴． 19. 如图，在中，点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当 时， 四边形是菱形；若， 则当 时，四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）90；100 【解析】 【分析】本题考查了特殊四边形的判定及性质的应用，熟知以上内容是解题的关键． （1）通过平行四边形性质，O为中点，证明，得到，即可证得所需结论； （2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得到答案；根据得到，根据等腰三角形的判定，得到，根据矩形的判定得出四边形是矩形． 【小问1详解】 证明：四边形为平行四边形， ， 又为的中点， 在和中， ； ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：当，四边形是菱形； ∵， ∴， ∵四边形平行四边形， ∴四边形是菱形； 当，四边形是矩形； 四边形为平行四边形 ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形． 20. 如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，绳子始终绷紧且绳长保持不变． （1）若米，米，米，求男子需向右移动的距离；（结果保留根号） （2）在（1）的基础上，此人以米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？ 【答案】（1）米 （2）不能 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，求出的长是解题的关键． （1）根据勾股定理求的长，然后作差求解即可； （2）先求出从A处移动到岸边点F的时间，比较大小，然后作答即可． 【小问1详解】 解：∵， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴求男子需向右移动的距离为米； 【小问2详解】 解：由题意知，需收绳的绳长（米）， ∴此人的收绳时间为秒， ∵， ∴该男子不能在秒内将船从A处移动到岸边点F的位置． 21. 阅读材料并解决问题：像上述解题过程中，与相乘的积不含二次根式，我们称这两个式子互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． 请仿照上面的方法，解决下列问题： （1）的有理化因式是 ， ； （2）计算： 【答案】（1）； （2）49 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化的计算，平方差公式的应用，熟练掌握有理化的依据和计算是解题的关键． （1）根据平方差公式，类比例子解答即可； （2）根据平方差公式，类比例子解答即可． 【小问1详解】 解： 所以的有理化因式是 ； 故答案为：，． 【小问2详解】 解：原式 ． 22. 如图，一张四边形纸片， 其中，， 沿对角线折叠， 点A恰好落在边上的点 E处． （1）连接，试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，， 求四边形的面积． 【答案】（1）菱形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据折叠得出，，证明，根据等腰三角形的判定得出，先证明四边形为平行四边形，再证明四边形为菱形； （2）根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理得出，求出，根据菱形的性质得出，最后根据菱形的面积公式求出结果即可． 【小问1详解】 解：根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法． 23. 我们知道定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．这个定理的逆命题也是真命题．下面我们来证明这个逆命题： （1）写出逆命题： ； （2）画出图形，如图，请补全下面的已知和求证： 已知： 如图， 是的中线， ． 求证：为 三角形． （3）请写出你的证明过程． 【答案】（1）如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 （2）；直角 （3）见解析 【解析】 【分析】主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，写出一个命题的逆命题，根据命题得出逆命题是解本题的关键． （1）直接得出它的逆命题即可； （2）根据写出的逆命题写出已知、求证即可； （3）先判断出，，最后用三角形的内角和定理，即可求出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”， ∴它的逆命题是：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 【小问2详解】 解：已知： 如图， 是的中线，； 求证：为直角三角形； 【小问3详解】 解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形． 24. 【背景介绍】如图，将两张大小不等的正方形纸片与通过如下切割和拼接，可以构成一个新的大正方形 【问题探究】（1） 若， 则 ； 【动手操作】（2）类比图中的方法，请用无刻度的直尺在图中对十个小正方形画出切割线并将其补全为大正方形； 【拓展延伸】（3）在图中， 若的面积为3， 大正方形的面积为13， 求的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）5 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，应用与设计作图，图形的剪拼，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质是解决问题的关键． （１）证明，得，同理，得，然后利用算术平方根的意义可得答案； （2）建立平面直角坐标系，取点，与点，，顺次首尾连接，即得； （3）由，得，得，由，得． 【详解】解：（1）如图1，∵， ∴． ∵正方形和正方形中，，， ∴， ∴． ∴． 同理，， ∴， ∴． ∴ ． ∴． 故答案为：． （2）如图2，建立平面直角坐标系． 取点，与点，，顺次首尾连接，即得正方形． 正方形面积为，与10个小正方形的面积相等等． （3）∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 25. 在数学实践课上，学习兴趣小组对正方形展开探究： （1）【操作发现】 如图， 在正方形中，， 连接、， 易得， 将向下平移到，则与的数量关系为 ，位置关系为 ； （2）【问题探究】 如图，将正方形纸片沿折叠，点A落在边上的点处，连接交折痕于点 P， 若，． 求此时的长； （3）【拓展延伸】 如图，若正方形的边长为a，将正方形纸片沿折叠，点A落在边上的点处，连接与交于点P，取的中点Q，连接，，当最小时，求折痕的长（用含a的式子表示）． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，得出，，求出，根据平移得出，，得出，根据平行线的性质得出，即可得出结论； （2）过点M作于点G，证明四边形为矩形，得出，证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，得出，最后求出结果即可； （3）根据折叠可知：，，根据直角三角形的性质得出，得出，根据两点之间线段最短，且垂线段最短，得出当Q、P、在同一直线上时，且时，最小，即最小，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 根据平移可知：，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：过点M作于点G，如图所示： 则， 根据折叠可知：，，，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当Q、P、在同一直线上时，且时，最小，即最小， 如图，连接， ∵点Q为的中点， ∴， ∵此时， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 根据解析（2）可知：， ∴当最小时，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，垂线段最短，折叠的性质，平移的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 红花岗区第三教育集团2024——2025学年度第二学期期中质量监测 八年级数学试题卷 全卷总分150分，考试时间120分钟 一、选择题（以下每题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每题3分，共36分） 1. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，能围成直角三角形的是（ ） A. 1， 1， 2 B. 2， 3， 4 C. 3， 4， 5 D. 6， 8， 9 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平行四边形ABCD中，若∠B=135°，则∠D=（ ） A. 45° B. 55° C. 135° D. 145° 5. 如图，若正方形A，B的面积分别为25和16，则正方形C的面积为（ ） A. 9 B. 11 C. 36 D. 41 6. 如图，小义同学想测量池塘 A、B两处之间的距离．他先在 A、B外选一点C，然后步测、的中点为D、E，测得，则A、B 之间的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平行四边形的顶点O，A，C的坐标分别是，则顶点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，数轴上点分别对应1和2，过点作直线，在直线上截取，以原点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点对应的是(　　) A. B. C. D. 9. 如图，中，，点为的中点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，过点的直线分别交，于点，，若矩形面积为，则阴影部分的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 11. 古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺， 设为x尺， 则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图所示的网格是正方形网格，点，，是网格线的交点，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共16分） 13. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 14. 如图，在中，E，F分别是边AD，BC上点，连接AF，CE，只需添加一个条件即可证明四边形AFCE是平行四边形，这个条件可以是_____________（写出一个即可）． 15. 如图，用4根长度相等的木棒拼成的四边形，，则该四边形的周长为________． 16. 如图， 在中，， 点D为边中点， 点E，F分别在边上，， 则的长为___________． 三、解答题（本大题共9题，共计98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2） 若从下列代数式，，中选择一个进行求值； ， 18. 如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）在图中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数； （3）在你所画的图中，求出斜边上的高（每个小正方形的边长为1）． 19. 如图，在中，点是边中点，连接并延长，交的延长线于点连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当 时， 四边形是菱形；若， 则当 时，四边形是矩形． 20. 如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，绳子始终绷紧且绳长保持不变． （1）若米，米，米，求男子需向右移动的距离；（结果保留根号） （2）在（1）的基础上，此人以米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？ 21. 阅读材料并解决问题：像上述解题过程中，与相乘的积不含二次根式，我们称这两个式子互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． 请仿照上面的方法，解决下列问题： （1）的有理化因式是 ， ； （2）计算： 22. 如图，一张四边形纸片， 其中，， 沿对角线折叠， 点A恰好落在边上的点 E处． （1）连接，试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，， 求四边形的面积． 23. 我们知道定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．这个定理的逆命题也是真命题．下面我们来证明这个逆命题： （1）写出逆命题： ； （2）画出图形，如图，请补全下面的已知和求证： 已知： 如图， 是的中线， ． 求证：为 三角形． （3）请写出你的证明过程． 24. 【背景介绍】如图，将两张大小不等正方形纸片与通过如下切割和拼接，可以构成一个新的大正方形 【问题探究】（1） 若， 则 ； 【动手操作】（2）类比图中的方法，请用无刻度的直尺在图中对十个小正方形画出切割线并将其补全为大正方形； 【拓展延伸】（3）在图中， 若的面积为3， 大正方形的面积为13， 求的长． 25. 在数学实践课上，学习兴趣小组对正方形展开探究： （1）【操作发现】 如图， 在正方形中，， 连接、， 易得， 将向下平移到，则与数量关系为 ，位置关系为 ； （2）【问题探究】 如图，将正方形纸片沿折叠，点A落在边上的点处，连接交折痕于点 P， 若，． 求此时的长； （3）【拓展延伸】 如图，若正方形的边长为a，将正方形纸片沿折叠，点A落在边上的点处，连接与交于点P，取的中点Q，连接，，当最小时，求折痕的长（用含a的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $