精品解析：2026年河南省驻马店市汝南县部分学校中考第三次学情自测 数学试题

河南省2026年初中学业水平考试 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 2. “刹那”源于佛教用语，据《俱舍论》记载，一“刹那”为一弹指的七十五分之一，换算成现代时间约为秒，用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，用个小正方体摆成如下的几何体，若将①号小正方体移动到②号小正方体的正前方有关三视图变化的说法正确的是（ ） A. 仅主视图和左视图改变 B. 仅主视图和俯视图改变 C. 仅俯视图和左视图改变 D. 三视图都发生改变 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 阳光小区健身步道经过多次拐弯后，各路径仍保持平行（如图，，）．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 某班级为了解学生每天课外阅读时长，调查了全班名学生，根据调查所得的数据制成如图所示的条形统计图（部分），则该班学生每天课外阅读时长的平均数为（ ） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 7. 已知为常数，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 8. 如图，在等腰三角形中，顶角，，以为直径的半圆与，分别交于，两点，连接，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，，，对角线，相交于点，将沿射线向上平移得到，当点恰为的中点时停止平移，连接交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在中，为直角，点M为斜边上一动点，沿着路径匀速运动，过点M作，交的直角边于点N，连接．设点M的运动路程为x，的值为y，y与x的函数部分图象如图2，当时，的长为（） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个无理数，使它在5和6之间，该无理数可以是________． 12. 若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是________． 13. 河南戏剧进校园，能传承豫剧等非物质文化遗产，培育学生的文化自信与审美素养．三张无差别卡片的正面分别印有3个豫剧经典曲目《花木兰》《陈三两》《收姜维》，将卡片置于暗箱中摇匀，随机抽取两个作为进校园的曲目，则恰巧抽到《花木兰》和《收姜维》的概率为________． 14. 如图，是的直径，是上一点，且，点为的中点，过点作，垂足为点，交于点．已知，则的长为________． 15. 如图，在中，，，点D和点E分别为边的中点，点F为线段延长线上一点，已知．当为直角三角形时，线段的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 按要求完成下列计算： （1）计算：； （2）化简． 17. 为培养学生的阅读习惯，某中学在学校开展了“品读中国古典名著，传承中华优秀传统文化”读书竞答活动．学校团委为了解此次活动效果，从七、八年级学生的读书竞答成绩中，各随机抽取名学生的成绩（单位：分），并对数据进行整理、分析，下面给出抽取的学生成绩的统计图表． 七、八年级抽取的学生成绩统计表 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题． （1）上述表格中：________，________，_______． （2）若学校最终想选择一个年级作为代表队参加比赛，你认为选择哪个年级比较好？请说明你的理由． （3）若该校八年级有名学生参与了此次活动，请估计此次活动中该校八年级学生成绩不低于分的人数． 18. 如图，在中，点为边上一点，且，连接． （1）尺规作图．请用无刻度的直尺和圆规，作的平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹！） （2）在（1）的条件下，连接，求证，四边形为菱形． 19. 正阳县地处河南省东南部，淮河上游北岸，这里土壤肥沃、气候适宜，是全国闻名的“花生之都”，所产花生颗粒饱满、色泽鲜亮、营养丰富，深受市场青睐．经销商老王购进了一批正阳优质花生（一级）和正阳优质花生（二级）进行销售，两种花生的进价和售价如下． 进价（元/千克） 售价（元/千克） 正阳优质花生（一级） a 15 正阳优质花生（二级） b 11 已知老王试销阶段购进50千克一级花生和75千克二级花生共需1275元；购进60千克一级花生和40千克二级花生共需1080元． （1）求a，b的值． （2）若老王购进两种花生共500千克，其中二级花生的进货量不低于一级花生进货量的，则老王应该如何进货才能使全部售完后的销售利润最大？最大利润为多少元？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的边在轴的负半轴上，点为边的中点，将沿翻折得到，反比例函数的图象经过点，已知点的坐标为，点的坐标为． （1）求点的坐标及反比例函数的表达式； （2）将点向右平移，当点恰好在反比例函数的图象上时，求平移的距离． 21. 为保护海洋生态环境，某海域划定圆形禁渔区，渔政船需测算禁渔区半径以精准管控．如图，渔政船先在观测点处，测得与禁渔区边缘相切的切点的方向角为北偏东，测得禁渔区圆心O点的方向角为北偏东；随后渔政船向东航行海里到达观测点处，测得与禁渔区边缘相切的切点的方向角为北偏东，测得圆心点的方向角为北偏东． （1） _______，_______； （2）请求出该圆形禁渔区的半径．（参考数据：，，） 22. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点A为二次函数图象上点O与点P之间的一点，过点A作x轴的垂线，交于点M，交x轴于点N． （1）若点P为该二次函数图象的顶点． ①求二次函数的表达式； ②求线段长度的最大值． （2）若该二次函数的图象与x轴的另一个交点为，且，请直接写出a的取值范围． 23. 综合与实践 在数学活动课上，老师给出如下问题，让同学们展开探究活动． 问题情景：在矩形中，E，F分别为边和上的点，将四边形沿所在的直线折叠，A的对应点G落在边上，D的对应点为点M，交于点N．请你根据上述问题，添加条件，然后提出恰当的数学问题并解答． 解决问题： 下面是学习小组添加条件后提出的三个问题，请你解答这些问题． （1）奋进小组提出的问题是：如图1，连接，若，与的数量关系是________； （2）智慧小组提出的问题是：如图2，连接，若，试猜想与的数量关系，并加以证明； （3）创新小组提出的问题是：若，N为边的三等分点，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省2026年初中学业水平考试 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，直接求解即可． 【详解】解：与只有符号不同的数为， 的相反数是． 2. “刹那”源于佛教用语，据《俱舍论》记载，一“刹那”为一弹指的七十五分之一，换算成现代时间约为秒，用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用科学记数法表示较小的数的要求表示即可． 【详解】解：． 3. 如图，用个小正方体摆成如下的几何体，若将①号小正方体移动到②号小正方体的正前方有关三视图变化的说法正确的是（ ） A. 仅主视图和左视图改变 B. 仅主视图和俯视图改变 C. 仅俯视图和左视图改变 D. 三视图都发生改变 【答案】D 【解析】 【分析】对比移动前后的三视图即可得出结论. 【详解】解：移动前后的几何体的三视图如下，可知三视图都发生改变． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂的乘方、合并同类项、同底数幂的乘除法的运算法则进行计算即可. 【详解】解：∵，∴A选项错误； ∵，∴B选项错误； ∵，∴C选项正确； ∵，∴D选项错误． 5. 阳光小区健身步道经过多次拐弯后，各路径仍保持平行（如图，，）．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行，内错角相等，可得：，根据两直线平行，同旁内角互补，可得：，根据两直线平行，内错角相等，可得：． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 6. 某班级为了解学生每天课外阅读时长，调查了全班名学生，根据调查所得的数据制成如图所示的条形统计图（部分），则该班学生每天课外阅读时长的平均数为（ ） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 【答案】B 【解析】 【分析】先根据条形图求得每天课外阅读时长小时的人数，再根据平均数的公式代入数据计算即可得解． 【详解】解：∵每天课外阅读时长小时的人数为：（人）， ∴平均数为：（小时）． 7. 已知为常数，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次方程的根的判别式判断根的情况即可. 【详解】解：∵关于的一元二次方程，其中，，， ， ， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 8. 如图，在等腰三角形中，顶角，，以为直径的半圆与，分别交于，两点，连接，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，通过论证，可得，进而，则阴影部分的面积可求. 【详解】解： 如图，连接， 是等腰三角形，顶角， ， ， ， ， ，， ，， ，即， ， ， ， ， ， 故选：C． 9. 如图，在菱形中，，，对角线，相交于点，将沿射线向上平移得到，当点恰为的中点时停止平移，连接交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，利用平移可得，进而，接着证明，可得，最后利用求解即可. 【详解】解：∵四边形为菱形，，， ，平分，， ∴， ∴， 点为的中点， ， 由平移的性质可知，， ， 由平移的性质可知，，且， ， ∴， ， ， ． 10. 如图1，在中，为直角，点M为斜边上一动点，沿着路径匀速运动，过点M作，交的直角边于点N，连接．设点M的运动路程为x，的值为y，y与x的函数部分图象如图2，当时，的长为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当点M没有运动时，可知为斜边的长，即；当图象出现拐点时，点N与点C重合，由纵坐标可知；设的长为a，则的长为，在中，利用勾股定理求出；当时，设，则，，在中，由勾股定理求出，然后根据求解即可． 【详解】解：当点M没有运动时，可知为斜边的长，即， 当图象出现拐点时，点N与点C重合，由纵坐标可知， 设的长为a，则的长为， 在中，依据勾股定理得，即， 解得（负值舍去）， 故，； 当时，如图所示， 设，则，， 在中，由勾股定理，可得，即， 解得， ； ， ， ． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个无理数，使它在5和6之间，该无理数可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】 解：， ， 那么这个无理数可以是． 12. 若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】求出不等式组的解集，再根据所给解集结合“同小取小”，可得的取值范围. 【详解】解： 解①得：； 解②得：； ∵不等式组的解集为， ． 13. 河南戏剧进校园，能传承豫剧等非物质文化遗产，培育学生的文化自信与审美素养．三张无差别卡片的正面分别印有3个豫剧经典曲目《花木兰》《陈三两》《收姜维》，将卡片置于暗箱中摇匀，随机抽取两个作为进校园的曲目，则恰巧抽到《花木兰》和《收姜维》的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】用依次表示豫剧经典曲目《花木兰》、《陈三两》、《收姜维》，画树状图求概率即可. 【详解】解：用依次表示豫剧经典曲目《花木兰》《陈三两》《收姜维》， 根据题意，画树状图如下： 共有种等可能的结果，恰巧抽到《花木兰》和《收姜维》的结果有种， ∴． 14. 如图，是的直径，是上一点，且，点为的中点，过点作，垂足为点，交于点．已知，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用圆周角定理结合可得，进而，结合点为的中点，可得是等边三角形，可推导出，即可得出结果. 【详解】解：如图，连接， ， ， ∵是的直径， ， ∴， ， ，， ， ∵点为的中点， ， ， 是等边三角形， ， ， ∴平分， ∴， ， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ， ， 在中，， ， ． 15. 如图，在中，，，点D和点E分别为边的中点，点F为线段延长线上一点，已知．当为直角三角形时，线段的长为________． 【答案】或6##6或 【解析】 【分析】当时，如图1所示，过点A作，垂足为点Q．在中，求出，再在中，求出即可求解；当时，如图2所示．由点D，E为边的中点得，为的中位线，然后证明为等腰直角三角形即可求解． 【详解】解：当时，如图1所示，过点A作，垂足为点Q． 在中，． ， 为等腰直角三角形， ． ∵点E为斜边上的中点， ； 当时，如图2所示． ∵点D，E为边的中点， ，为的中位线， ， ， 为等腰直角三角形， 综上所述，的长为3或6． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 按要求完成下列计算： （1）计算：； （2）化简． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先算负整数指数幂、绝对值化简，然后算加减即可； （2）先对括号内的分式通分计算加法，然后再算除法，结果写成最简分式. 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 17. 为培养学生的阅读习惯，某中学在学校开展了“品读中国古典名著，传承中华优秀传统文化”读书竞答活动．学校团委为了解此次活动效果，从七、八年级学生的读书竞答成绩中，各随机抽取名学生的成绩（单位：分），并对数据进行整理、分析，下面给出抽取的学生成绩的统计图表． 七、八年级抽取的学生成绩统计表 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题． （1）上述表格中：________，________，_______． （2）若学校最终想选择一个年级作为代表队参加比赛，你认为选择哪个年级比较好？请说明你的理由． （3）若该校八年级有名学生参与了此次活动，请估计此次活动中该校八年级学生成绩不低于分的人数． 【答案】（1） （2）选择八年级比较好，见解析 （3）人 【解析】 【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的计算方法求解即可； （2）从平均数和方差的角度比较得出结论即可； （3）利用样本估计总体即可. 【小问1详解】 解：由题意得：，七年级学生得分的众数． 将八年级学生成绩从小到大排列为 ，第四个数是， ∴中位数； 【小问2详解】 答：选择八年级比较好，理由如下： ∵抽取的两个年级的平均成绩相同，但，即七年级学生成绩的方差大于八年级学生成绩的方差， ∴八年级学生的成绩更稳定， 故选择八年级； 【小问3详解】 解：（人）， ∴此次活动中该校八年级学生成绩不低于分的约有人． 18. 如图，在中，点为边上一点，且，连接． （1）尺规作图．请用无刻度的直尺和圆规，作的平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹！） （2）在（1）的条件下，连接，求证，四边形为菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据尺规作角平分线的步骤即可作图； （2）利用邻边相等的平行四边形是菱形即可证明. 【小问1详解】 解：作的平分线交于点，如图即为所求； 【小问2详解】 证明：∵为的平分线， ， ∵四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， 又， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴四边形为菱形． 19. 正阳县地处河南省东南部，淮河上游北岸，这里土壤肥沃、气候适宜，是全国闻名的“花生之都”，所产花生颗粒饱满、色泽鲜亮、营养丰富，深受市场青睐．经销商老王购进了一批正阳优质花生（一级）和正阳优质花生（二级）进行销售，两种花生的进价和售价如下． 进价（元/千克） 售价（元/千克） 正阳优质花生（一级） a 15 正阳优质花生（二级） b 11 已知老王试销阶段购进50千克一级花生和75千克二级花生共需1275元；购进60千克一级花生和40千克二级花生共需1080元． （1）求a，b的值． （2）若老王购进两种花生共500千克，其中二级花生的进货量不低于一级花生进货量的，则老王应该如何进货才能使全部售完后的销售利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1）a的值为12，b的值为9 （2）老王应该购进一级花生300千克，二级花生200千克，才能使全部售完后的销售利润最大，最大利润为1300元 【解析】 【分析】（1）根据“购进50千克一级花生和75千克二级花生共需1275元；购进60千克一级花生和40千克二级花生共需1080元”列方程组求解即可； （2）设老王购进一级花生x千克，则购进二级花生千克，根据二级花生的进货量不低于一级花生进货量的求出x的取值范围，设此次花生全部售完后的销售利润为y元，列出一次函数解析式，再根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：依据题意，可得方程组 解得，即a的值为12，b的值为9． 【小问2详解】 解：设老王购进一级花生x千克，则购进二级花生千克． 由题意，得， 解得． 设此次花生全部售完后的销售利润为y元， 则． ， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y取得最大值，最大值为（元）． 此时． 答：老王应该购进一级花生300千克，二级花生200千克，才能使全部售完后的销售利润最大，最大利润为1300元． 20. 如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的边在轴的负半轴上，点为边的中点，将沿翻折得到，反比例函数的图象经过点，已知点的坐标为，点的坐标为． （1）求点的坐标及反比例函数的表达式； （2）将点向右平移，当点恰好在反比例函数的图象上时，求平移的距离． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，先求出，，得到，利用翻折的性质得到四边形为菱形，进而，则点的坐标为，代入解析式即可求解； （2）根据平移得到的纵坐标，代入解析式求出横坐标，进而可求平移的距离. 【小问1详解】 解：过点作于点， ∵点的坐标为，点的坐标为， ，， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 由翻折性质可知，， ， ∴四边形为菱形， ， ∴点向右平移个单位长度可得点， ∴点的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵点的坐标为，点的坐标为，点为边的中点， ∴点的坐标为，点向右平移后的对应点的纵坐标为， 当时， ， ∴点的坐标为 ∴平移距离为： ． 21. 为保护海洋生态环境，某海域划定圆形禁渔区，渔政船需测算禁渔区半径以精准管控．如图，渔政船先在观测点处，测得与禁渔区边缘相切的切点的方向角为北偏东，测得禁渔区圆心O点的方向角为北偏东；随后渔政船向东航行海里到达观测点处，测得与禁渔区边缘相切的切点的方向角为北偏东，测得圆心点的方向角为北偏东． （1） _______，_______； （2）请求出该圆形禁渔区的半径．（参考数据：，，） 【答案】（1）； （2）海里 【解析】 【分析】（1）利用角的和差求解即可； （2）连接，过点作于点，设海里，则海里，分别在两个直角三角形中表示，可列方程 求出，进而求出,则可求. 【小问1详解】 解：由题意得： ， ； 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作于点， 设海里，则海里， 由题意，得，，， 在中，， 在中，， ， 解得， 海里， 在中， （海里）， ∵是的切线， ， 在中， （海里）， 答：该圆形禁渔区的半径为海里． 22. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点A为二次函数图象上点O与点P之间的一点，过点A作x轴的垂线，交于点M，交x轴于点N． （1）若点P为该二次函数图象的顶点． ①求二次函数的表达式； ②求线段长度的最大值． （2）若该二次函数的图象与x轴的另一个交点为，且，请直接写出a的取值范围． 【答案】（1）①；②当时，线段的长度取得最大值 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据二次函数的性质和待定系数法求解即可； ②先求出正比例函数的表达式为，设点M的坐标为，则点A的坐标为，列出关于的解析式，利用二次函数的性质求解即可； （2）根据二次函数的图象经过点，求出，令，求出，．然后根据和求解即可． 【小问1详解】 解：①∵点为二次函数图象的顶点， ∴可得方程组 解得 ∴二次函数的表达式为． ②正比例函数的图象经过点， ，解得． ∴正比例函数的表达式为． 设点M的坐标为，则点A的坐标为， ． ∴当时，线段的长度取得最大值； 【小问2详解】 解：a的取值范围是． ∵二次函数的图象经过点， ， 化简，得． 令，则， 解得，． ∵二次函数的图象与x轴的一个交点为，且， ∴． ， ，即． ， 解得． ， ∴a的取值范围是． 23. 综合与实践 在数学活动课上，老师给出如下问题，让同学们展开探究活动． 问题情景：在矩形中，E，F分别为边和上的点，将四边形沿所在的直线折叠，A的对应点G落在边上，D的对应点为点M，交于点N．请你根据上述问题，添加条件，然后提出恰当的数学问题并解答． 解决问题： 下面是学习小组添加条件后提出的三个问题，请你解答这些问题． （1）奋进小组提出的问题是：如图1，连接，若，与的数量关系是________； （2）智慧小组提出的问题是：如图2，连接，若，试猜想与的数量关系，并加以证明； （3）创新小组提出的问题是：若，N为边的三等分点，请直接写出的长． 【答案】（1）； （2） ； 证明：由折叠的性质可知， ， ， ∴， ， ，， ， 又， ， ， ． （3）3或 【解析】 【分析】（1）证明，得出即可； （2）根据三角函数定义得出，即可得出，证明，得出，即可证明结论； （3）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由折叠的性质可知： ． ， ∴为等腰直角三角形， ， ，， ， 又， ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长交的延长线于点O，由折叠的性质可知，，， ∵ ， ∴． ①如图1，当时， 则，， ， ， ， 设，则， ， ∴． 在中，， 即， 解得，（不合题意，舍去）． ． ②如图2，当时， 则，， ， ， ∴ ， 设，则， ∴ ， ， 在中，， 即， 解得，（不合题意，舍去）． ∴； 综上所述，的长为3或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $