精品解析：2026年河南洛阳外国语学校等校中招极品仿真数学试卷(A)

2026年河南省中招极品仿真数学试卷（A） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．请用蓝、黑色水笔或圆珠笔直接答在答题卡上． 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确选项的代号字母填入题后括号内． 1. 下列四个数中，比小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 图1是由5个相同的小正方体组成的几何体，移动其中一个小正方体变成图2所示的几何体，则移动前后（ ） A. 左视图不改变，俯视图不改变 B. 左视图改变，俯视图改变 C. 左视图不改变，俯视图改变 D. 左视图改变，俯视图不改变 3. 三角板与三角板按如图所示的方式摆放，，，．若，则与的位置关系为（ ） A. B. 与相交 C. D. 无法确定 4. 为了增强学生体质，2026年新学期国家出台了“中小学课间延长至15分钟，每天1节体育课”的政策，学生们有了更多时间进行体育锻炼．在一节体育课上，体育老师让每人投篮5次，小明统计全班50名学生投中的次数，并记录如下： 投中次数/次 0 1 2 3 4 5 人数/名 1 ● 9 18 ● 5 表格中有两处数据不小心被墨汁遮盖了，则下列关于投中次数的统计量中可以确定的量是（ ） A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差 5. 下边是原子的结构示意图，已知原子的直径约为，一个乒乓球的直径约为，则乒乓球的直径大约是原子直径的（ ） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 6. 下列说法：①所有的等边三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的两个等腰三角形一定相似；④都有一个角的两个直角三角形相似，其中正确的说法是（ ） A. ②④ B. ①③ C. ①②④ D. ②③④ 7. 已知，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象的交点个数为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 9. 如图，在平行四边形中，，，．点P从点A出发，以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿运动．设点P的运动时间为t，在此运动过程中，当时，t的值为（ ） A. 1.5 B. 3 C. 1.5或3 D. 3或4 10. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形位置如图，，点的坐标为，每一次将绕点逆时针旋转，同时每边扩大为原来的倍，第一次旋转得到，第二次旋转得到，，以此类推，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 任写一个单项式，使它和是同类项：______. 12. 冰箱制冷功率P与工作时间t成反比（总耗电量固定）．若时，，则P与t之间的关系式为________． 13. 化学老师准备了三种溶液：白醋、小苏打水、肥皂水，分别装在三个相同的试管中，其中白醋呈酸性，小苏打水和肥皂水呈碱性．从三支试管中任选两支试管，各加入酚酞，则都能使酚酞变红（注：碱性溶液能使酚酞变红）的概率是________． 14. 如图，在正方形的墙上有一个圆弧形的门洞，小明测得圆弧门落在地面上的弦为，而他从点E处作的垂线交圆弧门于点G，．由此算得圆弧门的面积为________．（结果保留） 15. 如图，平面直角坐标系中，，，点C为上的一个动点（不与点A、点B重合）．将沿翻折，点A的对应点为点，当为直角三角形时，点的坐标为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 按要求完成下列计算： （1）计算：； （2）解不等式组： 17. 暑假前，为预防网络诈骗，强化安全意识，学校对全体学生进行了安全教育，并进行了安全测试．学生会从七年级、八年级学生中各随机抽取20名学生的测试成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、分析和描述（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．）．七年级被抽取的20名学生的测试成绩分别为：82，70，87，87，97，87，87，89，84，79，81，91，95，98，94，84，60，81，90，83；八年级被抽取的20名学生的测试成绩在等级C的分别为：89，89，88，87，85，83，82；两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85.3 87 b 75.91 八年级 85.3 a 91 81.76 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出a，b，m的值； （2）根据以上数据，你认为此次测试中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七年级有520名学生，八年级有580名学生，请估计两个年级测试成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人． 18. 如图，，分别切于点B，C，，连接，，． （1）求证：． （2）连接，用尺规作等边三角形，点D在外（不写作法，保留作图痕迹）；连接，，判断四边形的形状并说明理由． 19. 用粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水）制作粮食酒的出酒率约为，用芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水）制作芋头酒的出酒率约为．（出酒率）． 第一次实验分别蒸馏出的粮食酒和芋头酒共42千克；第二次实验芋头糟醅量不变，所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，蒸馏出的酒总量比第一次多30千克． （1）第一次实验分别用了多少千克粮食糟醅和芋头糟醅？ （2）现有粮食糟醅和芋头糟醅共200千克，要想出酒率不低于，其中粮食糟醅至少为多少千克？ 20. 儿童游乐场有一个大游泳池，打开1个进水管，需要24小时才能把空游泳池注满水；打开2个进水管，需要12小时才能把空游泳池注满水．如图，设进水管为x（个），将游泳池注满水所需的时间为t（）． （1）求t与x之间的函数关系式； （2）要想2个小时把游泳池注满水，需要同时打开多少个进水管？ （3）已知一个进水管的注水速度为，则此游泳池的容积是多少？若要注入的水，需要同时打开6个进水管多长时间？ 21. 河南洛阳的应天门是中国古代规格最高的城门，被誉为“天下第一门”．如图是应天门城墙的一部分，小明为了得到的长度，就拿来了一根长2.5米的竹竿斜靠在城墙上，其中A端在城墙上，B端在平地上．小明在竹竿的C处用绳子绑了块石头，米，调整绳子的长度，使石头刚好接触到水平地面D处，测得米，米． （1）请你根据以上数据算出城墙的坡度和坡角（即的度数）； （2）查阅资料知道这段城墙（台基）的高约为15米，求的长度．（结果精确到0.1米．参考数据：，，） 22. 小方在劳动教育基地活动时，用一根长6.25米的水管与地面上一个水阀门A连接浇菜地．打开水阀门，拉直的水管的另一头O在小方手指的挤压下，水流呈抛物线状向右方喷去，如图所示，以点O为坐标系原点建立平面直角坐标系，测量发现水流在距O点1.5米处达到最高，最高点距水平地面2.25米． （1）求该抛物线的解析式； （2）小方抬高水管头到距地面1.75米的B处继续浇地，压力不变的情况下，她此时所浇地面会比抬高前远多少米？ 23. 结合图形，解答下列各题： （1）如图1，在中，对角线与相交于点O，线段过点O分别与，交于点E，F． ①则与的数量关系为________． ②线段过点O分别与，交于点P，Q，探究与的数量关系，并说明理由． （2）通过（1）的探究，小明发现过点O的任意直线都可以把分成面积相等的两部分．而菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，都应该具有这样的性质．某天，王老汉准备把自家的地分给两个儿子耕种，如图2，整块地由矩形和菱形组成，请你帮王老汉在地里画出一条线段，将多边形分成面积相等的两部分，并简要说明你的设计方案． （3）如图3，直线l将边长为4的正方形分成面积相等的两部分，过点B作，连接，请你直接写出的最小值和最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河南省中招极品仿真数学试卷（A） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．请用蓝、黑色水笔或圆珠笔直接答在答题卡上． 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确选项的代号字母填入题后括号内． 1. 下列四个数中，比小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴比小的数是． 2. 图1是由5个相同的小正方体组成的几何体，移动其中一个小正方体变成图2所示的几何体，则移动前后（ ） A. 左视图不改变，俯视图不改变 B. 左视图改变，俯视图改变 C. 左视图不改变，俯视图改变 D. 左视图改变，俯视图不改变 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意，根据左视图是从左边看，俯视图是从上看，分别得到移动前后的左视图和俯视图，依此即可得到答案． 【详解】解：移动前和后左视图都如下： 移动前的俯视图为： 移动后的俯视图为： 则左视图不改变，俯视图改变． 3. 三角板与三角板按如图所示的方式摆放，，，．若，则与的位置关系为（ ） A. B. 与相交 C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】由三角板的角度计算得出，由角的和差关系得出，最后由同旁内角互补即可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 4. 为了增强学生体质，2026年新学期国家出台了“中小学课间延长至15分钟，每天1节体育课”的政策，学生们有了更多时间进行体育锻炼．在一节体育课上，体育老师让每人投篮5次，小明统计全班50名学生投中的次数，并记录如下： 投中次数/次 0 1 2 3 4 5 人数/名 1 ● 9 18 ● 5 表格中有两处数据不小心被墨汁遮盖了，则下列关于投中次数的统计量中可以确定的量是（ ） A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】先根据总人数求出被遮盖数据的人数和，再根据各统计量的定义判断即可． 【详解】解：∵总人数为50，已知人数和为， ∴两处被遮盖的人数和为，即投中1次与投中4次的人数之和为17． 众数：投中3次的人数为18，， 投中1次和投中4次的人数都不可能超过18， 因此众数一定是3，众数可以确定． 中位数：总共有50个数据，中位数是排序后第25和第26个数据的平均数．设投中1次人数为，累计到投中2次的总人数为． 当时，，中位数为2； 当时，中位数为； 当时，，中位数为3； 因此中位数不确定． 平均数：平均数计算需要的具体值，改变平均数随之改变，因此平均数不确定． 方差：方差计算依赖具体频数和平均数，因此方差不确定． 综上，可确定的统计量是众数． 5. 下边是原子的结构示意图，已知原子的直径约为，一个乒乓球的直径约为，则乒乓球的直径大约是原子直径的（ ） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴乒乓球的直径大约是原子直径的倍． 6. 下列说法：①所有的等边三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的两个等腰三角形一定相似；④都有一个角的两个直角三角形相似，其中正确的说法是（ ） A. ②④ B. ①③ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【详解】解：①所有等边三角形的内角都为，任意两个等边三角形的三个内角都对应相等，因此所有等边三角形都相似，①正确； ②等腰三角形两底角相等，若两个等腰三角形有一个底角相等，则两个三角形的底角都对应相等，顶角也相等，三个内角对应相等，因此两个三角形相似，②正确； ③若相等的角一个是等腰三角形的顶角，另一个是等腰三角形的底角，则两个三角形的内角不对应相等，不一定相似，③错误； ④两个直角三角形都有一个直角，且都有一个角，因此两个三角形有两个角对应相等，两个三角形相似，④正确． 7. 已知，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将化为，对所求代数式进行化简，再利用已知条件整体代入求值即可． 【详解】解：， ， ∴ ． 8. 已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象的交点个数为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】先根据方程无实数根求出的范围，再判断两个函数图象所在象限，即可得到交点个数． 【详解】解：关于的一元二次方程无实数根， ∴， 化简得， 解得， 可知正比例函数的图象经过第二、四象限， 对于反比例函数，， 可得， ∴反比例函数的图象也分布在第二、四象限， 因此两个函数图象共有2个交点． 9. 如图，在平行四边形中，，，．点P从点A出发，以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿运动．设点P的运动时间为t，在此运动过程中，当时，t的值为（ ） A. 1.5 B. 3 C. 1.5或3 D. 3或4 【答案】C 【解析】 【分析】由题意易得，，，，则有，，由题意可分当时，当时，且满足，然后分类画出图形进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∵四边形是平行四边形，，， ∴，，， ∴，， 由题意可分： 当时，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， 此时，解得：； 当时，且满足，分别过点A、P作， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理可得， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上所述：t的值为1.5或3． 10. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形位置如图，，点的坐标为，每一次将绕点逆时针旋转，同时每边扩大为原来的倍，第一次旋转得到，第二次旋转得到，，以此类推，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据变换的规则分别写出点、、、的坐标，得到坐标变化的规律，根据规律写出点的坐标． 【详解】解：点的坐标为， ， 是等腰直角三角形，， ， 点的坐标为， 根据题意可知，， 点的坐标是， 由规律可得：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 点在第一象限，点在第二象限，点在第三象限，点在第四象限，点在第一象限，， ， 点在第三象限， 点的坐标为． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 任写一个单项式，使它和是同类项：______. 【答案】（注：本题答案不唯一） 【解析】 【分析】根据单项式的定义“由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式”和同类项的定义“所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项”即可得. 【详解】由单项式的定义和同类项的定义得，与是同类项. 故答案为：（注：本题答案不唯一）. 【点睛】本题考查了单项式的定义和同类项的定义，熟记定义是解题关键. 12. 冰箱制冷功率P与工作时间t成反比（总耗电量固定）．若时，，则P与t之间的关系式为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义设出函数解析式，再利用待定系数法求出比例系数，即可得到与的关系式． 【详解】解：∵与成反比， ∴设， ∵时，， ∴， 因此与之间的关系式为． 13. 化学老师准备了三种溶液：白醋、小苏打水、肥皂水，分别装在三个相同的试管中，其中白醋呈酸性，小苏打水和肥皂水呈碱性．从三支试管中任选两支试管，各加入酚酞，则都能使酚酞变红（注：碱性溶液能使酚酞变红）的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出从三支试管中任选两支的所有等可能结果，再找出满足两支溶液都为碱性的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：将白醋记为A，小苏打水记为B，肥皂水记为C，则A为酸性，不能使酚酞变红，B，C为碱性，能使酚酞变红． 画树状图如下： 可知共6种情况，其中满足“两支都能使酚酞变红”的情况有2种， ∴都能使酚酞变红的概率是． 14. 如图，在正方形的墙上有一个圆弧形的门洞，小明测得圆弧门落在地面上的弦为，而他从点E处作的垂线交圆弧门于点G，．由此算得圆弧门的面积为________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】连接，取的中点，连接，由题意易得是的直径，，然后可得，进而根据割补法及扇形面积公式可进行求解． 【详解】解：连接，取的中点，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴是的直径， ∵， ∴， ∴， ∴圆弧门的面积为． 15. 如图，平面直角坐标系中，，，点C为上的一个动点（不与点A、点B重合）．将沿翻折，点A的对应点为点，当为直角三角形时，点的坐标为________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意当时，分点在点的上方或点在点的下方两种情况，然后分别画出图形进行求解即可． 【详解】解：由题意可分：当时，且点在点的上方，如图所示： ∵，， ∴，， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴； 当时，且点在点的下方，如图所示： 同理可得：， ∴； 综上所述：当为直角三角形时，点的坐标为或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 按要求完成下列计算： （1）计算：； （2）解不等式组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为． 17. 暑假前，为预防网络诈骗，强化安全意识，学校对全体学生进行了安全教育，并进行了安全测试．学生会从七年级、八年级学生中各随机抽取20名学生的测试成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、分析和描述（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．）．七年级被抽取的20名学生的测试成绩分别为：82，70，87，87，97，87，87，89，84，79，81，91，95，98，94，84，60，81，90，83；八年级被抽取的20名学生的测试成绩在等级C的分别为：89，89，88，87，85，83，82；两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85.3 87 b 75.91 八年级 85.3 a 91 81.76 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出a，b，m的值； （2）根据以上数据，你认为此次测试中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七年级有520名学生，八年级有580名学生，请估计两个年级测试成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人． 【答案】（1）88.5；87；40 （2）八年级的成绩更好，因为两个年级的平均数相同，而八年级成绩的中位数和众数均大于七年级（答案不唯一） （3）388人 【解析】 【分析】（1）用1减去八年级A、B、C组的百分比可知m的值；根据中位数、众数的定义可知a、b的值； （2）任选角度判断即可； （3）分别求出两个年级安全测试成绩优秀（大于或等于90分）的学生，相加即可． 【小问1详解】 解：由题干数据可知，即； 七年级87出现次数最多，即； 八年级D组人数为人， 八年级被抽取的20名学生的测试成绩在等级C的分别从大到小排列为：89，89，88，87，85，83，82， 则八年级中位数为； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计两个年级安全测试成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有388人． 18. 如图，，分别切于点B，C，，连接，，． （1）求证：． （2）连接，用尺规作等边三角形，点D在外（不写作法，保留作图痕迹）；连接，，判断四边形的形状并说明理由． 【答案】（1）证明：∵，分别切于点B，C， ． 在与中， ， ； （2）解：如图所示，即为所求的图形． 四边形是菱形．理由如下： ∵，分别切于点B，C， ． ， ∴在四边形中，． ， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ． ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质定理可知，根据证明即可； （2）连接，分别以B、C为圆心，为半径画弧，两弧在圆外交于点D，连接，即可；根据切线的性质定理可知，根据多边形内角和定理可知，进而可知为等边三角形，根据等边三角形的性质得到，可知四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 用粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水）制作粮食酒的出酒率约为，用芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水）制作芋头酒的出酒率约为．（出酒率）． 第一次实验分别蒸馏出的粮食酒和芋头酒共42千克；第二次实验芋头糟醅量不变，所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，蒸馏出的酒总量比第一次多30千克． （1）第一次实验分别用了多少千克粮食糟醅和芋头糟醅？ （2）现有粮食糟醅和芋头糟醅共200千克，要想出酒率不低于，其中粮食糟醅至少为多少千克？ 【答案】（1）第一次实验用了100千克粮食糟醅，60千克芋头糟醅 （2）160千克 【解析】 【分析】（1）设第一次实验用了x千克粮食糟醅，y千克芋头糟醅，根据第一次实验分别蒸馏出的粮食酒和芋头酒共42千克；第二次实验芋头糟醅量不变，所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，蒸馏出的酒总量比第一次多30千克，列出方程组，解方程组即可； （2）设粮食糟醅有m千克，则芋头糟醅有千克，根据出酒率不低于，列出不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设第一次实验用了x千克粮食糟醅，y千克芋头糟醅， 根据题意得：， 解得：， 答：第一次实验用了100千克粮食糟醅，60千克芋头糟醅； 【小问2详解】 解：设粮食糟醅有m千克，则芋头糟醅有千克． 根据题意得：， 解得：． 答：其中粮食糟醅至少为160千克． 20. 儿童游乐场有一个大游泳池，打开1个进水管，需要24小时才能把空游泳池注满水；打开2个进水管，需要12小时才能把空游泳池注满水．如图，设进水管为x（个），将游泳池注满水所需的时间为t（）． （1）求t与x之间的函数关系式； （2）要想2个小时把游泳池注满水，需要同时打开多少个进水管？ （3）已知一个进水管的注水速度为，则此游泳池的容积是多少？若要注入的水，需要同时打开6个进水管多长时间？ 【答案】（1） （2）12个 （3）此游泳池的容积是，注入的水需要同时打开6个进水管3.2小时 【解析】 【分析】（1）由图象知，t是x的反比例函数，当时，，设，进而求解即可； （2）将代入反比例函数关系式求解即可； （3）根据“打开1个进水管，需要24小时才能把空游泳池注满水”及“一个进水管的注水速度为”可知此游泳池的容积；用注入量除以6个进水管的总效率即可． 【小问1详解】 解：由图象知，t是x的反比例函数，当时，， 设， ， 解得：， ； 【小问2详解】 解：当时，， 解得． ∴需要同时打开12个进水管； 【小问3详解】 解：∵， ∴此游泳池的容积是． ． 答：此游泳池的容积是，注入的水需要同时打开6个进水管3.2小时． 21. 河南洛阳的应天门是中国古代规格最高的城门，被誉为“天下第一门”．如图是应天门城墙的一部分，小明为了得到的长度，就拿来了一根长2.5米的竹竿斜靠在城墙上，其中A端在城墙上，B端在平地上．小明在竹竿的C处用绳子绑了块石头，米，调整绳子的长度，使石头刚好接触到水平地面D处，测得米，米． （1）请你根据以上数据算出城墙的坡度和坡角（即的度数）； （2）查阅资料知道这段城墙（台基）的高约为15米，求的长度．（结果精确到0.1米．参考数据：，，） 【答案】（1）4， （2）15.5米 【解析】 【分析】（1）首先过点A作于点E，构造,利用相似求出；然后利用勾股定理求出，进而求出，最后在中确定坡度和坡角即可； （2）在中，利用三角函数求解即可． 【小问1详解】 解：（1）由题意知，，米，米． 如图，过点A作于点E． ，， ， ，即， （米）． 在中，（米）． （米）， （米）， ． ， ． 答：斜坡PM的坡度为4，坡角约为． 【小问2详解】 解：在中，，， ， （米）． 答：PM的长约为15.5米． 【点睛】解决与三角函数有关的问题时，首先要寻找直角三角形，如果没有，就需要结合已知条件进行构造，然后看这些直角三角形是否可解，它们的边、角之间有怎样关系，最后再根据要求的结论选择合适的解题策略． 22. 小方在劳动教育基地活动时，用一根长6.25米的水管与地面上一个水阀门A连接浇菜地．打开水阀门，拉直的水管的另一头O在小方手指的挤压下，水流呈抛物线状向右方喷去，如图所示，以点O为坐标系原点建立平面直角坐标系，测量发现水流在距O点1.5米处达到最高，最高点距水平地面2.25米． （1）求该抛物线的解析式； （2）小方抬高水管头到距地面1.75米的B处继续浇地，压力不变的情况下，她此时所浇地面会比抬高前远多少米？ 【答案】（1） （2）0.25米 【解析】 【分析】（1）设该抛物线的解析式为，把顶点和代入计算即可得出抛物线的解析式． （2）过点B作于点C，由勾股定理求出，进而求出，因压力不变，抛物线形状不发生变化，则．相当于抛物线向上平移1.75米，向左平移0.25米，利用平移即可得出新的解析式，再分别求出当时对应的x的值，然后用右侧的对应的x值相减即可得出答案． 【小问1详解】 解：设该抛物线的解析式为， 顶点为， ． ∵其经过点， ，解得， 则该抛物线的解析式为， 即． 【小问2详解】 解：如图，过点B作于点C， 在中，米，米， 由勾股定理得（米）， ∴（米）． 因压力不变，抛物线形状不发生变化， ∴．相当于抛物线向上平移1.75米，向左平移0.25米， 所以其解析式为． 把代入中，得，解得，， 把代入中，得，解得，． 则（米）． 她此时所浇地面会比抬高前远0.25米． 23. 结合图形，解答下列各题： （1）如图1，在中，对角线与相交于点O，线段过点O分别与，交于点E，F． ①则与的数量关系为________． ②线段过点O分别与，交于点P，Q，探究与的数量关系，并说明理由． （2）通过（1）的探究，小明发现过点O的任意直线都可以把分成面积相等的两部分．而菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，都应该具有这样的性质．某天，王老汉准备把自家的地分给两个儿子耕种，如图2，整块地由矩形和菱形组成，请你帮王老汉在地里画出一条线段，将多边形分成面积相等的两部分，并简要说明你的设计方案． （3）如图3，直线l将边长为4的正方形分成面积相等的两部分，过点B作，连接，请你直接写出的最小值和最大值． 【答案】（1）①； ②． 理由：∵在中，，， ∴， 在与中， ∴， ∴． （2）如图，即为所求． 设计方案：分别找到矩形和菱形的对角线交点O和G，作直线分别交，于点M，N，则线段即为所求． （3）的最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）①由在中，，，可得，证明，即可得结论； ②由在中，，，可得，证明，即可得结论； （2）根据平行四边形、菱形、矩形、正方形过对角线的交点O的任意直线都可以把四边形分成面积相等的两部分，分别找到矩形和菱形的对角线交点O和G，作直线分别交，于点M，N，则线段即为所求； （3）由题意可得，点H在以为直径的上运动，先求得的半径，再利用点到圆上的点的距离最大和最小即可求解． 【小问1详解】 解：①∵在中，，， ∴， 在与中， ∴， ∴． ②略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵直线l将边长为4的正方形分成面积相等的两部分， ∴直线l过正方形对角线与的交点O， 过点B作，则， ∴点H在以为直径的上运动， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得， 如图1，交于点H，此时最短，， 如图2，延长交于点H，此时最长，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $