精品解析：重庆市江津中学校2025-2026学年下学期初三适应性考试数学试卷

初三适应性考试数学试卷 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将答题卡收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A．B．C．D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 2026的倒数是（　　） A. B. 2026 C. D. 2. 某无盖分类垃圾桶如图所示，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平面直角坐标系中，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，若，且，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，顶点，分别在直线，上，交直线于点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 估计的值应在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 6. 如图，将大小相同的等边三角形按以下规律进行排列，其中第个图形中有个等边三角形，第个图形中有个等边三角形，第个图形中有个等边三角形，…按照此规律排列下去，则第个图形中等边三角形的个数是（ ） A. B. C. D. 7. 在研究森林木材存量变化时，某林区原有木材总量为立方米．由于自然损耗与合理采伐，木材总量逐年按相同的减少率下降．经过年后，木材总量变为立方米．设年平均减少率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在等腰直角中，，，，以为圆心，为直径作半圆，交的中点，以为圆心，为直径作半圆．连接并延长交半圆于点，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 已知四边形是矩形，点在边上，于点，点为的中点，将沿直线翻折，点恰好与边上的点重合，连接，交于点，．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中，，，，为正整数且，规定．下列说法：①当时，满足条件的所有整式的和为：；②若，则；③当，，时，在，，，，中任取三项，若较小两项之和不大于最大一项，则．其中正确的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. ________． 12. 某种芯片的制程宽度为米，该数值用科学记数法表示为________． 13. 年月日国际数学日来临之际，某校开展数学趣味闯关活动，设置了“逻辑谜题”“几何探秘”“数字谜题”三个闯关项目．每位同学随机选择其中一个项目参加，则小陈和小赵恰好选择同一个项目的概率为________． 14. 若实数，同时满足，，则的值为________． 15. 如图，是直角三角形，，过点作直线的平行线，交的中垂线于点，连接，交的外接圆于点，交于点．连接．若，，则的长度为________，的长度为________． 16. 对于一个四位数，满足各个数位上的数字互不相等且均不为，且满足 （为正整数），则称该数为“对数”．对“对数”，将千位数字与百位数字互换，个位数字与十位数字互换，得到新的四位数，规定： ．若四位数是一个“对数”，则的值为________．若是一个“对数”，且被的各个数位上的数字之和除，余数是，则满足条件的最小值为________． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组，并写出不等式组的最大整数解． 解：解不等式①得________， 解不等式②得________， 所以，原不等式组的解集为________， 所以，原不等式组的最大整数解为________． 18. 在学习了四边形的相关知识后，某中学数学兴趣小组进行了更深入的研究，通过研究，他们有了新的发现．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在矩形中，连接对角线，利用直尺和圆规作的垂直平分线，分别交于点，交于点，交于点，连接，．（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形是菱形． 证明：四边形是矩形， ， ①________， 是的中点， ②________， 又， ③________； ， 又， 四边形是平行四边形． ④________， 平行四边形为菱形； 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 中华诗词是中华优秀传统文化的瑰宝，涵养心灵、浸润文脉．某中学在全校七、八年级学生中开展了“诗词古韵，书香校园”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．）下面给出了部分信息：七年级名学生的竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 八年级名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：，，，，， 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 八年级抽取的学生的竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，该校七、八年级中哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七年级有名学生、八年级有名学生参加了此次知识竞赛，请估计七、八年级参加此次知识竞赛的学生中成绩优秀的学生共有多少人？ 21. 端午佳节是中国的传统节日，吃粽子象征着祈福安康，寄托着人们对美好生活的期盼．某食品厂为迎接端午节，特别生产甜粽和咸粽两款粽子．已知生产盒甜粽和生产盒咸粽的成本相同，生产盒甜粽的成本比生产盒咸粽的成本多元． （1）求每盒甜粽和每盒咸粽的成本； （2）该食品厂线上销售粽子礼盒，每盒咸粽的售价比每盒甜粽的售价少，端午节当天两款粽子礼盒销售额都为元，咸粽比甜粽多售出盒．求每盒咸粽的售价． 22. 如图，四边形是矩形，，，对角线与相交于点，动点从点出发，沿运动，至点处停止，过点作交于点，连接，设的长为，的长为，与的面积之比为． （1）请直接写出，关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出，的函数图象，并分别写出和的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 23. 年重庆市各中学校按照上级文件要求放春假，恰逢清明节，小明和小东相约去烈士陵园扫墓，如图，他们先到达学校大门处汇合，前往烈士陵园处．经勘测，处在处的正北方，观景台位于处的西北方向处，且观景台位于南偏西方向，公交车站位于南偏东方向，车站位于正东方向处，车站位于车站东北方向．（参考数据：，，） （1）求烈士陵园和学校大门的直线距离．（结果保留根号） （2）已知小明准备走小路沿线路去扫墓，在观景台处的休息时间为3分钟，小东沿公路线路前往扫墓，先步行至车站处等车花8分钟，又在车站处公交车停留2分钟，若小明和小东步行的平均速度均为米分，小东坐公交车的平均速度为米分，请通过计算说明哪一位学生先到达烈士陵园．（近似值保留小数点后一位） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，若点为线段上方抛物线上的一点，连接交于点，点为轴上的动点，点为抛物线对称轴上的动点，当取得最大值时，求点的坐标及此时的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点，点为抛物线上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 25. 如图，为等边三角形，过点作垂直于点，点为直线上一动点，连接．交于点． （1）如图，若，点在线段上且 时，求的长； （2）如图，若点在线段上，为的中点，过点作垂直于点，为上一点，满足，求证 ． （3）如图，若，过点作垂直于点，连接，点为中点，点是直线上一动点，将点绕点顺时针旋转到点．连接、，当和 均取最小时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三适应性考试数学试卷 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项： 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将答题卡收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A．B．C．D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 2026的倒数是（　　） A. B. 2026 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查倒数的定义，根据倒数的定义计算即可得到结果. 【详解】∵ 乘积为的两个数互为倒数， 设的倒数为，则 ， ∴ ， 故选D. 2. 某无盖分类垃圾桶如图所示，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】主视图是从前向后看得到的视图，结合选项即可做出判断． 【详解】解：从前向后看得到的视图是梯形． 3. 如图，在平面直角坐标系中，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，若，且，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似图形一定是相似图形，且对应边之比等于位似比（即对应点到位似中心的距离之比），进行求解即可． 【详解】解：∵与是以坐标原点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴． 4. 如图，在中，，顶点，分别在直线，上，交直线于点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行，内错角相等，可知，再根据求出的度数． 【详解】解：， ， ， ． 5. 估计的值应在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】C 【解析】 【分析】先利用二次根式的除法运算法则化简原式，再估算无理数的范围，即可得到结果． 【详解】解： ， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴ 原式的值在和之间． 6. 如图，将大小相同的等边三角形按以下规律进行排列，其中第个图形中有个等边三角形，第个图形中有个等边三角形，第个图形中有个等边三角形，…按照此规律排列下去，则第个图形中等边三角形的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】据前几个图形中等边三角形个数，得到变化规律为：第个图形中有个等边三角形，当时，计算即可求解． 【详解】解：第个图形中有个等边三角形， 第个图形中有个等边三角形， 第个图形中有个等边三角形， 第个图形中有个等边三角形， 当时， 有个等边三角形． 7. 在研究森林木材存量变化时，某林区原有木材总量为立方米．由于自然损耗与合理采伐，木材总量逐年按相同的减少率下降．经过年后，木材总量变为立方米．设年平均减少率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照年平均减少率推导两年后木材总量，即可得到正确方程． 【详解】解：∵原有木材总量为立方米，年平均减少率为， ∴第一年木材总量变为， ∴第二年木材总量在第一年的基础上再次按相同减少率减少，变为， ∵经过年后木材总量为立方米， ∴可列方程为． 8. 如图，在等腰直角中，，，，以为圆心，为直径作半圆，交的中点，以为圆心，为直径作半圆．连接并延长交半圆于点，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得：，，因为点是的中点，点是的中点，可得：，，根据三角形中位线定理可以求出，，根据扇形的面积公式和梯形的面积公式可以求出，，再根据求出结果． 【详解】解：，，， ，， 点是的中点，点是的中点， ，， 是的中位线， ， ，， ， ， ， . 9. 已知四边形是矩形，点在边上，于点，点为的中点，将沿直线翻折，点恰好与边上的点重合，连接，交于点，．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质、勾股定理和解直角三角形得到，进而解题． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵点为的中点， ∴， 由翻折知，，， ∴垂直平分， 即， ∴， 又∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 10. 已知整式，其中，，，，为正整数且，规定．下列说法：①当时，满足条件的所有整式的和为：；②若，则；③当，，时，在，，，，中任取三项，若较小两项之和不大于最大一项，则．其中正确的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】分别验证三个说法，根据题目给定条件逐一计算推导，判断每个说法的正误，最终得到正确说法的个数即可求解． 【详解】解：① ∵ 是递增正整数，若，最小系数和为 ， ∴仅存在和两种情况： 当时，满足的所有整式为：，和为 ； 当时，仅存在一组，整式为； ∴所有整式总和为 ，故①错误； ②∵展开， ∴，不满足 ，不符合题目的前提条件，故②错误； ③∵ ，要求任取三项，较小两项之和不大于最大项， ∴存在组合，验证所有三项组均满足条件，此时 ，故③错误； 三个说法均错误，正确个数为． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算．先代入特殊角的三角函数值，算术平方根，再合并即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 某种芯片的制程宽度为米，该数值用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定的值时，需数出原数左起第一个非零数字前零的个数． 【详解】解：． 13. 年月日国际数学日来临之际，某校开展数学趣味闯关活动，设置了“逻辑谜题”“几何探秘”“数字谜题”三个闯关项目．每位同学随机选择其中一个项目参加，则小陈和小赵恰好选择同一个项目的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】先列表，可得共有9种等可能的结果，小陈和小赵恰好选择同一个项目的结果共有种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 逻辑谜题 几何探秘 数字谜题 逻辑谜题 逻辑谜题，逻辑谜题 逻辑谜题，几何探秘 逻辑谜题，数字谜题 几何探秘 几何探秘，逻辑谜题 几何探秘，几何探秘 几何探秘，数字谜题 数字谜题 数字谜题，逻辑谜题 数字谜题，几何探秘 数字谜题，数字谜题 由表格可得，所有可能的结果总数为9种，小陈和小赵恰好选择同一个项目的结果共有种， ∴． 14. 若实数，同时满足，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先由第一个方程得到关于的表达式，根据绝对值的非负性判断的符号，化简第二个方程中的绝对值，再根据绝对值的性质分情况讨论，舍去不符合题意的解，得到，的值后计算即可． 【详解】解：， 移项得， ， ， ， ， ， 把代入，得 ， 整理得， 分两种情况讨论： ①当时，， 原方程化为，即，等式不成立，舍去该情况； ②当时，， 原方程化为， ， 解得，符合， 此时， ， 故答案为：． 15. 如图，是直角三角形，，过点作直线的平行线，交的中垂线于点，连接，交的外接圆于点，交于点．连接．若，，则的长度为________，的长度为________． 【答案】， 【解析】 【分析】先利用勾股定理、平行线性质与中垂线定义求出、和，再通过相似三角形计算，然后结合同弧或等弧所对的圆周角相等、相似三角形求出，最后根据的长度算出． 【详解】解：如图，过点作，过点作，连接， ， ，， ， ， ，， ， 点位于的垂直平分线上，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， ，即， 解得， ， ． 16. 对于一个四位数，满足各个数位上的数字互不相等且均不为，且满足 （为正整数），则称该数为“对数”．对“对数”，将千位数字与百位数字互换，个位数字与十位数字互换，得到新的四位数，规定： ．若四位数是一个“对数”，则的值为________．若是一个“对数”，且被的各个数位上的数字之和除，余数是，则满足条件的最小值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①先根据“对数”的定义求出中的值，再按的定义计算； ②设，根据“对数”的定义得到与的关系，化简后结合整除条件得到为整数，结合各数位数字互不相等且不为的条件，求出的最小值． 【详解】解：①四位数是“对数”， 由定义得 ， 解得 ， ，互换后得， ． ②设，互换后得， ， ， 是“对数”， ，即， ，可得 ， 的各个数位上数字之和为， 将代入可得， ， 已知被的各个数位上数字之和除，余数是， 即（为整数）， 将和代入可得： ， 将代入可得， ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 提取公因式，得 ， 进一步化简可得， ， 两边同时除以，得 ， 为的整数且互不相等， ， 即， 去分母，得， 解得，， 又因为为整数， 的最小值为， 当时， ， 要使最小， 则， 此时， 要使最小， 则， 不满足各数位上的数字互不相等，舍去． 当时，， 不是整数，舍去． 当时，， 不是整数，舍去． 当时，， 不是整数，舍去． 当时，， 不是整数，舍去． 当时，， 要使最小，则，此时， 要使最小，则， 满足条件的的最小值为． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组，并写出不等式组的最大整数解． 解：解不等式①得________， 解不等式②得________， 所以，原不等式组的解集为________， 所以，原不等式组的最大整数解为________． 【答案】 ；；； 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，再从不等式组的解集中找到最大整数解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为， 原不等式组的最大整数解为． 18. 在学习了四边形的相关知识后，某中学数学兴趣小组进行了更深入的研究，通过研究，他们有了新的发现．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在矩形中，连接对角线，利用直尺和圆规作的垂直平分线，分别交于点，交于点，交于点，连接，．（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形是菱形． 证明：四边形是矩形， ， ①________， 是的中点， ②________， 又， ③________； ， 又， 四边形是平行四边形． ④________， 平行四边形为菱形； 【答案】（1）解：作图如下， （2）①；②；③；④ 【解析】 【分析】（1）以点、为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧分别交于两点，过这两点作直线，即为的垂直平分线；该直线与交于、与交于、与交于，最后连接、即可； （2）由矩形得内错角，结合O是中点得，加对顶角，用证得，先证四边形是平行四边形，再由，证得平行四边形为菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形为菱形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为 【解析】 【详解】解：， 当时，原式． 20. 中华诗词是中华优秀传统文化的瑰宝，涵养心灵、浸润文脉．某中学在全校七、八年级学生中开展了“诗词古韵，书香校园”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．）下面给出了部分信息：七年级名学生的竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 八年级名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：，，，，， 七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 八年级抽取的学生的竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，该校七、八年级中哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七年级有名学生、八年级有名学生参加了此次知识竞赛，请估计七、八年级参加此次知识竞赛的学生中成绩优秀的学生共有多少人？ 【答案】（1）90；；25； （2）解：八年级的成绩更好，理由如下： 七年级和八年级的平均数一样，但八年级的中位数和众数大， 八年级的成绩更好； （3）七、八年级参加此次知识竞赛的学生中成绩优秀的学生共有890人 【解析】 【分析】（1）根据众数的定义可得出的值，求出八年级20名学生的竞赛成绩在D组的人数可得出的值，再根据中位数的定义求出的值，即可解答； （2）根据八年级的中位数和众数均高于七年级，即可得出结论； （3）利用样本估计总体思想求解即可． 【小问1详解】 解：由题中的信息可得，七年级抽取的学生的竞赛成绩众数为90，即； 八年级20名学生的竞赛成绩在A组的有（人），在B组的有（人）， 八年级20名学生的竞赛成绩在D组的有（人）， 八年级20名学生的竞赛成绩在D组的所占百分比为，即； 八年级20名学生的竞赛成绩的中位数是按从小到大顺序排列的第10和第11位的平均数， 八年级20名学生的竞赛成绩的中位数位于C组中，且按从小到大顺序排列的第1和第2位的平均数， 八年级抽取的学生的竞赛成绩中位数为，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计七、八年级参加此次知识竞赛的学生中成绩优秀的学生共有890人． 21. 端午佳节是中国的传统节日，吃粽子象征着祈福安康，寄托着人们对美好生活的期盼．某食品厂为迎接端午节，特别生产甜粽和咸粽两款粽子．已知生产盒甜粽和生产盒咸粽的成本相同，生产盒甜粽的成本比生产盒咸粽的成本多元． （1）求每盒甜粽和每盒咸粽的成本； （2）该食品厂线上销售粽子礼盒，每盒咸粽的售价比每盒甜粽的售价少，端午节当天两款粽子礼盒销售额都为元，咸粽比甜粽多售出盒．求每盒咸粽的售价． 【答案】（1） 每盒甜粽的成本为120元，每盒咸粽的成本为100元． （2） 每盒咸粽的售价为135元． 【解析】 【分析】（1）设每盒甜粽的成本为元，每盒咸粽的成本为元，根据题意列出方程组，求解即可； （2）设每盒甜粽的售价为元，则每盒咸粽的售价为元，根据题意列出分式方程，求解即可，注意检验． 【小问1详解】 解：设每盒甜粽的成本为元，每盒咸粽的成本为元， 根据题意得，， 解得， 答：每盒甜粽的成本为120元，每盒咸粽的成本为100元． 【小问2详解】 解：设每盒甜粽的售价为元，则每盒咸粽的售价为元， 根据题意得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 每盒咸粽的售价为：（元）， 答：每盒咸粽的售价为135元． 22. 如图，四边形是矩形，，，对角线与相交于点，动点从点出发，沿运动，至点处停止，过点作交于点，连接，设的长为，的长为，与的面积之比为． （1）请直接写出，关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出，的函数图象，并分别写出和的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 【答案】（1）；； （2）解：函数图像如下： 的性质为当时，随x的增大而减小；当时，随x的增大而增大； 的性质为在范围内，随x的增大而减小； （3） 【解析】 【分析】（1）由矩形边长算得对角线，对角线交点分线段为；同高三角形面积比等于底之比，得；分和，根据相似三角形的判定和性质，推得的分段一次函数表达式； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再根据函数图象写出对应的函数的性质即可； （3）根据函数图像可得，在范围内联立与，解方程舍去负根，得交点横坐标，结合函数图像的高低关系，即可得到当时的取值范围． 【小问1详解】 解：在矩形中，，，， ∴，， 由图可得，与同高（以B为顶点，底边在上）， ∴， ∵，， ∴； ∵矩形对角线、交于中点O， ∴， 当时，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得； 当时，∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得， 综上所述，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图象可得，在范围内时，， ∴联立得， 解得或， ∴由函数图象可得，当时，． 23. 年重庆市各中学校按照上级文件要求放春假，恰逢清明节，小明和小东相约去烈士陵园扫墓，如图，他们先到达学校大门处汇合，前往烈士陵园处．经勘测，处在处的正北方，观景台位于处的西北方向处，且观景台位于南偏西方向，公交车站位于南偏东方向，车站位于正东方向处，车站位于车站东北方向．（参考数据：，，） （1）求烈士陵园和学校大门的直线距离．（结果保留根号） （2）已知小明准备走小路沿线路去扫墓，在观景台处的休息时间为3分钟，小东沿公路线路前往扫墓，先步行至车站处等车花8分钟，又在车站处公交车停留2分钟，若小明和小东步行的平均速度均为米分，小东坐公交车的平均速度为米分，请通过计算说明哪一位学生先到达烈士陵园．（近似值保留小数点后一位） 【答案】（1）烈士陵园和学校大门的直线距离为； （2）解：由题意得，小明的总路程为， 在中，， ∴， ∴， ∴步行时间为（分钟）， ∴小明花费的总时间为（分钟）； 由题意得，小东的路线为， 过点D作，交的延长线于H，作于G，如图， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵“D在E的东北方向”， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设， 则，， ∴， ∴， ∵“D在B南偏东方向”， ∴． ∴， 在上取点N，连接，使，如图， 则， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 将、代入， 得 ， 代入近似值，，， 得 解得， 从A到E时，所花时间为（分钟），等车8分钟； 从E到D时，， ∴所花时间为（分钟）； 从D到B时，， ∴所花时间为（分钟），车站D停留2分钟； ∴总时间为（分钟）， ∵小明总时间为分钟， ∴， ∴小东先到达烈士陵园． 【解析】 【分析】（1）过点作，由在西北方向得，结合，用三角函数得；再由在南偏西得，算得，进而即可求解； （2）小明总路程为，步行时间加休息3分钟，总时间约分钟；小东路线，作垂线构造直角三角形，结合方位角的特殊角算各段路程，步行、乘车时间加停留共约分钟，则小东先到达烈士陵园． 【小问1详解】 解：过点C作于点F，如图， ∵“观景台C位于A处的西北方向”， ∴， ∵， ∴， ∴；， ∵“观景台C位于B南偏西方向”， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，若点为线段上方抛物线上的一点，连接交于点，点为轴上的动点，点为抛物线对称轴上的动点，当取得最大值时，求点的坐标及此时的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点，点为抛物线上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1）； （2）点的坐标为，的最小值为； （3）所有符合条件的点的坐标为； 解：由题意得，，且， ∴为等腰直角三角形，， 又∵将抛物线沿方向平移个单位长度即为向右平移4个单位长度，向上平移4个单位长度得到抛物线， ∴， ∴点平移后对应点， 连接，过点作轴，垂足为，如图， ∵，， ∴为水平线段， ∵抛物线沿方向平移，且点P的对应点为M， ∴， 又∵轴， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为锐角，即点N在点B的左边， 在中，，， ∴， ∴， 设， 在中，，， ∵， ∴ ， 当N在x轴上方时， 解得或（舍去）， ∴对应点N为， 当N在x轴下方时，如图， 解得或（舍去）， ∴对应点N为， 综上所述，最终所有符合条件的点N坐标为． 【解析】 【分析】（1）将点和代入抛物线，可得，进行求解即可； （2）先求直线，过作轴交于，由得，将转化为二次函数，配方得时比值最大，即；再利用抛物线对称性与轴对称，将转化为两点间距离，求得最小值为； （3）抛物线沿方向平移，即右移4个单位、上移4个单位，得新抛物线解析式；转化角度得，设坐标，分在轴上下两种情况列方程，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点和， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， 又∵， ∴设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 设点， 过作轴，交于点，连接，如图， 则， ∵在上方， ∴的长度为， ∵， ∴， ∴， 将、代入得，， ∵， ∴开口向下，且当时，取得最大值， 将代入，得， ∴点坐标为， ∵抛物线对称轴为，关于对称轴的对称点为， ∴， ∴， 作点关于轴的对称点，连接，如图， 则， ∴， ∴当四点共线时，的最小值为线段的长度， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 略 【点睛】本题核心技巧：线段比最值通过相似转化为二次函数最值，最短路径用对称法转化为两点间线段长，角度相等问题用三角函数列方程；避坑需注意平移的坐标变化，解方程后验证根的合理性． 25. 如图，为等边三角形，过点作垂直于点，点为直线上一动点，连接．交于点． （1）如图，若，点在线段上且 时，求的长； （2）如图，若点在线段上，为的中点，过点作垂直于点，为上一点，满足，求证 ． （3）如图，若，过点作垂直于点，连接，点为中点，点是直线上一动点，将点绕点顺时针旋转到点．连接、，当和 均取最小时，直接写出的面积． 【答案】（1） （2）证明：如图所示，连接，过点作交于点， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形，， ，点是线段的中点， 在中，， ，化简得， 设， ， ， 点是线段的中点，为的中点， ， ， ， ，即， ， ， ， ，即， ，即， 解得， ， ， ， ， 则， 即． （3） 【解析】 【分析】（1）过点作的平行线交的延长线于点，利用平行线分线段成比例求出与的值，从而得到之间的关系，求出答案； （2）作，得到，利用平行线分线段成比例得到之间的关系，连接，利用三角形的中位线的性质得到，利用平行线的性质和三角形的外角性质证得， ，从而得到和解出答案； （3）根据线段是定长，是定角得出点在以为直径的半圆上运动，利用阿氏圆模型构造，将求最小值转化为求最小值；再根据点到直线垂线段最短找到最小值时的位置，位置确定后求面积即可． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作的平行线交的延长线于点， ， 即， ， ， 又， ，即， 是等边三角形，， ， ， 即，等量代换得， 化简得， 是等边三角形，，， ， 在中，， ． 【小问2详解】 解：略 【小问3详解】 解：是等边三角形，， ， ， 垂直于点， ， 点在以为直径的半圆上运动， 如图所示，取的中点为点，连， ， 在中，， 在上找一点，使得，即，解得，连， ， ， ， 又点是的中点， ， 则，化简得， ； 当三点共线，即时，最小； 点是直线上一动点，将点绕点顺时针旋转到点， ， 当时，最小， 此时， ， ， 此时点所在位置如图所示： 过点作交的延长线于点，过点作交于点，过点作交于点，连接； 在中， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 解得， 在中，， 解得， 则， 又， ， 又， ， ，即 解得； ， 又， ， 中上的高与长度相等， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $