暑假作业06 二元一次方程组5知识24题型巩固练+培优练+拓展练（巩固培优）七年级数学新教材苏科版

**基本信息** 以“概念-解法-应用”为逻辑主线，系统整合二元一次方程组的核心知识与解题方法，通过分层题型实现从基础到综合的能力递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|3类|三要素辨析法、解的检验规则|从二元一次方程（组）定义到解的概念，构建“概念-性质-判断”认知链| |解法突破|8类|代入/加减消元法、换元法、整体代入法|以消元思想为核心，从二元到三元逐步深化，渗透化归与转化思想| |应用拓展|13类|建模四步法（设元-找关系-列方程-求解）|覆盖行程、工程等20+实际场景，强化用数学语言表达现实问题的模型意识|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业06 二元一次方程组 【知识点1 二元一次方程的相关概念】 二元一次方程概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 三要素：1）有且只有两个未知数；2）含有未知数的项的次数为1；3)方程两边都是整式. 二元一次方程的解：满足二元一次方程的一对未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【补充说明】 1）一般地，二元一次方程的解有无数个，例如中，由于x、y只是受这个方程的约束，并没有被取某一个特定值而制约，因此，二元一次方程有无数个解． 2）检验一组数是不是某个二元一次方程的解时，可将这组数代入到方程中，若这组数满足该方程(即使方程左右两边相等），就说这组数是该二元一次方程的解，否则，不是该二元一次方程的解， 【知识点2 二元一次方程组的相关概念】 二元一次方程组的概念：只含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的方程组叫作叫做二元一次方程组. 一般形式：，（其中不同时为0，不同时为0）. 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 书写要求：书写方程组的解时，必须用“{”把各个未知数的值连接在一起，即写成的形式. 检验：检验一组数是不是某个二元一次方程组的解时，可将这组数代入方程的每个方程，只有当这组数满足其中的所有的方程时，才能说这组数是此方程组的解. 【知识点3 解二元一次方程组】 解二元一次方程组的一般步骤 1）把二元一次方程组中的一个未知数消掉(代入消元或加减消元)使其变成一元一次方程； 2）解一元一次方程，求出一个未知数的值； 3）将求出的未知数的值代入原方程，求出另一个未知数的值； 4）写出方程组的解. 【注意】 1）消元时要根据方程组的特点决定首先消去哪个未知数； 2）原方程组的每个方程在求解过程中至少要用到一次； 3）将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组的每一个方程中进行检验，看每个方程等号左、右两边的值是否相等，若都相等，则是原方程组的解，只要有一个方程等号左、右两边的值不相等，就不是原方程组的解. 【知识点4 解三元一次方程组】 解三元一次方程组的一般步骤：（基本思路）;化“三元”为“二元”，再化“二元”为“一元”） 1）利用代入(或加减)消元法消去一个未知数，得出一个二元一次方程组； 2）解这个二元一次方程组，求得这两个未知数的值； 3）将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出第三未知数的值，把这三个数用“”联立起来,就是原方程组的解. 【知识点5 二元一次方程组与实际问题】 列二元一次方程组解应用题的一般步骤： (1)弄清题意和题目中的数量关系，用字母x，y表示题目中的两个未知数 (2)找出能够表示应用题全部题意的两个相等关系。 (3)根据两个相等关系，列出代数式，从而列出两个方程并组成方程组. (4)解这个二元一次方程组，求出未知数的值. (5)检查所得结果的正确性及合理性. (6)写出答案. 【扩展说明】 1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； 2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； 3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 【题型1 二元一次方程（组）的识别】 1．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）下列方程是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程，据此进行判断即可． 【详解】解：，含未知数的项的最高次数是2，故选项A不符合题意； 是二元一次方程，故选项B符合题意； ，含未知数的项的最高次数是2，故选项C不符合题意； 不是整式，故选项D不符合题意． 2．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】方程组中两个方程应共含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1，方程的两边都是整式，那么这样的方程组叫做二元一次方程组，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程组中含有三个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意； B、方程组是二元一次方程组，符合题意； C、方程组中方程中含未知数的项的次数不是1，不是二元一次方程组，不符合题意； D、方程组中方程不是整式方程，不是二元一次方程组，不符合题意； 3．（25-26七年级上·北京海淀·期末）在方程组、、、、、中，是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的判断，根据二元一次方程组的定义（含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数的最高次数为1）进行判断即可． 【详解】解：方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，第一个方程是二次方程，不是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； ∴ 是二元一次方程组的有5个， 故选：D． 【题型2 判断是否二元一次方程（组）的解】 4．（25-26七年级下·江苏南通·期中）下面各组数中，是二元一次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，故不是二元一次方程的解； B、，故不是二元一次方程的解； C、，故是二元一次方程的解； D、，故不是二元一次方程的解． 5．（25-26八年级上·山西晋中·期末）适合二元一次方程和的部分值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（   ） 表1 0 1 2 y 2 0 表2 0 1 2 0 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，找到表1中x，y的值与表2中x，y的值相同的值即可求解． 【详解】解：通过表1发现与表2中相同， 所以方程组的解是 故选：C． 6．（25-26八年级上·山西运城·期中）在“班级原创数学题目”比赛中，四个数学小组设计出了四个方程组，其中以为解的二元一次方程组是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解，熟知一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解是解答此题的关键． 将代入各选项的方程组中，验证两个方程是否同时成立． 【详解】对于选项A：当时， ，成立； ，不成立． 故A不符合题意． 对于选项B：当时， ，成立； ，成立． 故B符合题意． 对于选项C：当时， ，不成立． 故C不符合题意． 对于选项D：当时， ，成立； ，不成立． 故D不符合题意． 因此，以为解的方程组是B． 故选B． 【题型3 已知二元一次方程（组）的解求参数】 7．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）若是关于x、y的二元一次方程的解，则a的值为（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】D 【详解】解：将代入方程， 得， 解得 8．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）若 是方程组的解，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】将代入，得：，解方程组即可． 【详解】解：将代入， 得：， 解得， ∴， 9．（22-23七年级下·陕西安康·期末）关于x、y的方程组的解为，则，的值分别为（   ） A．9， B．9，1 C．5，1 D．7， 【答案】D 【分析】本题考查了利用二元一次方程组的解求参数，掌握二元一次方程的解法是解题关键．将代入，解得，再求出的值，即可得到答案． 【详解】解：关于x、y的方程组的解为， 将代入，解得， 则， 则，的值分别为7，， 故选：D． 【题型4 选用合适的方法解二元一次方程组】 10．（25-26七年级下·山东聊城·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解： 将①代入②，得 将代入①，得 ∴方程组的解为 （2）解： ①两边同乘12，得 ②展开并化简，得 ，得 ，得 ，得 将代入③，得 ∴方程组的解为 11．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据加减法解二元一次方程组的步骤，逐步计算求解即可； （2）根据加减法解二元一次方程组的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】（1）解： ，得 ， ，得 解得， 将代入②，得 ， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解： ，得 ，得 ，得 ， 解得， 将代入②，得 ， 解得， ∴原方程组的解为． 12．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组的步骤，逐步计算求解即可； （2）把方程整理为，再加减消元法解二元一次方程组的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】（1）解： ，得③， ，得，， 将代入①，得，， ∴原方程组的解为； （2）解：原方程组可化为， ，得 ，得， ，得，， 将代入①，得，， ∴原方程组的解为． 【题型5 解三元一次方程组】 13．（2026七年级下·江苏·专题练习）解方程组：． 【答案】 【详解】解：， 得：， ， ， ③-②得：， ， ， 得：， 解得：， 把代入④得：， 解得：， 把，代入②得：， 解得：， ∴． 14．（2024六年级下·上海·专题练习）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组． 先分别求出，，进而求出，再分别求x、y的值即可． 【详解】解：， 由可知：， 将代入得：， 即， 将、代入得：， 解得：， 将代入得：， 将代入得：， ∴． 15．（2023七年级下·全国·专题练习）解下列方程或方程组：． 【答案】 【分析】方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】解：， ①②得：， 解得：， ②③得：， 解得：， ①③得：， 解得：， 原方程组的解为． 【点睛】此题主要考查了三元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用． 【题型6 二元一次方程组的特殊解法】 16．（25-26七年级下·江苏南通·期中）材料阅读：小明在解方程组时发现，如果把方程组中的，分别看成两个整体，通过换元，可以简化运算．以下是他的解题过程： 令，原方程组化为解得 把代入，，得解得 所以原方程组的解为 (1)学以致用：运用上述方法解方程组 (2)拓展提升：已知关于x，y的方程组的解为请直接写出关于的方程组的解是__________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组，掌握换元法是解题的关键． （1）根据题目描述，利用换元法将复杂方程转化为简答方程即可求解； （2）将方程组进行变形后得，利用换元法和已知解即可求解． 【详解】（1）解：设，， 原方程组可化为，解得， 把代入，得， ， 解得； （2）解：将化简得， ， 设，， 原方程组化为， 由题可知，解为， 将代入得，， 解得． 17．（25-26八年级上·山西晋中·期末）阅读与思考下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务： 整体代入消元法在利用“代入消元法”解完二元一次方程组后，小宣还想到了一种新的解法； 解：把看作整体代入①，得，解得．将代入②，得，所以原方程组的解为． 这种把看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”． 请你利用“整体代入消元法”解方程组． 【答案】 【分析】本题考查用二元一次方程组的特殊解法，先从一个方程中整理出可整体代入的代数式，再将其代入另一个方程，实现消元求解． 【详解】解：整理方程组得： 由②得③． 将③整体代入，得，解得， 将代入③，得， 解得． 所以原方程组的解为． 18．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段检测）两个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；参考他们的讨论，谈谈你的看法． 【答案】见解析 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．先将第二个方程组变形为第一个方程组的格式，设，，第一个方程组即可变形为关于，的方程组，解出，的值；然后把，的值代入，，即可解出、的解集． 【详解】解：可变形为①， 设，， 所以方程组①可变为②， 又因为的解是， 所以方程组②的解是，所以，， 所以，． 故方程组的解是． 19．（25-26七年级下·山东聊城·期中）定义：在解方程组时，我们可以先令，得，再令，得，最后重新组成方程组，这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)用轮换对称解法解方程组． (2)如图，小亮和小莹一起搭积木，小亮所搭的“小塔”高度为，小莹所搭的“小树”高度为，设每块A型积木的高为，每块B型积木的高为，求A、B型积木的高分别是多少厘米？ 【答案】(1)，过程见解析； (2)A、B型积木的高分别是，． 【分析】（1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据题意列方程组，由材料提示方法计算即可． 【详解】（1）解：， ①②得，， ∴③， ①②得，④， ∴③④得，， 解得，， 把代入③得， 故答案为：； （2）解：根据题意，得 ①＋②，得， ． ②①，得， 解方程组得． A、B型积木的高分别是，． 【题型7 同解问题】 20．（25-26八年级上·陕西西安·期末）已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了二元一次方程组，解二元一次方程组，代数式求值，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． （1）根据题意，联立新的方程组，，解方程组即可； （2）把（1）中的解代入联立的方程组，求出、的值，再代入即可求解． 【详解】（1）解：二元一次方程组与方程组有相同的解， 联立方程组得，， 得，，解得， 把代入得，，解得， 这两个方程组相同的解为：； （2）根据题意，把代入方程组， 得， 得，，解得， 把代入得，，解得， 方程组的解为， ． 21．（23-24七年级下·山东济南·阶段检测）若关于x，y的二元一次方程组与有公共的解．求的值． 【答案】4 【分析】本题考查根据方程组的解的情况，求参数的值，以及代数式求值．熟练掌握消元法解方程组，是解题的关键．根据方程有公共解，得到的解，即为方程组与的公共解，进行求解即可，将方程组的解方程组中，求出a，b的值，将代数式转化为，再代值计算即可． 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组与有公共的解， ∴的解即为两个方程组的公共解， 解得：， ∴， 解得：， ∴． 22．（21-22七年级下·广东广州·期中）若关于x、y的方程组的解也是方程的解，求k的值． 【答案】0 【分析】根据关于x、y的方程组的解也是方程x＋y＝1的解，可以得到的解也是2x+y=k的解，从而可以得到k的值． 【详解】方法一： 解：∵关于x、y的方程组的解也是方程x＋y＝1的解， ∴，解得， 将代入，得， 即k的值是0 方法二： 解：依题意得：． ． ∵ ∴． ∴． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解题的关键是明确二元一次方程组的解适合其中的每一个方程． 【题型8 错解问题】 23．（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）小颖在解方程组 时，本应解出，由于看错了系数 ，得到的解为 ．试求 、、 的值． 【答案】，， 【分析】将代入方程组得到，将代入方程得到，进而即可求出a，b，c的值． 【详解】解：将正确的解 代入原方程组得 ， 由可得：， 解得：． 看错得到的解 满足方程， ∴． ∴， 得 ， 把代入②得：， 解得：． ∴，，． 24．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）甲、乙两人解关于x，y的方程组，甲看错方程“”中的a，得到方程组的解为；乙看错方程“”中的b，得到方程组的解为，求的值． 【答案】2 【分析】根据题意可知，甲所得的方程组的解满足方程，乙所得的方程组的解满足方程，分别把甲、乙所得的方程组的解代入方程和方程中求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵甲看错方程“”中的a，得到方程组的解为， ∴满足题中的方程， ， 解得：， ∵乙看错方程“”中的b，得到方程组的解为， ∴满足题中的方程， ， 解得：， ． 25．（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)甲把错看成了什么？乙把错看成了什么？ (2)求出原方程组的正确解． 【答案】(1)甲把错看成了1，乙把错看成了1 (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的错解复原问题，熟练掌握二元一次方程组的解和解二元一次方程组的方法，是解题的关键： （1）分别把两组解代入方程组中，进行求解即可； （2）根据（1）得到正确的方程组，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， 解得：； 故甲把错看成了1； 把代入，得：， 解得：， 故乙把错看成了1； （2）解：由（1）可知，， ∴原方程组为：， 解得：． 【题型9 构造二元一次方程组求解】 26．（23-24七年级下·江苏南通·期中）若无论m取何值，等式恒成立，则的值等于_______． 【答案】1 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意得出关于x，y的二元一次方程组是解答本题的关键．将变形为，然后根据等式恒成立得出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵无论m取何值，等式恒成立， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：1． 27．（2023七年级下·江苏·专题练习）如果和互为相反数，那么_____． 【答案】0 【分析】利用非负数的性质，构建方程组解决问题． 【详解】解：∵和互为相反数， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：0． 【点睛】本题考查二元一次方程组，非负数的性质等知识，解题关键是理解题意，学会用转化的思想解决问题． 28．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）使乘积中不含和项的p，q的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用多项式乘多项式法则展开原式，合并同类项后，令含和项的系数等于0，解方程组即可求出p，q的值． 【详解】解：展开并合并同类项得 ∵乘积中不含和项， ∴ 由第一个方程得， 将代入第二个方程得 ． 解得． ∴． 【题型10 已知二元一次方程组解满足的情况求参数】 29．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知关于，的方程组的解满足以下条件： (1)若，求的值； (2)若为非正数，为负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两式相减得到关于的表达式，再结合求解的值； （2）先解方程组，根据方程的解满足为非正数，为负数，列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：， 得，， ， ， ， ； （2）解：， 得，， ， 将代入得，， ， 为非正数，为负数， ， 解得． 30．（25-26七年级下·江苏苏州·阶段检测）当m为何值时，方程组的解互为相反数？ 【答案】12 【分析】由方程组的解互为相反数得到，即，代入方程组求解即可求出的值． 【详解】由题意得，把代入方程组得， 整理得， 把②代入①，得， 代入①得， ∴时，原方程组的解互为相反数． 31．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）已知关于x，y的方程组 的解满足 ，求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了已知方程组的解求字母参数的值，解一元一次不等式，解题关键是掌握加减消元法． 先利用加减消元法求出方程组的解，代入中，得到关于字母参数的不等式求解即可． 【详解】解：解该方程组得， ∵， ∴， 解得：． 【题型11 与解二元一次方程组有关的新定义问题】 32．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）定义新运算 对于两个数a，b，定义运算“⊙”，满足． 例如：． (1)计算：________；________． 【应用新运算】 (2)①计算：． ②已知a，b满足方程组：，求a，b的值． 【拓展应用】 (3)如图，将边长为a的正方形和边长为b的正方形拼在一起，其中，D、C、G三点在同一直线上，连接、、，若的面积与的面积之和为5，的面积为，则的值为________． 【答案】(1)14； (2)①；②， (3)23 【分析】（1）根据新定义的运算计算即可； （2）①根据新定义的运算计算即可； ②先分别计算和，化简后再根据加减消元法解方程即可； （2）先根据面积条件推导a，b的关系，，根据完全平方公式变形得出，再根据新定义化简后代入求值即可． 【详解】（1）解：； ． （2）解：①； ②∵， 根据题意可得， 化简得， 得， 解得：， 将代入①可得， 解得：； （3）解：根据题意可得面积为，面积为， ∵的面积与的面积之和为5， ∴，即， ∵的面积为， ∴，即， 由完全平方公式：， ∵a，b为正数，故， ， 代入得：原式． 33．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）对任意有理数定义运算如下：，这里是给定的数，等式右边是通常数的加法及乘法运算，如当时，．现已知所定义的新运算满足条件：． (1)求． (2)若，求． (3)若有一个不为零的数，使得对任意有理数，有，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题是新定义题，考查了定义新运算，解方程组．解题关键是根据新定义列出方程组； （1）根据新定义得出，，得出，，代入代数式，进行计算即可求解； （2）根据新定义得出，解方程组，即可求解； （3）由，得，即，得①，由，得②，，得③，解以上方程组成的方程组即可求得、、、的值． 【详解】（1）解：∵， ∴ 由①得，代入②得 ∴ ∴ ∴ （2）依题意得， 由（1）可得，代入③得， 解得： ∴ （3）解：， ， ， 有一个不为零的数使得对任意有理数， 则有①， ，②， ，③， 又，， 解得． ∴ 34．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）在实数范围内定义一种运算★，其运算规则是，如，根据这个规则解决问题： (1) (2)解不等式： (3)小明在解方程发现，无论取何值，都有，使上式成立，求出，的值． 【答案】(1) (2) (3) ， 【分析】（1）根据已知条件中的新定义进行计算即可； （2）根据已知条件中的新定义列出关于的不等式，按照解一元一次不等式的一般步骤解不等式即可； （3）根据新定义把方程化成一般形式，根据无论取何值，都有，使上式成立，列出关于，的方程组，解方程组求出，即可． 【详解】（1）解：． （2）解：∵， ∴，解得． （3）解：∵， ∴， ． ∵无论取何值，都有，使上式成立， ，解得． 【题型12 根据实际问题列二元一次方程组】 35．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）《孙子算经•卷中》有一题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”译文：如果每3人乘坐一辆车，就有2辆车空着；如果每2人乘坐一辆车，就有9人步行．问有多少人？多少辆车？设有x人，有y辆车，根据题意，列出方程组得（　　） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】根据如果每3人乘坐一辆车，就有2辆车空着；如果每2人乘坐一辆车，就有9人步行；列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设有x人，有y辆车， 由题意得：． 36．（25-26七年级下·江苏南通·期中）如图，现有甲、乙两张等宽的长方形纸条，它们的长分别为a，b，若将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，会形成一张长为55的纸条，根据以上条件，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意找出两个等量关系：一是重叠部分的长度相等，即甲长的 等于乙长的 ；二是总长度等于甲的全长加上乙未重叠部分的长度（或甲未重叠部分加乙全长）． 【详解】解：设甲纸条长为，乙纸条长为 甲纸条的与乙纸条的叠合在一起 重叠部分的长度为，也为 叠合后的总长为 55，且总长甲长乙长重叠部分长 ，即 联立两个方程可得方程组： ． 37．（2026七年级下·江苏·专题练习）已知某段旋律由若干四分音符和八分音符构成，其中四分音符的时值为1拍，八分音符的时值为拍．若该段旋律的总拍数为12拍，其中四分音符的个数比八分音符多3．设该段旋律中四分音符的个数为x，八分音符的个数为y，则可列方程组为（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】根据题意提取两个等量关系，一是总拍数为12拍，二是四分音符个数比八分音符多3个，根据等量关系列方程组即可． 【详解】解：设四分音符的个数为x，八分音符的个数为y． 由题意得． 38．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段检测）古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：“耠子耧六十三，百根腿地里钻，两者各几何？”其大意为：耠子和耧共有63个，共有100条腿，问有多少个耠子，多少个耧？（耠子有一条腿，耧有两条腿）设耠子有x个，耧有y个，则可列出关于x，y的二元一次方程组为________． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设耠子有x个，耧有y个，根据耠子和耧共有63个，共有100条腿，再列方程组即可. 【详解】解：设耠子有x个，耧有y个， 根据题意可得： ， 故答案为：． 39．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了大家的喜爱，一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用135米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则需要__________米布料做玩偶A． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据题意可知：生产玩偶A的布的米数生产玩偶B的布的米数总的布的米数，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，然后即可列出相应的二元一次方程组． 【详解】解：设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B， 依题意，得：． 故答案为：． 【题型13 方案问题】 40．（25-26七年级下·山东泰安·期中）2026年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：4辆“晨光”型汽车与3辆“清风”型汽车的进货总成本为160万元；3辆“清风”型汽车比4辆“晨光”型汽车的进价少40万元． (1)求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价； (2)该体验中心计划用400万购进这两款汽车，两种汽车均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 【答案】(1)“晨光”型汽车的进货单价是25万元，“清风”型汽车的进货单价是20万元. (2)方案1：购买“晨光”型汽车12辆，“清风”型汽车5辆；方案2：购买“晨光”型汽车8辆，“清风”型汽车10辆；方案3：购买“晨光”型汽车4辆，“清风”型汽车15辆 【分析】（1）设“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元，根据辆“晨光”型汽车与辆“清风”型汽车的进货总成本为万元；辆“清风”型汽车的进价比辆“晨光”型汽车少万元，列二元一次方程组求解即可； （2）设购买“晨光”型汽车m辆，“清风”型汽车n辆，根据两款汽车总花费为400万，列出二元一次方程，求出二元一次方程的整数解即可． 【详解】（1）解：设“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元， 根据题意得：， 解得：， 答：“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元． （2）解：设购买“晨光”型汽车m辆，“清风”型汽车n辆，根据题意得： ， ∵m、n为正整数， ∴或或， 答：共有3种购买方案，方案1：购买“晨光”型汽车12辆，“清风”型汽车5辆；方案2：购买“晨光”型汽车8辆，“清风”型汽车10辆；方案3：购买“晨光”型汽车4辆，“清风”型汽车15辆 41．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段检测）某校欲购置规格分别为和的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要104元，购买2瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要111元． (1)求甲、乙两种免洗手消毒液的单价． (2)该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将的散装免洗手消毒液全部装入最大容量分别为和的两种空瓶中，两种空瓶均需装，且每瓶均装满，通过计算列出所需两种空瓶数量的购买方案． 【答案】(1)甲种免洗手消毒液的单价为18元，乙种免洗手消毒液的单价为25元． (2)见详解 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元，根据“购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要104元，购买2瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要111元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． （2）设购买a个最大容量的空瓶， b个最大容量的空瓶，根据要分装的免洗手消毒液共，即可得出关于a、b的二元一次方程，结合a、b均为正整数，即可得到各购买方案． 【详解】（1）解：设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元． 依题意得： 解得： 答：甲种免洗手消毒液的单价为18元，乙种免洗手消毒液的单价25元． （2）解：设购买a个最大容量300ml的空瓶， b个最大容量的空瓶． 依题意得： ∴ 又∵a、b均为正整数 ∴ ∴共有3种购买方案 方案1：购买15个最大容量的空瓶，3个最大容量的空瓶． 方案2：购买10个最大容量的空瓶，6个最大容量的空瓶． 方案3：购买5个最大容量的空瓶，9个最大容量的空瓶． 【题型14 行程问题】 42．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）两地相距千米．小丽、小明两人骑行，小丽从地出发到地，小明从地出发到地，两人同时出发，相向而行，小时后相遇，再骑行小时，小丽剩下的路程为小明剩下路程的倍，小丽、小明骑行的平均速度分别是多少？ 【答案】小丽的速度为，小明的速度为 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 设小丽的速度为，小明的速度为，根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设小丽的速度为，小明的速度为， ∵两地相距千米， ∴， 再骑行小时，小丽剩下的路程为，即，小明剩下路程为，即， ∴，即， ∴， 解得，， ∴小丽的速度为，小明的速度为． 43．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段检测）小红和小丽在的环形跑道上跑步，他们于同一个起点同时出发．如果同向跑，那么经过200s两人第一次相遇；如果反向跑，那么经过40s两人第一次相遇．若小红比小丽跑得快，则小红、小丽跑步的平均速度分别是多少？ 【答案】小红的平均速度是，小丽的平均速度是 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设小红的平均速度是，小丽的平均速度是，根据同向跑，那么经过200s两人第一次相遇；反向跑，那么经过40s两人第一次相遇，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设小红的平均速度是，小丽的平均速度是； 根据题意，得， 解得； 答：小红的平均速度是，小丽的平均速度是． 44．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段检测）A地至B地的航线长，一架飞机从A地顺风飞往B地需，它逆风飞行同样的航线需，求飞机无风时的平均速度与风速． 解：设这架飞机无风时的平均速度为，风速为． (1)用含x，y的代数式表示：①顺风速度为____；②逆风速度为____； (2)根据题意，列出方程组解决问题． 【答案】(1)①；②； (2)这架飞机无风时的平均速度为，风速为 【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组的实际应用． （1）根据顺风速度=飞机速度+风速．逆风速度=飞机速度风速，即可解答； （2）根据路程=速度×时间，列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：设这架飞机无风时的平均速度为，风速为， 则风速度为；逆风速度为． 故答案为：，； （2）解：根据题意得：， 解得：． 答：这架飞机无风时的平均速度为，风速为． 【题型15 工程问题】 45．（25-26七年级下·江苏南通·期中）苏通第二过江通道已于近期开工建设，项目建成后将创下“世界最大跨度同类桥梁结构”，“世界最高桥梁索塔”等七项“世界第一”，是推动长三角一体化发展的战略性交通项目．现有甲、乙两车队参与某段项目材料运输，甲车队每天运输材料数目相同，乙车队每天运输材料数目相同，如果甲车队运输3天，乙车队运输4天，共运输材料1200吨；如果甲车队运输2天，乙车队运输1天，共运输材料550吨． (1)求甲、乙两车队每天完成运输材料各是多少吨？ (2)现甲、乙两车队共同运输材料1800吨，每次运输均装满材料，甲车队每天费用3000元，乙车队每天费用2400元，如何分配运输任务使总费用最低？总费用最低是多少？ 【答案】(1)甲、乙两车队每天完成运输材料分别为200吨和150吨． (2)安排甲车队运输9天，不安排乙车队，运输总费用最低，运输总费用最少为27000元． 【分析】（1）设甲、乙两车队每天完成运输材料分别为x和y吨，根据“甲车队运输3天，乙车队运输4天，共运输材料1200吨；如果甲车队运输2天，乙车队运输1天，共运输材料550吨”列二元一次方程组求解即可； （2）设安排甲车队运输m天，乙车队运输n天，运输总费用为w元，易得， 运输总费用为，再分别列举m、n的可能取值，并分别求出运输总费用，然后比较即可解答． 【详解】（1）解：设甲、乙两车队每天完成运输材料分别为x吨和y吨， 根据题意得：，解得：， 答：甲、乙两车队每天完成运输材料分别为200吨和150吨． （2）解：设安排甲车队运输m天，乙车队运输n天，运输总费用为w元， 根据题意，得：，整理得：， 运输总费用为， ∵m、n为自然数， ∴当时，，此时运输总费用为元； 当时，，此时运输总费用为元； 当时，，此时运输总费用为元； 当时，，此时运输总费用为元． 所以安排甲车队运输9天，不安排乙车队，运输总费用最低，运输总费用最少为27000元． 46．（25-26八年级上·河南开封·阶段检测） 某工厂承接了一批加工任务，要求在规定时间内完成．如果每天加工个零件，那么在规定时间内只能完成任务的；如果每天加工个零件，那么可提前天完成任务，且多加工个零件．求规定的时间和这批零件的总数． 【答案】规定的时间为天，这批零件的总数为个 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设规定的时间为天，这批零件的总数为个，根据“如果每天加工个零件，那么在规定时间内只能完成任务的；如果每天加工个零件，那么可提前天完成任务，且多加工个零件”列出方程组，解出即可．解题的关键是正确理解题意，设出未知数，利用等量关系列出方程组． 【详解】解：设规定的时间为天，这批零件的总数为个， 依题意，得： 解得：． 答：规定的时间为天，这批零件的总数为个． 47．（2026七年级下·全国·专题练习）某城市准备对市区内的一段长的河道进行综合治理．该市把这项工程交给了甲、乙两个施工队，计划120天完成．甲、乙两队合做60天后，乙队因另外有任务要离开30天，于是甲队加快施工速度，每天多施工．乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的施工速度不变，乙队每天比原来多施工，结果工程如期完工．那么，甲、乙两队原计划每天各施工多少米？ 【答案】甲队原计划每天施工96米，乙队原计划每天施工64米． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找出等量关系，列二元一次方程组是解题的关键． 假设甲、乙两队原计划每天分别施工x、y米，根据题意120天完成可得方程，后逐步分析实际情况甲前60天与后60天的总工程量，乙前60天与后30天（离开30天）的工程量，总工程量与总时间按原计划未变，故可得另一方程，建立方程组，最终求出x、y的值． 【详解】解：假设甲队原计划每天施工x米，乙队原计划每天施工y米， 原计划120天合作施工， 故可得方程， 实际情况：甲先以原计划施工60天，后甲按照每天施工剩余的60天； 乙先以原计划施工60天，后停工30天，最后按照每天施工剩余的30天； 由此可得方程， 可得方程组， 化简得， 解得， 故甲队原计划每天施工96米，乙队原计划每天施工64米． 【题型16 数字问题】 48．（24-25七年级下·河南周口·期中）有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字的和为8．若把十位数字和个位数字互换位置后，得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数小． (1)原来的两位数为_____，新的两位数为_____．（用含，的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了列代数式和二元一次方程组的应用，正确理解题意，掌握数字的表示方法即可； （1）根据数字的表示方法即可求解； （2）由题意，得即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：原来的两位数为；新的两位数为； 故答案为：； （2）解：由题意，得         解得             答：原来的两位数为 49．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． (1)如图1所示幻方，求x的值； (2)如图2所示幻方，求a，b的值； (3)如图3所示幻方，若m，n为正整数，直接写出一共有多少种填法，并把其中一种幻方填写完整． 【答案】(1) (2) (3)一共有3种填法；填写见解析 【分析】（1）根据题意列出关于x的方程，解方程即可； （2）根据题意列出关于a、b的方程组，解方程组即可； （3）根据题意列出关于m、n的二元一次方程，求出整数解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）解：根据题意得：， 解得：； （3）解：根据题意得：， 即， ∵m，n为正整数， ∴，，， ∴共有3种填法；    【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据表格列出方程或方程组． 【题型17 年龄问题】 50．（2025七年级上·全国·专题练习）在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 【答案】小花岁时将为奶奶贺白寿 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 【详解】解：设为奶奶贺喜寿时，小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁， 根据题意，列出表格如下： 奶奶的年龄岁 小花的年龄岁 妈妈的年龄岁 相等关系 根据表格得到方程组， 解得， 当为奶奶贺白寿时，小花的年龄为． 故小花岁时将为奶奶贺白寿． 51．（21-22八年级上·贵州贵阳·期末）根据对话内容，请你用方程的知识求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁 【分析】设现在哥哥岁，妹妹岁，根据两个孩子的对话，可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁， 根据题意得 解得： 答：现在哥哥10岁，妹妹6岁 52．（21-22七年级下·云南·期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中毕业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁 (2)爸爸是2001年毕业，爷爷是1961年毕业的云附学子 【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可． （2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案． 【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁． ． 解得： 答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁； （2）（年） （年） 小明的爸爸是2001年毕业，爷爷是1961年毕业的云附学子． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键． 【题型18 分配问题】 53．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） 观察发现： 长方形铁片张数 正方形铁片张数 1个竖式无盖铁容器中 4 1 1个横式无盖铁容器中 3 2 (1)如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，则共需要长方形铁片 张，正方形铁片 张； (2)现有长方形铁片155张，正方形铁片70张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒.现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板的裁法有①裁3个长方形铁片；②裁4个正方形铁片；③裁1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？ 【答案】(1)， (2)加工的竖式铁容器有20个，横式铁容器各有25个； (3)最多可加工铁盒19个． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，掌握解二元一次方程的方法是解题的关键． （1）如图得加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2张，即可求解； （2）设加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，根据题意列出方程组求解即可； （3）设做长方形铁片的铁板x张，做正方形铁片的铁板y张，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：由题意得 如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，则共需要长方形铁片张， 正方形铁片张； 故答案为：，； （2）解：设加工的竖式铁容器有m个，横式铁容器有n个，由题意得 ， 解得 故加工的竖式铁容器有20个，横式铁容器各有25个； （3）解：设做长方形铁片的铁板x张，做正方形铁片的铁板y张，由题意得 解得 ∴在这35张铁板中，25张做长方形铁片可做（片）， 9张做正方形铁片可做（片）， 剩1张可裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片， 共可做长方形铁片（片），正方形铁片（片） ∴可做铁盒（个） 答：最多可加工铁盒19个． 54．（23-24七年级下·河北邢台·阶段检测）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图l中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．圈2是靠背与 座垫的尺寸示意图． 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材来加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为240cm，宽为50cm．（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法． 方法一：裁切靠背16张和座垫0张． 方法二：裁切靠背______张和座垫______张． 方法三：裁切靠背______张和座垫______张． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进110张该型号板材，能制作成多少张学生掎？ 任务三 解决实际问题 现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有4张座垫和12张靠背，若将板材采用方法二和方法三裁切，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？ 【答案】任务一：8，3；0，6；任务二：购进110张该型号板材，制作成480张学生椅；任务三：159张 【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程和二元一次方程组． 任务一：设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张，可得：，求出非负整数解即可； 任务二：列式计算得能制作成240张学生椅； 任务三：设用x张板材裁切靠背8张和坐垫3张，用y张板材裁切靠背0张和坐垫6张，可得，解方程组可得答案． 【详解】解：任务一：设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张， ， m，n为非负整数， 或或 故答案为：8，3；0，6； 任务二：∵（张）， ∴购进110张该型号板材，制作成480张学生椅； 任务三：设用x张板材裁切靠背8张和座垫3张，用y张板材裁切靠背0张和座垫6张，， 解得： ∵（张）， ∴需要购买该型号板材159张，用其中86张板材裁切靠背8张和座垫3张，用73张板材裁切靠背0张和座垫6张． 【题型19 销售问题】 55．（25-26七年级下·江苏南通·期中）某校文创社计划参加“校园爱心义卖活动”，特制作出普通版和手绘版两种款式的明信片套装进行义卖．每套普通版的成本比每套手绘版的成本低元，套普通版的成本与套手绘版的成本共元． (1)求每套普通版和每套手绘版明信片的成本价； (2)现决定将每套普通版、手绘版明信片套装的销售单价分别定为元和元．如果销售两种套装的收入共为元，那么总利润最高是多少元？ 【答案】(1)每套普通版明信片的成本价分别为元和每套手绘版明信片的成本价为元； (2)总利润最高是元． 【分析】（1）设每套普通版和每套手绘版明信片的成本价分别为元和元，根据题意列方程组求解即可； （2）设销售普通版和手绘版明信片分别为套和套，列方程，写出所有整数解，比较总利润即可． 【详解】（1）解：设每套普通版和每套手绘版明信片的成本价分别为元和元， 根据题意，得， 解得， ∴每套普通版明信片的成本价分别为元和每套手绘版明信片的成本价为元． （2）解：设销售普通版和手绘版明信片分别为套和套，总利润为元， 根据题意，得， ∵，都是正整数， ∴或或， 当时，总利润是， 当时，总利润是， 当时，总利润是， ∵， ∴总利润最高是元． 56．（2026七年级下·江苏·专题练习）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价． 【答案】篮球的单价为60元，足球的单价为50元 【分析】设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，任取两个条件，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，选①②； 根据题意得：， 解得：． 答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元； 选①③：根据题意得：， 解得：． 答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元； 选②③：根据题意得：， 解得：． 答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元． 57．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段检测）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解，6辆A型汽车、5辆B型汽车的进价共计980万元；3辆A型汽车、7辆B型汽车的进价共计940万元． (1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若端午节搞活动，该公司了解到A、B两种型号汽车均按照原来的六折出售，所以公司计划正好用960万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利0.6万元，销售1辆B型汽车可获利0.4万元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元； (2)共3种购买方案，方案一：购进型车5辆，型车12辆；方案二：购进型车10辆，型车8辆；方案三：购进型车15辆，型车4辆 (3)购进型车15辆，型车4辆获利最大，最大利润是万元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②找准等量关系，正确列出二元一次方程；③利用总利润每辆利润数量求出三种购车方案获得的利润． （1）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据“6辆型汽车、5辆型汽车的进价共计980万元；3辆型汽车、7辆型汽车的进价共计940万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出结论； （3）利用利用总利润每辆利润数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元， 依题意，得：， 解得：． 答：型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元； （2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆， 依题意，得：， 解得：． ，均为正整数， ，， 共3种购买方案，方案一：购进型车5辆，型车12辆；方案二：购进型车10辆，型车8辆；方案三：购进型车15辆，型车4辆. （3）解：方案一获得利润：（万元； 方案二获得利润：（万元； 方案三获得利润：（万元． ， 购进型车15辆，型车4辆获利最大，最大利润是万元． 【题型20 和差倍分问题】 58．（25-26八年级上·广东深圳·期末）某家具厂计划生产一批方桌（一张方桌有1个桌面，4条桌腿），按照设计要求，的木材可做50个桌面或300条桌腿．如果现有的木材． (1)怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材，使桌面、桌腿刚好配套？ (2)这些木材最多能生产多少张方桌？ 【答案】(1)用的木材做桌面，的木材做桌腿 (2)300张 【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意中的配套关系：桌腿的数量是桌面数量的4倍是解题的关键． （1）设有的木材生产桌面，的木材生产桌腿，根据配套关系列二元一次方程组解答． （2）在（1）问的分配方案下，桌面和桌腿恰好配套，木材得到最充分的利用，此时生产的方桌数量即为最多，然后根据的木材可做50个桌面求解即可． 【详解】（1）设有的木材生产桌面，的木材生产桌腿， 根据题意，得， 解得 故用的木材做桌面，的木材做桌腿． （2）由（1）可知，当用的木材生产桌面时，生产的桌面和桌腿刚好配套，此时能生产的方桌数量最多。 最多能生产的方桌为（张）， 所以这些木材最多可做方桌300张． 59．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）端午节到来之际，某超市准备购进粽子和咸鸭蛋进行销售，若购进500个粽子和200个咸鸭蛋共需2400元，已知一个粽子的进价比一个咸鸭蛋的进价多2元． (1)求每个粽子和每个咸鸭蛋的进价分别为多少元？ (2)若每个粽子的售价为6元，每个咸鸭蛋的售价为3元．超市打算购进粽子和咸鸭蛋共500个，全部售完后利润不低于1000元，求超市至少购进多少个粽子？ 【答案】(1)粽子4元，咸鸭蛋2元 (2)500个 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设每个粽子的进价是x元，每个咸鸭蛋的进价是y元，根据购进500个粽子和200个咸鸭蛋共需2400元，一个粽子的进价比一个咸鸭蛋的进价多2元列出方程组求解即可； （2）设超市购进m个粽子，则购进咸鸭蛋共个，分别表示出粽子和咸鸭蛋的利润，再根据总利润不低于1000元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每个粽子的进价是x元，每个咸鸭蛋的进价是y元， 依题意，得 ， 解得：， 答：每个粽子的进价是4元，每个咸鸭蛋的进价是2元； （2）解：设超市购进m个粽子，则购进咸鸭蛋共个， 依题意，得． 解得：， 答：超市至少购进500个粽子． 60．（22-23七年级上·江苏南京·期末）某班共有40名学生．在该班举行的元旦联欢会上．主持人将一堆糖果分给全班每位同学，如果男生每人分3颗，女生每人分2颗，那么少2颗；如果女生每人分3颗，男生每人分2颗，那么多2颗．这个班男生和女生各有多少名？ 【答案】这个班男生有22名，女生有18名， 【分析】设这个班男生有x名，女生有y名，由共有40名学生得到方程，根据分糖的情况得到方程，由此建立方程组求解即可． 【详解】解：设这个班男生有x名，女生有y名， 由题意得，， 解得， ∴这个班男生有22名，女生有18名， 答：这个班男生有22名，女生有18名． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程组是解题的关键． 【题型21 几何问题】 61．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图） (1)求图中9个形状、大小都相同的小长方形的长与宽； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)小长方形的长为10，宽为3 (2)82 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用； （1）设小长方形的长为，宽为，结合图形性质建立方程组解题即可； （2）利用割补法可得阴影部分的面积等于大的长方形面积减去9个形状、大小都相同的小长方形面积，进一步列式计算即可. 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得，解得， 答：小长方形的长为10，宽为3. （2）解：． 62．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，，求x，y的值． 【答案】的值为70，的值为40 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质、二元一次方程组的应用，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据平行线的性质可得，然后利用加减消元法解二元一次方程组即可得． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 联立， 整理得：， 解得， 所以的值为70，的值为40． 63．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段检测）已知等腰三角形的周长为，一腰上的中线把等腰三角形分成周长之差为的两个三角形，求等腰三角形的腰长． 【答案】或 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、等腰三角形的性质以及三角形中线的性质，设腰长为，底边长为．根据一腰上的中线把三角形分成两个三角形，其周长之差是，可得两种情况，①；②，分别与组成方程组，求解即可． 【详解】解：设腰长为，底边长为． ①若腰比底边长，根据题意得，解得； ②若底边比腰长，根据题意得，解得． 故这个三角形的腰长是或． 【题型22 图表问题】 64．（25-26七年级下·江苏南通·期中）如图，的格子内填写了一些数和代数式，各行上的三个数之和相等，各列上的三个数之和相等． 3 2 (1)求和的值（用含，的代数式表示）； (2)试用等式表示，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列方程求解即可； （2）用，表示格子左下角的代数式，即可得，之间的数量关系． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得． （2）解：根据题意， 格子左下角的代数式可以表示为： 格子左下角的代数式还可以表示为： ， ∴， ∴． 65．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）为迎接新年，淮安市文通中学举办了迎新年猜灯谜活动．共设20道谜题，各题分值相同，李华和张飞报名参加了活动，对每个谜题都进行了作答，下表记录了他们的得分情况． 参加者 答对题数 答错题数 得分 李华 20 0 100 张飞 14 6 64 (1)请你根据表格数据求出答对一道题得几分，答错一道题扣几分？ (2)参加活动的刘羽同学说他得了76分，请问他答对了几道题？答错了几道题？ (3)晓飞同学说他可以得79分，你认为可能吗？请说明理由． 【答案】(1)答对一道题得5分，答错一道题扣1分 (2)刘羽同学答对了16道题，答错了4道题 (3)不可能，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次方程的实际应用，准确理解题意建立方程组或方程是解题的关键． （1）设答对一道题得x分，答错一道题扣y分，建立方程组，解方程组即可； （2）设刘羽同学答对了a道题，答错了道题，根据题意建立方程，解方程即可； （3）假设晓飞同学可以得79分，且他答对了b道题，则晓飞同学答错了道题，根据题意建立方程，解得不符题意，故假设不成立，晓飞同学不可能得79分． 【详解】（1）解：设答对一道题得x分，答错一道题扣y分， 由题意得， 由①得， 将③代入②得， 解得， ∴原方程组的解为， 答：答对一道题得5分，答错一道题扣1分． （2）解：设刘羽同学答对了a道题，答错了道题， 由题意得， 化简得， 解得， ∴ 答：刘羽同学答对了16道题，答错了4道题． （3）解：假设晓飞同学可以得79分，且他答对了b道题，则晓飞同学答错了道题， 由题意得， 化简得， 解得， ∵b应为整数， ∴不符题意， ∴假设不成立，即晓飞同学不可能得79分． 66．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）综合与实践：七年级某学习小组围绕“学校膳食结构”开展主题学习活动．他们发现学校为学生提供的每份早餐包含一份的蔬菜，一份牛肉和一份牛奶．（食物的营养成分见表一）学校每天为学生提供的午餐有两种套餐（见表二），为了平衡膳食，该小组建议学生控制主食和肉类的摄入量，每周每位学生午餐主食的摄入量不超过，午餐肉类摄入量不超过．（一周按五天计算） (1)若一份早餐包含一份的蔬菜，一份的牛肉和一份的牛奶，则该份早餐中蛋白质总含量为_________； (2)学校为学生提供的每份早餐的总质量为，每份早餐的蛋白质总含量占早餐总质量的，则每份早餐中牛肉和牛奶食品各多少克； (3)为平衡膳食，每个学生每周午餐可以选择A，B套餐各几天？ 表一：食物的营养成分表 食物 蛋白质 碳水化合物 脂肪 蔬菜 牛肉 牛奶 表二：学校每天提供的，两种套餐 套餐 主食 肉类 其他 A B 【答案】(1) (2)每份早餐中牛肉为100克，牛奶食品为250克 (3)选择A套餐2天，B套餐3天，或选择A套餐3天，B套餐2天，或选择A套餐4天，B套餐1天 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、不等式组的应用，理解题意正确列出方程组和不等式组是解题的关键． （1）分别用蔬菜、牛肉、牛奶的质量乘以对应的蛋白质含量占比，再相加即可求解； （2）设每份早餐中牛肉为克，牛奶食品为克，根据题意列出方程组，求出的值即可解答； （3）设每个学生每周午餐可以选择A套餐天，则选择B套餐天，根据题意列出不等式组，求出的范围，结合是整数，即可解答． 【详解】（1）解：， ∴该份早餐中蛋白质总含量为； 故答案为：； （2）解：设每份早餐中牛肉为克，牛奶食品为克， 由题意得，， 解得：， 答：每份早餐中牛肉为100克，牛奶食品为250克； （3）解：设每个学生每周午餐可以选择A套餐天，则选择B套餐天， 由题意得，， 解得：， ∵是整数， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， ∴每个学生每周午餐可以选择A套餐2天，B套餐3天，或选择A套餐3天，B套餐2天，或选择A套餐4天，B套餐1天． 【题型23 古代问题】 67．（24-25七年级下·江苏常州·期末）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”请你用二元一次方程组解决该问题． 【答案】绳长尺，竿长尺 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“若用绳去量竿，则绳比竿长尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短尺”，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设绳长尺，竿长尺， 根据题意得： 解得： 答：绳长尺，竿长尺． 68．（2024·江苏徐州·中考真题）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题． 【答案】甲、乙原来各有38枚、18枚钱币 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解决本题的关键． 设甲有钱x枚，乙有钱y枚，根据“甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等”列出方程组，求解即可． 【详解】解：设甲有钱x枚，乙有钱y枚，由题意，得 ， 解这个方程组，得． 答：甲、乙原来各有38枚、18枚钱币． 69．（2024七年级下·江苏·专题练习）《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的著名的《算经十书》之一，共三卷，上卷叙述算筹记数的制度和乘除法则，中卷举例说明筹算分数法和开平方法，都是了解中国古代筹算的重要资料．下卷收集了一些算术难题，“鸡兔同笼”问题是其中之一．原题如下：令有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问雉、兔各几何？ 【答案】鸡有23只，兔有12只 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用；根据总头数和总脚数得到两个等量关系是解决本题的关键． 设鸡有只，兔有只，根据：鸡的头数兔的头数；鸡的头数兔的头数，列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案． 【详解】解：设鸡有只，兔有只， 由题意得：， 解得． 答：鸡有23只，兔有12只． 【题型24 其它问题】 70．（25-26七年级下·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，若点的坐标、均为整数，则称点为格点，若一个多边形的面积记为，其内部的格点数记为，边界上的格点数记为，例如图中是格点三角形，对应的，，． (1)直接写出图中格点四边形对应的 ， ， ． (2)已知格点多边形的面积可表示为，其中，为常数，若某格点多边形对应的，，求的值． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）根据网格得出面积和格点数； （2）根据题意列出方程组，求解出，的值后，再代入求值即可． 【详解】（1）解：由图可知，四边形对应的，，； （2）解：由题意可知，对应的，，； 由（1）可知，四边形对应的，，； ∴， 解得， ∴， 当，时，． 71．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图是2026年1月1日起南京市买卖个人住宅时所需缴纳的费用种类及其最新政策，包括增值税、个人所得税、契税三大块．契税是买家所需缴纳的税种，增值税、个人所得税是卖家所交税种． 南京市个人出售住宅税费政策（2026年1月1日起） 税种 房屋年限 计算方法 2026年1月1日前 2026年1月1日后 增值税 不满两年 满两年 免征 免征 个人所得税 与年限无关 差额：（核税价上一手发票价） 不变 全额：核税价 契税 首套 ：核税价，：核税价 不变 二套 ：核税价，：核税价 三套及以上 无论面积大小：核税价 请仔细阅读上表后解答下列问题： (1)小明在2026年1月5日出售一套不满两年的住房，建筑面积为．若选择“差额”方式缴纳个人所得税（上一手发票价为100万元）且房屋的核税价为万元，直接用含代数式表示小明需缴纳的增值税与个人所得税的总金额，买家（首套房）所需缴纳的契税． (2)小华出售不满两年的住房（面积为），核税价为万元．已知在2026年1月1日前出售，其增值税比在2026年1月1日后出售多万元，请求出本次交易中买卖双方所需缴纳总税费．（注：本次交易于2026年1月29日发生，个人所得税按全额缴纳、买家为首套房） (3)小王有两套住房（均不满2年），核税价分别为万元和万元（，且），由于近几年房地产遇冷，两套住房核税价均小于购入时发票价，故免征个人所得税．若其中一套在2026年1月1日前交易，另一套在2026年1月1日后交易，两套房交易后小王购买了一套核税价为1200万元的新房（面积），经测算，在新政策影响下此轮置换过程中，不同的卖房顺序及置换新房的交税总额相差4.775万，请求出本次置换交税总额的最小值． 【答案】(1)小明需缴纳的增值税与个人所得税总金额为万元；买家需缴纳的契税为：当时，契税为万元，当时，契税为万元 (2)买卖双方所需缴纳总税费为万元 (3)本次置换交税总额的最小值为万元 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意是解此题的关键． （1）先分别求出小明需缴纳的增值税的金额和需缴纳的个人所得税的金额，再求和即可得出小明需缴纳的增值税与个人所得税的总金额，按照首套房契税的缴纳方式计算即可得出结果； （2）根据题意列出一元一次方程，解方程得出核税价为万元，再分别求出增值税、个人所得税、契税，相加即可得出结果； （3）根据题意求出，，再分两种情况：在年之前，在年之后；在年之后，在年之前；分别求出总税款，比较即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得： 小明需缴纳的增值税的金额为：（万元）， 小明需缴纳的个人所得税的金额为：（万元）， ∴小明需缴纳的增值税与个人所得税的总金额为万元； 买家（首套房）所需缴纳的契税：当时，契税为万元，当时，契税为万元； （2）解：由题意可得：， 解得， 故增值税（2026年后）为（万元）， 个人所得税为：（万元）， 契税为：（万元）， 总税款为：（万元）， 故买卖双方所需缴纳总税费为万元； （3）解：由题意可得， ∴， ∵结合题意可得， ∴，， 情况一：在年之前，在年之后， 卖方增值税为：（万元）， 总税款为（万元）； 情况二：在年之后，在年之前， 卖方增值税为：（万元）， 总税款为（万元）； 本次置换交税总额的最小值为万元． 72．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段检测）每年5月20日是中国学生营养日．某营养餐公司为学生提供的350克早餐食品中，蛋白质总含量为．早餐包括一份牛奶，一份谷物食品和一个鸡蛋．一个鸡蛋的质量约为，蛋白质含量占；谷物食品和牛奶的部分营养成分如表所示： 每100克谷物食品 每100克牛奶 蛋白质 13.0克 蛋白质 3.0克 脂肪 32.4克 脂肪 3.6克 碳水化合物 50.8克 碳水化合物 4.5克 (1)设该份早餐中谷物食品为x克，牛奶为y克，请写出谷物食品中所含的蛋白质为_______克，牛奶中所含的蛋白质为_______克．（用含有x、y的代数式表示） (2)求出x、y的值； (3)该公司为学校提供的营养午餐有A、B两种套餐（每天只提供一种）如下表，为了膳食平衡，建议学生适当的多摄入蔬果量．如果在一周里，学生午餐蔬果摄入总量不少于1060克，那么该校在一周里可以选择A、B套餐各几天？写出所有的方案，（说明：一周按5天计算） 套餐 主食（克） 肉类（克） 蔬果（克） A 150 70 200 B 130 75 220 【答案】(1) (2)的值为的值为100 (3)方案一：A套餐1天，套餐4天；方案二：A套餐2天，B套餐3天；方案三：A套餐0天，B套餐5天 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、列代数式以及一元一次不等式的应用，找准数量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式是解题的关键． （1）根据统计表列出算式即可求解； （2）根据等量关系：蛋白质总含量为克早餐食品，列出方程组，求解即可； （3）设该学校一周里共有天选择套餐，则有天选择套餐，根据“在一周里，学生午餐蔬果摄入总量不少于1060克”，列出一元一次不等式，求出正整数解，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意可知，谷物食品中所含的蛋白质为克，牛奶中所含的蛋白质为克， 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 解得：， 答：的值为的值为100； （3）解：设该学校一周里共有天选择套餐，则有天选择套餐， 根据题意得：， 解得：， ∵为非负整数， ∴共有三种方案： 方案一：A套餐1天，B套餐4天； 方案二：套餐2天，套餐3天； 方案三：A套餐0天，B套餐5天． 1．（2026七年级下·江苏·专题练习）小明计算一道整式乘法题：，由于小明将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值； (2)请你计算出这道整式乘法题的正确答案． 【答案】(1)m=2，n=3 (2)-14x16y11 【分析】（1）由题意得，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于m，n的方程，解方程即可； （2）将m，n的值代入原式中计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， 即， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴原式． 2．（25-26七年级下·全国·周测）已知方程组是关于，的二元一次方程组，求的值． 【答案】 【分析】要使方程组是二元一次方程组，需要满足两个条件：①方程 中，未知数的次数必须为； ②方程中，未知数的系数不能为，否则方程组就只含有一个未知数，不符合二元一次方程组的定义． 【详解】解：方程组是关于，的二元一次方程组， 且， 由解得或， 又，即． ． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义和绝对值方程的解法，解题关键是牢记二元一次方程组的定义：方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是，并且都是整式方程．特别要注意第二个方程中未知数的系数不能为零． 3．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知关于x、y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)不管取任何值，方程总有一个固定解，请求出这个解． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）将变形为，分别令求得的值，即可求解； （2）先通过方程组解出、的值，再将、代入代数式求出即可； （3）将原式进行变换后即可求出这个固定解． 【详解】（1）解：， ∴， 当时，， 当时，， ∴的所有正整数解为， ； （2）解：由和得， ， 解得，代入得， ， 解得； （3）解：整理得， ， 根据题意得， 解得， 所以，这个固定不变的解为． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为．若开始记录时是上午8:00，求当箭尺读数为时的时间． 【答案】当箭尺读数为时的时间是21:00． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是通过设定初始读数和上升速度两个未知数，建立二元一次方程组，求解得到函数关系，再利用该关系解决时间计算问题。 设箭尺每小时上升，开始高度为，根据供水小时和供水小时箭尺的高度列方程组求解即可． 【详解】解：设箭尺每小时上升，开始高度为， 根据题意，得， 得：解得：． 将代入①得：． 故方程组的解为 设当箭尺读数为时，时间为， 则，解得：． 故当箭尺读数为时的时间是． 5．（25-26七年级下·山东潍坊·期中）某初中学校餐厅为了满足学生身体成长的需要，准备了两种营养食品：高钙牛奶和豆谷营养包．每一份食品的营养成分如表所示： 营养成分 1份高钙牛奶 1份豆谷营养包 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钙 某天，小亮从这两种食品中摄入的蛋白质和碳水化合物恰好都是． (1)小亮这天食用了高钙牛奶和豆谷营养包各多少份？ (2)已知初中生每日脂肪摄入量的标准为．若小亮这天已经从其他食品中摄入了脂肪，他再食用完这两种食品后，脂肪摄入量是否超标？请说明理由． 【答案】(1)小亮这天食用了高钙牛奶1份，豆谷营养包2份 (2)脂肪摄入量没有超标，理由见详解 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设小亮这天食用了高钙牛奶x份，豆谷营养包y份，根据“小亮从这两种食品中摄入的蛋白质和碳水化合物恰好都是”列方程组求解即可； （2）由（1）可知小亮食用了高钙牛奶1份，豆谷营养包2份，根据表格求出摄入脂肪的量，再加上从其它食品中摄入脂肪，比较即可． 【详解】（1）解：设小亮这天食用了高钙牛奶x份，豆谷营养包y份， 由题意，列方程组得， 解得， 即小亮这天食用了高钙牛奶1份，豆谷营养包2份； （2）解：小亮这天的脂肪摄入量没有超标， 理由：由（1）可知小亮食用了高钙牛奶1份，豆谷营养包2份， 依题意，脂肪摄入量：， ∵初中生每日脂肪摄入量的标准为，而， ∴小亮这天的脂肪摄入量没有超标． 1．（25-26八年级上·江西鹰潭·阶段检测）对于有理数x，y定义新运算：，其中a，b是常数．已知． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得； （2）依题意得， ， ，即， 解得． 2．（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）定义：若点的坐标满足，则称点为“好点”． (1)判断点 、是否为“好点”； (2)若点和点都是“好点”，求、的值； (3)已知关于，的方程组的解对应的点恰好是“好点”，且，为正整数，方程组的解，也是整数，求，的一组值． 【答案】(1)点 、是“好点” (2)， (3)（答案不唯一） 【分析】本题考查了新定义问题，解题关键是准确理解新定义，熟练运用二元一次方程组求解． （1）根据“好点”的定义代入求解即可； （2）根据“好点”的定义判定即可； （3）先解方程组，再根据，为正整数，方程组的解，也是整数，求解即可． 【详解】（1）解：：，是“好点”； ：，是“好点”． （2）解：∵点和点都是“好点”， ∴，；，． （3）解：， 由得，代入， 得：，， ∴， 因为，为整数，且为正整数， 所以必须整除，且为整数． 当：，得； 当：，； 当：， ； 当： ，； 当：，；等等． 任选一组即可，例如 ，此时 ，，符合整数条件． 答：（答案不唯一）． 3．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）用若干块如图所示的正方形或长方形纸片拼成图（1）和图（2）． (1)如图1，若，，则 ， ． (2)如图1，若长方形面积为56，其中阴影部分的面积为26，，求的值． (3)如图2，若的长度为，的长度为n． ①当 ， 时，a，b的值有无数组； ②当 ， 时，a，b的值不存在． 【答案】(1)， (2)1 (3)①，； ②， 【分析】（1）根据图1列出方程组，解方程组即可； （2）根据阴影部分的面积和长方形面积分别列出方程，求出和的值，利用求解即可； （3）根据图2表示出、，根据二元一次方程组解的情况：当两个方程对应系数成比例且常数项成比例时，方程组有无数解；当系数成比例但常数项不成比例时，方程组无解，据此列关系求解． 【详解】（1）解：由图1可知：、， 则， 解得：； （2）解：由图1可知：、， 阴影部分的面积为：，即， 长方形面积为：， 整理得：， 解得：， 则， 即； （3）解：由图2得：、， ①若a，b有无数组解，则和两个方程表示同一方程， 由得：， 则， 解得：； ②由①知，， 若a，b的值不存在， 则， 解得：． 4．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）某工厂将一批纸板按照甲，乙两种方式进行加工，再用加工出来的长方形A板块和正方形B板块制作成如图所示的底面为正方形的长方体有盖礼盒，设有块纸板按甲方式进行加工，有y块纸板按乙方式进行加工； (1)补全表格 块按甲方式加工的纸板 块按乙方式加工的纸板 板块 __________ 板块 __________ (2)若现共有纸板14块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，能做多少个礼盒？ (3)若现共有纸板块，还有之前剩余的板块4块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，则的最小值为__________．（请直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)使加工出的A，B板块恰好用完，能做个礼盒 (3)9 【分析】本题考查认识立体图形，列代数式以及求代数式的值，理解“裁剪方式与A，B板块恰好用完”之间的关系是解决问题的关键． （1）根据甲、乙两种加工方式所裁剪的A版块、B版块的数量进行计算即可； （2）设未知数，列方程组求解即可； （3）利用二元一次方程组的正整数解进行解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 块按甲方式加工的纸板 块按乙方式加工的纸板 板块 板块 （2）解：由题意可得， ， 解得：， 即有8块采用甲方式进行加工，6块采用乙方式加工，使加工出的A，B板块恰好用完， 此时，礼盒的个数为（个）； （3）解：由题意得，， 解得， ∵x、a都是正整数， 当时，，解得，不是整数，不合题意， 当时，，解得，不是整数，不合题意， 当时，，解得，不是整数，不合题意， 当时，，解得，是整数，符合题意， ∵x、a都是正整数， ∴a的最小整数值为9，此时，A、B分别有32块和16块，这样使礼盒制作完毕后的板块恰好用完． 5．（25-26八年级上·江西吉安·阶段检测）【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 【答案】（1），；（2），；（3）的值为15，的值为14 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，数字规律，解二元一次方程组． （1）根据前3个方程组，找出系数和常数项存在的规律，依此类推，即可得到第4个方程组； （2）根据规律得出第n个方程组和它的解，解方程组检验，即可求解； （3）根据（2）中规律可得，再根据第个方程组第一个方程的系数为，即，即可求解． 【详解】解：（1）第4个方程组为解为． （2）由（1）得：第个方程组为解为． （3）由规律得， 解得． 根据第个方程组第一个方程的系数为，即， 代入，得． 根据第个方程组第二个方程的常数项为，即， 解得． 的值为15，的值为14． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业06 二元一次方程组 【知识点1 二元一次方程的相关概念】 二元一次方程概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 三要素：1）有且只有两个未知数；2）含有未知数的项的次数为1；3)方程两边都是整式. 二元一次方程的解：满足二元一次方程的一对未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【补充说明】 1）一般地，二元一次方程的解有无数个，例如中，由于x、y只是受这个方程的约束，并没有被取某一个特定值而制约，因此，二元一次方程有无数个解． 2）检验一组数是不是某个二元一次方程的解时，可将这组数代入到方程中，若这组数满足该方程(即使方程左右两边相等），就说这组数是该二元一次方程的解，否则，不是该二元一次方程的解， 【知识点2 二元一次方程组的相关概念】 二元一次方程组的概念：只含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的方程组叫作叫做二元一次方程组. 一般形式：，（其中不同时为0，不同时为0）. 二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 书写要求：书写方程组的解时，必须用“{”把各个未知数的值连接在一起，即写成的形式. 检验：检验一组数是不是某个二元一次方程组的解时，可将这组数代入方程的每个方程，只有当这组数满足其中的所有的方程时，才能说这组数是此方程组的解. 【知识点3 解二元一次方程组】 解二元一次方程组的一般步骤 1）把二元一次方程组中的一个未知数消掉(代入消元或加减消元)使其变成一元一次方程； 2）解一元一次方程，求出一个未知数的值； 3）将求出的未知数的值代入原方程，求出另一个未知数的值； 4）写出方程组的解. 【注意】 1）消元时要根据方程组的特点决定首先消去哪个未知数； 2）原方程组的每个方程在求解过程中至少要用到一次； 3）将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组的每一个方程中进行检验，看每个方程等号左、右两边的值是否相等，若都相等，则是原方程组的解，只要有一个方程等号左、右两边的值不相等，就不是原方程组的解. 【知识点4 解三元一次方程组】 解三元一次方程组的一般步骤：（基本思路）;化“三元”为“二元”，再化“二元”为“一元”） 1）利用代入(或加减)消元法消去一个未知数，得出一个二元一次方程组； 2）解这个二元一次方程组，求得这两个未知数的值； 3）将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出第三未知数的值，把这三个数用“”联立起来,就是原方程组的解. 【知识点5 二元一次方程组与实际问题】 列二元一次方程组解应用题的一般步骤： (1)弄清题意和题目中的数量关系，用字母x，y表示题目中的两个未知数 (2)找出能够表示应用题全部题意的两个相等关系。 (3)根据两个相等关系，列出代数式，从而列出两个方程并组成方程组. (4)解这个二元一次方程组，求出未知数的值. (5)检查所得结果的正确性及合理性. (6)写出答案. 【扩展说明】 1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； 2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； 3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 【题型1 二元一次方程（组）的识别】 1．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）下列方程是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A．B．C． D． 3．（25-26七年级上·北京海淀·期末）在方程组、、、、、中，是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型2 判断是否二元一次方程（组）的解】 4．（25-26七年级下·江苏南通·期中）下面各组数中，是二元一次方程的解是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·山西晋中·期末）适合二元一次方程和的部分值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（   ） 表1 0 1 2 y 2 0 表2 0 1 2 0 A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·山西运城·期中）在“班级原创数学题目”比赛中，四个数学小组设计出了四个方程组，其中以为解的二元一次方程组是（    ） A．B．C． D． 【题型3 已知二元一次方程（组）的解求参数】 7．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）若是关于x、y的二元一次方程的解，则a的值为（   ） A． B． C．3 D．5 8．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）若 是方程组的解，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（22-23七年级下·陕西安康·期末）关于x、y的方程组的解为，则，的值分别为（   ） A．9， B．9，1 C．5，1 D．7， 【题型4 选用合适的方法解二元一次方程组】 10．（25-26七年级下·山东聊城·期中）解下列方程组： (1)；(2)． 11．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）解方程 (1)；(2)． 12．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）解下列二元一次方程组： (1)(2) 【题型5 解三元一次方程组】 13．（2026七年级下·江苏·专题练习）解方程组：． 14．（2024六年级下·上海·专题练习）解方程组： 15．（2023七年级下·全国·专题练习）解下列方程或方程组：． 【题型6 二元一次方程组的特殊解法】 16．（25-26七年级下·江苏南通·期中）材料阅读：小明在解方程组时发现，如果把方程组中的，分别看成两个整体，通过换元，可以简化运算．以下是他的解题过程： 令，原方程组化为解得 把代入，，得解得 所以原方程组的解为 (1)学以致用：运用上述方法解方程组 (2)拓展提升：已知关于x，y的方程组的解为请直接写出关于的方程组的解是__________． 17．（25-26八年级上·山西晋中·期末）阅读与思考下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务： 整体代入消元法在利用“代入消元法”解完二元一次方程组后，小宣还想到了一种新的解法； 解：把看作整体代入①，得，解得．将代入②，得，所以原方程组的解为． 这种把看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”． 请你利用“整体代入消元法”解方程组． 18．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段检测）两个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；参考他们的讨论，谈谈你的看法． 19．（25-26七年级下·山东聊城·期中）定义：在解方程组时，我们可以先令，得，再令，得，最后重新组成方程组，这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)用轮换对称解法解方程组． (2)如图，小亮和小莹一起搭积木，小亮所搭的“小塔”高度为，小莹所搭的“小树”高度为，设每块A型积木的高为，每块B型积木的高为，求A、B型积木的高分别是多少厘米？ 【题型7 同解问题】 20．（25-26八年级上·陕西西安·期末）已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 21．（23-24七年级下·山东济南·阶段检测）若关于x，y的二元一次方程组与有公共的解．求的值． 22．（21-22七年级下·广东广州·期中）若关于x、y的方程组的解也是方程的解，求k的值． 【题型8 错解问题】 23．（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）小颖在解方程组 时，本应解出，由于看错了系数 ，得到的解为 ．试求 、、 的值． 24．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）甲、乙两人解关于x，y的方程组，甲看错方程“”中的a，得到方程组的解为；乙看错方程“”中的b，得到方程组的解为，求的值． 25．（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)甲把错看成了什么？乙把错看成了什么？ (2)求出原方程组的正确解． 【题型9 构造二元一次方程组求解】 26．（23-24七年级下·江苏南通·期中）若无论m取何值，等式恒成立，则的值等于_______． 27．（2023七年级下·江苏·专题练习）如果和互为相反数，那么_____． 28．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）使乘积中不含和项的p，q的值分别是（    ） A． B． C． D． 【题型10 已知二元一次方程组解满足的情况求参数】 29．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知关于，的方程组的解满足以下条件： (1)若，求的值； (2)若为非正数，为负数，求的取值范围． 30．（25-26七年级下·江苏苏州·阶段检测）当m为何值时，方程组的解互为相反数？ 31．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）已知关于x，y的方程组 的解满足 ，求m的取值范围． 【题型11 与解二元一次方程组有关的新定义问题】 32．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）定义新运算 对于两个数a，b，定义运算“⊙”，满足． 例如：． (1)计算：________；________． 【应用新运算】 (2)①计算：． ②已知a，b满足方程组：，求a，b的值． 【拓展应用】 (3)如图，将边长为a的正方形和边长为b的正方形拼在一起，其中，D、C、G三点在同一直线上，连接、、，若的面积与的面积之和为5，的面积为，则的值为________． 33．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）对任意有理数定义运算如下：，这里是给定的数，等式右边是通常数的加法及乘法运算，如当时，．现已知所定义的新运算满足条件：． (1)求． (2)若，求． (3)若有一个不为零的数，使得对任意有理数，有，求的值． 34．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）在实数范围内定义一种运算★，其运算规则是，如，根据这个规则解决问题： (1) (2)解不等式： (3)小明在解方程发现，无论取何值，都有，使上式成立，求出，的值． 【题型12 根据实际问题列二元一次方程组】 35．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）《孙子算经•卷中》有一题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”译文：如果每3人乘坐一辆车，就有2辆车空着；如果每2人乘坐一辆车，就有9人步行．问有多少人？多少辆车？设有x人，有y辆车，根据题意，列出方程组得（　　） A．B．C． D． 36．（25-26七年级下·江苏南通·期中）如图，现有甲、乙两张等宽的长方形纸条，它们的长分别为a，b，若将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，会形成一张长为55的纸条，根据以上条件，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 37．（2026七年级下·江苏·专题练习）已知某段旋律由若干四分音符和八分音符构成，其中四分音符的时值为1拍，八分音符的时值为拍．若该段旋律的总拍数为12拍，其中四分音符的个数比八分音符多3．设该段旋律中四分音符的个数为x，八分音符的个数为y，则可列方程组为（    ） A．B．C． D． 38．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段检测）古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：“耠子耧六十三，百根腿地里钻，两者各几何？”其大意为：耠子和耧共有63个，共有100条腿，问有多少个耠子，多少个耧？（耠子有一条腿，耧有两条腿）设耠子有x个，耧有y个，则可列出关于x，y的二元一次方程组为________． 39．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了大家的喜爱，一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用135米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则需要__________米布料做玩偶A． 【题型13 方案问题】 40．（25-26七年级下·山东泰安·期中）2026年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：4辆“晨光”型汽车与3辆“清风”型汽车的进货总成本为160万元；3辆“清风”型汽车比4辆“晨光”型汽车的进价少40万元． (1)求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价； (2)该体验中心计划用400万购进这两款汽车，两种汽车均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 41．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段检测）某校欲购置规格分别为和的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要104元，购买2瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要111元． (1)求甲、乙两种免洗手消毒液的单价． (2)该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将的散装免洗手消毒液全部装入最大容量分别为和的两种空瓶中，两种空瓶均需装，且每瓶均装满，通过计算列出所需两种空瓶数量的购买方案． 【题型14 行程问题】 42．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）两地相距千米．小丽、小明两人骑行，小丽从地出发到地，小明从地出发到地，两人同时出发，相向而行，小时后相遇，再骑行小时，小丽剩下的路程为小明剩下路程的倍，小丽、小明骑行的平均速度分别是多少？ 43．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段检测）小红和小丽在的环形跑道上跑步，他们于同一个起点同时出发．如果同向跑，那么经过200s两人第一次相遇；如果反向跑，那么经过40s两人第一次相遇．若小红比小丽跑得快，则小红、小丽跑步的平均速度分别是多少？ 44．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段检测）A地至B地的航线长，一架飞机从A地顺风飞往B地需，它逆风飞行同样的航线需，求飞机无风时的平均速度与风速． 解：设这架飞机无风时的平均速度为，风速为． (1)用含x，y的代数式表示：①顺风速度为____；②逆风速度为____； (2)根据题意，列出方程组解决问题． 【题型15 工程问题】 45．（25-26七年级下·江苏南通·期中）苏通第二过江通道已于近期开工建设，项目建成后将创下“世界最大跨度同类桥梁结构”，“世界最高桥梁索塔”等七项“世界第一”，是推动长三角一体化发展的战略性交通项目．现有甲、乙两车队参与某段项目材料运输，甲车队每天运输材料数目相同，乙车队每天运输材料数目相同，如果甲车队运输3天，乙车队运输4天，共运输材料1200吨；如果甲车队运输2天，乙车队运输1天，共运输材料550吨． (1)求甲、乙两车队每天完成运输材料各是多少吨？ (2)现甲、乙两车队共同运输材料1800吨，每次运输均装满材料，甲车队每天费用3000元，乙车队每天费用2400元，如何分配运输任务使总费用最低？总费用最低是多少？ 46．（25-26八年级上·河南开封·阶段检测） 某工厂承接了一批加工任务，要求在规定时间内完成．如果每天加工个零件，那么在规定时间内只能完成任务的；如果每天加工个零件，那么可提前天完成任务，且多加工个零件．求规定的时间和这批零件的总数． 47．（2026七年级下·全国·专题练习）某城市准备对市区内的一段长的河道进行综合治理．该市把这项工程交给了甲、乙两个施工队，计划120天完成．甲、乙两队合做60天后，乙队因另外有任务要离开30天，于是甲队加快施工速度，每天多施工．乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的施工速度不变，乙队每天比原来多施工，结果工程如期完工．那么，甲、乙两队原计划每天各施工多少米？ 【题型16 数字问题】 48．（24-25七年级下·河南周口·期中）有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字的和为8．若把十位数字和个位数字互换位置后，得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数小． (1)原来的两位数为_____，新的两位数为_____．（用含，的代数式表示） (2)根据题意，求原来的两位数． 49．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． (1)如图1所示幻方，求x的值； (2)如图2所示幻方，求a，b的值； (3)如图3所示幻方，若m，n为正整数，直接写出一共有多少种填法，并把其中一种幻方填写完整． 【题型17 年龄问题】 50．（2025七年级上·全国·专题练习）在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 51．（21-22八年级上·贵州贵阳·期末）根据对话内容，请你用方程的知识求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 52．（21-22七年级下·云南·期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中毕业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【题型18 分配问题】 53．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） 观察发现： 长方形铁片张数 正方形铁片张数 1个竖式无盖铁容器中 4 1 1个横式无盖铁容器中 3 2 (1)如果加工m个竖式铁容器与n个横式铁容器，则共需要长方形铁片 张，正方形铁片 张； (2)现有长方形铁片155张，正方形铁片70张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒.现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，再加工成铁盒，每张铁板的裁法有①裁3个长方形铁片；②裁4个正方形铁片；③裁1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？ 54．（23-24七年级下·河北邢台·阶段检测）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图l中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．圈2是靠背与 座垫的尺寸示意图． 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材来加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为240cm，宽为50cm．（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法． 方法一：裁切靠背16张和座垫0张． 方法二：裁切靠背______张和座垫______张． 方法三：裁切靠背______张和座垫______张． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进110张该型号板材，能制作成多少张学生掎？ 任务三 解决实际问题 现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有4张座垫和12张靠背，若将板材采用方法二和方法三裁切，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？ 【题型19 销售问题】 55．（25-26七年级下·江苏南通·期中）某校文创社计划参加“校园爱心义卖活动”，特制作出普通版和手绘版两种款式的明信片套装进行义卖．每套普通版的成本比每套手绘版的成本低元，套普通版的成本与套手绘版的成本共元． (1)求每套普通版和每套手绘版明信片的成本价； (2)现决定将每套普通版、手绘版明信片套装的销售单价分别定为元和元．如果销售两种套装的收入共为元，那么总利润最高是多少元？ 56．（2026七年级下·江苏·专题练习）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价． 57．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段检测）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解，6辆A型汽车、5辆B型汽车的进价共计980万元；3辆A型汽车、7辆B型汽车的进价共计940万元． (1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若端午节搞活动，该公司了解到A、B两种型号汽车均按照原来的六折出售，所以公司计划正好用960万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利0.6万元，销售1辆B型汽车可获利0.4万元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 【题型20 和差倍分问题】 58．（25-26八年级上·广东深圳·期末）某家具厂计划生产一批方桌（一张方桌有1个桌面，4条桌腿），按照设计要求，的木材可做50个桌面或300条桌腿．如果现有的木材． (1)怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材，使桌面、桌腿刚好配套？ (2)这些木材最多能生产多少张方桌？ 59．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）端午节到来之际，某超市准备购进粽子和咸鸭蛋进行销售，若购进500个粽子和200个咸鸭蛋共需2400元，已知一个粽子的进价比一个咸鸭蛋的进价多2元． (1)求每个粽子和每个咸鸭蛋的进价分别为多少元？ (2)若每个粽子的售价为6元，每个咸鸭蛋的售价为3元．超市打算购进粽子和咸鸭蛋共500个，全部售完后利润不低于1000元，求超市至少购进多少个粽子？ 60．（22-23七年级上·江苏南京·期末）某班共有40名学生．在该班举行的元旦联欢会上．主持人将一堆糖果分给全班每位同学，如果男生每人分3颗，女生每人分2颗，那么少2颗；如果女生每人分3颗，男生每人分2颗，那么多2颗．这个班男生和女生各有多少名？ 【题型21 几何问题】 61．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图） (1)求图中9个形状、大小都相同的小长方形的长与宽； (2)求图中阴影部分的面积． 62．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，，求x，y的值． 63．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段检测）已知等腰三角形的周长为，一腰上的中线把等腰三角形分成周长之差为的两个三角形，求等腰三角形的腰长． 【题型22 图表问题】 64．（25-26七年级下·江苏南通·期中）如图，的格子内填写了一些数和代数式，各行上的三个数之和相等，各列上的三个数之和相等． 3 2 (1)求和的值（用含，的代数式表示）； (2)试用等式表示，之间的数量关系． 65．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）为迎接新年，淮安市文通中学举办了迎新年猜灯谜活动．共设20道谜题，各题分值相同，李华和张飞报名参加了活动，对每个谜题都进行了作答，下表记录了他们的得分情况． 参加者 答对题数 答错题数 得分 李华 20 0 100 张飞 14 6 64 (1)请你根据表格数据求出答对一道题得几分，答错一道题扣几分？ (2)参加活动的刘羽同学说他得了76分，请问他答对了几道题？答错了几道题？ (3)晓飞同学说他可以得79分，你认为可能吗？请说明理由． 66．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）综合与实践：七年级某学习小组围绕“学校膳食结构”开展主题学习活动．他们发现学校为学生提供的每份早餐包含一份的蔬菜，一份牛肉和一份牛奶．（食物的营养成分见表一）学校每天为学生提供的午餐有两种套餐（见表二），为了平衡膳食，该小组建议学生控制主食和肉类的摄入量，每周每位学生午餐主食的摄入量不超过，午餐肉类摄入量不超过．（一周按五天计算） (1)若一份早餐包含一份的蔬菜，一份的牛肉和一份的牛奶，则该份早餐中蛋白质总含量为_________； (2)学校为学生提供的每份早餐的总质量为，每份早餐的蛋白质总含量占早餐总质量的，则每份早餐中牛肉和牛奶食品各多少克； (3)为平衡膳食，每个学生每周午餐可以选择A，B套餐各几天？ 表一：食物的营养成分表 食物 蛋白质 碳水化合物 脂肪 蔬菜 牛肉 牛奶 表二：学校每天提供的，两种套餐 套餐 主食 肉类 其他 A B 【题型23 古代问题】 67．（24-25七年级下·江苏常州·期末）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”请你用二元一次方程组解决该问题． 68．（2024·江苏徐州·中考真题）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题；“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币若干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？请用二元一次方程组解答上述问题． 69．（2024七年级下·江苏·专题练习）《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的著名的《算经十书》之一，共三卷，上卷叙述算筹记数的制度和乘除法则，中卷举例说明筹算分数法和开平方法，都是了解中国古代筹算的重要资料．下卷收集了一些算术难题，“鸡兔同笼”问题是其中之一．原题如下：令有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问雉、兔各几何？ 【题型24 其它问题】 70．（25-26七年级下·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，若点的坐标、均为整数，则称点为格点，若一个多边形的面积记为，其内部的格点数记为，边界上的格点数记为，例如图中是格点三角形，对应的，，． (1)直接写出图中格点四边形对应的 ， ， ． (2)已知格点多边形的面积可表示为，其中，为常数，若某格点多边形对应的，，求的值． 71．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图是2026年1月1日起南京市买卖个人住宅时所需缴纳的费用种类及其最新政策，包括增值税、个人所得税、契税三大块．契税是买家所需缴纳的税种，增值税、个人所得税是卖家所交税种． 南京市个人出售住宅税费政策（2026年1月1日起） 税种 房屋年限 计算方法 2026年1月1日前 2026年1月1日后 增值税 不满两年 满两年 免征 免征 个人所得税 与年限无关 差额：（核税价上一手发票价） 不变 全额：核税价 契税 首套 ：核税价，：核税价 不变 二套 ：核税价，：核税价 三套及以上 无论面积大小：核税价 请仔细阅读上表后解答下列问题： (1)小明在2026年1月5日出售一套不满两年的住房，建筑面积为．若选择“差额”方式缴纳个人所得税（上一手发票价为100万元）且房屋的核税价为万元，直接用含代数式表示小明需缴纳的增值税与个人所得税的总金额，买家（首套房）所需缴纳的契税． (2)小华出售不满两年的住房（面积为），核税价为万元．已知在2026年1月1日前出售，其增值税比在2026年1月1日后出售多万元，请求出本次交易中买卖双方所需缴纳总税费．（注：本次交易于2026年1月29日发生，个人所得税按全额缴纳、买家为首套房） (3)小王有两套住房（均不满2年），核税价分别为万元和万元（，且），由于近几年房地产遇冷，两套住房核税价均小于购入时发票价，故免征个人所得税．若其中一套在2026年1月1日前交易，另一套在2026年1月1日后交易，两套房交易后小王购买了一套核税价为1200万元的新房（面积），经测算，在新政策影响下此轮置换过程中，不同的卖房顺序及置换新房的交税总额相差4.775万，请求出本次置换交税总额的最小值． 72．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段检测）每年5月20日是中国学生营养日．某营养餐公司为学生提供的350克早餐食品中，蛋白质总含量为．早餐包括一份牛奶，一份谷物食品和一个鸡蛋．一个鸡蛋的质量约为，蛋白质含量占；谷物食品和牛奶的部分营养成分如表所示： 每100克谷物食品 每100克牛奶 蛋白质 13.0克 蛋白质 3.0克 脂肪 32.4克 脂肪 3.6克 碳水化合物 50.8克 碳水化合物 4.5克 (1)设该份早餐中谷物食品为x克，牛奶为y克，请写出谷物食品中所含的蛋白质为_______克，牛奶中所含的蛋白质为_______克．（用含有x、y的代数式表示） (2)求出x、y的值； (3)该公司为学校提供的营养午餐有A、B两种套餐（每天只提供一种）如下表，为了膳食平衡，建议学生适当的多摄入蔬果量．如果在一周里，学生午餐蔬果摄入总量不少于1060克，那么该校在一周里可以选择A、B套餐各几天？写出所有的方案，（说明：一周按5天计算） 套餐 主食（克） 肉类（克） 蔬果（克） A 150 70 200 B 130 75 220 1．（2026七年级下·江苏·专题练习）小明计算一道整式乘法题：，由于小明将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值； (2)请你计算出这道整式乘法题的正确答案． 2．（25-26七年级下·全国·周测）已知方程组是关于，的二元一次方程组，求的值． 3．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知关于x、y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)不管取任何值，方程总有一个固定解，请求出这个解． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为；供水6小时，箭尺读数为．若开始记录时是上午8:00，求当箭尺读数为时的时间． 5．（25-26七年级下·山东潍坊·期中）某初中学校餐厅为了满足学生身体成长的需要，准备了两种营养食品：高钙牛奶和豆谷营养包．每一份食品的营养成分如表所示： 营养成分 1份高钙牛奶 1份豆谷营养包 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钙 某天，小亮从这两种食品中摄入的蛋白质和碳水化合物恰好都是． (1)小亮这天食用了高钙牛奶和豆谷营养包各多少份？ (2)已知初中生每日脂肪摄入量的标准为．若小亮这天已经从其他食品中摄入了脂肪，他再食用完这两种食品后，脂肪摄入量是否超标？请说明理由． 1．（25-26八年级上·江西鹰潭·阶段检测）对于有理数x，y定义新运算：，其中a，b是常数．已知． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 2．（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）定义：若点的坐标满足，则称点为“好点”． (1)判断点 、是否为“好点”； (2)若点和点都是“好点”，求、的值； (3)已知关于，的方程组的解对应的点恰好是“好点”，且，为正整数，方程组的解，也是整数，求，的一组值． 3．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）用若干块如图所示的正方形或长方形纸片拼成图（1）和图（2）． (1)如图1，若，，则 ， ． (2)如图1，若长方形面积为56，其中阴影部分的面积为26，，求的值． (3)如图2，若的长度为，的长度为n． ①当 ， 时，a，b的值有无数组； ②当 ， 时，a，b的值不存在． 4．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）某工厂将一批纸板按照甲，乙两种方式进行加工，再用加工出来的长方形A板块和正方形B板块制作成如图所示的底面为正方形的长方体有盖礼盒，设有块纸板按甲方式进行加工，有y块纸板按乙方式进行加工； (1)补全表格 块按甲方式加工的纸板 块按乙方式加工的纸板 板块 __________ 板块 __________ (2)若现共有纸板14块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，能做多少个礼盒？ (3)若现共有纸板块，还有之前剩余的板块4块，要使礼盒制作完毕后的板块恰好用完，则的最小值为__________．（请直接写出答案） 5．（25-26八年级上·江西吉安·阶段检测）【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 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