专题10 解三角形大题15种常见考法归类（期末复习专项训练）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦解三角形15类核心考法，以题型归类为框架，构建从基础定理应用到综合创新的递进式训练体系，培养数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正余弦定理应用|多题覆盖|已知边角求未知量|定理直接应用| |三角形形状判定|多题覆盖|边角关系转化|边角互化推理| |面积与周长计算|多题覆盖|公式与定理结合|量的计算应用| |角度与边长范围|多题覆盖|不等式或三角函数求范围|动态问题分析| |特殊线段（角平分线等）|多题覆盖|几何性质与定理融合|几何要素整合| |外接圆与内切圆|多题覆盖|圆的性质应用|数形结合思想| |综合与实际应用|多题覆盖|跨模块与情境化设问|知识网络构建|

专题10 解三角形大题15种常考考法归类 题型一 利用正余弦定理解三角形 题型九 与高线有关的问题 题型二 正、余弦定理判定三角形形状 题型十 与外接圆、内切圆有关的问题 题型三 三角形面积的计算及应用 题型十一 解三角形在平面几何中的应用 题型四 三角形周长的计算及应用 题型十二 三角函数与解三角形的综合 题型五 角度范围问题 题型十三 解三角形与平面向量的综合 题型六 边长范围问题 题型十四 解三角形的实际应用 题型七 与角平分线有关的问题 题型十五 结构不良型 题型八 与中线有关的问题 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 利用正余弦定理解三角形 1．（2026高一·天津滨海新区·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）使用正弦定理角化边，余弦定理计算； （2）使用正弦定理求解； （3）使用两角和的正弦公式求解. 【详解】（1）因为，，由正弦定理可知，，，，由余弦定理，所以； （2）因为，，所以， 由正弦定理，得； （3）因为，所以，则为锐角，， 则，， 所以. 2．（2026高一·天津蓟州·期中）已知三角形的角的对边分别为，，，． (1)求角的大小； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用余弦定理直接计算可得结果； （2）由正弦定理解方程可求； （3）由两角和的正弦公式代入计算即可. 【详解】（1）因为，，， 所以， 又，所以； （2）由（1）知， 利用正弦定理可得； （3）由（1）知，， 由，可得，可得为锐角， 故， 可得. 3．（2026高一·广东湛江·期中）已知的内角的对边分别为，已知 (1)求边长c的值； (2)求的值； (3)求边长b的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在中由正弦定理可得，故. （2）, . （3）在中由正弦定理可得, 所以. 4．（2026高一·天津河北·阶段检测）在中，角的对边分别为，若，，． (1)求边长. (2)求 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求解； （2）利用余弦定理求出，利用同角关系式的平方关系求出，利用二倍角公式求出. 【详解】（1），，，， ， ，，（负根舍去），故边长为. （2），，，， ，， ， . 题型2 正、余弦定理判定三角形形状 5．（2026·河北邢台·模拟预测）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)判断 的形状并证明； (2)若 ，M 为边AB 上一点，且 ，求CM. 【答案】(1)等腰三角形或直角三角形 (2)或 【分析】（1）先利用正弦定理边角互化对已知等式进行变形得到，可知或即 为等腰三角形或直角三角形； （2）利用及三角形面积公式求出的表达式，再针对（1）中的两种情况分别分析计算. 【详解】（1）由正弦定理和已知条件可得 ， 变形得，于是有，则即 或即，故 为等腰三角形或直角三角形. （2）依题意可知为角的角平分线，利用可得 ， 即， 当 为等腰三角形时，，由余弦定理可得 即，所以， 当 为直角三角形时，且， 得，所以， 综上所述或. 6．（2026·福建漳州·模拟预测）在中，角所对的边分别为，已知． (1)判断的形状； (2)若边上的两条中线相交于点，求． 【答案】(1)等腰三角形或直角三角形 (2) 【分析】（1）解法一：利用正弦定理化边为角，再根据二倍角的正弦公式结合正弦函数的性质即可得解； 解法二：利用余弦定理化角为边，化简即可得解； （2）解法一：以为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标公式求解即可. 解法二：由题意可得为的重心，求出，再利用余弦定理解三角形即可. 解法三：分别求出的正余弦值，再根据结合两角和的余弦公式求解即可. 【详解】（1）解法一：由，得， 由正弦定理得， 即，即， 因为，所以， 所以根据的图象可得，或，或， 所以，或，或， 又，所以，或， 所以是等腰三角形或直角三角形； 解法二：由，得， 由余弦定理得， 即， 化简得， 从而，或， 所以是等腰三角形或直角三角形； （2）解法一：①若，则，则，不满足三角形三边关系，舍去； ②若，则， 以为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系， 则， 所以， 所以 . 解法二：①若，则，则，不满足三角形三边关系，舍去； ②若，则， ， ， 因为边上的两条中线相交于点，所以为的重心， 所以， 所以． 解法三：①若，则，不满足三角形三边关系，舍去； ②若，则，所以， ，所以． 又，所以， 在中，， 所以 ． 7．（2026高一·辽宁朝阳·期中）设的内角所对的边分别为，若． (1)判断的形状； (2)若，试求的最小值． 【答案】(1)直角三角形或等腰三角形 (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简即可； （2）由正弦定理边化角得出，设，，构造函数，由换元法求解最小值． 【详解】（1）因为，结合正弦定理可得， 因此， 因为 所以， 所以，从而， 所以或， 即或， 故为直角三角形或等腰三角形． （2）因为，所以， 所以， 令， 由于，所以， 所以， 所以， 由对勾函数性质可知在上单调递减， 所以当时，． 8．（2026·贵州黔西南·模拟预测）已知三个内角，，所对的边分别为，，，且. (1)证明：是等腰三角形； (2)若，，求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正弦定理得，即可求解， （2）由余弦定理求解，由同角关系求解正弦值，即可由面积公式求解. 【详解】（1）由可得, 由正弦定理可得, 由于，故,即是等腰三角形. （2）由余弦定理可得，解得， 而为三角形内角，故, 故 题型3 三角形面积的计算及应用 9．（2026高一·黑龙江齐齐哈尔·期中）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. (1)求角； (2)若，求边长和的面积. 【答案】(1) (2)，面积 【分析】（1）根据题意，由余弦定理代入计算，即可求解； （2）根据题意，由条件可得，再由正弦定理和三角形面积公式代入计算，即可求解． 【详解】（1）已知，由余弦定理得：， 所以，化简可得：． 又，故． （2）， 由正弦定理，代入； 所以． 因为， 所以． 10．（2026·江西赣州·模拟预测）记的内角的对边分别为，满足． (1)若为等腰三角形，求； (2)若，求的面积． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据三角恒等变换得，进而得，再根据等腰三角形即可求得答案； （2）结合（1），根据已知条件得，再结合正弦定理得，进而得，最后计算面积即可. 【详解】（1）解：由 可得：即 整理得： 又，且，所以 因为为等腰三角形， ①当时，，得 ②当时，，得 故的值为或 （2）解：结合（1）得，时， 由正弦定理得， 所以 又， 所以 所以的面积为 11．（2026·江苏南京·模拟预测）在中，内角对边分别是．已知，且的外接圆面积为． (1)求的大小； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）化简已知等式求角，结合外接圆半径与正弦定理求边长； （2）利用余弦定理求边，代入三角形面积公式计算结果. 【详解】（1）由正弦定理可得：， . 因为，所以，上式即为，所以， 由外接圆面积，解得外接圆半径， 由正弦定理得. （2） 将代入余弦定理， 得： ，整理得，解得，均为正根符合要求， 代入面积公式，故面积为或. 12．（2026高二·四川泸州·期中）在中，内角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的值. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据正弦定理、诱导公式及两角和的正弦公式化简求解即可. （2）根据三角形面积公式及余弦定理求解即可. 【详解】（1）由正弦定理得，， 又，所以， 则， 化简得，， 在中，，所以， 又因为，所以. （2）由三角形面积公式得：，解得， 由余弦定理得，， 所以，又，所以. 13．（2026高一·重庆·期中）在中，角、、的对边分别为、、，满足，． (1)求及边的值． (2)若的面积为，求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系得到，利用正弦定理求解即可. （2）利用三角形面积公式得到，再利用余弦定理得到即可. 【详解】（1）在中，， 因为，所以由同角三角函数的基本关系得， 由正弦定理得，可得， 又，则，解得. （2）因为的面积为， 由（1）知，， 所以， 解得，已知， 由余弦定理得，解得. 14．（2026高二·山西长治·阶段检测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求角C； (2)若的面积为，求c的最小值． 【答案】(1)（或） (2) 【详解】（1）因为 由正弦定理得：，化简得， 由余弦定理得，因为，所以. （2）由三角形面积公式有， 所以，由余弦定理得：， 当且仅当时等号成立，所以，即的最小值为. 15．（2026·河南开封·模拟预测）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且． (1)求角C的大小： (2)若边，求的面积S的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，由同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式化简求解即可； （2）由正弦定理和三角形面积公式结合三角恒等变换可得，再利用为锐角三角形求得角的范围即可求解. 【详解】（1）由及正弦定理，得， 所以，即， 因为为锐角三角形，所以，且， 所以，， 又，所以． （2）由正弦定理，得，所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，，即， 由，得， 所以，，， 所以的面积S的取值范围为. 16．（2026·安徽·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理角化边，再根据余弦定理求角； （2）根据（1）和余弦定理可得 ，再利用三角形的面积公式和基本不等式求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理，得 ，整理得， 由余弦定理，得， 又，所以． （2）由（1）及余弦定理知，， 故，当且仅当时等号成立， 即面积的最大值为． 17．（2026高一·江苏南京·阶段检测）已知，，分别为三个内角，，的对边，满足． (1)求， (2)若，且的面积为，求的周长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，利用正弦定理转化为求解； （2）由三角形的面积可得，由余弦定理，可得，从而可得答案； （3）根据面积公式、正弦定理转化为三角函数，再由三角恒等变换化简，利用正弦型三角函数的性质求解. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 其中，故．∴，即， 因为，所以. （2）因为，所以， 由余弦定理可得 即，所以， 所以的周长为. （3）因为是锐角三角形，， 所以，解得， 由正弦定理，，则， 所以， ， 由得，所以， 所以， 即面积的取值范围为. 题型4 三角形周长的计算及应用 18．（2026高一·黑龙江佳木斯·期中）记的内角的对边分别为且. (1)求； (2)若，的面积为求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得，得到，即可求解； （2）利用三角形的面积公式，结合题意，求得，再由余弦定理，求得，进而得到的周长. 【详解】（1）解：由 ， 因为，可得， 因为，可得，所以，所以. （2）解：由（1）知：， 因为且，可得，解得， 又由余弦定理得 ， 所以，所以的周长为. 19．（2026高三·重庆·阶段检测）在中，已知，． (1)求的面积； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2)15 【分析】（1）由数量积以及三角形的面积公式求解即可. （2）由余弦定理求解即可. 【详解】（1）设角的对边分别为，则由已知，， 因为，所以， 故的面积． （2）由余弦定理， 所以， 所以的周长． 20．（2026·陕西渭南·模拟预测）在锐角中，角的对边分别为，. (1)求角； (2)当时，周长为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数关系、诱导公式及两角和正弦公式化简求解即可. （2）根据正弦定理及三角恒等变换得到，结合锐角三角形得到，利用正弦型三角函数的性质求解即可. 【详解】（1）由，得， 即 因为，，所以，即， 因为，所以. （2）由正弦定理可得，所以，， 则 ， 因为，，所以， 则，所以， 所以，则，即. 21．（2026高一·河北石家庄·期中）在中，内角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)（或） (2) 【分析】（1）先利用正弦定理将已知三角函数等式转化为边的关系，结合余弦定理求解角；（2）将已知条件代入余弦定理可得的值，进而求出的值，即可得到三角形周长. 【详解】（1）展开已知等式，得： ， 移项化简得. 设外接圆的半径为R，由正弦定理可将上式中的角化边，得：. 根据余弦定理可得，代入得. 又，故. （2）将，，代入余弦定理得： ，即，解得. 则， 由得， 故的周长为. 22．（2026高三·安徽合肥·阶段检测）已知在中，角的对边分别为，且． (1)求的值； (2)若的周长为6，内切圆半径为，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦及同角公式求出； （2）利用三角形面积公式、正弦定理、余弦定理即可求解． 【详解】（1）在中，由及正弦定理得： ， 则， 整理得：， 即， 由，得，则， 两边平方得， 即 由，得， 解得，故； （2）由的周长为6，内切圆半径为， 得， 解得， 由余弦定理得，即， 整理得， 解得， ，又，解得， 因此． 23．（2026高一·河北邢台·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，的面积为5，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理结合已知条件求解； （2）根据三角形面积公式结合余弦定理求出，进而求出的周长． 【详解】（1），由正弦定理得， ， 又， ， 由，可得， ， ． （2）的面积为5， ， 解得， ， 由余弦定理得， ， ， ， 的周长为． 24．（2026高一·浙江杭州·期中）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求角C； (2)若，点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，且，求边长a的值； (3)若，求△ABC的周长取值范围. 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】(1)利用正弦定理，三角函数恒等变换进行化简即可求解 (2)利用三角形面积公式，结合等面积法列方程求解 (3)利用正弦定理化简，构造新的函数，求函数的值域 【详解】（1）已知，由正弦定理得， 又， 所以， 即， 因为，所以，故，即， 又，所以； （2）由（1）知，， 又为的平分线，故， 其中， 由三角形面积公式得， ， 又， 显然，即，解得. （3）∵ ∴ ∴ ∴ 由是锐角三角形得，， ， ∴ ∴ ∴周长. 25．（2026高一·辽宁沈阳·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求的值； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． (3)若，当的周长最小时，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）运用正弦定理边角转化，三角函数的辅助角公式，结合三角形内角的范围求解； （2）利用正弦定理和三角恒等变换，把面积的取值范围转化为求角的正切值的取值范围，根据正切函数的单调性进行求解； （3）利用余弦定理用单一变量来表示三角形的周长，结合基本不等式进行求解. 【详解】（1），由正弦定理可得， 因为， 所以代入可得， 即， 因为，所以， 化简可得，即， 解得，因为，所以， 因此，即. （2）由正弦定理可得，即， 所以， ， 因为，所以， 代入可得， 因为为锐角三角形，， 所以，即，解得， 所以，即， 所以， 即的面积的取值范围为． （3）由余弦定理可得， 因为，代入可得，化简可得， 因此 ， 当且仅当，即时等号成立， 因此当的周长最小时，的值为． 26．（2026高一·江苏无锡·阶段检测）已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且， (1)求； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式推出，可求得答案； （2）由三角形的面积公式求出，代入余弦定理可求出，即可求出的周长. （3）由正弦定理表示出，结合两角差的正弦公式可化简得到，确定角的范围，结合正弦函数性质即可求得答案. 【详解】（1）在中，因为， 所以，即， 因为所以，故 ，则； （2）因为的面积为，即， 所以. 由余弦定理得. 解得, 所以周长为. （3）由正弦定理得，即， 则， 因为为锐角三角形，则 ，故， 所以，则， 故， 故周长的取值范围为. 27．（2026·江西·模拟预测）在锐角中，角，，的对边分别为，，，． (1)求角； (2)当时，的面积为，周长为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两角和差的正切公式展开化简即可求解； （2）由三角形面积公式和余弦定理得到，再结合正弦定理边化角，辅助角公式，转换成三角函数求值域即可. 【详解】（1） 且， ，整理得 即． 或． ，， ．，． （2） 由余弦定理可得， 即． ，即． ， 由正弦定理可得， 则 ， ，． 题型5 角度范围问题 28．（2026·河北保定·模拟预测）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.已知在中，角，，所对的边分别为，，，且 . (1)证明: ； (2)若是锐角三角形，求 的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）选①，由余弦定理、正弦定理化简可得，再利用三角恒等变换可得，进而可证；选②化简条件可得，结合余弦定理及二倍角公式可得，进而可证；选③，由余弦定理可得，化简证明同①； （2）由题意可得，根据三角恒等变换化简可得，令，则，根据函数的单调性求解即可. 【详解】（1）选①，由可得，即， 因为，所以， 化简可得，即， 由正弦定理可得， 因为， 所以， 所以或（舍去）， 所以； 选②，由可得， 即， 因为，所以， 即， 因为在上单调递减，所以； 选③，由余弦定理可得， 所以，即， 因为，所以， 化简可得，即， 由正弦定理可得， 因为， 所以， 所以或（舍去）， 所以； （2）是锐角三角形， 则，所以， ， 令，则， 因为在区间单调递增，在区间单调递增， 所以在区间上单调递增， 所以，即. 29．（2026高二·贵州遵义·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，且． (1)证明：； (2)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正弦定理结合正弦二倍角公式化简即可证明； （2）由题意可得，根据三角恒等变换化简结合正弦函数性质计算求解即可. 【详解】（1）由正弦定理可得，即， 所以或， 因为，若，则，不符合题意， 所以； （2）因为，所以， 因为，且， 所以， 则 ， 当时，， 由正弦函数性质可知，， 所以的取值范围. 30．（2026高一·江苏常州·期中）已知锐角中，角所对的边分别为，且， (1)求证：； (2)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)利用正弦定理将边化成角，再结合三角恒等变换进行推导. (2)利用正弦定理将表达式化为关于角的函数，再根据三角函数单调性求函数值域. 【详解】（1）证明：因为，所以由正弦定理可得， 又 ，即， 解得或(舍去)，所以. （2）因为，由正弦定理可得 ， 因为是锐角三角形，所以， ，所以， 因为在上单调递增，，， 所以. 31．（2026·安徽·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)证明：； (2)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先利用三角形内角和，将 转化为 ，整理得 ，再代入余弦定理，化简得到边的关系式 ，最后结合正弦定理，将边的关系转化为角的正弦关系，完成证明. （2）先用（1）的边的关系，把用表示出来，再用基本不等式求出它的最小值，并验证等号能取到，然后根据三角形内角的性质，确定它小于1，最后综合得到的取值范围即可. 【详解】（1）因为， 则代入得， 所以，即， 由余弦定理可得， 所以，所以， 因为正弦定理 （ 为外接圆半径）， 则，，，代入上式： 所以． （2）由（1）知，所以， 由余弦定理得， 由基本不等式 （当且仅当 ，即 时取等号）， 得：， 又因为当时，代入，得，解得， 则满足三角形三边关系，故等号成立， 由，可知为最大边，且，故为钝角， 因此，即，故， 又由基本不等式得， 所以的取值范围为． 32．（2026高二·福建福州·期中）在锐角中，分别为内角的对边，满足 (1)求角的大小； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用数量积的定义及正弦定理边化角变形，再利用和角的正弦公式化简求解. （2）由（1）的结论求出的范围，再利用差角的正弦公式及辅助角公式化简，并利用正弦函数性质求出范围. 【详解】（1）在中，由，得，即， 由正弦定理得， 即，而，则，又， 所以. （2）由（1）得，由锐角，得，解得， 因此， 由，得，即， 所以的范围是． 33．（2026高一·天津河东·期中）设的内角所对边分别为，且． (1)若，的面积为，求的周长； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两角和与差的正弦公式、诱导公式得到，根据三角形面积公式求出，结合余弦定理求出，即可得到三角形周长. （2）利用两角差的余弦公式、辅助角公式进行化简，得到，根据锐角三角形求出的范围，进而求值域即可. 【详解】（1）中，，所以. 由得，， 整理得. 又，所以，则，所以. 由三角形面积公式得，所以. 由余弦定理得， 所以，所以. 故的周长为. （2） . 由（1）得，，因为为锐角三角形，所以， 所以，则， 所以，解得，则. 又在上单调递增，所以. 故的取值范围为. 题型6 边长范围问题 34．（2026高一·陕西·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)判断的形状并说明理由. (2)已知的面积为. （i）若，求的值； （ii）若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1)等腰三角形，因为，根据正弦定理，所以 ，则 ， 则 . 因为，，所以 ，则 ， 则 ，即，从而为等腰三角形. (2) （i）或；（ii）. 【分析】（1）根据正弦定理以及同角三角函数的关系化简得到 ，再求解即可. （2）（i）根据三角形面积公式求出，再余弦定理求出. （ii）根据（i）得到，再根据余弦定理得到，结合等腰三角形以及锐角三角形求出的范围，进而得到的取值范围. 【详解】（1）略 （2）（i）因为的面积为，所以. 又，所以 ， 即，则. 由余弦定理知. 当时，，得； 当时，，得. （ii）由（i）可得 ，则. 因为为锐角三角形，且，所以 解得，则，则 ， 则 ，故的取值范围为. 35．（2026高一·四川资阳·期中）在中，角所对的边分别为，已知，且，的中点为M. (1)求； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得，根据的范围求值； （2）由正弦定理得，，由，利用向量运算结合三角恒等变换可得，求出的范围结合三角函数性质得解. 【详解】（1）由，得， 又，所以， 所以，. （2）由，且可得， 又，为外接圆半径） 所以，又，所以， 在中，由正弦定理得， 所以，. 由的中点为M，得， 所以 . 因为为锐角三角形，所以，得， 则，所以，， 则， 故的取值范围是. 36．（2026高一·江西抚州·期中）在锐角三角形中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足，的面积为． (1)求角的大小及边的最小值； (2)设点D是边BC上一点，且，求线段AD长的取值范围． 【答案】(1)，最小值． (2)． 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，结合两角和的正弦公式计算可得，再利用余弦定理与基本不等式计算即可得的最小值； （2）利用锐角三角形三边关系结合余弦定理可得的范围，再借助平面向量线性运算法则与数量积公式计算即可得解. 【详解】（1）由可得， 则， 又,故， 由，则， ，则， 由余弦定理得， 当且仅当时．取得最小值； （2）因为，则， 故， 在锐角三角形中，有，代入， 可得，故， 令，则函数在上单调递增， 所以，故， 即线段的长度取值范围． 37．（2026高一·山东聊城·期中）在中，角所对的边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的取值范围； (3)若角的角平分线交于点，求长度的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理以及两角和差的正弦公式可得； （2）利用正弦定理化简得出，根据锐角三角形求出，求三角函数的值域即可； （3）利用余弦定理和基本不等式得出，再利用等面积得出，再利用基本不等式求解. 【详解】（1）， 则由和正弦定理可得，， 因为，所以，又，所以， 因为，所以，所以，所以. （2）由正弦定理，， 所以 . 由三角形为锐角三角形可知，，解得， 所以， 所以的取值范围为. （3）由余弦定理，， 即，当且仅当时，等号成立. 又， 化简可得，. 所以，当且仅当时等号成立. 故长度的最大值为. 38．（2026·甘肃金昌·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，结合三角恒等变换得，进而求得答案； （2）根据正弦定理得，，再结合三角恒等变换得，最后结合求解值域即可得答案. 【详解】（1）在中，， 又，所以， 又，所以， 由，得． （2）由正弦定理有， 所以，， ， 由，有，可得， 所以，即的取值范围为． 39．（2026高一·江苏连云港·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 (1)若，， ①求； ②角的内角平分线交于，求线段的长； (2)求的取值范围. 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①由已知条件结合三角恒等变换化简得，得解；②由正弦定理求得，再由求得答案； （2）由结合内角和定理可得，，将所求式子由正弦定理边化角结合二倍角公式化简得，令，利用函数单调性求解. 【详解】（1）①， ，即得， 又，所以，所以， 所以或，即或， 因为，所以，即，故， 因为，所以. ②由①得. 在中，由正弦定理，得， 因为，所以， 所以， . （2），，， 、B、C为的内角，， 由正弦定理得 ， 令，原式， 因为在单调递增，所以. 40．（2026高一·重庆·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)若，． ①求； ②角的内角平分线交于，求线段的长； (2)求的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①由已知条件结合三角恒等变换化简得，得解； ②由正弦定理求得，再由求得答案； （2）由结合内角和定理可得，，将所求式子由正弦定理边化角结合二倍角公式化简得，令，利用函数单调性求解. 【详解】（1）①， ，即得， 又，所以，所以， 所以或，即或， 因为，所以，即，故， 因为，所以. ②由①得. 在中，由正弦定理，得， 因为，所以 所以， . （2），，， 、B、C为的内角，， 由正弦定理得 令，， ，在单调递增， 所以. 41．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，． (1)若，求的面积； (2)求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，结合三角恒等变换化简，求出角；已知角、边和，利用余弦定理建立关于的方程，求出的值，代入三角形面积公式计算面积； （2）利用正弦定理将其转化为关于角，的三角函数表达式，结合三角形内角和关系将表达式统一为角的三角函数，根据角的取值范围，利用三角函数的性质确定取值范围. 【详解】（1），； 由正弦定理得. ，； ； . ，; ，即； ，. ，，； 由余弦定理得，即，解得； . （2）由（1）得，，即. 由正弦定理得 ； ，； ，，即. 题型7 与角平分线有关的问题 42．（2026高一·湖北荆州·阶段检测）在中，角的对边分别为，已知，． (1)若为锐角三角形，求其周长的取值范围； (2)若角的角平分线交于，满足，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）正弦定理化边，结合余弦定理求角，最后用正弦函数的性质或基本不等式求最值； （2）利用角平分线定理定边的比例，再用余弦定理求三边，最后用向量模长公式计算长度． 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，整理得， 所以， 又因为，所以， 因为，由正弦定理得， 所以，， 因为，所以， 则， 又，则，即， 所以，，即， 所以，即周长的取值范围是， （2）因为，由角平分线定理得，即， 在三角形中，，由余弦定理得，，； 因为，所以，得， 所以 ． 43．（2026·湖北黄石·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，，的角平分线交于，求. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用二倍角公式化简，由三角恒等变换结合三角形内角和即可求解. （2）通过余弦定理以及三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1），， 即， 所以，又因为，， 所以或，所以（舍）或， 因为，所以. （2）由余弦定理可得，， 因为，解得：， 由可得， ， 解得： 44．（2026·山东滨州·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积，且. (1)求C； (2)若C的角平分线交AB于D，且，求b. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形面积公式和余弦定理可得，进而得到； （2）在（1）基础上，利用三角形面积得到方程，由正弦定理可得，从而求出b. 【详解】（1），， 又，故， 故，又，故； （2）由（1）中可知，， ， ， 又，， 故， 因为，，所以，， 故， 由正弦定理得，即，， 所以， 又，故，解得， 故. 45．（2026高一·江苏扬州·期中）在中，角的对边分别为，且 (1)求； (2)若，点在外，，求四边形面积的最大值； (3)若为钝角，的角平分线交于点，求面积的最小值. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换求得，进而求得答案； （2）由题意知为等边三角形，设，进而结合余弦定理，三角形面积公式得，再根据三角函数性质求解即可； （3）由题意知，进而根据等面积法得，再结合基本不等式得，当且仅当时等号成立，最后根据面积公式求解即可. 【详解】（1）解：因为， 所以 因为， 所以， 因为， 所以，所以或， （2）解：因为，所以，， 所以为等边三角形， 如图，设， 在中， 所以 因为，， 所以，当时，取得最大值.    （3）解：由为钝角得，因为的角平分线交于点， 所以 因为，即， 所以，整理得， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，解得，当且仅当时等号成立， 所以    46．（2026高一·福建厦门·期中）在中，角所对的边分别为，已知，为边上一点，且. (1)求角的大小； (2)若，且，求a的值； (3)若为角平分线，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换得到，从而求出. （2）先计算出，两边平方求出，又，联立两式解得，进而求出. （3）若AD为角平分线，则，再利用正弦定理，结合三角恒等变换化简，利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）在中，由及正弦定理， 得，而， 因此，由，得，则， 即，由，得，所以. （2）由，得， 由（1）知，，则 ，整理得， 又，则，由余弦定理得， 所以. （3）由AD为角平分线，得， 在中，由正弦定理，得， 即，则，， 因此 ，由，得，， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 47．（2026高一·安徽合肥·期中）在中，内角的对边分别为；且． (1)求角； (2)若角平分线，求的面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换，计算即可求解； （2）如图，由得，结合基本不等式和三角形面积公式计算即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， ， ， ， 由，得，则， 又，所以. （2）如图，为的角平分线， ，即， 得，解得（当且仅当时取等号）， 所以， 即的面积的最小值为. 48．（2026高一·重庆·期中）已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)若，的面积为，的角平分线交于点，求线段的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边角互化结合可得，据此可得答案； （2）由（1）结合可得答案. 【详解】（1）由正弦定理得， 又因所以， 即， 又因，所以 又因，所以， （2）由题，，所以，又因，所以， ， 整理得. 49．（2026·重庆·模拟预测）已知中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若的角平分线与交于点，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用同角三角函数平方关系化简三角等式，得到，再由正弦定理把角的关系转化为边的关系式，接着代入余弦定理求出，结合角的范围即可求得角的值为. （2）由角平分线得两角均为，利用三角形面积拆分相等建立等式，化简推出，再将乘上定值式子展开，用基本不等式放缩求出最小值并验证等号成立条件. 【详解】（1） ； 根据正弦定理化简得：，再由余弦定理， 代入上式得：，因为，所以. （2）因为的角平分线与交于点， 所以，因为， 所以， 得，故； 所以， 当且仅当，即，时，等号成立； 故的最小值为. 题型8 与中线有关的问题 50．（2026高一·四川成都·期中）在锐角中，设角所对的边分别为，已知且． (1)求角； (2)求周长的取值范围； (3)求边上的中线的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用正弦定理进行角化边，再利用余弦定理得解； （2）利用正弦定理及三角恒等变换求出的取值范围进而得出结果； （3）用余弦定理、中线向量定理、正弦定理、辅助角公式等，将的范围转化为的范围，再结合锐角三角形以及角，求得角的范围，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，， 又由余弦定理得，，故． （2）由正弦定理得 ， ， 又因为是锐角三角形，故，解得， ， 周长的取值范围为 ． （3）由余弦定理得，，即． ，两边平方得． 由正弦定理可知，，故， 因此 ， 又因为是锐角三角形，故，解得， 故，，， 即，则． 51．（2026·辽宁·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围； (3)设的面积为，边上的中线长为2，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的数量积，结合三角函数性质求解即可. （2）根据正弦定理、辅助角公式及正弦函数性质求解即可. （3）根据三角形面积公式得到，根据为中点得到，结合向量数量积的运算律得到，代入余弦公式求解即可. 【详解】（1）由题意， 又，所以． 又，所以或，所以. （2）因为，， 由正弦定理得：，则，． 易知， 所以． 因为为锐角三角形，所以，解得． 所以，所以，则． 所以的取值范围是． （3）由题意知，，所以． 因为为中点，所以， 两边平方得：， 代入并整理：， 由余弦定理：， 所以． 52．（2026高一·四川宜宾·期中）在中，角的对边分别为，向量，且 (1)求角的值； (2)若是边上的中线，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量模长公式得到，代入数量积的坐标公式，然后边化角得到角的三角函数式，求出角； （2）利用向量中线公式得出边的长，根据面积公式计算求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 由正弦定理得， 即，且，则， 可得，因为， 所以. （2）由题意得， 则， 即有，且， 解得， 所以， 故的面积为． 53．（2026高一·贵州毕节·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)证明：； (2)求C； (3)若，边上的中线，求边a，b的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，或， 【分析】（1）由正弦定理边角互化得，再整理即可证明； （2）由（1）可得，进而得到即可求解； （3）根据余弦定理可得，再利用双余弦得到，再解方程组即可． 【详解】（1）证明：由正弦定理得：， 即； （2）解：因为， 即. 则， 因为， 所以； （3）解：因为，由余弦定理知：， 即， ，， 即， ，， 故， 解得：，或，. 54．（2026高三·贵州贵阳·期末）已知分别为三个内角的对边，且． (1)求角； (2)若为锐角，边上的中线，求的面积最大值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先由正弦定理化简等式，结合两角和的正弦公式和三角形中角的范围计算角的大小； （2）根据平面向量运算以及基本不等式得，再根据三角形面积公式求最值. 【详解】（1）在三角形中，由正弦定理得： ． 中，，， ，， 或． （2）为锐角，， 为的中点，，， ，即， 根据重要不等式知：， ，当且仅当时，等号成立． 因此，的面积最大值为 55．（2026高三·河北唐山·期中）在中，角、、的对边分别为，，，向量，，且. (1)求角的值； (2)若，是边上的中线，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换运算求解， （2）利用向量法结合中线长公式求出边的值，再利用三角形面积公式求解 【详解】（1）因为，所以，所以， 所以，由正弦定理得，即， 且，则，可得， 因为，所以， （2）由题意得，则， 即有，且，解得：，所以， 故的面积为. 56．（2026高三·河北保定·阶段检测）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边， (1)求角A； (2)若，的面积为，求b，c； (3)若，且为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再通过两角和公式与辅助角公式化简即可求解； （2）联立三角形面积公式与余弦定理建立关于的二元方程组即可求解； （3）利用中线向量公式与余弦定理将转化为关于的函数，再通过正弦定理及三角恒等变换，结合锐角三角形的范围限制即可求解. 【详解】（1）， 由正弦定理可得， ∴， 即，， 因为，所以，所以， 即，即， 又，∴，则． （2）由（1）及题设可得，即， 整理得，解得（负值舍去），故． （3）因为D为BC的中点，所以， 两边平方得， 在中，由余弦定理得，即， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，， 则，解得， 所以，所以，则， 即， 所以，所以中线AD的取值范围是． 57．（2026·重庆·模拟预测）设的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，边上的中线，设点为的外接圆圆心，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合两角和差的正弦公式对已知条件进行化简整理，得到，即可求解. （2）由余弦定理及中线可得，结合三角形外接圆性质得到，，根据垂直关系的向量表示及向量数量积的运算律得到，，进而求解即可. 【详解】（1）在中，，所以，同理可得，. 由，得， 即， 整理得， 又，所以，所以，即， 又，所以. （2）在中，由余弦定理，得， 又，所以， 即，也即， 解得， 令，的中点分别为，，由点为的外接圆圆心，得，， ， ， 所以. 题型9 与高线有关的问题 58．（2026高一·北京顺义·期中）已知在 中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c， (1)求A的大小; (2)若，判断下列三个条件是否能使存在且唯一，并对满足条件的求出的周长. ①边上的高线长为， ②， ③ 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 【答案】(1) (2)选择条件①，的周长为；选择条件②，的周长为； 选择条件③，不符合要求. 【分析】（1）根据正弦定理进行边角转化，再结合三角函数关系得到A的大小. （2）对于每个条件，分别根据已知条件结合正弦定理、余弦定理以及三角形的性质来判断是否存在且唯一，若存在则求出其周长. 【详解】（1）已知在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，， 根据正弦定理可得， 在中，可知， 则，即， 又，所以. （2）选择条件①，边上的高线长为， 由（1）知，则， 由余弦定理得， 所以存在且唯一，其周长为. 选择条件②，， 由（1）知，由余弦定理知，则， 整理得，而，解得， 所以存在且唯一，其周长为. 选择条件③，， 由（1）知，由正弦定理得， 因为，则， 所以存在两解，不符合要求. 59．（2026高二·北京东城·阶段检测）已知在中，内角所对边分别为，． (1)求的大小； (2)若，判断下列三个条件是否能使存在且唯一，并对满足条件的求出的周长. ①②边上的高线长为；③. 【答案】(1)； (2)选择条件①时，周长为 ；选择条件②时，周长为；选择条件③时，三角形存在不唯一 【分析】（1）利用正弦定理边化角求解. （2）选择①，利用余弦定理求解判断，并求出周长；选择②，由直角三角形边角关系求出，再利用余弦定理求解判断 并求出周长；选择③，利用正弦定理求出并判断即可. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 而，则， 又，所以. （2）选择条件①，，由（1）知，， 由余弦定理，可得，整理得， 而，解得，所以存在且唯一，其周长； 选择条件②，边上的高线长为，由（1）知，， 则， 由余弦定理，得， 所以存在且唯一，其周长； 选择条件③，，由（1）知，， 由正弦定理得，因为,则, 故存在两解，不符合题意,存在且不唯一，不符合题意. 60．（2026高二·云南玉溪·期中）已知的三个内角所对的边分别为，满足，且． (1)求； (2)若点在边上，，且满足 ，求边长； 请在以下三个条件： ①为的一条中线；②为的一条角平分线；③为的一条高线； 其中任选一个，补充在上面的横线中，并进行解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，借助三角恒等变换公式化简即可； （2）由（1）问，分析边角关系，利用余弦定理等知识求解即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 由倍角公式可得，则， 又因为，则， 所以， 即． 且，则，可得， 又因为，所以． （2）若选择①：若为的中线，设（）， 由余弦定理可得，， 因为，可得， 即，整理得，可知， 又因为，解得或（舍去）， 所以； 若选择②：若为的角平分线，则， 在中，由余弦定理得，即， 可知，即，可知，， 所以； 若选择③：若为的高线，则， 则，即，则， 可知，可知，, 所以． 61．（2026高二·贵州贵阳·期中）在中，A，B，C所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求BC边上的高线AD的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，由正弦定理得，化简得，结合求解即可； （2）由余弦定理结合基本不等式求三角形面积得最大值即可求出高线AD的最大值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 即， 又因为，所以， 因为，所以. （2）由（1）可知：，又， 所以由余弦定理得：, 所以，所以， 当且仅当时，等号成立. 所以, BC边上的高线AD的最大值. 62．（2026高三·北京·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，然后解决下列问题： (1)求角B和的面积； (2)求AC边上的高线BD的长. 条件①：，； 条件②：，； 条件③：，. 【答案】(1)选②：，. (2) 【分析】（1）选②：由正弦定理及三角恒等变换得，代入面积公式求解. （2）由面积公式求高线BD的长 【详解】（1）选②：由及正弦定理得， ， 所以， 即， 因为，所以 ， 又因为，所以. 又，，所以，即， 故存在且唯一， 所以， 综上：，. 下面说明条件①③不满足的理由： 条件①：因为，所以， 由正弦定理得，所以， 又因为，所以. 又，，由余弦定理得， 所以，即，此方程有两解， 故满足条件的有两解，所以①不满足. 条件③：由得，即，不成立， 所以满足条件的不存在，所以③不满足. （2）由（1）得， 所以. 63．（2026·全国·模拟预测）已知在△中，内角的对边分别为，且． (1)若为边上的高线，求的最大值； (2)已知为上的中线，的平分线交于点，且，求△的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合余弦定理和重要不等式可以求出的范围，再利用面积公式即可求出的最大值；另外，根据已知条件可以确定点是圆上一个动点，数形结合求解即可. （2）方法一：根据三角恒等变换结合正弦定理余弦定理可以求出边的值，再利用角平分线定理求出，根据与的倍数关系进而求解即可. 方法二：同方法一可以求出，判断出为直角，进而求出的边长和角度求解即可. 方法三：由已知求出角，进而求得边，在△中以为底，为高，代入求解即可. 【详解】（1）方法一：由余弦定理得 ， 所以（当且仅当时取等号）． 又因为， 所以． 故的最大值为. 方法二：由知，点A在的优弧上运动（如图所示）． 显然，当点A在的中垂线上时，即点位于点处时，边上的高最大． 此时△为等腰三角形， 又，故△为正三角形， 根据得．故的最大值为. （2）方法一：因为， 所以， 所以， 即． 由正弦定理得， 结合（1）可得，所以， 所以． 因为平分，所以， 所以． 又因为是边上的中线，所以， 所以． 方法二：同方法一可得． 又因为，所以△是以角为直角的直角三角形． 由于平分是边的中线，且 所以， 所以， 所以， 所以， 所以． 方法三：由得， 则． 又因为，所以． 由是角平分线知， 在中易得， 又因为，所以， 所以． 题型10 与外接圆、内切圆有关的问题 64．（2026高一·湖北·期中）已知的三个内角，，的对边分别为，，，且 ． (1)若，求； (2)若不是直角三角形． （Ⅰ）求的取值范围； （Ⅱ）过点作直线 分别交线段于点，设的外接圆和内切圆半径分别为和，且，求的值． 【答案】(1)或； (2)（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【分析】（1）通过三角恒等变换化简已知等式，得出角A和角B的关系式，再结合三角形内角和定理求解角C, （2）（I）利用正弦定理将待求的边长平方比转化为关于单一变量的函数，并结合角B的取值范围通过分析函数单调性求得取值范围,（II）借助相似三角形性质和正弦定理得出三角形各边角的关系，再利用三角形面积与内切圆半径面积法求得目标比值. 【详解】（1）通过移项可得， 利用二倍角公式得到， 当时等式成立，； 当时，，整理得，解得 综上，或； （2）由（1）可知，，可得， 由正弦定理得 易得，设 ，则． 又函数在区间上单调递减，区间上单调递增， 所以当时原式取得最小值为；当和1，原式取得最大值均为1． 综上，． （II）由 可得， ，则 ，易证与相似，解得． 设，由勾股定理可得，解得． 由正弦定理得 ， 解得， 因此有 ，根据内切圆半径公式，得 ，则． 另解：如图所示，容易算出 ， 过点作 ，于是四边形为矩形，三角形为等腰三角形．    设，在中，，结合 ， 可算出．一方面，， 代入，即得； 另一方面，． 从而． 65．（2026高一·河南新乡·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A； (2)若的面积为，内角A的平分线交边于点E，，求的长； (3)若，边上的中线，设点O为的外接圆圆心，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角形内角和定理，将角C用A、B表示，然后通过三角恒等变换化简等式，进而求出角A （2）利用三角形面积公式求出边c的长度，将的面积拆分为和的面积之和，结合三角形面积公式建立关于AE的方程求解 （3）先求出，再用b和c分别表示和，最后将转化为，计算求解即可 【详解】（1）由及正弦定理，得. 又因为， 所以. 因为，所以，则， 即. 由，得，解得. 又因为，所以. （2）由，，得. 又因为，所以. 因为角A的平分线交边于点E，所以. 因为， 所以， 所以. （3）在中，由余弦定理，得， 由边上的中线，又因为， 两边平方得， 则，即， 解得， 令边的中点分别为，由点为的外接圆圆心， 得，， ， ， 所以. 66．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）在中，角对应边分别为，且，的面积. (1)求角的大小； (2)设边的中点为，与的外接圆交于一点（异于点），求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由 ，利用三角形面积公式和余弦定理得到，化简求解； （2）由余弦定理及 ，得到，在 中，由为中线，得到，然后利用相交弦定理求解. 【详解】（1）由 得：， 即 ，两边约去 （）， 得 ，故 ； （2）由余弦定理  及 ， 得， 在 中，为中线，则 ， 即 ， 整理得 ， 在外接圆中，由相交弦定理得 ， 即 ， 故 由 及基本不等式 ，得 ， 当 时，. 67．（2026·湖北·模拟预测）记内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合三角恒等变换及正弦定理可得，由，可得，求解即可； （2）由正弦定理可得，，由是锐角三角形，得，，又因为，结合对勾函数求解即可. 【详解】（1）易得， 由正弦定理得， 而， 故， 易知， 故， 即， 又因为， 所以， 所以， 解得； （2）因外接圆直径为， 则由正弦定理可知， 故，， 因为是锐角三角形， 所以， 得，， 则， 所以， 由对勾函数的性质可知，在上单调递减， 故的取值范围为. 68．（2026高三·重庆·阶段检测）如图为平面四边形中的角平分线，的面积为 (1)求边BC的长度； (2)若的外接圆直径求△ACD的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形的面积公式与余弦定理求解即可； （2）先用正弦定理求，进而利用余弦定理可求，从而可得周长. 【详解】（1）由为的角平分线及，知. ，即，得. . 故边BC的长度为. （2）由的外接圆直径，得，则. 由余弦定理知，， 设，则，即， ，解得（舍去）或，则. 所以△ACD的周长为. 69．（2026高一·山西·阶段检测）已知的内角A，B，C的对边分别为． (1)求A； (2)若，求的值； (3)设点O为的外接圆圆心，M是BC的中点，，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理转化为三角函数，再由两角和的正弦公式化简可得解； （2）由余弦定理及正弦定理化简得解； （3）利用向量的线性运算及数量积的运算律化简求值即可. 【详解】（1）由及正弦定理，得， 即． 因为， 所以， 因为，所以． 因为，所以． （2）由余弦定理知，所以， 由正弦定理及，得，所以， 所以． （3）因为M是BC的中点，所以， 两边平方得， 则，即． 令边AB，AC的中点分别为E，F，如图， 由点O为的外接圆圆心，得， ， ， 所以． 70．（2026高一·北京·阶段检测）已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求的值. (2)设的外接圆半径为，内切圆半径为.若，，求的周长； 【答案】(1) (2)30 【分析】（1）根据两角差的正弦公式，结合题意求解即可. （2）根据等面积法可得，再利用正、余弦定理求解即可. 【详解】（1）因为，即， 整理可得，即， 因为，则，， 则或或， 即或（舍去）或（舍去）， 且，解得. （2）由题意可知：， 则，可得， 又因为，则， 由余弦定理可知， 整理可得， 可得，解得或（舍去）， 所以的周长. 71．（2026高一·黑龙江哈尔滨·开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，为锐角三角形，已知，且满足条件． (1)求的大小； (2)求面积的最大值； (3)求的内切圆半径的最大值． 【答案】(1) (2)面积最大值为 (3)内切圆半径最大值为 【分析】（1）变维给定等式，再利用余弦定理求解. （2）利用基本不等式求出的最大值，进而求出三角形面积的最大值. （3）将表示为的函数，再利用正弦定理及三角恒等变换求出的最大值. 【详解】（1）依题意，， 整理得：， 由余弦定理：， 因为是锐角三角形，，故； （2）由（1）得，三角形的面积， 由基本不等式，结合， 得：当且仅当时等号成立， 代入得：； （3）三角形的面积，故， 代入得：， 由，得，代入化简：， 由正弦定理得，而，由是锐角三角形得， ， 当时，，，代入得：. 72．（2026高一·湖北武汉·阶段检测）在锐角三角形中，分别是角的对边，且． (1)求角的大小； (2)若， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）求内切圆半径的最大值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）结合正弦定理和诱导公式，化简求值即可； （2）（i）利用正弦定理，和差化积，并求得取值范围即可；（ii）利用，化简利用不等式求解即可. 【详解】（1）由题意可得：，根据正弦定理可得. 在锐角三角形中，，代入得： ，且，即. （2）（i）根据正弦定理可得：.且. ， 因为是锐角三角形，所以，那么， 所以，所以. （ii）内切圆半径公式：，是面积，， ，，所以，， 由余弦定理可得，，即， 所以，记，则， 由函数单调性可知，当时，取到最大值. 73．（2026高一·湖南长沙·阶段检测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求C的值. (2)设的外接圆半径为R，内切圆半径为r. （i）若，，求的周长； （ii）求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）30（ii） 【分析】（1）切化弦整理可得，结合分析判断可得，即可得结果； （2）（i）根据等面积法可得，即，再利用正、余弦定理可得，即可得周长；（ii）整理可得，利用正弦定理边角转化结合三角恒等变换可得，进而分析最值. 【详解】（1）因为，即， 整理可得，即， 因为，则，， 则或或， 即或（舍去）或（舍去）， 且，解得. （2）（ⅰ）由题意可知：， 则，可得， 又因为，则， 由余弦定理可知， 整理可得， 可得，解得或（舍去）， 所以的周长； （ⅱ）由（ⅰ）可知： ，即， 则， 可得 ， 且，则，可得， 则，所以的最大值为. 题型11 解三角形在平面几何中的应用 74．（2026高三·辽宁·阶段检测）如图，在平面四边形中，. (1)若的面积为，求； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形面积公式求得，进而得，在中，由余弦定理求得，在中，由余弦定理得解； （2）由，可得四点共圆，进而得，在中，由余弦定理得解. 【详解】（1），即，解得， 由 ，可知，故， 在中，由余弦定理得， 所以，解得， 在中，由余弦定理得， 代值化简得，解得. （2）若，则四点共圆， 又，则， 在中，由余弦定理得， 所以，解得. 75．（2026高一·河南新乡·阶段检测）如图，在四边形中，，，，． (1)求边的长度； (2)求四边形的面积； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用数量积公式求解出的度数，然后由余弦定理即可求出. （2）利用三角形的面积公式分别求出和面积，即可求出四边形的面积. （3）利用已知条件在中先求出，再由正弦定理即可求出. 【详解】（1）因为， ． ，． 在中，， ． （2）由（1）得，． ． ， ． ． 四边形的面积． （3）在中， ， ． 由正弦定理，得， ． 76．（2026·重庆·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求角； (2)若，，点为边上靠近点的三等分点，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简求解； （2）由题意可得，根据向量数量积运算律计算求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得，， 即，， 又因为， 所以，且， 所以，因为，所以. （2）因为点为边上靠近点的三等分点， 所以， ， ， 所以，即的长为. 77．（2026高一·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，点在线段上． (1)若，求的长； (2)若，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为对应角的正弦，化简求解的值，进而得到的值，再结合正弦定理即可求解的长度； （2）结合已知的面积、长度和，求解的长度，再根据得到、的长度，进而分别在和中使用正弦定理，结合与互补、正弦值相等的性质求解正弦比值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：， 即， 因为，则，故，则为锐角， 所以， 因为，则， 在中，由正弦定理得， 所以，解得． （2），则 由，得，. 由余弦定理可得： . 在中，由正弦定理可得， 故， 在中，由正弦定理可得， 故， 因为， 所以． 78．（2026高一·陕西榆林·期中）如图，已知中，，延长至点，连接. (1)求的长； (2)若，求的长. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）在中，利用正弦定理运算求解即可； （2）在中，利用余弦定理运算求解即可. 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 且. 所以. （2）因为，则， 在中，由余弦定理得 79．（2026·重庆北碚·模拟预测）如图，在四边形中，. (1)若，求边的长； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在 中利用余弦定理求出，进而求出 ，最后在中利用正弦定理求解 （2）设 ，利用正弦定理将表示为 的函数，进而将面积表示为 的三角函数，结合 的取值范围求值域 【详解】（1）在 中，，，由余弦定理， 因为 ，所以， 因为，所以，所以 ， 在中，由正弦定理得， 即 所以边的长为. （2）设 ，因为，所以， 在中，，所以， 由三角形内角和定理，得，解得， 在中，， 由正弦定理得， 所以面积 . 因为，所以，则， 所以，即面积的取值范围为. 80．（2026高一·河北沧州·期中）如图，在中，，D为边AC上一点，且，． (1)若． （ⅰ）求； （ⅱ）求的面积； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)（i）；（ⅱ） (2) 【详解】（1）（ⅰ）在中，，，， 由余弦定理得：，即， 所以是等腰三角形，即． 所以，即； （ⅱ），即是等腰三角形，所以， 所以； （2）因为，即，即． 设，则，则， 所以， 又因为，因为， 所以，即， 又因为，令，则， 所以，，因为函数在上单调递增， 所以． 题型12 三角函数与解三角形的综合 81．（2026高一·天津武清·阶段检测）在中，角的对边分别为，若平面向量，其中，． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量垂直的坐标运算得到边角关系，结合正弦定理化简求角； （2）将周长最小值转化为求边的最小值，结合余弦定理和基本不等式求解； （3）利用正弦定理将转化为角的三角函数，结合锐角三角形的角范围求面积的取值范围. 【详解】（1）由，则， 即， 由，则，故， 即，由，故； （2）由余弦定理得， 则， 当且仅当时，等号成立， 故周长的最小值为； （3）由正弦定理可得，故、， 则 ， 由是锐角三角形，则，解得， 则，故，即. 82．（2026高二·河北邢台·开学考试）已知，，，设的内角所对的边分别为，，，且． (1)若，，为角A的平分线，且交于点，求的长； (2)若的面积为，为的中点，求长的最小值； (3)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算及三角恒等变换先计算A，再根据三角形面积公式、等面积法计算即可； （2）利用三角形面积公式确定，再利用中线的向量性质，平方结合基本不等式计算最小值即可； （3）利用正弦定理化边为角，再由辅助角公式结合角的范围、正弦函数的性质计算即可. 【详解】（1），     由， 由， 因此有， 由已知得， 且为角A的平分线，所以， 因为， 则， 即，解得． （2）由已知，又的面积为， 则，解得，     又， 则 当且仅当时，等号取到，所以； 即边上中线长的最小值为． （3）由正弦定理可知：，     因此有 ， 因为，所以 因此周长的取值范围为． 83．（2026高二·贵州遵义·期末）已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，向量，，. (1)求； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助向量平行的坐标运算计算并结合三角恒等变换公式化简后即可得； （2）借助正弦定理可得，再利用锐角三角形性质得到的范围即可得. 【详解】（1）由，则有， 即 ， 由为锐角三角形，故、，故， 则有，即，即； （2）由正弦定理可得 ， 由为锐角三角形，故，解得， 故，则，则. 84．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)若为锐角三角形，点F为的垂心，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理及余弦定理可得的值，再由角的范围，可得角的大小； （2）设，分别在两个三角形中，由正弦定理可得，的表达式，由辅助角公式可得的取值范围． 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 由正弦定理可得， 由余弦定理可得，， 可得； （2）延长交于，延长交于，延长交于，， 根据题意可得，，因为，所以， 设，，在中，由正弦定理可得， 即，可得， 同理在中，可得， 所以 ， 因为，所以， 所以， 所以． 题型13 解三角形与平面向量的综合 85．（2026高一·四川绵阳·阶段检测）已知的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，设向量,,且. (1)求角C； (2)若，的面积为，D为边的中点，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据得到,再利用正弦定理和余弦定理求解即可; （2）先根据三角形的面积公式求出,再利用余弦定理求出即可. 【详解】（1）因为,,且, 所以, 由正弦定理可得:，即, 由余弦定理得:，所以, 又,所以. （2）因为, 由三角形面积公式得:，解得, 因为D为边的中点，所以， 在中，， 即，所以. 86．（2026·江苏淮安·模拟预测）在锐角中，内角的对边分别为．已知向量，，且． (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2)6 【分析】(1)利用向量平行的坐标条件结合辅助角公式求解角； (2)通过面积公式求出的值，再结合余弦定理和完全平方公式求出，进而得到周长. 【详解】（1）由，根据向量平行的坐标条件，得， 化简得. 利用辅助角公式，将左边整理为， 因此：， 因为锐角三角形，故，则. 所以，解得. （2）由(1)知，结合面积公式，代入， 得， 再由余弦定理，代入、， 得， 由完全平方公式，，故(边长为正，取正值). 因此，的周长为. 87．（2026高一·福建南平·期中）已知锐角的内角所对的边为，向量，，且； (1)求角； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量共线的坐标表示列式，再利用正弦定理边化角求解. （2）由（1）的结论及正弦定理表示出，再利用和差角的正弦及余弦函数性质求解. 【详解】（1）由，，且，得， 由正弦定理得，而，则， ，又，所以. （2）在中，，，由正弦定理得， 由，设，又为锐角三角形，则， 而， 因此 所以周长的取值范围是. 88．（2026高一·上海奉贤·期中）已知向量，，记函数． (1)求函数的最小正周期； (2)在中，若，，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数量积的坐标运算及三角恒等变换公式可得，进而可得最小正周期； （2）先由条件可得，再由余弦定理及基本不等式可得，再由三角形面积公式可得面积的最大值. 【详解】（1）因为向量，， 所以 所以函数的最小正周期． （2）由得：，． 因为，所以，因此，解得． 由余弦定理得：， 因为，所以，即（当且仅当时等号成立）． 将代入得：. 所以的面积：， 当且仅当时，面积的最大值为． 89．（2026高一·贵州毕节·期中）已知向量，． (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，且，，求的面积的最大值． 【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为； (2) 【分析】（1）利用数量积的坐标表示求出，再利用二倍角公式及辅助角公式化简，并利用正弦函数的性质求解. （2）由（1）结合求出，再利用余弦定理及基本不等式求出三角形面积的最大值. 【详解】（1）由，得 ， 由，得， 所以的最小正周期为，单调递增区间为. （2）由（1）得，则， 由，得，于是，解得， 由余弦定理得， 当且仅当时取等号，， 所以的面积的最大值为. 90．（2026高一·辽宁大连·期中）已知，，分别为三边，，所对的角，，向量，，且. (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的周长. (3)若点是边上一点，且，，求的面积. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）计算向量数量积，利用三角函数和角公式及三角形内角和性质，化简得出，进而求角； （2）由面积公式求出，再通过余弦定理及完全平方公式求出，最后计算周长； （3）利用中点向量表示，平方后结合余弦定理得到的方程联立求解，再根据面积公式求面积. 【详解】（1）由已知向量，， 得， 因为，所以，即， 又，所以， 又，则，所以，所以； （2）由已知，，且，得， 由余弦定理，又，得， 所以或（舍）， 故的周长为； （3）因为点是边上一点，且，所以是的中点， 所以，两边平方得， 又，，所以，即①， 又，，由余弦定理，得②， ①②联立得， 故的面积. 题型14 解三角形的实际应用 91．（2026高一·辽宁·期中）如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内．测得A到M，N的俯角和分别为，，B到M，N的俯角分别为，同时测得． (1)分别求出A，M两点间的距离及A，N两点间的距离； (2)求山顶M，N之间的距离． 【答案】(1)， (2) 【分析】 （1）求出各角度后，利用余弦定理与正弦定理计算即可得、； （2）借助余弦定理计算即可得. 【详解】（1）在中，，， 故，则， 即， 在中， ， 由正弦定理可得，， 所以； （2）在中，， 由余弦定理得，， 代入数据有， 即．所以，之间的距离为． 92．（2026高一·上海·期中）如图，有一位于处的观测站，某时刻发现其北偏东且与相距海里的处有一货船正以匀速直线行驶，分钟后又测得该船位于观测站北偏东（其中，），且与观测站相距海里的处． (1)求的值； (2)求该船的行驶速度（海里/小时）； (3)在离观测站的正南方海里的处有一半径为3海里的警戒区域，并且要求进入警戒区域的船只不得停留在该区域超过分钟．如果货船不改变航向和速度继续前行，则该货船是否会进入警戒区域？若进入警戒区域，是否能按规定时间离开该区域？请说明理由． 【答案】(1) (2)海里/小时 (3)货船会进入警戒区域，货船可以在规定时间之内离开警戒区域，理由见解析 【分析】（1）根据已知条件，结合同角三角关系计算求解； （2）利用余弦定理计算求解； （3）利用余弦定理求出，进而求出，利用正弦定理求出，进而求出，进而结合题意得出结论． 【详解】（1）由题意：，，， ，，则，解得， ． （2）由余弦定理得： ， 即， 航行时间为20分钟，即小时， 该船的行驶速度为海里/小时． （3）在中，根据余弦定理得，则， 设延长线交于点，则，， 则， ， 在中，由正弦定理可得：， 解得海里， 过点作垂直于点， 在中，，，， 显然，，故货船会进入警戒区域； 则货船进入警戒区域的时间为小时， 而， 货船可以在规定时间之内离开警戒区域． 93．（2026高一·福建厦门·阶段检测）如图，某建筑物顶部有一旗杆，且点、、在同一条直线上，小明在地面处观测旗杆顶端的仰角为，然后他正对建筑物的方向前进了20米到达地面的处，又测得旗杆顶端的仰角为，已知建筑物高度为12米. (1)求点到建筑物的距离； (2)求旗杆的高度. 【答案】(1)10米； (2)米. 【详解】（1），，， 则是以为顶点，底角为的等腰三角形，米， 在中，，由正弦定理得：， 代入数据得：米. 点到建筑物的距离是10米. （2）在中，由正弦定理得： 代入数据得：米. 米， 旗杆的高度为米. 94．（2026高三·江苏泰州·阶段检测）如图，某斜面上有两根垂直于水平面放置的标杆，杆长均为1m，阳光可视为平行光.其中一根标杆竖直立于水平地面，影子落在水平面上，影长为；另一根标杆竖直立于斜面上，影子完全投射在斜面上，影长为． (1)求平行阳光与水平面所成锐角的正弦值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如图，分别为杆，为平行的光线，分别为杆的影子， 设光线与水平面所成角为，则，故， 则. （2）由（1），，， 在中，由正弦定理可得 即，故，则， 则， ， 故. 95．（2026高一·河南许昌·期中）某市计划在中央公园的一块三角形空地上建休闲花园，将三角形分割成三部分，如图，在区域，分别种植薰衣草、马鞭草花田，将区域设计为下沉式水景庭院，并在水景庭院周围设置木质护栏．在中，，，M、N在BC上，且． (1)当时，求木质护栏的长度； (2)为了控制建设成本，如何设计能使水景庭院面积尽可能小？请写出设计方案，并求出水景庭院面积的最小值． 【答案】(1) (2)方案见解析，最小值为． 【分析】(1)根据余弦定理求AN，进而得出和，即可求出AM和MN. (2)法一假设 ，法二假设 ，用正弦定理表示出AM和AN， 再利用三角形面积公式和三角恒等变换可表示出，然后根据三角函数求最值即可求出面积的最小值. 【详解】（1）在中，，，所以，，． 在中， ，所以， 则为等腰三角形，，又因为，所以，则， 得，， 则， 所以护栏的长度为． （2）设计使得时水景庭院面积最小（或设计等符合题意都可）． 方法一  设，，则 ， 在中，，即，解得． 在中，，即，解得． 所以水景庭院的面积为 ， 则当，即，时，水景庭院的面积最小，最小值为． 方法二  设，，则 ， 在中，，即，解得． 在中，，即，解得． 所以水景庭院的面积为 ， 则当，即时，水景庭院的面积最小，最小值为． 96．（2026高一·河北保定·期末）某大型商业区周边有一块三角形空地，为了优化环境，拟在此三角形区域建造一个花园，将三角形分割成三部分，如图，在区域，分别种植牡丹，芍药，将区域设计成人工湖，在人工湖周围安装护栏，已知，AC=200m，，M，N在BC上且． (1)当BN=200m时，求护栏的长度； (2)为了节约开支，如何设计能使人工湖面积尽可能小，请写出设计方案并求出人工湖面积的最小值． 【答案】(1) (2)当时人工湖的面积最小，最小值为 【分析】（1）使用勾股定理得到，使用余弦定理得到，进一步得到，，然后得出，最后得出结果； （2）假设，得到，然后利用正弦定理得到，表示，然后计算判断即可. 【详解】（1）因为∠CAB=90°，AC=200m，， 所以BC=400m，， 所以，， 所以AN=200m， 则为等腰三角形，， 所以，则， 得，，则MN=100m， 所以护栏的长度为． （2）设计使得时人工湖面积最小．（或设计，或都可） 法1：设，，则， 在中，，即， 解得， 在中，，即， 解得， 所以人工湖的面积 ， 则当即时人工湖的面积最小，最小值为． 法2：设，，则， 在中，，即， 解得， 在中，，即 解得， ， 则当即时人工湖的面积最小，最小值为． 97．（2026高一·上海松江·期末）在滴水湖公园湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，，其中． (1)若米，求烧烤区的面积？ (2)为了保证烧烤区的占地面积最大，那么需要修建多长的隔离防护栏？ (3)在（2）条件下，为了使得花卉观赏区的面积也尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 【答案】(1) (2)修建的隔离防护栏长米时，烧烤区的占地面积最大 (3)设计观赏步道米时，花卉观赏区的面积最大 【分析】（1）先由余弦定理求出，即可由面积公式求解. （2）设米，先由余弦定理求出与的关系式，进而得，进而代入面积公式结合一元二次函数的性质研究最值即可得解. （3）先利用正弦定理求得，接着代入结合三角恒等变换公式计算即可求解. 【详解】（1）若，则， 又，所以， 所以烧烤区的面积为. （2）设米，则， 又，所以， 所以烧烤区的面积为， 所以当即时，烧烤区的面积最大为，此时米， 所以修建的隔离防护栏长米时，烧烤区的占地面积最大. （3）由（2）得米， 所以在中由题意得，即， 所以， 所以 ， 又，所以， 所以当即时，有最大值为， 此时，， 所以在（2）条件下，设计观赏步道米时，花卉观赏区的面积最大. 【点睛】思路点睛：对求花卉观赏区的面积最大值，先在中利用正弦定理得，接着代入结合三角恒等变换公式计算化简得，再利用三角函数值的有界性即可求出解. 题型15 结构不良型 98．（2026高一·北京·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. (1)求角B的大小； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成以下两个问题的解答： （ⅰ）求b的值； （ⅱ）若是锐角三角形，求周长的取值范围. 条件①：外心（外接圆圆心）到边距离为； 条件②：. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)（i）选择①或②，均得到；（ii）. 【分析】（1）由正弦定理边化角结合三角恒等变换化简得解； （2）（i）若选择条件①，由已知条件求得外接圆半径，再结合正弦定理求得；若选择条件②，由余弦定理角化边化简得解；（ii）由（i）可得，，利用正弦定理得，，代入化简可得的周长关于的三角函数，利用正弦函数的性质求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 又，所以， 化简得，又，， 所以，即，又， 所以. （2）（i）若选择条件①，如图，设为外接圆的圆心，半径为，作，垂足为， 因为，所以，故， 又，所以，即， 所以. 若选择条件②，因为，由余弦定理得， 化简得. （ii）由，，得，所以，， 所以的周长 ， 因为是锐角三角形，所以，即，解得， 所以，故， 所以，即的周长的取值范围为. 99．（2026高一·四川资阳·期中）在中，． (1)求A的大小； (2)若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求最长边上高线的长． 条件①：；条件②：的面积为；条件③：．（注：若选多个条件进行解答，按第一个解答计分．） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角公式求得，进而求得. （2）选择条件，然后根据正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式进行分析，从而求得正确答案. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以，， 因为，所以舍，所以，则； （2）选择① 因为，由正弦定理，代入，得； 法一：由余弦定理，代入得， 所以，所以或（舍），所以AC边最长； AC边上的高线； 法二：因为，，所以，所以，所以； 所以边为最长边，其高线； 选择② 因为，所以，因为，由余弦定理， 所以，所以或； 所以最长边上的高线； 若选择③，，，，由余弦定理， 所以或（舍）； 所以AC边最长，AC边上的高线； 100．（2026·北京顺义·模拟预测）在中， (1)求； (2)在以下三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的值． ①；②；③面积为． 【答案】(1) (2)选①时不存在；选②时；选③时. 【分析】（1）利用正弦定理可求边. （2）选①，利用等边对等角，判断不存在； 选②，先利用正弦定理求边，再利用余弦定理求边，最后利用正弦定理求； 选③，先利用三角形的面积公式求边，再利用余弦定理求边，最后利用正弦定理求. 【详解】（1）由，且为三角形内角，所以. 根据正弦定理，. （2）选①，因为，所以为钝角. 又，则都为钝角，这样的三角形不存在. 选②，由. 由余弦定理，. 所以. 由正弦定理，，此时为锐角，存在. 选③，由，所以. 由余弦定理，， 所以. 由正弦定理，，此时为锐角，存在. $专题10 解三角形大题15种常考考法归类 题型一 利用正余弦定理解三角形 题型九 与高线有关的问题 题型二 正、余弦定理判定三角形形状 题型十 与外接圆、内切圆有关的问题 题型三 三角形面积的计算及应用 题型十一 解三角形在平面几何中的应用 题型四 三角形周长的计算及应用 题型十二 三角函数与解三角形的综合 题型五 角度范围问题 题型十三 解三角形与平面向量的综合 题型六 边长范围问题 题型十四 解三角形的实际应用 题型七 与角平分线有关的问题 题型十五 结构不良型 题型八 与中线有关的问题 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 利用正余弦定理解三角形 1．（2026高一·天津滨海新区·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 2．（2026高一·天津蓟州·期中）已知三角形的角的对边分别为，，，． (1)求角的大小； (2)求的值； (3)求的值． 3．（2026高一·广东湛江·期中）已知的内角的对边分别为，已知 (1)求边长c的值； (2)求的值； (3)求边长b的值． 4．（2026高一·天津河北·阶段检测）在中，角的对边分别为，若，，． (1)求边长. (2)求 题型2 正、余弦定理判定三角形形状 5．（2026·河北邢台·模拟预测）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)判断 的形状并证明； (2)若 ，M 为边AB 上一点，且 ，求CM. 6．（2026·福建漳州·模拟预测）在中，角所对的边分别为，已知． (1)判断的形状； (2)若边上的两条中线相交于点，求． 7．（2026高一·辽宁朝阳·期中）设的内角所对的边分别为，若． (1)判断的形状； (2)若，试求的最小值． 8．（2026·贵州黔西南·模拟预测）已知三个内角，，所对的边分别为，，，且. (1)证明：是等腰三角形； (2)若，，求的面积. 题型3 三角形面积的计算及应用 9．（2026高一·黑龙江齐齐哈尔·期中）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. (1)求角； (2)若，求边长和的面积. 10．（2026·江西赣州·模拟预测）记的内角的对边分别为，满足． (1)若为等腰三角形，求； (2)若，求的面积． 11．（2026·江苏南京·模拟预测）在中，内角对边分别是．已知，且的外接圆面积为． (1)求的大小； (2)若，求的面积． 12．（2026高二·四川泸州·期中）在中，内角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的值. 13．（2026高一·重庆·期中）在中，角、、的对边分别为、、，满足，． (1)求及边的值． (2)若的面积为，求． 14．（2026高二·山西长治·阶段检测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求角C； (2)若的面积为，求c的最小值． 15．（2026·河南开封·模拟预测）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且． (1)求角C的大小： (2)若边，求的面积S的取值范围． 16．（2026·安徽·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值． 17．（2026高一·江苏南京·阶段检测）已知，，分别为三个内角，，的对边，满足． (1)求， (2)若，且的面积为，求的周长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 题型4 三角形周长的计算及应用 18．（2026高一·黑龙江佳木斯·期中）记的内角的对边分别为且. (1)求； (2)若，的面积为求的周长. 19．（2026高三·重庆·阶段检测）在中，已知，． (1)求的面积； (2)若，求的周长． 20．（2026·陕西渭南·模拟预测）在锐角中，角的对边分别为，. (1)求角； (2)当时，周长为，求的取值范围. 21．（2026高一·河北石家庄·期中）在中，内角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若，，求的周长． 22．（2026高三·安徽合肥·阶段检测）已知在中，角的对边分别为，且． (1)求的值； (2)若的周长为6，内切圆半径为，求的值． 23．（2026高一·河北邢台·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，的面积为5，求的周长． 24．（2026高一·浙江杭州·期中）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求角C； (2)若，点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，且，求边长a的值； (3)若，求△ABC的周长取值范围. 25．（2026高一·辽宁沈阳·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求的值； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． (3)若，当的周长最小时，求的值． 26．（2026高一·江苏无锡·阶段检测）已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且， (1)求； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若，求周长的取值范围. 27．（2026·江西·模拟预测）在锐角中，角，，的对边分别为，，，． (1)求角； (2)当时，的面积为，周长为，求的取值范围． 题型5 角度范围问题 28．（2026·河北保定·模拟预测）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.已知在中，角，，所对的边分别为，，，且 . (1)证明: ； (2)若是锐角三角形，求 的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 29．（2026高二·贵州遵义·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，且． (1)证明：； (2)求的取值范围． 30．（2026高一·江苏常州·期中）已知锐角中，角所对的边分别为，且， (1)求证：； (2)求的取值范围． 31．（2026·安徽·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)证明：； (2)求的取值范围． 32．（2026高二·福建福州·期中）在锐角中，分别为内角的对边，满足 (1)求角的大小； (2)求的取值范围． 33．（2026高一·天津河东·期中）设的内角所对边分别为，且． (1)若，的面积为，求的周长； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 题型6 边长范围问题 34．（2026高一·陕西·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)判断的形状并说明理由. (2)已知的面积为. （i）若，求的值； （ii）若为锐角三角形，求的取值范围. 35．（2026高一·四川资阳·期中）在中，角所对的边分别为，已知，且，的中点为M. (1)求； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 36．（2026高一·江西抚州·期中）在锐角三角形中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足，的面积为． (1)求角的大小及边的最小值； (2)设点D是边BC上一点，且，求线段AD长的取值范围． 37．（2026高一·山东聊城·期中）在中，角所对的边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，求的取值范围； (3)若角的角平分线交于点，求长度的最大值. 38．（2026·甘肃金昌·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． (1)求； (2)求的取值范围． 39．（2026高一·江苏连云港·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 (1)若，， ①求； ②角的内角平分线交于，求线段的长； (2)求的取值范围. 40．（2026高一·重庆·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)若，． ①求； ②角的内角平分线交于，求线段的长； (2)求的取值范围． 41．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，． (1)若，求的面积； (2)求的取值范围． 题型7 与角平分线有关的问题 42．（2026高一·湖北荆州·阶段检测）在中，角的对边分别为，已知，． (1)若为锐角三角形，求其周长的取值范围； (2)若角的角平分线交于，满足，求的长． 43．（2026·湖北黄石·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，，的角平分线交于，求. 44．（2026·山东滨州·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积，且. (1)求C； (2)若C的角平分线交AB于D，且，求b. 45．（2026高一·江苏扬州·期中）在中，角的对边分别为，且 (1)求； (2)若，点在外，，求四边形面积的最大值； (3)若为钝角，的角平分线交于点，求面积的最小值. 46．（2026高一·福建厦门·期中）在中，角所对的边分别为，已知，为边上一点，且. (1)求角的大小； (2)若，且，求a的值； (3)若为角平分线，求的最小值. 47．（2026高一·安徽合肥·期中）在中，内角的对边分别为；且． (1)求角； (2)若角平分线，求的面积的最小值． 48．（2026高一·重庆·期中）已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)若，的面积为，的角平分线交于点，求线段的长度. 49．（2026·重庆·模拟预测）已知中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若的角平分线与交于点，且，求的最小值. 题型8 与中线有关的问题 50．（2026高一·四川成都·期中）在锐角中，设角所对的边分别为，已知且． (1)求角； (2)求周长的取值范围； (3)求边上的中线的取值范围． 51．（2026·辽宁·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围； (3)设的面积为，边上的中线长为2，求的长． 52．（2026高一·四川宜宾·期中）在中，角的对边分别为，向量，且 (1)求角的值； (2)若是边上的中线，，求的面积． 53．（2026高一·贵州毕节·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)证明：； (2)求C； (3)若，边上的中线，求边a，b的长. 54．（2026高三·贵州贵阳·期末）已知分别为三个内角的对边，且． (1)求角； (2)若为锐角，边上的中线，求的面积最大值． 55．（2026高三·河北唐山·期中）在中，角、、的对边分别为，，，向量，，且. (1)求角的值； (2)若，是边上的中线，，求的面积. 56．（2026高三·河北保定·阶段检测）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边， (1)求角A； (2)若，的面积为，求b，c； (3)若，且为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围． 57．（2026·重庆·模拟预测）设的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，边上的中线，设点为的外接圆圆心，求的值. 题型9 与高线有关的问题 58．（2026高一·北京顺义·期中）已知在 中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c， (1)求A的大小; (2)若，判断下列三个条件是否能使存在且唯一，并对满足条件的求出的周长. ①边上的高线长为， ②， ③ 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 59．（2026高二·北京东城·阶段检测）已知在中，内角所对边分别为，． (1)求的大小； (2)若，判断下列三个条件是否能使存在且唯一，并对满足条件的求出的周长. ①②边上的高线长为；③. 60．（2026高二·云南玉溪·期中）已知的三个内角所对的边分别为，满足，且． (1)求； (2)若点在边上，，且满足 ，求边长； 请在以下三个条件： ①为的一条中线；②为的一条角平分线；③为的一条高线； 其中任选一个，补充在上面的横线中，并进行解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 61．（2026高二·贵州贵阳·期中）在中，A，B，C所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求BC边上的高线AD的最大值. 62．（2026高三·北京·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，然后解决下列问题： (1)求角B和的面积； (2)求AC边上的高线BD的长. 条件①：，； 条件②：，； 条件③：，. 63．（2026·全国·模拟预测）已知在△中，内角的对边分别为，且． (1)若为边上的高线，求的最大值； (2)已知为上的中线，的平分线交于点，且，求△的面积． 题型10 与外接圆、内切圆有关的问题 64．（2026高一·湖北·期中）已知的三个内角，，的对边分别为，，，且 ． (1)若，求； (2)若不是直角三角形． （Ⅰ）求的取值范围； （Ⅱ）过点作直线 分别交线段于点，设的外接圆和内切圆半径分别为和，且，求的值． 65．（2026高一·河南新乡·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A； (2)若的面积为，内角A的平分线交边于点E，，求的长； (3)若，边上的中线，设点O为的外接圆圆心，求的值. 66．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）在中，角对应边分别为，且，的面积. (1)求角的大小； (2)设边的中点为，与的外接圆交于一点（异于点），求的最小值. 67．（2026·湖北·模拟预测）记内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 68．（2026高三·重庆·阶段检测）如图为平面四边形中的角平分线，的面积为 (1)求边BC的长度； (2)若的外接圆直径求△ACD的周长. 69．（2026高一·山西·阶段检测）已知的内角A，B，C的对边分别为． (1)求A； (2)若，求的值； (3)设点O为的外接圆圆心，M是BC的中点，，若，求的值． 70．（2026高一·北京·阶段检测）已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求的值. (2)设的外接圆半径为，内切圆半径为.若，，求的周长； 71．（2026高一·黑龙江哈尔滨·开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，为锐角三角形，已知，且满足条件． (1)求的大小； (2)求面积的最大值； (3)求的内切圆半径的最大值． 72．（2026高一·湖北武汉·阶段检测）在锐角三角形中，分别是角的对边，且． (1)求角的大小； (2)若， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）求内切圆半径的最大值． 73．（2026高一·湖南长沙·阶段检测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求C的值. (2)设的外接圆半径为R，内切圆半径为r. （i）若，，求的周长； （ii）求的最大值. 题型11 解三角形在平面几何中的应用 74．（2026高三·辽宁·阶段检测）如图，在平面四边形中，. (1)若的面积为，求； (2)若，求. 75．（2026高一·河南新乡·阶段检测）如图，在四边形中，，，，． (1)求边的长度； (2)求四边形的面积； (3)求的值． 76．（2026·重庆·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求角； (2)若，，点为边上靠近点的三等分点，求的长. 77．（2026高一·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，点在线段上． (1)若，求的长； (2)若，的面积为，求的值． 78．（2026高一·陕西榆林·期中）如图，已知中，，延长至点，连接. (1)求的长； (2)若，求的长. 79．（2026·重庆北碚·模拟预测）如图，在四边形中，. (1)若，求边的长； (2)求面积的取值范围． 80．（2026高一·河北沧州·期中）如图，在中，，D为边AC上一点，且，． (1)若． （ⅰ）求； （ⅱ）求的面积； (2)若，求的取值范围． 题型12 三角函数与解三角形的综合 81．（2026高一·天津武清·阶段检测）在中，角的对边分别为，若平面向量，其中，． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 82．（2026高二·河北邢台·开学考试）已知，，，设的内角所对的边分别为，，，且． (1)若，，为角A的平分线，且交于点，求的长； (2)若的面积为，为的中点，求长的最小值； (3)若，求周长的取值范围． 83．（2026高二·贵州遵义·期末）已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，向量，，. (1)求； (2)求的取值范围. 84．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)若为锐角三角形，点F为的垂心，，求的取值范围. 题型13 解三角形与平面向量的综合 85．（2026高一·四川绵阳·阶段检测）已知的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，设向量,,且. (1)求角C； (2)若，的面积为，D为边的中点，求的长. 86．（2026·江苏淮安·模拟预测）在锐角中，内角的对边分别为．已知向量，，且． (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 87．（2026高一·福建南平·期中）已知锐角的内角所对的边为，向量，，且； (1)求角； (2)若，求周长的取值范围． 88．（2026高一·上海奉贤·期中）已知向量，，记函数． (1)求函数的最小正周期； (2)在中，若，，求面积的最大值． 89．（2026高一·贵州毕节·期中）已知向量，． (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，且，，求的面积的最大值． 90．（2026高一·辽宁大连·期中）已知，，分别为三边，，所对的角，，向量，，且. (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的周长. (3)若点是边上一点，且，，求的面积. 题型14 解三角形的实际应用 91．（2026高一·辽宁·期中）如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内．测得A到M，N的俯角和分别为，，B到M，N的俯角分别为，同时测得． (1)分别求出A，M两点间的距离及A，N两点间的距离； (2)求山顶M，N之间的距离． 92．（2026高一·上海·期中）如图，有一位于处的观测站，某时刻发现其北偏东且与相距海里的处有一货船正以匀速直线行驶，分钟后又测得该船位于观测站北偏东（其中，），且与观测站相距海里的处． (1)求的值； (2)求该船的行驶速度（海里/小时）； (3)在离观测站的正南方海里的处有一半径为3海里的警戒区域，并且要求进入警戒区域的船只不得停留在该区域超过分钟．如果货船不改变航向和速度继续前行，则该货船是否会进入警戒区域？若进入警戒区域，是否能按规定时间离开该区域？请说明理由． 93．（2026高一·福建厦门·阶段检测）如图，某建筑物顶部有一旗杆，且点、、在同一条直线上，小明在地面处观测旗杆顶端的仰角为，然后他正对建筑物的方向前进了20米到达地面的处，又测得旗杆顶端的仰角为，已知建筑物高度为12米. (1)求点到建筑物的距离； (2)求旗杆的高度. 94．（2026高三·江苏泰州·阶段检测）如图，某斜面上有两根垂直于水平面放置的标杆，杆长均为1m，阳光可视为平行光.其中一根标杆竖直立于水平地面，影子落在水平面上，影长为；另一根标杆竖直立于斜面上，影子完全投射在斜面上，影长为． (1)求平行阳光与水平面所成锐角的正弦值； (2)求的值. 95．（2026高一·河南许昌·期中）某市计划在中央公园的一块三角形空地上建休闲花园，将三角形分割成三部分，如图，在区域，分别种植薰衣草、马鞭草花田，将区域设计为下沉式水景庭院，并在水景庭院周围设置木质护栏．在中，，，M、N在BC上，且． (1)当时，求木质护栏的长度； (2)为了控制建设成本，如何设计能使水景庭院面积尽可能小？请写出设计方案，并求出水景庭院面积的最小值． 96．（2026高一·河北保定·期末）某大型商业区周边有一块三角形空地，为了优化环境，拟在此三角形区域建造一个花园，将三角形分割成三部分，如图，在区域，分别种植牡丹，芍药，将区域设计成人工湖，在人工湖周围安装护栏，已知，AC=200m，，M，N在BC上且． (1)当BN=200m时，求护栏的长度； (2)为了节约开支，如何设计能使人工湖面积尽可能小，请写出设计方案并求出人工湖面积的最小值． 97．（2026高一·上海松江·期末）在滴水湖公园湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，，其中． (1)若米，求烧烤区的面积？ (2)为了保证烧烤区的占地面积最大，那么需要修建多长的隔离防护栏？ (3)在（2）条件下，为了使得花卉观赏区的面积也尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 题型15 结构不良型 98．（2026高一·北京·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. (1)求角B的大小； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成以下两个问题的解答： （ⅰ）求b的值； （ⅱ）若是锐角三角形，求周长的取值范围. 条件①：外心（外接圆圆心）到边距离为； 条件②：. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 99．（2026高一·四川资阳·期中）在中，． (1)求A的大小； (2)若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求最长边上高线的长． 条件①：；条件②：的面积为；条件③：．（注：若选多个条件进行解答，按第一个解答计分．） 100．（2026·北京顺义·模拟预测）在中， (1)求； (2)在以下三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的值． ①；②；③面积为． $