期末复习：线面垂直的性质、面面垂直的性质专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦线面垂直与面面垂直性质应用，通过分层典例构建“性质转化-空间论证-角度计算”的逻辑训练体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线面垂直的性质|3例+3变式|线面垂直证明、线线垂直证明|以线面垂直性质为核心，连接线线垂直与面面垂直的转化| |面面垂直的性质|3例+3变式|面面垂直证明、线面垂直证明、空间角计算|体现面面垂直性质向线面垂直的转化，构建垂直关系推理链|

期末复习：线面垂直的性质、面面垂直的性质专项训练 期末复习：线面垂直的性质、面面垂直的性质专项训练 考点目录 线面垂直的性质 面面垂直的性质 考点一 线面垂直的性质 例1.(25-26高一下·陕西·期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD, PA⊥PD,PA=PD=CD,E,F分别为PA,BC的中点 E A B (I)证明：EF1/平面PCD (2)证明：BD⊥PC 例2.(25-26高二下·湖南邵阳阶段检测)如图所示，在长方体ABCD-EFGH中，AB=2√2，AD=4,AE=√3， 点M在棱EH上，点P在棱FG上，且EM=GP=1. B M (1)证明：MP⊥BH; (2)求直线BH与平面BMP所成角的余弦值. 期末复习：线面垂直的性质、面面垂直的性质专项训练 例3.(25-26高一下·天津滨海新区·期中)如图，己知在直三棱柱ABC-A,B,C1中，AC=3,AB=5,BC=4, AA=4,点D是AB的中点 C A1 . C ! D (I)求证：AC,/1平面CDB,; (2)求证：AC⊥CB; 变式1.(25-26高二下·浙江·期中.节选)如图所示，在正四棱锥S-ABCD中，SA=2,AB=√2，SP=2PD. D A D (1)证明：AC⊥SD; 2 期末复习：线面垂直的性质、面面垂直的性质专项训练 变式2.(25-26高二上北京怀柔期中)已知PA⊥平面ABC,AB是00的直径，C是⊙上的任一点.求证： B (1)BC⊥PC (2)平面PAC⊥平面PBC 变式3.(24-25高一下·河北秦皇岛·期末)如图，己知点P为ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC, ∠ABC=90°，AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,求证： B (I)BC⊥平面PAB: (2)PC⊥EF. 期末复习：线面垂直的性质、面面垂直的性质专项训练 考点二 面面垂直的性质 例1.(25-26高一下·重庆阶段检测)如图所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC, AB=2,CE=EF=1. E (I)求证：AF/平面BDE; (2)求证：CF⊥平面BDE; (③)考∠EC4=行，求直线BC与平面BDE所成角的余弦值。 例2.(25-26高一下·北京·期中)如图，在直角梯形ABCD中，ABIIDC,∠BAD=90°，AB=4,AD=2, DC=3,点E在CD上，且DE=2,将ADE沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE,G为AE中点. E C D G B (I)求证：DG⊥平面ABCE; (2)求点G到平面ADB的距离； ③)在线段BD上是否存在点P,使得CP/平面ADE?若存在，求C的值：若不存在，请说明理由. BD 期末复习：线面垂直的性质、面面垂直的性质专项训练 例3.(2526高一下·北京·期中)已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为矩形，E、F、G分别是PC、PD、BC的 中点.设平面PAD与平面PBC的交线为I,平面PAD⊥平面ABCD. D G B (1)证明：平面EFG∥平面PAB; (2)求证：BC1; (3)求证：DC⊥PA. 变式1.(25-26高一下·浙江绍兴期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角 形，平面PAD⊥平面ABCD,E为PD的中点. A B (I)证明：PBI∥平面EAC; (2)证明：平面ABE⊥平面PCD; (3)求AC与平面PCD所成角的正弦值. 5 期末复习：线面垂直的性质、面面垂直的性质专项训练 变式2.(25-26高一下·广东广州期中)如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC,ABC和△PAB都是 边长为2的正三角形. (1)证明：PC⊥AB; (②)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值. 变式3.(25-26高一下·重庆期中)在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面VAB. (I)求证：平面VBC⊥平面VAB; (2)记平面VCD与平面VAB的交线为I,试证明：11/CD; (3)若VA⊥VB,2AB=BC,求平面VCD与平面VAB所成锐二面角的余弦值的最大值. 6期末复习：线面垂直的性质、面面垂直的性质专项训练 期末复习：线面垂直的性质、面面垂直的性质专项训练 考点目录 线面垂直的性质 面面垂直的性质 考点一 线面垂直的性质 例1．（25-26高一下·陕西·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，，，，分别为，的中点.    (1)证明：平面. (2)证明：. 【答案】(1)取的中点，连接，由是的中点，得，， 由是矩形边的中点，得，则， 四边形为平行四边形，，而平面，平面， 所以平面. (2)过作于点，连接， 由平面平面，平面平面，平面， 得平面，又平面，则， 由，，得为的中点，且， 则，， ， 于是，而平面， 因此平面，又平面，所以. 【分析】（1）取的中点，利用线面平行的判定，结合平行公理及平行四边形性质推理得证. （2）过作于点，利用面面垂直的性质，线面垂直的判定及性质推理得证. 【详解】（1）略 （2）略 例2．（25-26高二下·湖南邵阳·阶段检测）如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形为菱形得，再结合长方体性质得，进而证平面，最终推出； （2）由面面垂直性质确定点在平面上的投影位置，得到线面角，再通过计算三角形边长，利用余弦定理求出该角的余弦值； 【详解】（1）证明：连接交于点，， ，故为菱形， 故，由长方体得平面， 由平面，知； 由，平面，平面， 知平面，由平面，知. （2）如图所示，连接，由（1）知，平面， 又由平面，平面平面，交线为， 故点在平面上的投影必在直线上， 故直线与平面所成角即为， 在中，， ，， 故由余弦定理得， 即直线与平面所成角的余弦值为． 例3．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）如图，已知在直三棱柱中，，，，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）连接，交于，连接． 直三棱柱中，侧面为矩形，所以点为中点． 因为点是的中点，所以． 又平面，平面，所以平面． （2）直三棱柱中，平面，因为平面，所以． 在中，，，，则，所以． 因为，平面，， 所以平面，所以． 变式1．（25-26高二下·浙江·期中·节选）如图所示，在正四棱锥中，． (1)证明：； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）连结，连结，利用线线垂直证明线面垂直得平面，再由线面垂直的性质即可得证； 【详解】（1）连结，连结，如图， 因为四棱锥是正四棱锥，所以平面， 又平面，所以，在正方形中，， 又平面，所以平面， 因为平面，所以． 变式2．（25-26高二上·北京怀柔·期中）已知平面是的直径，是上的任一点.求证：    (1). (2)平面平面. 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）由已知的线面垂直关系与圆上的垂直关系出发去推导； （2）由线面垂直推导出面面垂直. 【详解】（1）是圆的直径，是圆上一点，. 平面,平面, 又平面, 平面. 又平面, . （2）由题（1）可知平面, 又平面, 平面平面. 变式3．（24-25高一下·河北秦皇岛·期末）如图，已知点为所在平面外一点，平面，，于，于，求证：    (1) 平面； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由平面，得，结合利用线面垂直的判定定理可证得结论； （2）由（1）可得，结合可证得平面，则，再结合可证得平面，进而可证得. 【详解】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为，所以， 因为，平面， 所以平面； （2）证明：由（1）得平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以. 考点二 面面垂直的性质 例1．（25-26高一下·重庆·阶段检测）如图所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，，，． (1)求证：平面； (2)求证： 平面； (3)若 ，求直线 BC与平面BDE所成角的余弦值． 【答案】(1)设正方形对角线的交点为，连接， 由题可知，所以，又因为， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面； (2)连接，因为，且， 所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形为菱形，所以， 因为平面平面，平面平面，， 平面，所以平面， 又平面，所以， 又，平面，所以 平面； (3) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明； （2）根据面面垂直性质定理和线面垂直判定的定理证明； （3）根据线面角定义得到直线 BC与平面BDE所成角为，再计算求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）设菱形对角线交点为，连接，由（2）知平面， 所以直线与平面所成的角为， 因为，所以，又，所以为等边三角形， 所以，所以，所以， 所以. 例2．（25-26高一下·北京·期中）如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，G为中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)因为为中点，，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． (2) (3)存在， 【分析】（1）利用等腰三角形性质可得，再由面面垂直性质定理可得结论； （2）利用等体积法结合锥体体积公式求解即可； （3）利用面面平行判定定理可证明平面平面，再由其性质可证明当时，满足题意. 【详解】（1）略 （2）在直角三角形中， ∵， ∴， ∴． 又三角形的面积， 由（1）知，平面，所以三棱锥的高为， 设点到平面的距离为, 由，，而， 则， 所以,则，即， 则， 由，得， 则， 即点到平面的距离为. （3）过点作交于点，则； 过点作交于点，连接，则；如下图所示：    因为平面，平面， 所以平面． 因为，平面，平面， 所以平面． 因为，平面，平面， 所以平面平面． 因为平面，所以平面． 所以在上存在点，使得平面，且． 例3．（25-26高一下·北京·期中）已知四棱锥，底面为矩形，、、分别是、、的中点．设平面与平面的交线为，平面平面． (1)证明：平面平面； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）证明出平面，平面，利用面面平行的判定定理可证得结论成立； （2）证明出平面，利用线面平行的性质定理可证得结论成立； （3）利用面面垂直的性质得出平面，再利用线面垂直的定义可证得结论成立. 【详解】（1）因为、、分别是、、的中点，所以，， 又因为底面为矩形，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 又因为平面，平面，所以平面． 因为，、平面，所以平面平面． （2）因为底面为矩形，所以， 又因为平面，平面，所以平面． 因为平面，平面平面，所以． （3）因为四边形为矩形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，故. 变式1．（25-26高一下·浙江绍兴·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，平面平面，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)连接，交于点，连接， 四边形为正方形，是的中点， 又为的中点，， 又平面，平面，平面； (2)底面为正方形，． 平面平面，且平面平面，平面， 平面，平面，， 又是正三角形，为的中点，， ，平面， 平面． 平面，平面平面． (3) 【分析】（1）连接，交于点，连接，利用中位线的性质和线面平行的判定定理可证； （2）由面面垂直的性质定理可证平面，再由线面垂直的性质可证，最后由面面垂直的判定定理可证平面平面； （3）取的中点O，连接，由面面垂直的性质定理证明平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量计算线面角的方法计算可得结果. 【详解】（1）略 （2）略 （3）取的中点O，连接， 因为，所以， 又因为侧面底面，且侧面底面，平面， 所以平面， 如图，建立空间直角坐标系， 设，则. ， 设是平面的法向量， 则，即， 令，解得，， 设与平面所成角为，则. 变式2．（25-26高一下·广东广州·期中）如图，在三棱锥中，平面平面，和都是边长为2的正三角形． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，通过证明平面，结合线面垂直的性质可证； （2）过作平面，垂足为，连接得即为直线与平面所成的角，再结合等体积法求解即可. 【详解】（1）证明：取中点，连接， 因为，是的中点，所以． 又，是的中点，所以． 又，平面， 所以平面，又平面，所以． （2）解：由（1）知， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以 因为和都是边长为2的等边三角形， 所以， 过作平面，垂足为，连接， 则即为直线与平面所成的角， 因为， 取中点，连接，则， 因为， 所以，解得， 所以，即直线与平面所成角的正弦值. 变式3．（25-26高一下·重庆·期中）在四棱锥中，底面为矩形，平面平面． (1)求证：平面平面； (2)记平面与平面的交线为，试证明：； (3)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据四棱锥的性质，利用面面垂直的性质定理，结合面面垂直的判定定理证明结论； （2）根据矩形的性质，利用线面平行的判定定理，结合线面平行的性质定理证明结论； （3）过作于，过作交于，根据面面垂直的性质定理，得出即为平面与平面所成锐二面角，根据三角形的几何性质结合均值不等式求出的最大值，进而计算二面角余弦的最大值． 【详解】（1）已知底面为矩形，故， 平面平面，为两平面的交线， 又平面，且， 平面， 平面，且平面， 平面平面． （2） 已知底面为矩形，故， 又平面平面， 平面， 已知平面，且平面平面， 由线面平行的性质定理得，． （3） 过作于，平面平面， 由面面垂直的性质定理得，平面， 过作，交于，是矩形， 则，且， 又平面， 平面，故， ， ， ， ， ， 平面，故， 综上，，， 故即为平面与平面所成锐二面角； 设，则，在中，， 则， ，当且仅当时等号成立， ， 在中，， ， 设，令， 当增大时，减小，故增加， 随着增大而递增， 故时，取最大值，最大值为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $