专题12 空间几何体展开与最短路径问题7种常见考法归类（期末复习专项训练）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦空间几何体展开与最短路径问题，按棱柱、棱锥等7类几何体系统归类，通过典例强化空间向平面转化的解题逻辑，培养空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |棱柱展开|8题|含正方体、直四棱柱等，涉及动点路径|从特殊到一般棱柱，展开为平面矩形用勾股定理| |棱锥展开|6题|正四棱锥、三棱锥等，含侧面绕行|展开侧面为平面多边形，利用余弦定理求最短| |棱台展开|2题|正三棱台、正四棱台，含动点最值|结合台体结构特征，展开侧面梯形转化路径| |圆柱展开|8题|含缠绕问题、轴截面相关|展开为矩形，利用底面周长与高构建直角三角形| |圆锥展开|7题|涉及母线、侧面滚动，含多选型|展开为扇形，利用弧长与半径关系求路径| |圆台展开|6题|轴截面为梯形，含侧面卷绕|补全为圆锥展开，转化为扇形内两点距离| |组合体展开|5题|半正多面体、柱锥组合等复杂结构|分解为基本几何体，分步展开整合路径|

专题12 空间几何体展开与最短路径问题7种常考考法归类 题型一 棱柱展开求最短路径 题型五 圆锥展开求最短路径 题型二 棱锥展开求最短路径 题型六 圆台展开求最短路径 题型三 棱台展开求最短路径 题型七 组合体展开求最短路 题型四 圆柱展开求最短路径 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 棱柱展开求最短路径 1．（2026高一·江苏淮安·期中）在正方体中，，点在线段上，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D．8 【答案】C 【分析】连接，，将平面和平面展开到同一平面，进而可求解. 【详解】 如图1，连接，， 将平面和平面展开到同一平面， 如图2，连接，交于点， 则， 因为，所以， 所以四边形为菱形，， 则， 所以.重合时，取等号. 则的最小值是. 2．（2026高一·浙江金华·阶段检测）棱长为2的正方体，点在棱上，满足最小，则三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据题意，点为的中点，最小，再利用转化法求体积. 【详解】根据题意，将平面展开与平面共面， 连接，交于点，则点为的中点，此时最小， 则. 3．（2026高一·重庆渝北·期中）直四棱柱的所有棱长均为1，为棱上的动点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】 将所在平面与所在平面展平至同一平面内，如右图 在左图中，由于，，得是等边三角形，故． 在右图中，． 两点之间线段最短，连接，最小为． 4．（2026高一·福建厦门·期中）如图，已知正方体中，，点P为线段上的动点，Q为平面内的动点，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用几何法，结合平面展开图，可找到最小距离，通过计算即可得到答案. 【详解】 当，即可得平面，此时是最小距离， 然后把平面与平面展开成共面， 如第二个图：即可得过作的垂线，垂足为 此时，即此时取到最小值， 因为在正方体中，， 所以 ， 所以， 即的最小值是 5．（2026高一·河北保定·期中）如图，在直三棱柱中，，侧面是正方形，是线段上的动点，当取得最小值时，的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过将沿翻折至与共面，把空间中求最小值的问题，转化为平面内三点共线时的线段最短问题，结合已知边长与正方形性质，计算出相关线段长度，利用勾股定理求得等腰 的高，进而算出其面积. 【详解】如图，将沿着翻折，使其与共面， 可知当三点共线时，取得最小值. 过作，因为，侧面是正方形， 所以， 因为在直三棱柱中，，，，所以平面， 又平面，所以，翻折之后两者的垂直关系不变， 则为的中点，则， 则的边上的高为， 则的面积为. 6．【多选】（2026高一·陕西·期中）已知复数满足，则（   ） A．的虚部为1 B． C． D．在复平面内对应的点位于第一象限 【答案】ACD 【详解】因为，故虚部为1，选项A正确. ，选项B错误. ，选项C正确. 在复平面内对应的点位于第一象限，选项D正确. 7．（2026高一·河北石家庄·期中）如图，在长方体中，是棱上的一个动点，过三点的平面截长方体所得截面的周长的最小值为______． 【答案】6 【分析】作辅助线，得出截面图形，再由侧面与沿着展开，利用两点间距离最短求周长最小值. 【详解】在长方体的棱上取一点，满足，连接，． 因为，，，所以，同理可证． 则四边形为平行四边形，且是过，，三点的平面截长方体所得截面,则周长．将侧面与沿着展开，得侧面展开图如图, 当，，三点共线时，有最小值，． 8．（2026高一·山东枣庄·期中）已知直三棱柱中，，，Q点为棱的中点，一只虫子由表面从Q点爬到点的最近距离为______. 【答案】5 【分析】将直三棱柱侧面展开为长方形，结合题意计算求解即可； 【详解】将直三棱柱侧面展开如图所示： 因为，所以，， 因为， 所以结合展开图可知，从点爬到点的最近距离为. 9．（2026高一·贵州安顺·阶段检测）如图，一个加盖密封的漏斗的上面部分是一个正方体，下面部分是一个正四棱锥，该几何体所有棱长均为2米． (1)求该漏斗的表面积和体积； (2)若一只蚂蚁沿漏斗表面从点爬到点，求它爬过的最短路径的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意，根据面积公式，求得该漏斗的表面积，再由漏斗锥体部分的高米，结合体积公式，即可求解； （2）将漏斗表面展开，过点作，连接，在直角中，结合勾股定理，即可求解. 【详解】（1）由题意得，该漏斗的表面积（平方米）． 其中漏斗锥体部分的高米， 所以该漏斗的体积（立方米）． （2）将漏斗表面展开，如图所示，由两点间距离最短可得线段为蚂蚁爬行最短路径， 过点作，交的延长线于点，连接， 则米，米． 在直角中， 可得（米）， 所以蚂蚁爬过的最短路径的长为（米）． 题型2 棱锥展开求最短路径 10．（2026高一·新疆乌鲁木齐·期中）如图，三棱锥中，，为正三角形，，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先作出三棱锥的侧面展开图，利用平面图形中两点之间直线段最短可得最短路线的长. 【详解】因为，为正三角形，所以， 所以， 将三棱锥的侧面沿侧棱剪开，展开的平面图形如图所示， 则线段即为点B的最短路线的长， 因为 , 由余弦定理得到， 即， 所以，即点B的最短路线的长为. 11．（2026高一·全国·专题练习）已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】将该四棱锥沿PA剪开，展成平面图形求两点距离即得答案. 【详解】将该四棱锥沿PA剪开，展成平面图形，如图，根据两点之间线段最短.，蚂蚁爬行的最短的路线为线段， 由可得，， 由余弦定理，， 从而最短距离为. 12．（2026高二·浙江杭州·期末）已知正四棱锥的侧棱长，M为SA中点，从点M出发沿着棱锥的侧面绕一圈回到点M，其最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将正四棱锥沿展开，再结合等边三角形性质求解即可. 【详解】如图所示，将正四棱锥沿展开，由可知， 由，为中点，为中点,可知， 所以为等边三角形，即， 故从点M出发沿着棱锥的侧面绕一圈回到点M，其最短路径的长度为， 故选：A. 13．（2026高一·吉林长春·期中）在正四棱锥中，，是侧棱上靠近的四等分点，一只蚂蚁从出发沿该正四棱锥的表面爬行到，设该蚂蚁爬行的最短路径长度为，则_________ 【答案】 【分析】把正四棱锥的侧面和，沿展成一个平面图形，在中，利用余弦定理，即可求解. 【详解】根据题意，把正四棱锥的侧面和，沿展开成一个平面图形， 如图所示，可得， 因为点是上靠近的四等分点，且，可得， 在中，由余弦定理得， 即该蚂蚁爬行的最短路径长度为， 所以. 14．（2026高二·湖北孝感·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面BCD，，，已知动点E从C点出发，沿四棱锥的外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该棱锥的外接球的表面积为______．    【答案】 【分析】先展开平面图，根据最短距离，利用余弦定理求得，然后将该棱锥补成一个长方体求得其外接球的半径，进而代入球的表面积公式求解即可. 【详解】三棱锥的部分平面展开图如图所示：    设，由题意得：，， 在中，由余弦定理得：， 即，即， 解得或（舍去），如图所示：    该棱锥的外接球即为长方体的外接球， 则外接球的半径为：， 所以该棱锥的外接球的表面积为. 故答案为： 15．（2026高一·江苏南通·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，E为棱的中点，F为内（含边界）的动点． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)若点F在线段上运动，求的最小值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）求证，再利用线面平行的判定定理证明； （2）将平面沿翻折至与平面共面，利用侧面展开图的最短路径求解； （3）过作，垂足为，求证即为直线与平面所成角，计算即可. 【详解】（1）因F为的中点，E为棱的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）将平面沿翻折至与平面共面， 连接（为翻折后），即为的最小值， 在中，， 因四棱锥为正四棱锥，则， 则， 则在中，. 故的最小值为. （3）连接交于点，过作，垂足为， 因为正方形，则，则， 因为线段的中点，则为线段的中点， 因，则，， 因为四棱锥为正四棱锥，则底面， 又面，所以， 又，平面，所以平面， 故即为直线与平面所成角， 在中，在中， 所以， 故直线与平面所成角的正弦值为. 题型3 棱台展开求最短路径 16．【多选】（2026高一·湖南长沙·期末）如图，正三棱台的上、下底面边长分别为和，侧棱长为，则下列说法正确的是（    ） A．该三棱台的体积为 B．若点在棱上，则的最小值为 C．该三棱台内半径最大球的体积为 D．若过点的平面与平面平行，则平面截该三棱台所得的截面面积为 【答案】BD 【分析】利用正三棱台的结构特征，结合已知求出高，再求出体积判断A；把等腰梯形与展开置于同一平面，求出判断 B；求出体积为的球直径与棱台的高比较判断C；求出截面面积判断D. 【详解】对于A，正三棱台中，取上、下底面的中心，连接， 则，高， ，， 则三棱台的体积，A错误； 对于D，在上分别取点，使，连接， 而，则四边形均为平行四边形，即，， 而平面，平面，则平面，同理平面， 又，所以平面， 因此为平面截该三棱台所得的截面. 而，又，则为正三角形，， 截面面积，D正确； 对于B，把等腰梯形与展开置于同一平面，连接， 由选项D知，为正三角形，则，，等腰中，，则底边， 而边的中点到点的距离， 因此当点为线段与的交点时，取得最小值，B正确； 对于C，体积为的球半径，，解得，该球的直径， 则此球不可能在正三棱台内，C错误. 故选：BD. 17．（2026高一·重庆·期中）如图，在正四棱台中，，，为边上一点，且，为棱上的动点（含端点）． (1)求四棱台的体积； (2)在边上求一点，使得平面，并说明理由； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2)为边上满足的点，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据已知条件得到上下底面正方形的边长，再结合侧棱长求出正四棱台的高，最后代入棱台体积公式计算体积即可. （2）当时满足要求，先可证得，再结合线面平行的判定定理即可推出平面. （3）将侧面和侧面展开到同一平面内，根据两点之间线段最短，可知的最小值就是展开平面中线段的长度，用余弦定理即可计算得结果. 【详解】（1）由题意可知，下底边长 ，上底边长， 上下底面均为正方形，故，， 上下底面中心与同底面各顶点的距离差为： ， 设棱台高为，由勾股定理：，得， 由棱台体积公式可得： . （2）由，,可得， 因为且，故得，则， 如图，若在边上取点，满足，连接, 则因且,故得，则, 故,又因不在平面内，平面,故得平面. 即在边上存在点满足，使得平面. （3）如图将平面沿展开，使平面与平面共面， 因为棱上的动点，的最小值即图中的线段之长. 因，，可得， 则，由余弦定理， 即，故的最小值为. 题型4 圆柱展开求最短路径 18．（2026高一·安徽·阶段检测）为筹备校园文化节，同学们需装饰操场边的圆柱形灯柱.已知灯柱的高为3.2米，底面周长为0.8米.现计划从灯柱底部开始缠绕一条彩色装饰带，要求绕柱恰好三周后到达柱顶并与顶面齐平.若装饰带绷紧无松动，则装饰带的长度为（   ） A．3.6米 B．4米 C．4.4米 D．4.8米 【答案】B 【分析】由题，将灯柱侧面沿母线剪开并展开成为长方形，可得长方形的宽就是灯柱的高，长方形的长即为圆柱底面周长的3倍，装饰带的长度即为该长方形的对角线长，计算得解. 【详解】如图，将灯柱侧面沿母线剪开并展开成为长方形，长方形的宽灯柱的高米， 长方形的长三个圆柱的底面周长（米）， 装饰带的长度即为该长方形的对角线长，即为（米）. 19．（2026·四川德阳·模拟预测）边长为的正方形是圆柱的轴截面，则从点沿圆柱的侧面到相对顶点的最短距离（单位：cm）是（    ） A． B．12 C． D． 【答案】A 【分析】将圆柱展开得到从到的最短路径长即线段的长，利用勾股定理计算即可得到答案. 【详解】圆柱的侧面展开图如图所示， 展开后， ∴，即为所求最短距离． 故选：A. 20．（2026高一·甘肃定西·开学考试）如图，圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程为（   ）（取3） A．10cm B．14cm C．20cm D．无法确定 【答案】A 【分析】利用侧面展开图，结合勾股定理即可求解最短路径长. 【详解】 通过圆柱侧面展开图，可知最短路径为侧面展开图中的直角三角形的斜边， 即 故选：A. 21．（2026高一·天津河西·阶段检测）如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为，，分别是两底面的直径，，是母线．若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路线的长度是（    ）cm．（结果保留根式） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】在圆柱侧面展开图中，矩形对角线的长度即为所求. 【详解】如图，在圆柱侧面展开图中，线段的长度即为所求， 在中，，，. 故选；C 22．（2026·广西梧州·模拟预测）有这样一个古算题：“今有木长二丈四尺，围之五尺，葛生其下，缠本两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周长为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？”（注：1丈等于10尺）则这个问题中，葛藤长的最小值为（    ） A．2丈4尺 B．2丈5尺 C．2丈6尺 D．2丈8尺 【答案】C 【分析】根据两点之间线段最短，利用圆木的侧面展开图计算葛藤长的最小值. 【详解】 取圆木两个的侧面展开图如上，如图，在中，（即圆木的高）长24尺，（尺），因此葛藤长的最小值为（尺），即为2丈6尺． 故选：C. 23．（2026高一·安徽宿州·阶段检测）如图，一个矩形边长为2和6，绕它的长为6的边旋转一周后所得如图的一个开口容器（下表面密封），是中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为___________． 【答案】 【分析】将此圆柱沿剪开并展开，利用展开图，在中，根据勾股定理求解即可. 【详解】将此圆柱沿剪开并展开，设点关于的对称点为，如图所示： 易知蚂蚁需经过的最短路程为, 由题意可知此圆柱的底面半径，高， 所以， 又因为是中点， 所以, 所以, 在中， 24．（2026高一·全国·专题练习）如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形，点在下底面圆周上，且，点在母线上，点是线段上靠近点A的四等分点，则的最小值为______. 【答案】 【分析】将三角形展开到与三角形共面，分析可知，当共线时取等号，结合余弦定理运算求解. 【详解】由题意知，且，则. 将三角形展开到与三角形共面，记为三角形， 可知共线，则. 可得，当共线时取等号. 又因为， 所以在中，由余弦定理得， 即，所以的最小值为. 25．（2026高一·安徽六安·期末）我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何?”题意是:如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因为一丈等于十尺，则该圆柱的高为尺，底面周长为尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是_________尺. 【答案】 【分析】利用圆柱的展开图，由勾股定理求解即可. 【详解】解：如图： 一条直角边（即圆柱体的高）长(尺)，另一条直角边长(尺)， 根据勾股定理可知葛藤的最短长度为尺. 故答案为： 题型5 圆锥展开求最短路径 26．（2026·江西·模拟预测）陀螺也叫作“冰尜（gá）”或“打老牛”．现有一圆锥形陀螺（如图所示），其底面半径为4，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当圆锥在平面内转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则该圆锥的侧面积为（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求出圆锥侧面展开扇形的圆心角，进而可求得母线长，再根据圆锥的侧面积公式即可得解. 【详解】由题意可得圆锥侧面展开扇形的圆心角为， 设圆锥的母线长为，则 该圆锥的侧面积为． 27．【多选】（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，AC为圆锥SO底面圆的直径，点是圆上异于、的动点，，，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥SO的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为4 C．圆锥SO外接球的表面积为 D．若，为线段AB上的动点，则的最小值为 【答案】AC 【分析】先求母线，利用侧面积公式可判断A，利用体积公式可判断B，利用勾股定理求出球的半径可判断C，利用展开图结合余弦定理可判断D. 【详解】对于A，因为，，所以,其侧面积为，A正确； 对于B，三棱锥的底面积最大为，所以三棱锥体积的最大值为，B不正确； 对于C，设外接球的球心为，半径为，因为圆锥的外接球球心在高上，所以,因为，所以,解得， 所以圆锥SO外接球的表面积为，C正确； 对于D，因为，，所以，把绕边旋转，使其与共面，如图，连接，交于点，此时取得最小值， 在中，,所以， 所以, 由余弦定理， 所以的最小值为，D不正确. 28．【多选】（2026高一·山东临沂·期中）如图，圆锥的轴截面是面积为的正三角形，用平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截面圆与圆锥母线分别交于点，且，则（   ） A．圆锥的表面积为 B．圆台的高为 C．圆锥的体积为 D．从点出发沿着该圆锥侧面到达中点的最短路程为5 【答案】ABD 【分析】根据已知条件，结合圆锥的性质，利用圆锥的表面积公式计算判断选项A；利用三角形的性质及相关比例关系计算，判断选项B；利用圆锥体积公式计算判断选项C；数形结合判断选项D． 【详解】选项A：已知截面是面积为的正三角形，设边长为，则 ，解得，则底面半径，母线长， 侧面积，底面积， ，故A正确； 选项B：， ， ， ，则，故B正确； 选项C：底面半径，， ，故C错误； 选项D：圆锥的侧面展开图是圆心角为的半圆，设的中点为， 连接， 则，， ，故D正确． 29．【多选】（2026高一·江苏无锡·期中）如图，为圆锥的底面直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（    ） A．圆锥的表面积为 B．三棱锥体积的最大值为 C．的取值范围是 D．若，为线段上的动点，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据圆锥的表面积公式可判断A；由体积转化可得，然后转化为求的最大值可判断B；设，根据余弦定理可得，然后根据余弦函数的单调性可判断C；将与沿展开为同一平面，根据三点共线结合余弦定理即可判断D. 【详解】圆锥高，底面半径，母线长，底面直径， 对于A： ，A错误； 对于B：， 为直径，故， 设到的距离为，则，在圆上， 的最大值为底面半径，故，，B正确； 对于C：设，，则，在中，由余弦定理： ， 因为，故， 又为锐角，余弦函数在递减，得，C正确； 对于D：若，则为等腰直角三角形，， 又，故为等边三角形， 将与沿展开为同一平面，的最小值为到的线段长， 展开后，，由余弦定理： ， 故，即的最小值为，D正确. 30．（2026高一·河北保定·期中）如图，圆锥的母线长为1，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P处出发，绕圆锥面爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的侧面积为_________．    【答案】/ 【详解】把圆锥侧面沿母线展开如图所示的扇形，则为小虫爬行的最短路径. 由题意可知，，， 则在等腰三角形中得，则，， 则弧长为， 设圆锥底面半径为，则，得， 则圆锥的侧面积为    31．（2026高一·安徽蚌埠·期中）如图几何体是圆锥的一部分，其中，一只蚂蚁从点出发沿曲面运动到点，则这只蚂蚁行驶的最短路程是__________. 【答案】 【详解】将不完整的圆锥侧面展开，设其圆心角为，则，解得，即， 如图在中，， 则，即这只蚂蚁行驶的最短路程是． 32．（2026高一·河南·阶段检测）如图，圆锥的表面积为，是底面圆的一条直径，是的中点，，是底面圆上的两点，，劣弧的长为，． (1)若一只蚂蚁从点出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点，求该蚂蚁爬行的最短路程； (2)求证：平面． 【答案】(1) (2)证明：连接，，， 因为，分别为，的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面． 因为劣弧的长为，则， 因为，则，所以为等边三角形， 所以，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又因为，，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面． 【分析】（1）先利用圆锥的表面积公式求出及圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，再利用勾股定理求出展开图中扇形的弦长即可； （2）先通过证，，得到平面，平面，再根据面面平行的判定定理证得平面平面，进而利用面面平行的性质得到平面． 【详解】（1）由题意可知该圆锥的表面积， 又， , 解得，， 该圆锥的侧面展开图是一个圆心角为,则 ， 则该圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，半径为的扇形， 所以该扇形的弦长为，即该蚂蚁爬行的最短路程为． （2）略 题型6 圆台展开求最短路径 33．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知某圆台的轴截面为等腰梯形，其中，，．则沿该圆台表面从点到达点，最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由已知数据确定圆台母线与高，再利用侧面展开图中距离求解最短路径长即可. 【详解】根据题意，圆台上底面圆的直径为，因此上底面圆的半径为，下底面圆的直径为，因此下底面圆的半径为， 圆台的母线长为，则圆台的侧面展开图如图所示，从点到达点的最短路径即为， 假设将圆台补全为一个圆锥，设小圆锥的母线长为，则有，代入数据，解得， 所以小圆锥的母线长为，即，大圆锥的母线长为，即， 展开图的圆心角由下底面圆的周长决定，即，解得， 由于位于内侧弧长的中点，因此， 在中，，，由余弦定理得，代入数据，解得 即从点到达点的最短路径的长度为. 34．【多选】（2026高一·福建泉州·期中）已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，母线长为2，点为的中点，则（    ） A．圆台的轴截面积为 B．圆台的体积为 C．圆台的侧面积为 D．在圆台的侧面上，从C点到E点的最短路径长为5 【答案】AD 【分析】求出等腰梯形的高，进而求出面积判断A；利用圆台体积、侧面积公式求解判断BC；利用圆台侧面展开图求解判断D. 【详解】对于A，圆台的高即轴截面等腰梯形的高， 因此圆台的轴截面面积为，A正确； 对于B，圆台的体积，B错误； 对于C，圆台的侧面积，C错误； 对于D，圆台侧面展开图是半圆环，如图， 在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为线段长， ，由为中点，得， 所以，D正确.    故选：AD 35．（2026高一·全国·课堂例题）如图所示，圆台的上、下底面半径分别为和，母线，从圆台母线的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到A点．则绳子的最短长度为______；当绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离为______．    【答案】 4 【分析】将圆台侧面展开，利用两点之间线段最短即可求解第一空，第二空求点到线距离即可.. 【详解】如图所示，将圆台侧面展开，则绳子的最短长度为侧面展开图中的长度．    设，由得，所以， ，． 在中，． 所以绳子的最短长度为． 如图所示，过O作于Q，交弧于P，则长为所求最短距离． 因为，即，所以， 所以，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为． 故答案为：，. 36．（2026高一·广东汕头·期中）如图，已知圆台的轴截面为梯形，，，梯形的高为，圆台的体积为________；在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长度是________． 【答案】 / 【分析】①由，得圆台的下底面和上底面的半径，结合梯形的高为圆台的高，利用圆台的体积公式即可求解；②由圆台性质，延长，，交于点，由与相似即可计算，设该圆台的侧面展开图的圆心角为，计算出圆心角，在侧面展开图中，连接，，即可计算出的最短距离. 【详解】①由，，得圆台的下底面的半径为，上底面的半径为，圆台的高为， 所以圆台的体积为. ②在梯形中，，即母线长为3， 如图，由圆台性质，延长，，交于点， 由与相似，得，即，解得， 设该圆台的侧面展开图的圆心角为， 则，所以， 在侧面展开图中，连接，，则从点到的最短路径为线段， 又在中，，，， 由余弦定理得， 所以. 验证知，由，，，得， 此时，恰与扇形弧所在圆相切于点，满足题意. 故答案为：，. 37．（2026高一·福建泉州·期中）如图，圆台的上、下底面圆心分别为，，上底面半径，下底面半径，母线． (1)求此圆台的侧面积和体积； (2)把一根绳从线段的中点开始沿着侧面卷绕一圈到点，求这根绳的最短长度． 【答案】(1)体积为，侧面积为 (2)21 【分析】（1）根据圆台的侧面积公式以及体积公式，可得答案； （2）由题意，作圆台的侧面展开图，利用弧度制的定义，建立方程，解得圆心角以及半径，利用余弦定理可得答案. 【详解】（1）为圆台的高，如图，在梯形中，作，垂足为， 则，， ， 在中，，， ． ∴圆台的高， 圆台的体积为， 圆台的侧面积为 （2）如图，延长圆台的两条母线交于一点，将圆台沿母线侧面展开， 连接，则线段的长度即为这根绳的最短长度， ，，即， 解得，， ∵圆台的下底面周长为， ∴弧的长度为，， 在中，，，， 由余弦定理得：， ， 故这根绳的最短长度为21. 38．（2026高一·广东广州·期中）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，． (1)求圆台的高； (2)求圆台轴截面的面积； (3)若一只蚂蚁从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，求所经过的最短路程． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）作交于，利用勾股定理求解即可； （2）利用梯形的面积公式求解； （3）把空间图形展开为平面图形，先求出圆心角，再利用两点间的距离最短即可求解． 【详解】（1）如图1，作交于， 易得， 则，则圆台的高为． （2）圆台的轴截面面积为：． （3）把圆台补成圆锥可得大圆锥的母线长为，底面半径为， 圆锥侧面展开图的圆心角为， 设的中点为，连接（如图2）， 可得， 则， 所以沿着该圆台表面从点到中点的最短距离为． 题型7 组合体展开求最短路 39．（2026高一·江苏无锡·期中）半正多面体亦称“阿基米德体”或“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为2，点M，N分别在线段，上，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将几何体展开为平面图形，利用两点之间线段最短求的最小值. 【详解】将该半正多面体展开为平面，且在线段两侧（两线段在两点之间），如下图所示，      由半正多面体中，棱长为2，得，， 且，故， 所以，当且仅当在展开图中共线时等号成立. 故选：D. 【点睛】方法点睛： 空间图形求表面上折线段之和最小值时，关键是弄清几何体中的有关点、线在展开图中的相应位置关系，解决的方法就是把各侧面展开铺在平面上，根据“平面内连结两点的线段最短”的方法来解决. 40．（2026高一·广东佛山·阶段检测）现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍． (1)求该几何体的表面积； (2)若分别为棱的中点，求四面体的体积； (3)若分别是线段上的动点，求的最小值． 【答案】(1) (2)96 (3) 【分析】（1）连接，则，求得，得到，且，结合棱锥的侧面积公式和正方形的面积公式，即可求解； （2）解法1：根据题意，得到三棱锥为底面边长为，侧棱长正三棱锥， 解法2：作于点，于点，结合割补法，利用棱柱和棱锥的体积公式，即可求解； 解法3：利用体积转换法，化简，结合锥体的体积公式，即可求解. （3）将长方形， 和 展开在一个平面，设，求得的值，得到当四点共线时，最短，结合余弦定理，即可求解. 【详解】（1）连接，则，因为，所以， 所以正方形中，可得， 又因为，在中，， 故四棱锥的侧面积为， 又由正方体5个面的面积为， 所以多面体的表面积为． （2）解法1：在直角中，可得，则， 又由，同理可得：， 所以三棱锥为底面边长为，侧棱长为正三棱锥， 如图所示，过点作底面的高，垂足为， 因为底面是正三角形，故是正三角形的重心，可得, 所以，即三棱锥的高为， 所以． 解法2：如图所示，作于点，于点． 则， 其中， 所以． 解法3：转换法，由 , 所以四面体的体积为. （3）如图所示，将长方形， 和 展开在一个平面， 可得， 设， ，所以， 所以，， ， 当四点共线时，最短， 所以， 所以的最小值为． 41．（2026高一·浙江·期中）《九章算术》是我国古代内容丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，将底面为矩形的棱台称为“刍童”．在如图所示的“堑堵”与“刍童”的组合体中，已知，且三棱锥的体积为． (1)求该组合体的体积； (2)若点为线段上的动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设刍童的高为，利用几何体的体积公式，转化求解即可； （2）根据两点之间线段最短，当三点共线时取得最小值，即的长. 【详解】（1）设棱台的高为， 由，得， 记上底面的面积为，下底面的面积为， 则， 所以， 又， 所以该组合体的体积为； （2）将绕着直线旋转至平面， 当三点共线时，取得最小值． 因为， 所以在中， 所以的最小值为． 42．（2026高一·黑龙江哈尔滨·期中）已知矩形ABCD中，，，分别为中点，为对角线交点，如图1所示．现将和剪去，并将剩下的部分按如下方式折叠：沿将，折叠，并使与重合，与重合，连接，得到由平面，，，围成的无盖几何体，如图2所示．    (1)求证：平面； (2)若为棱上动点，求的最小值； (3)求此多面体体积的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）在图2中，取的中点，连，，，通过证明，，可证平面； （2）将侧面与展开在一个平面内，根据两点间线段最短可求出结果； （3）根据对称性得，因为的面积为定值，所以当平面平面时，三棱锥体积最大，由此计算可得结果. 【详解】（1）在图2中，取的中点，连，，， 因为，为的中点，所以， 同理得，， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面.    （2）将侧面与展开在一个平面内，如图： 当点是与的交点时，最小， 在图1中，，，所以 因为，，，，，， 所以，所以， 所以. 所以的最小值为.      （3）根据图形的对称性可知，， 因为的面积为，为定值， 所以当点到平面的距离最大值时，三棱锥体积最大，此时平面平面，点到平面的距离等于点到的距离，等于， 所以此多面体体积的最大值为. 43．（2026高三·湖北武汉·阶段检测）如图，一个几何体由一个长方体与一个半圆柱组成，且，分别为圆柱上下底面的直径，，，设，试求：（以下结果用表示） (1)该几何体的表面积与体积； (2)从点沿几何体表面到点的最短距离； 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）直接计算体积和表面积得到答案. （2）当路径经过正方体表面时，；当路径经过半圆柱表面时，，根据大小关系得到答案. 【详解】（1）几何体的体积为： ； 几何体的表面积为：， （2）当路径经过正方体表面时，； 当路径经过半圆柱表面时，； 取，即， 当时，，， 当时，，， 即 $专题12 空间几何体展开与最短路径问题7种常考考法归类 题型一 棱柱展开求最短路径 题型五 圆锥展开求最短路径 题型二 棱锥展开求最短路径 题型六 圆台展开求最短路径 题型三 棱台展开求最短路径 题型七 组合体展开求最短路 题型四 圆柱展开求最短路径 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 棱柱展开求最短路径 1．（2026高一·江苏淮安·期中）在正方体中，，点在线段上，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D．8 2．（2026高一·浙江金华·阶段检测）棱长为2的正方体，点在棱上，满足最小，则三棱锥的体积为（   ） A． B． C． D．1 3．（2026高一·重庆渝北·期中）直四棱柱的所有棱长均为1，为棱上的动点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 4．（2026高一·福建厦门·期中）如图，已知正方体中，，点P为线段上的动点，Q为平面内的动点，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 5．（2026高一·河北保定·期中）如图，在直三棱柱中，，侧面是正方形，是线段上的动点，当取得最小值时，的面积为（    ） A． B． C． D． 6．【多选】（2026高一·陕西·期中）已知复数满足，则（   ） A．的虚部为1 B． C． D．在复平面内对应的点位于第一象限 7．（2026高一·河北石家庄·期中）如图，在长方体中，是棱上的一个动点，过三点的平面截长方体所得截面的周长的最小值为______． 8．（2026高一·山东枣庄·期中）已知直三棱柱中，，，Q点为棱的中点，一只虫子由表面从Q点爬到点的最近距离为______. 9．（2026高一·贵州安顺·阶段检测）如图，一个加盖密封的漏斗的上面部分是一个正方体，下面部分是一个正四棱锥，该几何体所有棱长均为2米． (1)求该漏斗的表面积和体积； (2)若一只蚂蚁沿漏斗表面从点爬到点，求它爬过的最短路径的长． 题型2 棱锥展开求最短路径 10．（2026高一·新疆乌鲁木齐·期中）如图，三棱锥中，，为正三角形，，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 11．（2026高一·全国·专题练习）已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ） A．6 B． C． D． 12．（2026高二·浙江杭州·期末）已知正四棱锥的侧棱长，M为SA中点，从点M出发沿着棱锥的侧面绕一圈回到点M，其最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． 13．（2026高一·吉林长春·期中）在正四棱锥中，，是侧棱上靠近的四等分点，一只蚂蚁从出发沿该正四棱锥的表面爬行到，设该蚂蚁爬行的最短路径长度为，则_________ 14．（2026高二·湖北孝感·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面BCD，，，已知动点E从C点出发，沿四棱锥的外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该棱锥的外接球的表面积为______．    15．（2026高一·江苏南通·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，E为棱的中点，F为内（含边界）的动点． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)若点F在线段上运动，求的最小值； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 题型3 棱台展开求最短路径 16．【多选】（2026高一·湖南长沙·期末）如图，正三棱台的上、下底面边长分别为和，侧棱长为，则下列说法正确的是（    ） A．该三棱台的体积为 B．若点在棱上，则的最小值为 C．该三棱台内半径最大球的体积为 D．若过点的平面与平面平行，则平面截该三棱台所得的截面面积为 17．（2026高一·重庆·期中）如图，在正四棱台中，，，为边上一点，且，为棱上的动点（含端点）． (1)求四棱台的体积； (2)在边上求一点，使得平面，并说明理由； (3)求的最小值． 题型4 圆柱展开求最短路径 18．（2026高一·安徽·阶段检测）为筹备校园文化节，同学们需装饰操场边的圆柱形灯柱.已知灯柱的高为3.2米，底面周长为0.8米.现计划从灯柱底部开始缠绕一条彩色装饰带，要求绕柱恰好三周后到达柱顶并与顶面齐平.若装饰带绷紧无松动，则装饰带的长度为（   ） A．3.6米 B．4米 C．4.4米 D．4.8米 19．（2026·四川德阳·模拟预测）边长为的正方形是圆柱的轴截面，则从点沿圆柱的侧面到相对顶点的最短距离（单位：cm）是（    ） A． B．12 C． D． 20．（2026高一·甘肃定西·开学考试）如图，圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程为（   ）（取3） A．10cm B．14cm C．20cm D．无法确定 21．（2026高一·天津河西·阶段检测）如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为，，分别是两底面的直径，，是母线．若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路线的长度是（    ）cm．（结果保留根式） A． B． C． D．4 22．（2026·广西梧州·模拟预测）有这样一个古算题：“今有木长二丈四尺，围之五尺，葛生其下，缠本两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周长为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？”（注：1丈等于10尺）则这个问题中，葛藤长的最小值为（    ） A．2丈4尺 B．2丈5尺 C．2丈6尺 D．2丈8尺 23．（2026高一·安徽宿州·阶段检测）如图，一个矩形边长为2和6，绕它的长为6的边旋转一周后所得如图的一个开口容器（下表面密封），是中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为___________． 24．（2026高一·全国·专题练习）如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形，点在下底面圆周上，且，点在母线上，点是线段上靠近点A的四等分点，则的最小值为______. 25．（2026高一·安徽六安·期末）我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何?”题意是:如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因为一丈等于十尺，则该圆柱的高为尺，底面周长为尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是_________尺. 题型5 圆锥展开求最短路径 26．（2026·江西·模拟预测）陀螺也叫作“冰尜（gá）”或“打老牛”．现有一圆锥形陀螺（如图所示），其底面半径为4，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当圆锥在平面内转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则该圆锥的侧面积为（     ）    A． B． C． D． 27．【多选】（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，AC为圆锥SO底面圆的直径，点是圆上异于、的动点，，，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥SO的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为4 C．圆锥SO外接球的表面积为 D．若，为线段AB上的动点，则的最小值为 28．【多选】（2026高一·山东临沂·期中）如图，圆锥的轴截面是面积为的正三角形，用平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截面圆与圆锥母线分别交于点，且，则（   ） A．圆锥的表面积为 B．圆台的高为 C．圆锥的体积为 D．从点出发沿着该圆锥侧面到达中点的最短路程为5 29．【多选】（2026高一·江苏无锡·期中）如图，为圆锥的底面直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（    ） A．圆锥的表面积为 B．三棱锥体积的最大值为 C．的取值范围是 D．若，为线段上的动点，则的最小值为 30．（2026高一·河北保定·期中）如图，圆锥的母线长为1，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P处出发，绕圆锥面爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的侧面积为_________．    31．（2026高一·安徽蚌埠·期中）如图几何体是圆锥的一部分，其中，一只蚂蚁从点出发沿曲面运动到点，则这只蚂蚁行驶的最短路程是__________. 32．（2026高一·河南·阶段检测）如图，圆锥的表面积为，是底面圆的一条直径，是的中点，，是底面圆上的两点，，劣弧的长为，． (1)若一只蚂蚁从点出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点，求该蚂蚁爬行的最短路程； (2)求证：平面． 题型6 圆台展开求最短路径 33．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知某圆台的轴截面为等腰梯形，其中，，．则沿该圆台表面从点到达点，最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． 34．【多选】（2026高一·福建泉州·期中）已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，母线长为2，点为的中点，则（    ） A．圆台的轴截面积为 B．圆台的体积为 C．圆台的侧面积为 D．在圆台的侧面上，从C点到E点的最短路径长为5 35．（2026高一·全国·课堂例题）如图所示，圆台的上、下底面半径分别为和，母线，从圆台母线的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到A点．则绳子的最短长度为______；当绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离为______．    36．（2026高一·广东汕头·期中）如图，已知圆台的轴截面为梯形，，，梯形的高为，圆台的体积为________；在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长度是________． 37．（2026高一·福建泉州·期中）如图，圆台的上、下底面圆心分别为，，上底面半径，下底面半径，母线． (1)求此圆台的侧面积和体积； (2)把一根绳从线段的中点开始沿着侧面卷绕一圈到点，求这根绳的最短长度． 38．（2026高一·广东广州·期中）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，． (1)求圆台的高； (2)求圆台轴截面的面积； (3)若一只蚂蚁从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，求所经过的最短路程． 题型7 组合体展开求最短路 39．（2026高一·江苏无锡·期中）半正多面体亦称“阿基米德体”或“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为2，点M，N分别在线段，上，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 40．（2026高一·广东佛山·阶段检测）现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍． (1)求该几何体的表面积； (2)若分别为棱的中点，求四面体的体积； (3)若分别是线段上的动点，求的最小值． 41．（2026高一·浙江·期中）《九章算术》是我国古代内容丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，将底面为矩形的棱台称为“刍童”．在如图所示的“堑堵”与“刍童”的组合体中，已知，且三棱锥的体积为． (1)求该组合体的体积； (2)若点为线段上的动点，求的最小值． 42．（2026高一·黑龙江哈尔滨·期中）已知矩形ABCD中，，，分别为中点，为对角线交点，如图1所示．现将和剪去，并将剩下的部分按如下方式折叠：沿将，折叠，并使与重合，与重合，连接，得到由平面，，，围成的无盖几何体，如图2所示．    (1)求证：平面； (2)若为棱上动点，求的最小值； (3)求此多面体体积的最大值． 43．（2026高三·湖北武汉·阶段检测）如图，一个几何体由一个长方体与一个半圆柱组成，且，分别为圆柱上下底面的直径，，，设，试求：（以下结果用表示） (1)该几何体的表面积与体积； (2)从点沿几何体表面到点的最短距离； $