2025-2026学年苏科版七年级数学下册期末必刷测试卷

**基本信息** 苏科版七年级数学期末卷以科学情境（如水分子数量）、实际应用（如长方体容器制作）及新定义问题（如“和谐方程”）为载体，融合抽象能力、模型意识与几何直观，实现基础巩固与创新应用的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|整式运算、方程与不等式、几何变换|第1题结合科学数据考查数感，第9题折叠问题培养空间观念| |填空题|6/18|新定义运算、命题判断、动态几何|第15题旋转射线垂直问题，发展推理意识与运算能力| |解答题|8/72|计算、证明、实际应用、规律探究|第23题容器制作融合方程与不等式，考查模型意识；第24题图形面积推导公式，强化几何直观与创新思维|

2025-2026学年苏科版七年级数学下册期末必刷测试卷 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．水由水分子组成，水中约有个水分子，则水中有（   ）个水分子． A． B． C． D． 2．已知 是方程的一个解，那么的值是（    ） A． B． C． D． 3．若单项式和单项式的积与是同类项，则的值为（   ） A．10 B．3 C．5 D．7 4．如图，在三角形中，，，，将三角形沿方向平移，得到三角形，与相交于点，连接，则阴影部分的两个三角形周长之和为（   ） A． B． C． D． 5．下列各命题的逆命题是真命题的是（   ） A．对顶角相等 B．内错角相等 C．若，则 D．若，则 6．方程组有正整数解，则整数的个数是（    ） A． B． C． D． 7．已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 8．已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（    ） A． B． C． D． 9．如图所示，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠．折痕分别为AB、CD，点恰好落在折叠后的边上，设，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 10．已知关于的二元一次方程的解如下表： … 0 1 2 … … 5.5 5 4.5 4 3.5 3 … 关于的二元一次方程的解如下表： … 0 1 2 … … 5 1 … 则关于的二元一次方程的解是（     ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．我们规定：若，则，例如：因为，所以． （1）根据上述规定，计算__________； （2）若．则a，b，c之间的数量关系是__________． 12．判断命题“如果某不等式的解集有两个正整数解，那么”是假命题的一个反例中a可以是_________． 13．已知是彼此互不相等的有理数，且，，那么与的大小关系是__________（填“”，“”，“”，“”或“”） 14．若关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数a的值之和为________． 15．如图，分别过直线上的点和点作射线、，，，射线从开始绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从开始绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，在射线旋转一周的过程中，经过____秒，射线、射线所在的直线互相垂直． 16．我们探究发现，关于、的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于、、z的方程的正整数解有_______组． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．计算下列各题： (1) (2)（简便运算） (3) 18．计算： (1) (2)； (3) 19．如图，有三个论断：①，②，③ (1)如果以①和②作为题设，③作为结论，请你写出该命题__________ (用文字写出)，该命题是__________命题 (选填“真”或“假”) (2)若（1）中的命题为真命题，请你完成证明过程；若为假命题，请你说明理由．已知__________，求证__________ 20．如图，将三角形平移，使点与点重合，点、的对应点分别是点、．此时点的坐标是． (1)请画出平移后的三角形，则点的坐标为________； (2)若点是三角形内的一点，则平移后对应点的坐标为________； (3)三角形的面积是多少？ 21．我们给出以下两个定义： ①三角形； ②3×3的方格图． 请你根据上面两个定义，解答下列问题： (1)填空： ， ； (2)若，求的值． 22．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“和谐方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，恰好在的范围内，所以方程是不等式组的“和谐方程”．结合新定义，按要求解答下面问题： (1)在方程①；②；③中，不等式组的“和谐方程”有__________；（只填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“和谐方程”，求m的取值范围． 23．用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖的长方体容器．    (1)根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 张 正方形铁片的数量 张 2张 则________，________； (2)现有长方形铁片240张，正方形铁片110张，如果两种铁片刚好全部用完，那么可加工成竖式和横式长方体容器各有几个？ (3)已知此竖式容器的售价为50元/个，横式容器的售价为60元/个．若五金店老板计划支付1000元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要），则有哪几种方案可供选择？ 24．利用若干个长与宽分别为，的小长方形（或边所在的直线）可画出如图1，2所示的大正方形，用两种方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式． (1)由图1得到的等式是____________________；由图2得到的等式是____________________． (2)根据（1）中的结论，若，则__________． (3)将正方形和正方形如图所示方式摆放，点，，，在同一条直线上，点，分别是，中点，连接，，，，，，，根据（1）中的结论求与的面积差． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版七年级数学下册期末必刷测试卷 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．水由水分子组成，水中约有个水分子，则水中有（   ）个水分子． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数乘方的应用，根据“水中约有个水分子，”，则水中含有的水分子的个数为，再利用有理数的乘方和同底数幂的乘方进行运算即可．掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵水中约有个水分子，， ∴， ∴水中有个水分子． 故选：B． 2．已知 是方程的一个解，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方程的解满足方程，将已知解代入原方程，求解关于的一元一次方程即可得到答案． 【详解】解： 是方程的一个解， 将代入原方程， 可得：， 整理得：， 解得：． 3．若单项式和单项式的积与是同类项，则的值为（   ） A．10 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，同类项的定义，代数式求值．根据单项式乘以单项式结合同类项的定义求出和的值，再代入到中计算即可求解． 【详解】解：单项式和单项式的积为 ， ∵单项式和单项式的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴，， ∴，， ∴． 故选：D． 4．如图，在三角形中，，，，将三角形沿方向平移，得到三角形，与相交于点，连接，则阴影部分的两个三角形周长之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质，对应点连线平行且相等、对应边相等，可将阴影部分两个三角形的分散边长，转化为原三角形的三边之和，即可求解． 【详解】解：由平移得，， ∵点是与的交点， ∴，， ∴阴影部分的两个三角形周长之和为： ． 5．下列各命题的逆命题是真命题的是（   ） A．对顶角相等 B．内错角相等 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了逆命题、真假命题、内错角、对顶角、平方根以及等式性质等知识．依据内错角、对顶角的定义以及平方根的运算法则、等式性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A、“对顶角相等”其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，这个命题是假命题，故不合题意； B、“内错角相等”其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是内错角”，这个命题是假命题，故不合题意； C、“若，则”其逆命题为“若，则”，这个命题是真命题，故符合题意： D、“若，则”其逆命题为“若，则”，这个命题是假命题，故不合题意． 故选：C． 6．方程组有正整数解，则整数的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用消元法得到关于的表达式，变形后根据条件筛选出符合要求的整数，统计个数即可. 【详解】解：， ①②得 ， 解得 ， 由②得 ， ∵方程组有正整数解，为整数， ∴均为正整数，只需为正整数， ∴为正整数，且， ∴是的正约数，且， ∴的可能取值为， ∴对应整数为，共个． 7．已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘多项式，合并同类项，准确熟练地进行计算是解题的关键． 计算并合并同类项，由于表达式与无关，令的系数为零求解的值即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ∴ ∵的值与无关 ∴ ∴ 故选：B． 8．已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先变形化简，，，，比较11次幂的底数大小即可． 【详解】因为，，，， 因为， 所以， 所以， 故即； 同理可证 所以， 故选A． 【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，熟练掌握幂的乘方及其逆运算是解题的关键． 9．如图所示，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠．折痕分别为AB、CD，点恰好落在折叠后的边上，设，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由折叠的性质可得，所以，，再根据三角形的内角和可得的值． 【详解】解：由折叠的性质可知， ∴，， 在中，， 即， 解得：． 10．已知关于的二元一次方程的解如下表： … 0 1 2 … … 5.5 5 4.5 4 3.5 3 … 关于的二元一次方程的解如下表： … 0 1 2 … … 5 1 … 则关于的二元一次方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元思想，将和看作整体，先找出两个原二元一次方程的公共解，得到关于的新方程组，再用消元法求解． 【详解】解：可化为， 由表格可知，，同时满足两个原方程， 因此可得，整理得 得：，解得， 将代入得 ，解得， 因此方程组的解为． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．我们规定：若，则，例如：因为，所以． （1）根据上述规定，计算__________； （2）若．则a，b，c之间的数量关系是__________． 【答案】 【分析】（1）根据新定义，即可求解； （2）根据题意得出，，进而根据同底数幂的乘法的逆用，即可求解． 【详解】解：（1）因为，所以； （2）根据规定，因为，所以，同理， 因为，所以，所以， 所以． 12．判断命题“如果某不等式的解集有两个正整数解，那么”是假命题的一个反例中a可以是_________． 【答案】2.2（答案不唯一） 【分析】只要从满足条件的数中找到一个数，使结论不成立，就可以说明命题是假命题． 【详解】解：当时，满足某不等式的解集即有两个正整数解1和2，但，即不成立， 故a可以是2.2． 13．已知是彼此互不相等的有理数，且，，那么与的大小关系是__________（填“”，“”，“”，“”或“”） 【答案】 【分析】设，代入多项式M和N，然后根据作差法计算的值，利用平方的非负性可推出计算结果与0的关系． 【详解】解：设， 则 是彼此互不相等的有理数， ∴． 14．若关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数a的值之和为________． 【答案】 【分析】先解关于y的一元一次方程得到y关于a的表达式，根据y为非负整数得到a的取值范围，再解关于x的不等式组，根据已知解集确定a的限制条件，最后找出所有符合条件的整数a计算求和即可． 【详解】解： 解得 ∵关于y的方程有非负整数解， ∴ ∴，且a为整数； 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵关于x的不等式组的解集为， ∴ ∴ ∴， ∴所有符合条件的整数a的值有，，，， ∴ ∴所有符合条件的整数a的值之和为． 15．如图，分别过直线上的点和点作射线、，，，射线从开始绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从开始绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，在射线旋转一周的过程中，经过____秒，射线、射线所在的直线互相垂直． 【答案】15或60 【分析】本题考查了一元一次方程的运用、旋转的性质等知识点，在旋转中把角度表示出来是解答本题的关键． 情况一：如图：，，又，所以，故；情况二：如图：，，所以，故． 【详解】解：情况一，如图： ∴， ∴， 又∵，， ∴，解得：； 情况二，如图： ∴， ， 又∵， ∴，解得：． 综上，在射线旋转一周的过程中，经过15或60秒，射线、射线所在的直线互相垂直． 故答案为：15或60． 16．我们探究发现，关于、的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于、、z的方程的正整数解有_______组． 【答案】55 【分析】先把看作整体，得到的正整数解有10组；再分析分别等于不同值，所对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数． 【详解】解：令， 则的正整数解中的值可以是， 的正整数解有组， 、的方程的正整数解有1组， 的正整数解有2组， 的正整数解有3组， 的正整数解有4组， 的正整数解有5组， 的正整数解有6组， 的正整数解有7组， 的正整数解有8组， 的正整数解有9组， 的正整数解有10组， 关于、、z的方程的正整数解有组． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．计算下列各题： (1) (2)（简便运算） (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）先进行乘方运算，再进行乘法运算即可； （）把原式转化为，再利用完全平方公式和平方差公式计算即可； （）利用负整数指数幂、零指数幂、绝对值的性质及积的乘方的逆运算分别化简，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 18．计算： (1) (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先去括号，再合并同类项，化系数为进行计算即可； （2）利用代入消元法进行计算即可； （3）先利用加减消元法得到二元一次方程组，再利用加减消元法进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， 由②得：， 将③代入①式，得：， 解得， ， 故； （3）解：， ①②得：， ①③得：， ④⑤得：，即， 将代入⑤式，解得， 将，代入③式，解得， 故． 19．如图，有三个论断：①，②，③ (1)如果以①和②作为题设，③作为结论，请你写出该命题__________ (用文字写出)，该命题是__________命题 (选填“真”或“假”) (2)若（1）中的命题为真命题，请你完成证明过程；若为假命题，请你说明理由．已知__________，求证__________ 【答案】(1)若，则；真 (2)； 证明：， ， ， ， ， ， 又， ． 【分析】（1）选择①和②为题设，③作为结论写出对应的命题，再判断真假即可； （2）写出已知和求证，结合平行线的性质与判定条件证明即可． 【详解】（1）略 （2）略． 20．如图，将三角形平移，使点与点重合，点、的对应点分别是点、．此时点的坐标是． (1)请画出平移后的三角形，则点的坐标为________； (2)若点是三角形内的一点，则平移后对应点的坐标为________； (3)三角形的面积是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的平移以及面积的计算，熟练掌握平面直角坐标系中点的平移是解题的关键． （1）由题意可知将点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点，根据此特点再将点，向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点，，然后依次连接可得，最后根据点的位置得出答案； （2）由（1）可得，平移规律，即可得到点的坐标； （3）用三角形外围矩形面积减去周围个直角三角形面积，即可． 【详解】（1）解：即为所求； 点． （2）解：由（1）可得，平移的规律为：向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度； ∴． （3）解：． 21．我们给出以下两个定义： ①三角形； ②3×3的方格图． 请你根据上面两个定义，解答下列问题： (1)填空： ， ； (2)若，求的值． 【答案】(1)16；48 (2)18 【分析】（1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义得到，根据同底数幂的乘法得到，进而可知，再根据新定义计算的值即可． 【详解】（1） 解：， ； （2）解：依题意， ∴， ∴， ∴ ． 22．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“和谐方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，恰好在的范围内，所以方程是不等式组的“和谐方程”．结合新定义，按要求解答下面问题： (1)在方程①；②；③中，不等式组的“和谐方程”有__________；（只填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“和谐方程”，求m的取值范围． 【答案】(1)③ (2) 【分析】（1）求出各个方程解和不等式组的解集，根据定义进行判断即可； （2）求出方程解和不等式组的解集，根据“和谐方程”的定义得到关于m的不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ①，解得； ②，解得； ③，解得， 只有在内， ∴不等式组的“和谐方程”有③； 故答案为：③ （2）解：解得到， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∵关于的方程是不等式组的“和谐方程”， ∴， 解得 23．用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖的长方体容器．    (1)根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 张 正方形铁片的数量 张 2张 则________，________； (2)现有长方形铁片240张，正方形铁片110张，如果两种铁片刚好全部用完，那么可加工成竖式和横式长方体容器各有几个？ (3)已知此竖式容器的售价为50元/个，横式容器的售价为60元/个．若五金店老板计划支付1000元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要），则有哪几种方案可供选择？ 【答案】(1)， (2)可加工成竖式长方形容器30个，横式长方体容器40个 (3)方案1：采购14个竖式容器，5个横式容器；方案2：采购8个竖式容器，10个横式容器；方案3：采购2个竖式容器，15个横式容器 【分析】（1）观察两种无盖容器的结构，分别数出制作1个容器所需的长方形、正方形铁片数量，直接得出、的值； （2）设竖式、横式容器的数量为未知数，根据长方形和正方形铁片的总数量列二元一次方程组，解方程组得到结果； （3）设两种容器的采购数量为未知数，根据总费用列二元一次方程，结合正整数的条件求出所有符合的解，得到采购方案． 【详解】（1）解：，； 1个横式无盖容器：个正方形侧面个长方形面（前后+底面），故； 1个竖式无盖容器：个正方形底面个长方形侧面，故； （2）解：设可加工成竖式长方形容器个，横式长方体容器个． 可以列出方程组，     解得．     答：可加工成竖式长方形容器30个，横式长方体容器40个． （3）解：设采购个竖式容器，个横式容器， 根据题意得：，     解得， 又因为，均为正整数， 所以或或， 故共有3种方案可供选择： 方案1：采购14个竖式容器，5个横式容器； 方案2：采购8个竖式容器，10个横式容器； 方案3：采购2个竖式容器，15个横式容器． 24．利用若干个长与宽分别为，的小长方形（或边所在的直线）可画出如图1，2所示的大正方形，用两种方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式． (1)由图1得到的等式是____________________；由图2得到的等式是____________________． (2)根据（1）中的结论，若，则__________． (3)将正方形和正方形如图所示方式摆放，点，，，在同一条直线上，点，分别是，中点，连接，，，，，，，根据（1）中的结论求与的面积差． 【答案】(1)； (2)4 (3)62 【分析】（1）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积和加上2个长方形的面积求解第一个公式；根据阴影部分的面积等于四个长方形的面积，也等于边长为的正方形的面积减去边长为的正方形的面积，求解第二个公式； （2）设，，可得，，再进一步求解即可. （3）连接，设，，可得，，可得，表示，，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：根据题意，图1得到的等式是；由图2得到的等式是. （2）解：∵， 设，， ∴，， 由（1）知： ∴， ． （3）解：连接， 设，， M是的中点，F是的中点， ，，，， 正方形，正方形， ，， ， ， ， ，， ，， ， ∵， ∴ ∵ ， 或， ， ， ， ， 答：与的面积差为62． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $