基本不等式【8个题型】讲义-2025年暑假新高一数学常考题型归纳

2025年暑假新高一数学常考题型归纳 【基本不等式】 总览 题型梳理 【知识点清单】 1．基本不等式：≤； (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b. (3)基本不等式的变形： ①a＋b≥2，常用于求和的最小值； ②ab≤2，常用于求积的最大值； 2．常用不等式： (1)重要不等式：a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)； (2)重要不等式链：≥ ≥≥； 3.已知x>0，y>0，则 (1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)． (2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)． 注意：使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 4基本不等式求最值常用方法： (1) “1”字代换法； (2) 配凑法：即配凑积或和为定值的形式； (3)解不等式法； 5.使用基本不等式求最值， “一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 6对勾型 ， 容易出问题的地方，在于能否“取等”, 7对勾添加常数型 对于形如，则把cx+d转化为分母的线性关系：可消去。不必记忆，直接根据结构转化 8.“1”的代换 .利用常数代换法。多称之为“1”的代换 9.几个重要不等式9 （1）_（）； （2） （）； （3）2（）； （4）__ 或（）； （5） 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：基本不等式求和与积的最值】 知识讲解 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 例题精选 【例题1】已知，且，则的最大值是（   ） A． B． C．1 D． 【例题2】已知，，若，则的（   ） A．最小值为4 B．最大值为4 C．最小值为8 D．最大值为8 相似练习 【相似题1】已知，则的最小值为（   ） A．1 B．4 C．8 D．16 【相似题2】若正实数，满足，则的最大值是 ． 【相似题3】已知x，y为正实数，，求的最大值． 【题型2：基本不等式适用条件的考察】 知识讲解 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 例题精选 【例题1】若满足，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【例题2】下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 【例题3】无字证明即无需语言的证明（proof without words），本质上是一种数学语言，形式上是隐含数学命题或定理的证明的图象或图形，可能包含数学符号、记号、方程，但不附带文字．如图，C为线段AB上的点，且，，O为AB的中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则下面可由进行无字证明的不等式为（   ）    A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】下列不等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【相似题2】多选题《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.根据这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，是半圆的直径，点是上一点（不同于，，），点在半圆上，且，于点.设，，则该图形可以完成的“无字证明”为（   ）    A． B． C． D． 【题型3：配凑法】 知识讲解 1.“对勾”型凑配分母的倍数型。 2.给和求积和给积求和最值型，要注意字母对应系数是否需要凑配，凑配原则是均值定值时字母的系数 例题精选 【例题1】已知，的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D．5 【例题2】．已知，则函数的最小值为 ． 相似练习 【相似题1】求下列各题的最值． (1)已知，求的最小值； (2)设，求函数的最大值． 【相似题2】已知，求的最大值； 【题型4：换元法】 例题精选 【例题1】已知，且，则的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 【例题2】若实数 满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】若，，且，则的最小值是 . 【相似题2】若正实数x、y满足，则的最小值是 . 【题型5：反解带入法】 知识讲解 条件等式和所求等式之间互化难以实现，可以借助反解代入消元，再重新构造。 例题精选 【例题1】已知且，则的最小值为（ ）． A． B． C．2 D．4 【例题2】若正实数x，y满足，则的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 相似练习 【相似题1】已知且，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D．6 【相似题2】已知，，且，则的最小值为 ． 【题型6：因式分解法】 知识讲解 1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理 2.最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1） 例题精选 【例题1】已知，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D．1 【例题2】多选题已知 为正实数， ，则下列说法正确的是（   ） A． B． 的最小值为 -1 C．的最小值为 12 D． 的最小值为 相似练习 【相似题1】若，，且，则的最小值是 . 【相似题2】已知正数a，b满足，则的最小值为 ． 【题型7：二次比一次&一次比二次】 知识讲解 一般是齐次型分式，可以考虑同除，构造单变量型，或者构造对勾型。 例题精选 【例题1】若，则的最小值是 . 【例题2】求下列函数的最值． (1)已知，求的最大值； (2)已知，求的最小值． 相似练习 【相似题1】求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 【相似题2】解决下列问题： (1)求函数的最小值； (2)若，且，求的最小值. (3)求函数的最小值； 【题型8：基本不等式“1”的代换】 知识讲解 主要是利用.利用常数代换法。多称之为“1”的代换 （1）条件和结论有“分子分母”特征；（2）可以乘积出现对构型，再用均值不等式。注意取等条件 例题精选 【例题1】设，，且，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 【例题2】已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 相似练习 【相似题1】若，则的最小值为（   ） A．24 B．26 C．32 D．92 【相似题2】已知，，且，则的最小值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【相似题3】已知正数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 课后针对训练 一、单选题 1．已知正数x，y满足，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．函数的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．已知实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C．8 D．12 二、多选题 4．设正实数满足，则（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为5 D．有最大值为 5．已知.则下列说法正确的是（    ） A．ab的最大值为 B．的最大值为3 C．的最小值为 D．的最小值为 6．设正实数满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 7．已知，为正实数，，则（   ） A．的最大值为1 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值3 三、填空题 8．已知x，y均为正数，，则的最小值 . 9．已知，则的最小值为 ． 10．已知，则的最小值是 ． 11．已知，且，则的最小值是 ． 12．已知，且，则的最小值是 . 四、解答题 13．求最值： (1)已知，且满足，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，且满足，求的最小值. 14．（1）已知，求的最小值； （2）已知两正数满足，求的最小值． 15．回答下列问题 (1)已知，求的最大值 (2)已知正数，，，满足，，的最小值为，求，的值 (3)已知，且，求的最小值 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年暑假新高一数学常考题型归纳 【基本不等式】 总览 题型梳理 【知识点清单】 1．基本不等式：≤； (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b. (3)基本不等式的变形： ①a＋b≥2，常用于求和的最小值； ②ab≤2，常用于求积的最大值； 2．常用不等式： (1)重要不等式：a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)； (2)重要不等式链：≥ ≥≥； 3.已知x>0，y>0，则 (1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)． (2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)． 注意：使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 4基本不等式求最值常用方法： (1) “1”字代换法； (2) 配凑法：即配凑积或和为定值的形式； (3)解不等式法； 5.使用基本不等式求最值， “一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 6对勾型 ， 容易出问题的地方，在于能否“取等”, 7对勾添加常数型 对于形如，则把cx+d转化为分母的线性关系：可消去。不必记忆，直接根据结构转化 8.“1”的代换 .利用常数代换法。多称之为“1”的代换 9.几个重要不等式9 （1）_（）； （2） （）； （3）2（）； （4）__ 或（）； （5） 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：基本不等式求和与积的最值】 知识讲解 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 例题精选 【例题1】已知，且，则的最大值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由基本不等式求最值即可. 【详解】因为， 所以，当且仅当时等号成立， 故选：D 【例题2】已知，，若，则的（   ） A．最小值为4 B．最大值为4 C．最小值为8 D．最大值为8 【答案】A 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】由于，，所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 故选：A 相似练习 【相似题1】已知，则的最小值为（   ） A．1 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】由基本不等式可得答案. 【详解】，当且仅当，即时取等号. 故选：C 【相似题2】若正实数，满足，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可求最大值. 【详解】因为正实数，满足， 可由基本不等式可得：， 当且仅当取等号， 所以的最大值是， 故答案为： 【相似题3】已知x，y为正实数，，求的最大值． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，为正实数，且， 所以， 当且仅当，，即，时，等号成立． 所以， 故的最大值为：. 【题型2：基本不等式适用条件的考察】 知识讲解 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 例题精选 【例题1】若满足，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】AB通过分析a，b符号，可判断选项正误； C由基本不等式可判断选项正误； D由作差法结合AB分析可判断选项正误. 【详解】对于AB，因，则a，b同号，当a，b都为负数时， 显然，，故AB错误； 对于C，由基本不等式，因，则，， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，，则当a，b都为负数时， ，故D错误. 故选：C 【例题2】下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 【答案】B 【分析】利用基本不等式的条件、取等号的条件逐项判断. 【详解】对于A，当时，显然不成立，A错误； 对于B，当时，，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，当时，，当且仅当时取等号，而，不能取到等号，C错误； 对于D，取，，D错误. 故选：B 【例题3】无字证明即无需语言的证明（proof without words），本质上是一种数学语言，形式上是隐含数学命题或定理的证明的图象或图形，可能包含数学符号、记号、方程，但不附带文字．如图，C为线段AB上的点，且，，O为AB的中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则下面可由进行无字证明的不等式为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用射影定理求得，结合整理得出正确答案. 【详解】由于是圆的直径，所以，圆的半径为， 而，由射影定理得. 在直角三角形中，， 由射影定理得， 由，所以. 故选：A 【点睛】这道题的设计较为经典，结合了几何和代数的知识点，对考生的基础知识要求较高,有助于考查学生的综合能力.题目的解题过程按照逻辑顺序展开，先利用射影定理，再结合圆和直角三角形的性质，这样的分析过程符合数学解题的思路. 相似练习 【相似题1】下列不等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式使用的条件判断即可. 【详解】对于A：当时，，故A错误； 对于B：取，，故B错误； 对于C：当时，无意义，故C错误； 对于D：，取等条件为，即，故D正确. 故选：D 【相似题2】多选题《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.根据这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，是半圆的直径，点是上一点（不同于，，），点在半圆上，且，于点.设，，则该图形可以完成的“无字证明”为（   ）    A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据圆中弦长关系，可得不等式，成立.. 【详解】，可得半径 在中，由射影定理可知：，   ， ， （），故B正确， 同理，在中，由射影定理可知：， 即， ，即， ，C正确， 对于A、D选项，图中的线段无法判断. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：利用几何关系得出不等式，需有一定的识图能力与分析能力. 【题型3：配凑法】 知识讲解 1.“对勾”型凑配分母的倍数型。 2.给和求积和给积求和最值型，要注意字母对应系数是否需要凑配，凑配原则是均值定值时字母的系数 例题精选 【例题1】已知，的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】由题意有，利用均值不等式即可求解. 【详解】由，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 故选：C. 【例题2】．已知，则函数的最小值为 ． 【答案】7 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由于，则， 当且仅当，即时取到等号， 故最小值为7， 故答案为：7 相似练习 【相似题1】求下列各题的最值． (1)已知，求的最小值； (2)设，求函数的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用基本不等式，直接求解，即可得到答案； （2）根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：由，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为. （2）解：由，可得， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为. 【相似题2】已知，求的最大值； 【答案】1 【分析】将变形为，然后利用基本不等式求解最大值即可. 【详解】∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，上式等号成立， 故当时，． 【题型4：换元法】 例题精选 【例题1】已知，且，则的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】化简式子，然后使用基本不等式计算. 【详解】由，且， 所以， ， 当且仅当，即，时取等号， 所以，所以的最小值为. 故选：D 【例题2】若实数 满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：把用表示化简，再应用基本不等式计算得出最大值；法二：令，再化简应用基本不等式计算得出最大值； 【详解】法一：由实数 满足， 设，解得， 则， 当且仅当，及时等号成立， 所以的最大值为. 法二：令， 则 ， 由得， 故， 当且仅当即即时，取“=”， 故选：D. 相似练习 【相似题1】若，，且，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由变形为，化应用基本不等式可求最小值． 【详解】因为满足， 所以，即，即， 所以， 所以 ， 所以当且仅当，即，时取“”，解得 所以的最小值为， 故答案为：． 【相似题2】若正实数x、y满足，则的最小值是 . 【答案】1 【分析】变形，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正实数x、y满足，故， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为1. 故答案为：1 【题型5：反解带入法】 知识讲解 条件等式和所求等式之间互化难以实现，可以借助反解代入消元，再重新构造。 例题精选 【例题1】已知且，则的最小值为（ ）． A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】先由已知等式得到，再由基本不等式求解可得. 【详解】已知，且，，其中, ， 当且仅当时取等号. 故选：B 【例题2】若正实数x，y满足，则的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】整理等式，根据基本不等式，可得答案. 【详解】由有，则，当且仅当时，等号成立. 故选：D． 相似练习 【相似题1】已知且，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】法一：由得，可得，进而结合基本不等式求解即可； 法二：由得，由，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】已知，且， 法一：由得， 则 ， 当且仅当时取等号，则的最小值为； 法二：由得， 则， 当且仅当，即，时取等号， 则的最小值为． 故选：B. 【相似题2】已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用消元思想，把二元变量转化为一元变量，再利用基本不等式来求最小值即可. 【详解】由可得：， 因为，所以， 又因为，所以， 则， 因为，所以由基本不等式得：， 当且仅当，即时取等号，此时. 故答案为：. 【题型6：因式分解法】 知识讲解 1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理 2.最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1） 例题精选 【例题1】已知，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据已知得，进而有，应用基本不等式求最小值即可. 【详解】由题设且，则， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的最小值是0. 故选：A 【例题2】多选题已知 为正实数， ，则下列说法正确的是（   ） A． B． 的最小值为 -1 C．的最小值为 12 D． 的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据题意，化简得到，令，得到，结合函数单调性，可判定A正确；由，得到，结合二次函数的性质，可得判定B正确；化简，利用基本不等式，可得判定C不正确；由，得到，可判定D正确. 【详解】由，可得， 对于A中，令，则且， 可得，则， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 可得，所以，所以A正确； 对于B中，由，可得， 则， 当且仅当时，取得最小值，所以B正确； 对于C中，由， 当且仅当时，即时，即时，等号成立，所以C不正确； 对于D中，由， 可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为，所以D正确. 故选：ABD. 相似练习 【相似题1】若，，且，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由变形为，化应用基本不等式可求最小值． 【详解】因为满足， 所以，即，即， 所以， 所以 ， 所以当且仅当，即，时取“”，解得 所以的最小值为， 故答案为：． 【相似题2】已知正数a，b满足，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】变形，再结合基本不等式即可求解. 【详解】因， 则 当且仅当时取等号， 故的最小值为4． 故答案为： 【题型7：二次比一次&一次比二次】 知识讲解 一般是齐次型分式，可以考虑同除，构造单变量型，或者构造对勾型。 例题精选 【例题1】若，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】依题意利用基本不等式计算可得. 【详解】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 【例题2】求下列函数的最值． (1)已知，求的最大值； (2)已知，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基本不等式可求得的最大值； （2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当， 即时，等号成立，故的最大值为． （2）因为，所以． 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，函数取得最小值. 相似练习 【相似题1】求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将函数解析式化为，利用基本不等式可求得该函数的最大值； （2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值； （3）由已知条件可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）当时， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数的最大值为. （2）当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. （3）因为，且，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因为恒成立，则，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 【相似题2】解决下列问题： (1)求函数的最小值； (2)若，且，求的最小值. (3)求函数的最小值； 【答案】(1)3； (2)9； (3)10. 【分析】（1）由基本不等式可得答案； （2）注意到，后由基本不等式可得答案； （3）令，则，后由基本不等式可得答案. 【详解】（1） ∵， ∴（当且仅当，即时取等号） ∴的最小值为3； （2）因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时，， 所以的最小值为9. （3）令，则， ∴ 当且仅当即时取等号 ∴的最小值为10. 【题型8：基本不等式“1”的代换】 知识讲解 主要是利用.利用常数代换法。多称之为“1”的代换 （1）条件和结论有“分子分母”特征；（2）可以乘积出现对构型，再用均值不等式。注意取等条件 例题精选 【例题1】设，，且，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】解析：，当且仅当，即，即，时取等号. 【例题2】已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】首先根据已知条件将变形为，然后利用“1”的代换，结合均值不等式进行求解即可. 【详解】已知，得， 代入得： 由于，， 得： 当且仅当，即：，时等号成立. 故的最小值为. 故选：A 相似练习 【相似题1】若，则的最小值为（   ） A．24 B．26 C．32 D．92 【答案】C 【分析】利用基本不等式‘1’的代换求解即可. 【详解】因为， 所以， 由基本不等式可得，即， 当且仅当时取等，此时解得，， 则的最小值为32，故C正确. 故选：C 【相似题2】已知，，且，则的最小值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】整理题干中的等式，根据基本不等式中隐藏“1”的解题方法，可得答案. 【详解】由，则， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故选：B. 【相似题3】已知正数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本不等式化简可得最值. 【详解】由，得， 所以 ， 当且仅当，即，时取得等号． 故选：B. 课后针对训练 一、单选题 1．已知正数x，y满足，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．函数的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．已知实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C．8 D．12 二、多选题 4．设正实数满足，则（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最小值为5 D．有最大值为 5．已知.则下列说法正确的是（    ） A．ab的最大值为 B．的最大值为3 C．的最小值为 D．的最小值为 6．设正实数满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 7．已知，为正实数，，则（   ） A．的最大值为1 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值3 三、填空题 8．已知x，y均为正数，，则的最小值 . 9．已知，则的最小值为 ． 10．已知，则的最小值是 ． 11．已知，且，则的最小值是 ． 12．已知，且，则的最小值是 . 四、解答题 13．求最值： (1)已知，且满足，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，且满足，求的最小值. 14．（1）已知，求的最小值； （2）已知两正数满足，求的最小值． 15．回答下列问题 (1)已知，求的最大值 (2)已知正数，，，满足，，的最小值为，求，的值 (3)已知，且，求的最小值 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C C C BC ACD ACD ACD 1．C 【分析】化简得到，再结合基本不等式即可求出. 【详解】因，则， 因x，y为正数，则，得，等号成立时， 则的最小值为. 故选：C 2．C 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】， 当且仅当，即时，函数取得最小值4. 故选：C. 3．C 【分析】利用“1”的代换，由基本不等式求最小值． 【详解】由，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：C. 4．BC 【分析】利用基本不等式判断ABC，设，，则取最大值时，即最大，将代入结合的取值范围求的最大值判断D. 【详解】因为，且满足， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为，A说法错误； 因为， 可得，当且仅当时等号成立， 所以有最小值为，B说法正确； 由可得， 当且仅当，即，时等号成立， 所以有最小值为5，C说法正确； 设，则， 当取最大值时，即最大， 将代入得， 因为，所以，， 所以，， 所以的最大值取不到，D说法错误； 故选：BC 5．ACD 【分析】根据给定条件，利用基本不等式、“1”的妙用逐项判断即可. 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D， ，当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：ACD 6．ACD 【分析】根据条件，利用基本不等式，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为正实数满足，则， 所以， 当且仅当时，取等号，所以A正确， 对于B，因为， 当且仅当时，取等号，得到，所以B错误， 对于C，因为，当且仅当时，取等号，得到，所以C正确， 对于D，因为， 当且仅当时，取等号，所以D正确， 故选：ACD. 7．ACD 【分析】根据已知等式，结合基本不等式的“1”的巧用，分式分离，平方转化等方法逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，，为正实数，，所以， 当且仅当时，的最大值为1，故A正确； 对于B，由于，由A选项可知， 所以，所以的最小值为2，故B不正确； 对于C， ， 因为，为正实数，，所以， 则， 当且仅当，即时，的最小值为，故C正确； 对于D，，当且仅当时，的最小值3，故D正确. 故选：ACD. 8． 【分析】应用基本不等式计算求解. 【详解】已知x，y均为正数，，则， ， 当且仅当取最小值. 故答案为：. 9．3 【分析】对目标式子变形后由基本不等式求解即可. 【详解】由于，所以，故， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：3 10．2 【分析】变形式子，由均值等式求最值即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当．即时，等号成立． 故答案为：2 11． 【分析】由基本不等式的常数代换，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，且，所以， 所以． 当且仅当时，即，即时，取等号． 故答案为： 12． 【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，且， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号. 故答案为： 13．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用基本不等式即可； （2）利用基本不等式求的最小值，再求的最大值即可； （3）先化简得，再利用的妙用化简即可. 【详解】（1）因为，且，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，有最小值，最小值为； （2）因为，则，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以当时，有最大值，最大值为； （3）因为，所以， 因为，所以， 当且仅当，即，即时取等号， 故当时，有最小值，最小值为. 14．（1）；（2）. 【分析】（1）通过配凑将原式变形为，然后利用基本不等式求解出最小值； （2）先化简得到，然后采用常数代换法求解出最小值. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为； （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 15．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由已知可得，然后利用基本不等式即可求解最大值； （2）由已知可得，然后利用基本不等式可得，又，即可求解，； （3）由已知可得，将原式变形可得，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，的最大值为； （2）， 当且仅当时等号成立， 因为的最小值为，所以，所以，即， 又因为，解得或； （3）因为，，， 所以， 所以， 当且仅当，且，即，时等号成立， 所以的最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$