第03讲 集合的基本运算（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版

第03讲 集合的基本运算 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 并集的相关计算（含并集运算结果求参数范围） 题型2 交集的相关计算（含交集运算结果求参数范围） 题型3 补集的相关运算（含补集运算结果求参数范围） 题型4 并集、交集、补集的混合运算 题型5 Venn图在集合运算中的应用 题型6 集合新定义题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 并集 交集 全集 补集 1. 理解交集、并集、补集的数学定义，熟记对应符号，能准确识别基础集合运算形式； 2. 熟练掌握集合三种基本运算的运算法则，能够独立完成基础集合的求值与化简运算； 3. 会借助 Venn 图和数轴分析集合运算，直观理解运算本质，提升数形结合解题能力； 4. 能运用集合基本运算解决含参数题型，精准判断端点取值，规避常见解题易错点. 学习重点：理解并熟练掌握集合的交集、并集、补集的定义、符号表示与运算规则. 学习难点：结合数轴、韦恩图求解含参数集合的运算问题，并准确区分端点能否取等号. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 集合的并集与交集 基本运算 并集 交集 定 义 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集 符号表示 （读作“A并B”） （读作“A交B”） 图形表示 数学语言 示 例 已知集合 则 已知集合 则 运算性质 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身 任何集合与其本身的交集等于这个集合本身 任何集合与空集的并集等于这个集合本身 任何集合与空集的交集都是空集 交换律 交换律 结合律 结合律 任何集合与它子集的并集都是它本身 任何集合与它的子集的交集都是这个集合的子集 任何集合都是该集合与另一集合并集的子集 两个集合的交集是其中任一集合的子集 即时即练 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，因为，所以. 【方法总结】 （1）并集定义中的 “或” 指的是只要满足其中一个条件即可. （2）集合中的公共元素在它们的并集中只出现一次.（需要严格遵守元素的互异性） 即时即练 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以. 【方法总结】 交集定义中的 “且” 是 “同时” 的意思，即 A 与 B 的所有公共元素组成 . 知识点02 集合全集与补集 1、全集的概念 自然语言 一般地，如果一个集合包含所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U. 符号语言 若，则U为全集. 图形语言 2、补集的概念 自然语言 若集合A是全集U的一个子集，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作. 符号表示 图形表示 示 例 已知全集，，则 3、补集的运算性质 性质 定义 一个集合与其补集的并集是全集 一个集合与其补集的交集是空集 一个集合的补集的补集是其本身 全集的补集是空集 空集的补集是全集 在同一全集中，相等集合的补集也相等 在同一全集中，任何集合的补集是其子集的补集的子集 在全集U中，集合A与集合B的补集没有公共元素，等价于 集合A是集合B的子集 在全集U中，集合A与集合B的补集的并集等于全集U，等价于 集合B是集合A的子集 即时即练 已知集合，若，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合，又，则集合. 【方法总结】 (1) 补集是相对于全集而言的，若没有定义全集，则不存在补集的说法，且补集的元素不能超出全集的范围. (2) 符号 的三层含义：① ；② ；③ 是由 U 中不属于 A 的所有元素组成的集合. 知识点03 区间 1、一般区间的表示： 设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：这里的实数叫做区间的端点. 在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示. 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 2、实数集R 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”：“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 3、特殊区间的表示 定义 符号 数轴表示 ≥ ≤ 即时即练 集合或用区间表示为___________ 【答案】 【详解】由或，则区间为． 【方法总结】 (1) 含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号，以 “” 或 “” 为区间的一端时，这端必须用小括号. (2) 用区间表示集合时，要注意区间的左端点值一定要小于右端点值，否则为空集. 题型1 并集的相关计算（含并集运算结果求参数范围） 角度1：并集运算 【例1】（1）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为集合，，所以，即D正确. 【方法总结】 类型1：列举法集合（直接合并去重）： ①把两个集合所有元素全部列出来，②删掉重复元素，③写成集合形式. 类型2：描述法数集求并集，常用数轴法（适用于不等式、区间形式的集合） ①在数轴上画出两个集合范围，②取覆盖到的全部区域，③写出结果（区间 / 集合形式）. 【变式1-1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以 角度2：根据并集运算结果求参数范围 【例2】（1）已知集合，，若中恰有三个元素，则由a的取值组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为中恰有三个元素，所以或或， 结合集合中元素的互异性，解得或或（舍去）或. （2）已知集合或，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合或，，，所以． （3）已知集合，.若，求m的取值范围. 【答案】 【详解】由可得， 当时，，即，满足题意； 当时，需满足，解得； 综上可得，m的取值范围为. 【方法总结】 类型1：集合为离散数集（列举法），由并集求参数. ①根据并集定义：参数必须是并集中的元素； ②结合集合互异性（元素互不相等）筛除重复解； ③逐一验证，确定参数值. 类型2：已知（即）： ①分类讨论： 两种情况（空集优先讨论，极易漏解）； ②分别列不等式组，借助数轴限定范围； ③单独检验区间端点取值； ④合并所有符合条件的参数范围 类型3：已知某确定区间（比如：R，等） ① 画出已知并集的数轴范围； ② 画出集合的区间，保证两个区间合起来铺满目标范围； ③ 列不等式组约束参数，重点核对衔接处端点； ④ 排除矛盾情况，得出范围. 【变式2-1】设已知集合.若，求实数a的取值范围. 【答案】 【详解】由，得. ①当时，即，解得，此时，符合题意； ②当时，即，解得， 所以，解得； 所以实数a的取值范围是. 【变式2-2】集合或．若，求的取值范围； 【答案】； 【详解】全集，集合或， 由，得，解得， 所以的取值范围为． 题型2 交集的相关计算（含交集运算结果求参数范围） 角度1：交集运算 【例3】（1）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知集合，，故. （2）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，所以. （3）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】联立两个直线方程得方程组，解得，所以. 【方法总结】 类型1：列举法集合（去公共元素去重）： ①对比两组元素；②提取公共元素；③写成集合形式. 类型2：描述法 / 区间数集求交集，常用数轴法：取两个区间重叠部分 ①数轴画出两个集合范围；②截取重叠区域；③写出结果，注意端点. 类型3：点集求交集：求两个图形的交点，交点个数就是交集的元素个数. 【变式3-1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，又因为，所以， 角度2：根据交集运算结果求参数范围 【例4】（1）集合，集合，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，集合，，则，解得， 当时，，，此时，不符合题意； 当时，，，此时，符合题意. （2）已知集合，集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 当时，则，解得， 当时，则，解得：． 综上所述，的取值范围为. （3）已知集合，或．若，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】由，有，解得，所以实数的取值范围为． 【方法总结】 类型1：集合为离散数集（列举法），由并集求参数. ①根据并集定义：参数必须是并集中的元素； ②结合集合互异性（元素互不相等）筛除重复解； ③逐一验证，确定参数值. 类型2：已知（即）： ①分类讨论： 两种情况（空集优先讨论，极易漏解）； ②非空时，借助数轴列出区间包含的不等式组； ③单独检验区间端点取值； ④合并所有符合条件的参数范围. 类型3：已知 ① 讨论集合为空集的情况（空集与任意集合交集为空）； ② 集合非空时，数轴分析：A 整体在 B 左侧 或 A 整体在 B 右侧； ③ 列不等式，重点核对端点等号. 【变式4-1】已知集合.，求实数m的取值范围. 【答案】 【详解】若，则, 当时，，即； 当时，，得， 则实数m的取值范围为. 【变式4-2】已知集合，若，求实数t的取值范围. 【答案】或. 【详解】若， 当时，，即， 当时，，解得， 综上，t的范围为或 题型3 补集的相关运算（含补集运算结果求参数范围） 角度1：交集运算 【例5】（1）已知全集，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，则， （2）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式，解得，所以， ，则有或， 所以. 【方法总结】 类型1：有限列举型集合求补集： ①化简结合，写出全集全部元素；②去掉属于集合A的元素；③剩余元素组成补集. 类型2：不等式 / 区间型集合求补集，常用数轴法 ①画出数轴，标注全集与集合A的范围； ②原区间含端点（实心），补集该处为空心；原区间空心，补集该处为实心； ③写出最终区间. 【变式5-1】已知全集，集合，，（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得， 又，所以. 【变式5-2】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 因为,所以. 角度2：根据补集运算结果求参数范围 【例6】（1）设全集，集合，则的值为（    ） A． B．和 C． D． 【答案】C 【详解】由题知，因为，所以，，. （2）已知集合，，若，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【详解】由集合，可得， ，可得集合与集合有公共元素，.故答案为：. （3）已知集合，，全集为.若，求实数m的取值范围. 【答案】 【详解】由得，， 当时，由，可得，即； 当时，由，， 可得，解得， 综上所述，实数m的取值范围为. 【方法总结】 类型1：已知补集，反求原集合中的参数. ①由补集定义 ，写出集合 A 的范围；； ②若为区间集合，对比左右端点列方程；若为有限集，对应元素列方程； ③验证端点 / 集合互异性. 类型2：补集运算转化为子集关系求参： ①分类转化为子集关系：，； ②根据子集关系求出参数的取值范围. 【变式6-1】全集 ，求 a. 【答案】1 【详解】由 得 ，因此 ，解得 【变式6-2】记全集，已知集合，．若，求的取值范围． 【答案】． 【详解】依题意，或， 因为，所以，所以 解得，故的取值范围为． 题型4 并集、交集、补集的混合运算 【例7】（1）若全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A：若，则，所以， 与矛盾，故A错误； B：若，则，所以， 与矛盾，故B错误； C：若，则， 由，得，所以， 与矛盾，故C错误； D：若，则， 由，得， 所以，故D正确. （2）设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，即，则， 又，故. 【方法总结】 并集、交集、补集混合运算方法步骤： 第一步：确定运算优先级 ①优先计算括号内运算；②其次计算补集；③最后计算交集、并集（从左至右依次运算）. 第二步：根据集合特点，分类型解决： （1） 有限列举型集合： ①按运算顺序逐步化简集合；②求交集取公共元素，求并集合并元素并去重； ③求补集即在全集中剔除对应集合元素. （2） 不等式 / 区间型集合 ①借助数轴标注各集合范围，区分实心、空心端点； ②按优先级运算：先标出补集范围，再取重叠区域（交集）或全部覆盖区域（并集）； ③整合区间，规范书写结果. 【变式7-1】已知全集，集合，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题，，， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 题型5 Venn图在集合运算中的应用 【例8】若全集，集合，或，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【详解】由集合，或，得或， 由韦恩图得图中阴影部分所表示的集合为. 【方法总结】 依据 Venn 图求阴影部分集合运算结果 方法步骤： （1）确定矩形为全集，分清图中各个圆所代表的集合. （2）分析阴影区域构成：根据阴影区域的构成，将阴影拆解为交、并、补的组合形式. （3）按照运算逻辑写出对应的集合表达式. （4）核对区域范围，确认运算符号、括号使用无误，整理最终结果. 【变式8】设为全集，集合是的真子集，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图可知，图中阴影的部分表示集合.故选：A 题型6 集合新定义题 【例9】对于集合A，B，定义集合且，已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】结合新定义可知，又， 所以． 【方法总结】 集合新定义题的解题方法步骤： （1）理解定义：读懂题目新规则、新符号，明确运算要求与适用条件； （2）转化翻译：将陌生定义转化为集合交、并、补、子集等常规运算； （3）代入求解：把已知集合代入规则计算，含参数则分类讨论； （4）检验作答：验证结果符合定义与集合性质，规范写出答案. 【变式9】设,为非空集合，定义，且，已知，，则（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【详解】由于，， 所以， 所以或. 一、单选题 1．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，所以. 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则. 3．已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 所以阴影部分所表示的集合为 4．设集合，，且，则的子集个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【详解】因，则，，于是得，解得，因此，， 即，，则有， 所以的子集个数为. 5．已知集合，集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合， 所以， 由于， 所以. 6．已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，集合A中的整数为0，1，2，3．因为，所以集合中至少有3个整数，所以集合中的两个整数只能为0，1或2，3． 若集合中的两个整数是2，3，则解得； 若集合中的两个整数是0，1，则解得． 综上可得，或，即的取值范围是． 二、多选题 7．设集合，，集合中所有元素之和为7，则实数a的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】ABC 【详解】. ，或， 当时，，，因为，所以符合题意； 当时，，显然中必含有， 因为，所以， 综上所述：实数a的值为. 8．已知集合为全集，集合，是的子集，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由题意作出如图所示的Venn图， 由，知，没有共同元素， 所以，所以，A项正确； 而，仅才有成立，B项错误； 由图可知，仅才有成立，此外皆有，C项错误； 而，D项正确． 9．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】全集，集合，， 则或， 对于A，，A不是； 对于B，，，B是； 对于C，，C不是； 对于D，，D是. 三、填空题 10．已知集合，，若，则______． 【答案】 【详解】因为，所以， 当时，，此时，即； 当时，，此时，所以成立； 当时，，此时，即. 11．设全集，，，则集合__________． 【答案】 【详解】因为，， 所以集合中没有0,1,8,9， 又，所以集合中有2,4，同时 ，说明集合中没有5,7,10， 综上，集合. 12．设集合，集合，若中恰有2个元素，且定义，则的子集个数是__________． 【答案】 【详解】因为集合且中恰有2个元素， 则，所以， 又，所以，， 又， 所以， 所以的子集有个. 四、解答题 13．设集合 ，，，求： (1); (2); (3) 【答案】(1)；(2)；(3)或； 【详解】（1）由，，可得. （2）因为，，所以. （3）因为，或， 或. 14．已知集合， (1)当时，求； (2)在①②中任选一个作为已知，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为，所以，或， 当时，， 因此，. （2）解：选条件①或②，都有，     当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上：，因此，实数的取值范围为. 15．已知集合，或，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【详解】（1）解：由集合，或， 可得或，则或. （2）解：由（1）知，，或， 所以或，可得， 当时，即时，，此时满足； 当时，即时，要使得， 则满足或，解得或， 综上可得，实数的取值范围为. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 集合的基本运算 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 并集的相关计算（含并集运算结果求参数范围） 题型2 交集的相关计算（含交集运算结果求参数范围） 题型3 补集的相关运算（含补集运算结果求参数范围） 题型4 并集、交集、补集的混合运算 题型5 Venn图在集合运算中的应用 题型6 集合新定义题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 并集 交集 全集 补集 1. 理解交集、并集、补集的数学定义，熟记对应符号，能准确识别基础集合运算形式； 2. 熟练掌握集合三种基本运算的运算法则，能够独立完成基础集合的求值与化简运算； 3. 会借助 Venn 图和数轴分析集合运算，直观理解运算本质，提升数形结合解题能力； 4. 能运用集合基本运算解决含参数题型，精准判断端点取值，规避常见解题易错点. 学习重点：理解并熟练掌握集合的交集、并集、补集的定义、符号表示与运算规则. 学习难点：结合数轴、韦恩图求解含参数集合的运算问题，并准确区分端点能否取等号. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 集合的并集与交集 基本运算 并集 交集 定 义 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集 符号表示 （读作“A并B”） （读作“A交B”） 图形表示 数学语言 示 例 已知集合 则 已知集合 则 运算性质 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身 任何集合与其本身的交集等于这个集合本身 任何集合与空集的并集等于这个集合本身 任何集合与空集的交集都是空集 交换律 交换律 结合律 结合律 任何集合与它子集的并集都是它本身 任何集合与它的子集的交集都是这个集合的子集 任何集合都是该集合与另一集合并集的子集 两个集合的交集是其中任一集合的子集 即时即练 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 （1）并集定义中的 “或” 指的是只要满足其中一个条件即可. （2）集合中的公共元素在它们的并集中只出现一次.（需要严格遵守元素的互异性） 即时即练 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 交集定义中的 “且” 是 “同时” 的意思，即 A 与 B 的所有公共元素组成 . 知识点02 集合全集与补集 1、全集的概念 自然语言 一般地，如果一个集合包含所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U. 符号语言 若，则U为全集. 图形语言 2、补集的概念 自然语言 若集合A是全集U的一个子集，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作. 符号表示 图形表示 示 例 已知全集，，则 3、补集的运算性质 性质 定义 一个集合与其补集的并集是全集 一个集合与其补集的交集是空集 一个集合的补集的补集是其本身 全集的补集是空集 空集的补集是全集 在同一全集中，相等集合的补集也相等 在同一全集中，任何集合的补集是其子集的补集的子集 在全集U中，集合A与集合B的补集没有公共元素，等价于 集合A是集合B的子集 在全集U中，集合A与集合B的补集的并集等于全集U，等价于 集合B是集合A的子集 即时即练 已知集合，若，则集合（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 (1) 补集是相对于全集而言的，若没有定义全集，则不存在补集的说法，且补集的元素不能超出全集的范围. (2) 符号 的三层含义：① ；② ；③ 是由 U 中不属于 A 的所有元素组成的集合. 知识点03 区间 1、一般区间的表示： 设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：这里的实数叫做区间的端点. 在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示. 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 2、实数集R 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”：“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 3、特殊区间的表示 定义 符号 数轴表示 ≥ ≤ 即时即练 集合或用区间表示为___________ 【方法总结】 (1) 含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号，以 “” 或 “” 为区间的一端时，这端必须用小括号. (2) 用区间表示集合时，要注意区间的左端点值一定要小于右端点值，否则为空集. 题型1 并集的相关计算（含并集运算结果求参数范围） 角度1：并集运算 【例1】（1）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【方法总结】 类型1：列举法集合（直接合并去重）： ①把两个集合所有元素全部列出来，②删掉重复元素，③写成集合形式. 类型2：描述法数集求并集，常用数轴法（适用于不等式、区间形式的集合） ①在数轴上画出两个集合范围，②取覆盖到的全部区域，③写出结果（区间 / 集合形式）. 【变式1-1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 角度2：根据并集运算结果求参数范围 【例2】（1）已知集合，，若中恰有三个元素，则由a的取值组成的集合为（    ） A． B． C． D． （2）已知集合或，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． （3）已知集合，.若，求m的取值范围. 【方法总结】 类型1：集合为离散数集（列举法），由并集求参数. ①根据并集定义：参数必须是并集中的元素； ②结合集合互异性（元素互不相等）筛除重复解； ③逐一验证，确定参数值. 类型2：已知（即）： ①分类讨论： 两种情况（空集优先讨论，极易漏解）； ②分别列不等式组，借助数轴限定范围； ③单独检验区间端点取值； ④合并所有符合条件的参数范围 类型3：已知某确定区间（比如：R，等） ① 画出已知并集的数轴范围； ② 画出集合的区间，保证两个区间合起来铺满目标范围； ③ 列不等式组约束参数，重点核对衔接处端点； ④ 排除矛盾情况，得出范围. 【变式2-1】设已知集合.若，求实数a的取值范围. 【变式2-2】集合或．若，求的取值范围； 题型2 交集的相关计算（含交集运算结果求参数范围） 角度1：交集运算 【例3】（1）设集合，，则（   ） A． B． C． D． （2）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． （3）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 类型1：列举法集合（去公共元素去重）： ①对比两组元素；②提取公共元素；③写成集合形式. 类型2：描述法 / 区间数集求交集，常用数轴法：取两个区间重叠部分 ①数轴画出两个集合范围；②截取重叠区域；③写出结果，注意端点. 类型3：点集求交集：求两个图形的交点，交点个数就是交集的元素个数. 【变式3-1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 角度2：根据交集运算结果求参数范围 【例4】（1）集合，集合，若，则（   ） A． B． C． D． （2）已知集合，集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． （3）已知集合，或．若，求实数的取值范围． 【方法总结】 类型1：集合为离散数集（列举法），由并集求参数. ①根据并集定义：参数必须是并集中的元素； ②结合集合互异性（元素互不相等）筛除重复解； ③逐一验证，确定参数值. 类型2：已知（即）： ①分类讨论： 两种情况（空集优先讨论，极易漏解）； ②非空时，借助数轴列出区间包含的不等式组； ③单独检验区间端点取值； ④合并所有符合条件的参数范围. 类型3：已知 ① 讨论集合为空集的情况（空集与任意集合交集为空）； ② 集合非空时，数轴分析：A 整体在 B 左侧 或 A 整体在 B 右侧； ③ 列不等式，重点核对端点等号. 【变式4-1】已知集合.，求实数m的取值范围. 【变式4-2】已知集合，若，求实数t的取值范围. 题型3 补集的相关运算（含补集运算结果求参数范围） 角度1：交集运算 【例5】（1）已知全集，，则（   ） A． B． C． D． （2）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【方法总结】 类型1：有限列举型集合求补集： ①化简结合，写出全集全部元素；②去掉属于集合A的元素；③剩余元素组成补集. 类型2：不等式 / 区间型集合求补集，常用数轴法 ①画出数轴，标注全集与集合A的范围； ②原区间含端点（实心），补集该处为空心；原区间空心，补集该处为实心； ③写出最终区间. 【变式5-1】已知全集，集合，，（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 角度2：根据补集运算结果求参数范围 【例6】（1）设全集，集合，则的值为（    ） A． B．和 C． D． （2）已知集合，，若，则实数a的取值范围是________． （3）已知集合，，全集为.若，求实数m的取值范围. 【方法总结】 类型1：已知补集，反求原集合中的参数. ①由补集定义 ，写出集合 A 的范围；； ②若为区间集合，对比左右端点列方程；若为有限集，对应元素列方程； ③验证端点 / 集合互异性. 类型2：补集运算转化为子集关系求参： ①分类转化为子集关系：，； ②根据子集关系求出参数的取值范围. 【变式6-1】全集 ，求 a. 【变式6-2】记全集，已知集合，．若，求的取值范围． 题型4 并集、交集、补集的混合运算 【例7】（1）若全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． （2）设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【方法总结】 并集、交集、补集混合运算方法步骤： 第一步：确定运算优先级 ①优先计算括号内运算；②其次计算补集；③最后计算交集、并集（从左至右依次运算）. 第二步：根据集合特点，分类型解决： （1） 有限列举型集合： ①按运算顺序逐步化简集合；②求交集取公共元素，求并集合并元素并去重； ③求补集即在全集中剔除对应集合元素. （2） 不等式 / 区间型集合 ①借助数轴标注各集合范围，区分实心、空心端点； ②按优先级运算：先标出补集范围，再取重叠区域（交集）或全部覆盖区域（并集）； ③整合区间，规范书写结果. 【变式7-1】已知全集，集合，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 题型5 Venn图在集合运算中的应用 【例8】若全集，集合，或，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C．或 D． 【方法总结】 依据 Venn 图求阴影部分集合运算结果 方法步骤： （1）确定矩形为全集，分清图中各个圆所代表的集合. （2）分析阴影区域构成：根据阴影区域的构成，将阴影拆解为交、并、补的组合形式. （3）按照运算逻辑写出对应的集合表达式. （4）核对区域范围，确认运算符号、括号使用无误，整理最终结果. 【变式8】设为全集，集合是的真子集，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 题型6 集合新定义题 【例9】对于集合A，B，定义集合且，已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 集合新定义题的解题方法步骤： （1）理解定义：读懂题目新规则、新符号，明确运算要求与适用条件； （2）转化翻译：将陌生定义转化为集合交、并、补、子集等常规运算； （3）代入求解：把已知集合代入规则计算，含参数则分类讨论； （4）检验作答：验证结果符合定义与集合性质，规范写出答案. 【变式9】设,为非空集合，定义，且，已知，，则（    ） A． B．或 C．或 D． 一、单选题 1．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 4．设集合，，且，则的子集个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 5．已知集合，集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．设集合，，集合中所有元素之和为7，则实数a的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 8．已知集合为全集，集合，是的子集，且满足，则（    ） A． B． C． D． 9．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．已知集合，，若，则______． 11．设全集，，，则集合__________． 12．设集合，集合，若中恰有2个元素，且定义，则的子集个数是__________． 四、解答题 13．设集合 ，，，求： (1); (2); (3) 14．已知集合， (1)当时，求； (2)在①②中任选一个作为已知，求实数的取值范围． 15．已知集合，或，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $