命题大赛 河南省南阳市高一数学下学期期末测试卷2025-2026学年（北师大版必修第二册）

**基本信息** 本试卷为高一数学期末测试，覆盖必修二核心知识，原创题占比高，结合教材改编题，注重空间观念、运算推理及数学应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数虚部、向量垂直、圆锥体积等|原创题占比50%，基础巩固与概念辨析结合| |多选题|3/18|空间线面关系、三角函数性质|多选项设计考查逻辑推理，如线面平行判定| |填空题|3/15|复数方程、三角函数图像变换、平面向量|综合性强，如三角函数平移与零点问题| |解答题|5/77|三角函数图像与性质、解三角形、立体几何证明与二面角|教材习题改编（如扇形内接矩形）与原创（四棱锥证明）结合，层次分明，考查数学表达与问题解决|

命题细目表 河南省南阳市高一数学下学期期末测试（北师大版必修二）命题细目表 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 复数的概念与四则运算（第五章 复数） 0.85 2 单选题 5 平面向量的数量积与垂直的坐标表示（第二章 平面向量及其应用） 0.8 3 单选题 5 三角恒等变换（两角和与差的正切公式，第四章 三角恒等变换） 0.75 4 单选题 5 立体几何初步（圆锥的侧面积与体积计算，第六章 立体几何初步） 0.75 5 单选题 5 三角恒等变换（同角三角函数基本关系、二倍角公式，第四章 三角恒等变换） 0.7 6 单选题 5 平面向量的应用（解三角形-正弦定理，第二章 平面向量及其应用） 0.7 7 单选题 5 立体几何初步（异面直线所成角的计算，第六章 立体几何初步） 0.65 8 单选题 5 平面向量的数量积与模长的综合应用（第二章 平面向量及其应用） 0.6 9 多选题 6 立体几何初步（空间直线与平面的位置关系、平行与垂直的判定，第六章 立体几何初步） 0.75 10 多选题 6 三角函数的图象与性质（函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，第一章 三角函数） 0.7 11 多选题 6 三角函数的图象与性质、解三角形的综合应用（第一章、第二章） 0.65 12 填空题 5 复数的四则运算、一元二次方程的韦达定理（第五章 复数） 0.8 13 填空题 5 三角函数的图象变换、函数y=Asin(ωx+φ)的零点问题（第一章 三角函数） 0.65 14 填空题 5 平面向量的坐标运算、数量积的综合应用（第二章 平面向量及其应用） 0.7 15 解答题 13 三角恒等变换（同角三角函数基本关系、两角和与差的公式，第四章 三角恒等变换） 0.75 16 解答题 15 三角函数的图象与性质（函数y=Asin(ωx+φ)的解析式、单调性、最值、不等式求解，第一章 三角函数） 0.7 17 解答题 15 解三角形（正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，第二章 平面向量及其应用） 0.7 18 解答题 17 三角函数的应用、三角恒等变换、函数的最值综合应用（第一章、第四章） 0.65 19 解答题 17 立体几何初步（线面垂直的判定与性质、二面角的计算，第六章 立体几何初步） 0.6 $河南省南阳市高一数学下学期期末测试卷答案 (北师大版必修二第一~六章) 题号 1 2 3 5 6 8 答案 A C A A A A C D 题号 9 10 11 答案 BCD AD AD 一、单选题（每小题5分，共8题》 1.A 解析：因为2=3=-3-0-D-3-31-+-21=1-21,所以复数2的 1+i(1+01-)1-i2-2 虚部为-2 2.C 解析：因为a=(m,2,6=1,-2，,所以ā+6=(m+1,0),又因为a1(a+, 所以a.a+)=0,即m(m+1)+2x0=0,解得：m=0或m=-1 3.A 解析： 因为o传-小m及{（后小m*小月 4.A 解析：因为圆锥的底面半径为1，侧面积S=π，其中1为母线长， 2元=π11，所以1=√2，所以圆锥高h=√P-2=V√2-1=1，因此该 圆锥的体积为y-写h=号 3 5.A 解 析 因 为 sin 2a-cos'a 2sin a cos a-cos2a2sin a cos a-cos2a 2 tan a-1 又 1+sin2a sin2 a cos2a sin2 a 2sin2 a cos2a 2tan2a +1 因为ama=2,所以sin2a-cosa-2tana-1_2×2-1_1 1+sin2a 2tan2a+1 2x22+1 3 6.A 解析：因为asmC+b=2hcs子+aosB,由正弦定理可得： sin Asin C+sin B-2sin Bcos24 +sin Acos B 即 2 sin 4sin C=sin B2cos24 -1 sin Acos B 即 2 sin AsinC=sin BcosA+-sin Acos B=sin(A+B)=sinC,所以sinA=l,即A=T 2 ,因此△ABC为直角三角形， 7.C 解析：如图，因为BC,∥AD,所以异面直线D,E与BC,所成的角为 ∠AD,E,又因为AB⊥平面ADDA，所以AE⊥AD,, cos∠AD,E=AD AD 22,所以异面直线DE与BC,所成角的 余弦值为22 A1 B1 D C1 A E B 8.D 解析：因为 AB AC BC=0,所以△ABC的内角A的角平分线与BC边 AB 的高线重合，因此△ABC为等腰三角形，即AB=AC,不妨记BC的中 点为M,又因为-c-a-28M=25,+C-2d6a,由 AM+BM3=AB,可得：B=25,因此：cosB=BM-点-i@ AB25101 n-m(n-成时-mc-威-m威s8 -或-2-25 记D=,因为点D是ABc的边B上的动点，所以0<x<25,此时 助，显然当5时，助取最小值，为 5 5555 二、多选题（每小题6分，共3题） 9.BCD A.若mca,n∥a,m∥n或者m,n异面，所以A错误； B.若m⊥u,mn,则n1a,即：两条平行线中的一条垂直于一个平面， 则另一条也垂直于这个平面；所以B正确； C.若a∥B,mca,则m∥B,即：两个平行平面中的一条直线平行于 另一个平面；所以C正确； D.若m⊥a,n⊥B,a上B，则m,n分别为两个垂直平面的法向量，显然 m⊥n,所以D正确. 10.AD 解析：f(x)=sin x-V3 COS@x=2 1 3 -sin Ox- 2 =2snar-, 所以 fx)的最大值为2，A正确； 解析：f(x)=sin x-√3 cos@x= 2 B选项：当x号时，伽否管号不一定等于，故图像不一定 关于行，0对称，故B错误： C选项：当x要时，骨管-号不一定等于标+号，放图像不- 6 定关于x=对称，故C错误： D选项：函数在(0，π)内有两个零点，目 所以 o号c2小，解得：手@号，又因为0<8<2，所以o<2,D 正确。 11.AD 解 析 C)sin .sin(co o)c0o)c0 1 2 A选项：在[0，元]内，令f(x)=0,则sinx=0或sin3x=0,解得： =0号号：所以零点之和为：0++ 33 +元=2元，A正确； B选项：f)=-o2x+02r+写，令：=2川，则 y=四-安当时，-目哈名0 4 所以B错误； c选项：因为-8，即f0=-os24+ 2c0s2A+1、9 解得： 216 c0s2A=>0 ,所 以 又 因为 4 0<24<号 2 cos A sin B sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B 因 此 sin Acos B-cos Asin B=sin(A-B)=0，所以 A=B ,所以 C=r-(A+B=-2A,T<C<π，所以CABC=CABC cos(r-C>0,所 2 以c错误； D选项： a+b sin A+sin B 2sin A 2sin A 1 sin C sin(π-C)sin2 4 cosA ，因为 os24=2cos24-1,解得：cos4=学，所以==2V10 c0sA=5，所以 D正确. 三、填空题（每小题5分，共3题） 12.-2 解析：因为tana,tanB是关于x的方程x2+6x+2=0的两个根，所以 tan a +tan B=-6 tan a tan B=2 因 此 sin(a+B)sin a cos B+cos a sin B tan a tan B -6 =-2. cos(a-B)cos a cos B+sin a sin B 1+tan a tan B 1+2 13. 「28 39」 解析：将函数f=s血x的图像先向右平移写个单位，得到： y=如-引，再将横坐标变为原米的a>0,得到8)=smr引 因为g在上没有零点即：0--到+ 0-元≥0 2 k∈Z,经分析k=0,所以 3 解得： 3, 所以o的取值范 3π ≤π w-g 围是引 14. 解析：以A为坐标原点，分别以AB,AD为x轴，y轴建立平面直角坐 标系，如图所示，则40,0,1,0，C1,D0,1,因为C正=ED，解得 ,又因为F为线段证的中点，所以亦-{正+（各》因 此》所以即-〔6》因此亦-》 D E E B 四、解答题（共5题，共77分） sin(-a)cos(2x-a)cos 15.解：fa)= 2 sin a cosa sin a _=cosa -sina·(-sina) cos] +asin(r+a)） 2 (5分) 1）}m+个号片：8分) 2)》 cosa-sina = 所 以 12 (cos a-sin a) cos2a-2 sin a cos a sin2a =1-2sin a cos a 因 此 24 2sina cosa 10分 25 (cosa+sin a)-cosa+2sin a cosa+sin1+2in244 2525 又因为a引 cosa +sina = (11分) 因此f2a）=cos2a=cos2a-sin2a=cosa-sina小cosa+sina=5×525, 1、77 (13分) 16.解：(1)由图可知：函数f()的最大值为3，所以A=3,(1分) 7=7π不=乃，所以T=2匹=，因此=2，(3分) 4 1234 此时f)=3sn2r+o)，将点() 代入f),可得： f)m2x+=3,所以m2号+小1，即2+p-，因此 π2π 0=23 -匹，(4分) 6 所以f)的解析式为：fx)=3sim2x-；(5分) 6 再求f的单调递增区间，令-刀+kr<2x-亚<亚+k红，解得： 6 <X< 所以f(x)的单调递增区间为： 62 32 ,k∈Z;(7分) (2)因为xE 元，5π， 1212 所以2x[2]，9分 因此f)在区间- π5π 12'12 上的最大值为：3，最小值为：3 2；(11 分 (3)因为2f(x)≤12-5f(x)，即[f(x)+4·[2f(x)-3≤0，所以 -4≤(12分>即：-4≤3m2x引因此2：} (13分) 所以g≤2名1”，解得子x≤石，所以不等式的解集为[]， 66 6 (15分) 17.解：因为m=(2b-c,2a),i=(cosC,),且m∥元，所以2b-c=2 a cos C. (2分) (1)因为b=aosC+ccos A,(4分) 2b-2awC=2csA=c,所以cosA=因此角A=答：(6分) （2》因为4-号，。=3,4c的面积为3，所以 s=be如4=bcm三-5e=35,所以c=3,（8分) 34 4 因为线段0的中点为D，所以而+心， Bc-ieos=cwA=3s号(10分) 因 此 o--{c名c+:cae小： 而AB-AC=CB, 所以(-C-8==9 (-c-B+c-2Bc=B+c-3=9,所以+C=12, (13分) 即：hn-++小2+-，所以405.15分) 18.解：如图所示： B D 0 不妨设∠40c=a,显然0<a<胥，(1分) 在AC0F中，CF=0 C.sin a=r sin a,0F=0 C.cos a=rcos a;(3分) 在A00E中，am-DE-5,OE-5DE-5cF-5 2 rsin a,(5分) 3 OE 3 3 3 因此EF=OF-OE=rcos a- 3rsma,(7分) 所以矩形CDEF的面积可表示为： S=CF.EF=rsin a. rcosa- 3 -rsina 3 =r2 sina cosa- 3 1 sin 2a-v32.1-cos 2a 3 2 52 3 （2 sin 2a+cos 2a 2 6 日m2+9 66 (14分) 显然，当2a+=行，即a=交时，面积最大，为： 62 6 5=65ri, 3 66·(17分) 19.（1)证明：因为PA1平面ABCD,所以PA⊥BC,(1分) 又因为底面ABCD是矩形，所以BA⊥BC,(2分) 显然PA∩BA=A,PAC平面PAB,BAC平面PAB,(4分) 由线面垂直的判定定理可得：BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB;(6分) (2)因为PA=AB=1,AD=2,所以PB=V2,PD=V5,BD=√5，PC=√6， 由勾股定理逆定理可知：CD⊥PD,过B作H⊥PD,过H作HQ/CD交 PC于Q,连接BQ,如图所示：HQ1PD,所以二面角B-PD-C的平 面角为：∠BHQ.(8分) B 接下来分别计算BH,HQ,BQ的长度： 在APBD中，记BP的中点为M,如图所示：因为PD=BD=√5，所以 2 、,由面积相等可 得：D删=0w9房，所以别0店：11分) 0 H M D 在△PCD中，因为0ICD，所以=PH CD PD ，而 Pm-m-m-2号5所以照得号即0日(18分) 155 在△PBC中，因为PB=√2，BC=2,PC=V6,由勾股定理逆定理可知： 阳c,osP义因为01cD,所以O四，所 PC CD 5 P0PC-5，在△P0中，由余弦定理可得： 5 BQ2=PB2+PQ2-2PB·PQ·cosP=2+ √6 5 2方若所以 B0-9:(15分) 在△BHQ 中， 由 余弦定理可得： cos ZBHO BH2+HO2-BO2 （图-目5，所以=面角 2BH.HO 31 2× V55 B-PD-C的余弦值为 .(17分) 河南省南阳市高一数学下学期期末测试 （北师大版必修二第一~六章） 姓名：_________ 班级：_________ 学号：_________ 分数：_________ 一、单选题（每小题5分，共8题，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. （原创）已知复数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. （原创）已知向量，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. （原创）已知圆锥的底面半径为1，侧面积为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6.在中，内角的对边分别为，已知，则一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形 7. 在棱长为的正方体中，点为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知非零向量满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共3题，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. （原创）已知空间中两条不同直线，两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 函数的图像关于点对称 C. 函数的图像关于直线对称 D. 若函数在区间上有两个零点，则 11. 已知函数，在中，内角的对边分别为，满足，，下列结论正确的是（ ） A. 在上的零点之和为 B. ，满足 C. D. 三、填空题（每小题5分，共3题，共15分） 12. 若是关于的方程的两个根，则_________. 13. 将函数的图像先向右平移个单位，再将横坐标变为原来的，得到函数的图像，若函数在上没有零点，则的取值范围是_________. 14. 如图，在边长为的正方形中，，为线段的中点，则_________. 四、解答题（共5题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （13分）已知 （1）求的值； （2）若，且，求的值. 16. （15分）已知函数的部分图像如图所示. （1）求的解析式和单调递增区间； （2）求在区间上的最值； （3）求不等式的解集. 17.（15分）在中，内角的对边分别为，已知，且. （1）求角； （2）若，的面积为，线段的中点为，求的长. 18.（17分）（教材习题改编）如图，圆心角为的扇形的半径为，点是上一点，作这个扇形的内接矩形，当点在什么位置时，这个矩形的面积最大？ 19. （17分）（原创）如图，四棱锥，底面是矩形，， （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $