9.4 用图象表示变量之间的关系 培优作业 2025--2026学年鲁教版（五四制）六年级数学下册

**基本信息** 本同步练以“夯基础+练能力”分层设计，聚焦曲线型、折线型及多对象图象表示变量关系，从单一图象识别到综合数据应用，强化数学眼光观察、思维推理与语言表达，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯基础|单一图象识别（如“S”形曲线、过山车高度等）|以选择、填空为主，情境贴近生活（心率、摩天轮），巩固识图判断与基础计算，培养几何直观| |练能力|综合数据应用（如沙漏实验、甲醛去除）|含实践探究题，需分析多组数据、绘制图象，解决跨学科问题，发展数据意识与模型观念|

第九章变量之间的关系 4 用图象表示变量之间的关系 第1课时用曲线型图象表示变量之间的关系 夯基础 1.生态学家G. F. Gause通过多次单独培养大草履200虫实验，研究其种群数量y随时间t的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线.下列说法正确的是( ) A.第5天的种群数量为300个 B.前 3天种群数量持续增长 C.第3天的种群数量达到最大 D.每天增加的种群数量相同 2.小明在游乐场坐过山车，在某一段 60秒时间内，过山车的高度h(米)与时间t(秒)之间的关系图象如图所示，下列结论正确的是 ( ) A.当t=40时,h=15 B.这60秒内过山车有3段下行路线 C.当 35≤t≤53 时,高度 h(米)随时间 t(秒)的增大而增大 D.在0≤t≤60范围内,当过山车高度是 70米时，t的值有4个 3.如图是小明在学校进行变速跑训练时，利用佩戴的智能手环记录的心率与时间之间的变化情况，下列说法不正确的是 ( ) A.本次变速跑的训练总时间为55分钟 B.第47分钟时的心率是本次训练中的最大心率 C.本次训练中，最高心率与最低心率之差为72次 D.小明在前 36 分钟的训练中心率一直在升高 4.图像识别是人工智能领域的一个重要分支.如图，某人工智能模型图像识别的正确率随着训练次数的增加而逐渐趋于稳定.经过大量训练，用该模型识别100 幅图像，被正确识别的图像估计有 幅. 5.8月29日,郑州市人民公园的标志性建筑摩天轮正式拆除，这座陪我们走过数个四季的钢铁“彩虹”满载了老郑州人们难忘珍贵的童年回忆.图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度 y(m)与旋转时间x(min)之间的关系如图2所示，则摩天轮的直径为 . 6.一只蝴蝶在飞行过程中距离地面的高度 h(米)随飞行时间 t(秒)的变化情况的图象如图所示，则这只蝴蝶在0~5秒飞行过程中，最高高度与最低高度的差为 米. 7.骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大的变化.请观察图象回答下列问题： (1)两天中，骆驼体温的变化范围是 ; (2)从 12 时到 28 时，骆驼的体温下降了 ; (3)在 的时间段，骆驼的体温上升；在 的时间段，骆驼的体温下降； (4)骆驼第二天8时的体温与第一天8时的体温的关系是 ； (5)点 A 表示的是 , 时的温度与点 A 所表示的温度相同. 练能力 8.沙漏在中国古代被称为“沙钟”，是一种利用沙子流动计时的古老工具.某学校开展了简易沙漏的原理探秘与制作活动.在以下探究实验中，沙漏容器取材于相同规格的瓶子，所用沙子材质与规格完全一样，沙漏的孔洞均为圆形，孔径即为孔洞的直径. 探究一：甲组同学选择某确定孔径的沙漏，探究漏下沙子的质量m(单位：g)与时间t(单位：s)之间的关系，部分数据如表： t/s 30 60 90 120 150 m/g 30.8 90.6 150.0 209.5 269.2 探究二：乙组同学选取除孔径外无其他差别的沙漏，探究漏完 150g沙子所用的时间t(单位：s)与孔径d(单位：mm)之间的关系，部分数据如表： d/ mm 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 t/s 123.9 90.0 65.6 47.0 33.2 根据以上探究的实验数据，解决下列问题： (1)在探究一中，75 s时漏下沙子的质量约为 g(结果保留小数点后一位)； (2)推断：探究一中所用沙漏的孔径为 mm; (3)通过探究二，发现可以用图象刻画时间t与孔径d 之间的关系. ①在下方图中画出这个图象(提示，分别找到每一个d 值对应的t 值，描点，并用平滑的曲线连接)； ②根据图象，若制作一个漏完150g沙子所用时间为50s的沙漏，其孔径约为 mm(结果保留小数点后一位). 第2课时用折线型图象表示变量之间的关系 夯基础 1.在一辆小汽车行驶过程中，小汽车离出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的关系如图，根据图中的信息，下列说法错误的是 ( ) A.小汽车共行驶240 km B.小汽车中途停留0.5 h C.小汽车出发后前3小时的平均速度为40千米/时 D.小汽车自出发后3小时至5 小时之间行驶的速度在逐渐减小 2.向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满.在注水过程中，水面高度h 随时间t 的变化规律如图所示.这个容器的形状可能是图中的 ( ) 3.一艘轮船先从甲地航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地航行返回到甲地，轮船与甲地的距离s(km)与轮船航行的时间t(h)之间的关系图象如图所示，则下列说法错误的是( ) A.轮船从甲地到乙地的平均速度为40 km/h B.轮船在乙地停留了3.5 h C.轮船从乙地返回甲地的平均速度大于去时的速度 D.甲、乙两地相距300 km 4.小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家(小明家、书店、体育馆依次在同一直线上)，如图表示的是小明离家的距离与时间的关系.下列说法正确的是( ) A.小明家到体育馆的距离为2k m B.小明在体育馆锻炼的时间为 45 min C.小明家到书店的距离为1 km D.小明从书店到家步行的时间为40 min 5.火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y(m)与火车行驶时间x(s)之间的关系图象如图所示，有下列结论：①火车的长度为120 m ②火车的速度为30 m/s ③火车整体都在隧道内的时间为25 s ④隧道长度为 750 m.其中,正确的是 (填序号). 6.“与可爱的人，赴一场朝霞盛宴”吸引了大量户外爱好者夜爬龙泉山.大三学生张明为了感受一下这样的氛围，与同学相约从音乐广场出发，开始夜爬龙泉山，他们离音乐广场的距离y(km)与从音乐广场出发时间x(h)的关系如图所示，他们在此期间停下过若干次，请问总共停下来的时间为 小时.0 7.小康上午9:00从家里出发，骑车去君诚综合超市购物，然后从这家超市返回家中，小康离家的路程y(米)与所用的时间x(分)之间的关系如图所示.有下列结论：①小康家距离超市 3 000 米 ②小康去超市途中的速度是300 米/分 ③小康9：50返回家 ④小康在超市逗留了 30 分钟.其中正确的是 .(填序号) 8.某快递公司开展“快递员提升配送效率”活动，要求快递员在配送途中也要注意安全驾驶.快递员小李骑电动车去派送快递，他行驶了一段时间后，想起要去附近的便利店取个包裹，于是又折回到刚经过的便利店，取到包裹后继续前往派送点，直到抵达派送点.如图是他本次所用的时间与距出发地距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： (1)图中自变量是 ，因变量是 ; (2)出发地到派送点的路程是 米，小李在便利店停留了 分钟； (3)整个送快递的过程中，小李的最快速度是 米/分钟； (4)快递员小李出发 分钟，距离派送点 600 米. 9.奶奶从家里出发，外出散步，看到有人在跳广场舞就跟着跳了一会儿后，继续散步了一段时间，然后回家.如图描述了奶奶在散步过程中离家的距离 y(米)与散步所用时间x(分)之间的关系.根据图象回答下列问题： (1)奶奶跳广场舞用了多长时间? (2)第30分钟到第40分钟，奶奶走了多少米? (3)返回时，奶奶的平均速度是多少? 练能力 10.实践探究题 郑州被称为全国著名的“铁路心脏”，铁路为人们的出行提供了便利.五一期间，一列高铁从郑州开往上海，一列普通列车从上海开往郑州，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x(小时)，两车之间的距离为 y(千米)，图中的折线表示 y 与x 之间的关系，根据图象进行以下探究： 【信息读取】 (1)郑州到上海两地相距 千米，普通列车的速度是 千米/小时，高铁和普通列车行驶 小时后相遇； 【解决问题】 (2)求高铁的速度； (3)普通列车行驶t 小时后，高铁到达终点上海，求此时普通列车还需行驶多少千米到达郑州? 第3课时用图象法表示不同运动对象 夯基础 1.为迎接学校运动会，甲、乙两位同学在操场上练习长跑，他们跑动的路程s(单位:m)与时间 t(单位: min)之间的图象如图所示，下列说法正确的是( ) A.甲、乙两人练习的长跑路程为750 m B.甲在乙之前到达终点 C.前2.5m in,甲比乙每分钟快50 m D.2.5m in后,乙跑在甲的前面 2.地铁给人们带来了快捷、便利的生活，同时也是疏导交通、解决拥堵的最佳方式.现有甲、乙两个工程队分别同时开挖两条 600米长的隧道，所挖隧道长度 y(米)与挖掘时间x(天)之间的关系如图所示，现有下列说法： ①甲队每天挖100米 ②乙队开挖2天后，每天挖50米 ③甲队比乙队提前2天完成任务 ④当x=4时，甲、乙两队所挖隧道长度一样.其中正确的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.甲、乙两人匀速骑行，从 A 地出发前往 B地.两人与 A 地的距离y(km)关于骑行的时间x(h)之间的关系图象如图所示.当x=2时,甲、乙两人相距 km. 4.元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载了一个驾马先行的问题，其中良马与劣马行走路程s(单位：里)关于行走时间t(单位：日)的图象如图所示，则劣马比良马早出发 日；良马的速度比劣马的速度快 里/日. 5.小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校.小华离家后直接乘公共汽车到了学校.如图是他们从家到学校已走的路程s(米)和所用时间t(分钟)的关系图.则下列说法： ①小明家和学校距离1 200米 ②小华乘坐公共汽车的速度是240米/分钟 ③小华乘坐公共汽车后7：50与小明相遇 ④小华的出发时间不变，当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是 120 米/分钟时，他们可以同时到达学校. 其中正确的是 (填序号). 6.某地举行龙舟比赛，赛程为 900 米.甲、乙两队比赛时，路程 y(米)与时间x(分钟)的关系如图所示. (1)最先到达终点的是 队，比另一队领先 分钟到达； (2)求比赛开始几分钟后乙队追上甲队，此时两队的路程为多少米； (3)假设乙队在第一次加速后，始终保持这个速度继续前进，那么甲、乙两队谁早到达终点?早几分钟? 7.学校举行大型活动，用甲、乙两架无人机进行航拍，若无人机在上升过程中匀速飞行，甲先从地面起飞，在空中停留一会儿后继续上升，此时乙从地面起飞，无人机所在高度h(米)与时间 t(秒)之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题： (1)甲在空中停留时的高度是 米，甲出发 秒后乙开始起飞，点 A 表示的意义是 ； (2)甲、乙两架无人机的上升速度分别是多少米/秒? (3)当t=30时，两架无人机所在的高度相差多少米? 练能力 8.依据《国家纺织产品基本安全技术规范》规定，服装标签上标示着A,B,C三个类别. A类：婴幼儿用品，是指年龄在36个月以内的婴幼儿使用的纺织产品，同时也包括指100 cm身高以下的儿童.包括了婴幼儿使用的相关服装产品等，其代表着服装最高的安全级别.其甲醛含量必须低于 20 mg/kg. B类：直接接触皮肤的产品，是正常人的衣服标准，也就是适中的安全级别，同时也是指将会与身体直接接触的服装，包括大部面积与人体接触的衣服等.其甲醛含量高于20 mg/ kg,但必须低于 75 mg/ kg. C类：非直接接触皮肤的产品，是安全级别最低的纺织产品，是指将不会与人体的皮肤有直接的接触，或者是仅仅只有很小面积的接触，这类衣服的安全级别是最低的，包括了外套、窗帘、裙子等.其甲醛含量高于75 mg/ kg,但必须低于 300 mg/ kg. 为了去除衣物上的甲醛(记作“P”)，某小组研究了衣物上 P 的含量(单位：mg/kg)与浸泡时长(单位：h)的关系.该小组选取甲、乙两类服装样品，将样品分成多份，进行浸泡处理，检测处理后样品中 P 的含量.所得数据如表： 浸泡时长(h) 甲类衣物中 P 的含量(mg/ kg) 乙类衣物中 P 的含量(mg/ kg) 0 79 80 2 32 37 4 25 31 6 21 29 8 18 28 10 17 27 12 16 27 (1)设浸泡时间为x，甲、乙两类衣物中 P的含量分别为y₁，y₂，在下方图中画出 y₁和y₂的图象；(提示：分别找到每一个 x值对应的y₁值和 y₂值，描点，并用平滑的曲线连接) (2)结合实验数据，利用所画的图象可以推断，当浸泡时长为5 h时，甲、乙两类衣物中P 的含量的差约为 mg/ kg(精确到1); (3)若浸泡时长不超过12 h，则经过浸泡处理后可能达到 A类标准的衣物为 (填“甲类”或“乙类”)，该类衣物达到 A类标准至少需要浸泡 h(精确到1). 第1 课时 用曲线型图象表示变量之间的关系 1. B 2. D 3. D 4.80 5.65 m 6.8 7.解:(1)35 ℃~40℃; (2)4℃; (3)4时到 12 时和28 时到 40 时;0 时到 4时,12时到28时,40时到48时; (4)第一天8时的体温高于第二天8时的体温； (5)12时骆驼的体温为 39 ℃;37 和44. 8.解:(1)由题意,得 (75-60)=120.4g, 所以在探究一中，75 s时漏下沙子的质量约为120.4g. 故答案为:120.4; (2)3.0; (3)①如图; ②4.7. 第 2 课时 用折线型图象表示变量之间的关系 1. D 2. B 3. C 4. C 5.②③ 6. 7.①②④ 8.解：(1)时间，距出发地距离； (2)1 500,4; (3)450; (4)4.5或7或12 9.解:(1)30-20=10(分钟). 答：奶奶跳广场舞用了10分钟； (2)1 200-900=300(米). 答：第30分钟到第40分钟，奶奶走了 300米； 米/分), 答：返回时，奶奶的平均速度是 60米/分. 10.解:(1)1 000, ,₃; (2)因为 千米/时)， 所以高铁的速度为250千米/时； (3)因为 小时)，、 所以 千米)， 所以 千米)， 所以此时普通列车还需行驶 千米到达郑州. 第3 课时 用图象法表示不同运动对象 1. C 2. D 3.5 4.12 90 5.①②③ 6.解:(1)乙、1; (2)由图象得甲的速度为900÷6=150(米/分),乙队在第 2分钟后第一次加速，其速度为(500-200)÷2=150(米/分), 乙队在第 4 分钟后第二次加速，其速度为(900-500)÷(5-4)=400(米/分), 设在x分钟乙追上甲，根据题意得 150x=500+400(x-4), 解得x=4.4,150×4.4=660, 故当两队出发 4.4分钟时乙追上甲，此时路程为660米; (3)乙队在第一次加速后，始终保持这个速度继续前进划完余下路程需要的时间为(900- (分钟), 所以乙队划完全程的时间为 (分钟), 因为甲队划完全程需要的时间是6分钟，且 所以甲早 分钟到达终点. 7.解:(1)20;14;24秒时甲、乙无人机所在高度都是 60米; (2)20÷5=4(米/秒), 60÷(24-14)=60÷10=6(米/秒), 因此，甲、乙两架无人机的上升速度分别为4米/秒、6米/秒; (3)(6-4)×(30-24)=2×6=12(米), 因此，当t=30时，两架无人机所在的高度相差 12米. 8.解:(1)如图: (2)7; (3)甲类,7. 学科网（北京）股份有限公司 $