易错点2专项突破：长方体的正方体的体积-2025-2026学年五年级下册数学苏教版

第六单元 长方体和正方体 易错点2专项突破：长方体的正方体的体积 1．计算下面图形的表面积和体积。 【答案】（1）表面积1160cm2；体积2400cm3；（2）表面积864dm2；体积1728dm3 【分析】（1）长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算求解。 （2）正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算求解。 【详解】（1）长方体的表面积： （20×8＋20×15＋8×15）×2 ＝（160＋300＋120）×2 ＝580×2 ＝1160（cm2） 长方体的体积： 20×8×15 ＝160×15 ＝2400（cm3） （2）正方体的表面积： 12×12×6 ＝144×6 ＝864（dm2） 正方体的体积： 12×12×12 ＝144×12 ＝1728（dm3） 2．按要求计算下面图形的表面积和体积。                      【答案】486cm2； 721cm3； 322cm2； 328cm3 【分析】图一的表面积就是大正方体的表面积，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，即可求得；用大正方体的体积减去小正方体的体积，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，分别代入数据，即可求得它的体积。 图二组合体的表面积＝下面长方体的表面积＋上面长方体的侧面积；根据长方体的表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体侧面积＝（长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出组合体的表面积；组合体的体积＝下面长方体的体积＋上面长方体的体积，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，分别代入数据，即可求得。 【详解】左图表面积： 9×9×6 ＝81×6 ＝486（cm2） 左图体积： 9×9×9－2×2×2 ＝81×9－4×2 ＝729－8 ＝721（cm3） 右图表面积： （8×8＋8×4＋8×4）×2＋（8×3＋3×3）×2 ＝（64＋32＋32）×2＋（24＋9）×2 ＝128×2＋33×2 ＝256＋66 ＝322（cm2） 右图体积： 8×8×4＋8×3×3 ＝64×4＋24×3 ＝256＋72 ＝328（cm3） 3．求下列图形的表面积和体积。（单位是厘米） 【答案】 表面积528平方厘米，体积640立方厘米；表面积588平方厘米，体积605立方厘米 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝边长×边长×边长； 长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2即可求解。 【详解】（4×16＋4×10＋16×10）×2 ＝（64＋40＋160）×2 ＝264×2 ＝528（平方厘米） 4×16×10＝640（立方厘米） 表面积为528平方厘米，体积为640立方厘米。 5×5×4＋（20×3＋20×8＋3×8）×2 ＝25×4＋（60＋160＋24）×2 ＝100＋244×2 ＝100＋488 ＝588（平方厘米） 5×5×5＋20×3×8 ＝125＋480 ＝605（立方厘米） 表面积为588平方厘米，体积为605立方厘米。 4．求出下列图形的表面积和体积。 （1）（2） 【答案】（1）13.5；3.375；（2）386；420 【分析】（1）正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 （2）长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高。 【详解】（1）正方体表面积： 正方体体积： （2）长方体表面积： 长方体体积： 5．计算下面正方体和长方体的表面积和体积。 【答案】（1）384cm2；512cm3；（2）34dm2；12dm3 【分析】（1）根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算求出它的表面积和体积。 （2）根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算求出它的表面积和体积。 【详解】（1）8×8×6 ＝64×6 ＝384（cm2） 8×8×8 ＝64×8 ＝512（cm3） 正方体的表面积是384cm2，体积是512cm3。 （2）（4×1.5＋4×2＋1.5×2）×2 ＝（6＋8＋3）×2 ＝17×2 ＝34（dm2） 4×1.5×2 ＝6×2 ＝12（dm3） 长方体的表面积是34dm2，体积是12dm3。 6．计算下面图形的表面积和体积。          【答案】长方体的表面积为392平方厘米，体积为480立方厘米； 正方体的表面积为96平方分米，体积为64立方分米 【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，体积＝长×宽×高；正方体的表面积＝棱长×棱长×6，体积＝棱长×棱长×棱长，代入计算即可。 【详解】长方体的表面积 （12×5＋12×8＋5×8）×2 ＝（60＋96＋40）×2 ＝196×2 ＝392（平方厘米） 长方体的体积 12×5×8 ＝60×8 ＝480（立方厘米） 正方体的表面积 4×4×6 ＝16×6 ＝96（平方分米） 正方体的体积 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方分米） 7．计算下面各图形的表面积和体积。（单位：厘米） 【答案】表面积136平方厘米；体积96立方厘米 表面积486平方厘米；体积729立方厘米 【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 长方体的体积＝长×宽×高 正方体的表面积＝棱长×棱长×6 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此代入数据计算即可。 【详解】（1）长方体的表面积： （8×4＋8×3＋4×3）×2 ＝（32＋24＋12）×2 ＝68×2 ＝136（平方厘米） 长方体的体积： 8×4×3＝96（立方厘米） 所以这个长方体的表面积是136平方厘米，体积是96立方厘米。 （2）正方体的表面积： 9×9×6＝486（平方厘米） 正方体的体积： 9×9×9＝729（立方厘米） 所以这个正方体的表面积是486平方厘米，体积是729立方厘米。 8．分别求出下列立体图形的表面积和体积。 【答案】正方体：37.5cm2；15.625cm3 长方体：210cm2；200cm3 【分析】根据正方体的表面积＝6×棱长×棱长，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；长方体的表面积＝2×（长×宽＋长×高＋宽×高），长方体的体积＝长×宽×高；代入数据解答即可。 【详解】2.5×2.5×6 ＝6.25×6 ＝37.5（cm2） 2.5×2.5×2.5 ＝6.25×2.5 ＝15.625（cm3） （8×5＋8×5＋5×5）×2 ＝（40＋40＋25）×2 ＝（80＋25）×2 ＝105×2 ＝210（cm2） 8×5×5 ＝40×5 ＝200（cm3） 正方体的表面积是37.5cm2，体积是15.625cm3； 长方体的表面积是210cm2，体积是200cm3。 9．只列式，不解答。 一个长7分米、宽4分米、高5分米的长方体鱼缸倒满水，放入3个棱长为2分米的正方体铁块后，溢出的水的体积占鱼缸容积的几分之几？ 【答案】 【分析】溢出的水的体积即3个正方体铁块的体积之和。正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；则溢出的水的体积＝一个正方体的体积×3；鱼缸的容积＝长×宽×高；求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算，用溢出的水的体积除以鱼缸容积。 【详解】 10．把一个棱长是8厘米的正方体铁块放入一个长32厘米、宽16厘米、水深8厘米的长方体水池中，且水未溢出，水面上升了多少厘米？ 【答案】1厘米 【分析】根据题意：上升部分水的体积等于正方体铁块的体积。先根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长求出铁块的体积，再用长方体水池的长乘宽求出水池的底面积，最后用铁块的体积除以水池的底面积，求出水面上升的高度。 【详解】8×8×8÷（32×16） ＝64×8÷512 ＝512÷512 ＝1（厘米） 答：水面上升了1厘米。 11．做一个无盖的棱长为4分米的正方体铁皮水桶，做这个水桶至少需要多少平方分米的铁皮？在这个无盖水桶中装满水，把水倒入一个长8分米，宽4分米的长方体空鱼缸里，水深多少分米？ 【答案】80平方分米；2分米 【分析】正方体无盖水桶有5个面，每个面都是正方形，需要铁皮的面积就是计算5个面的面积之和；再根据正方体体积公式求出水的体积；最后利用水的体积不变，除以长方体鱼缸的底面积，求出水深。 【详解】 （平方分米） ÷（8×4） ＝4×4×4÷32 ＝16×4÷32 ＝64÷32 ＝2（分米） 答：做这个水桶至少需要80平方分米的铁皮，水深2分米。 12．一块棱长是0.6米的正方体的钢坯，锻成横截面边长（横截面是正方形）是0.3米的长方体钢材，锻成的钢材有多长？（用方程解答） 【答案】2.4米 【分析】由题意可知，把正方体的钢坯锻成长方体的钢材后，钢坯的体积不变，则正方体和长方体的体积相等，等量关系式：长方体横截面的面积×长方体钢材的长＝正方体钢坯的棱长×棱长×棱长，据此列方程解答。 【详解】解：设锻成的钢材长x米。 0.3×0.3×x＝0.6×0.6×0.6 0.09x＝0.36×0.6 0.09x＝0.216 0.09x÷0.09＝0.216÷0.09 x＝2.4 答：锻成的钢材长2.4米。 13．如图是一个长方体木质花盆，从里面量，长35厘米，宽16厘米，高12厘米。这个长方体花盆中装有10厘米高的营养土，如果将这些营养土全部倒入一个从里面量棱长20厘米的空的正方体花盆中，那么正方体花盆中营养土的高度是多少厘米？ 【答案】14厘米 【分析】营养土从长方体花盆倒入正方体花盆，其体积不变。所以先求出长方体花盆中营养土的体积，再用该体积除以正方体花盆的底面积，即可得到正方体花盆中营养土的高度。 【详解】35×16×10＝5600（立方厘米） 5600÷（20×20） ＝5600÷400 ＝14（厘米） 答：正方体花盆中营养土的高度是14厘米。 14．一个长方体的玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米。如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块（如图），缸里的水溢出多少升？ 【答案】6.4升 【分析】玻璃缸的高是4分米，水深是2.8分米，说明还可以装（4－2.8＝1.2）分米高的水，缸里的水有溢出，说明正方体铁块的体积大于玻璃缸还能装水的体积，则玻璃缸溢出水的体积＝正方体铁块的体积－玻璃缸还能装水的体积，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的体积＝长×宽×高，代入相应数值计算，即可解答。 【详解】4×4×4－8×6×（4－2.8） ＝16×4－48×1.2 ＝64－57.6 ＝6.4（立方分米） ＝6.4（升） 答：缸里的水溢出6.4升。 15．计算说理：张明在超市发现一盒牛奶的长方体包装盒上标注“净含量250毫升”。他从外面量，长6厘米，宽4厘米，高10厘米。请用你学过的知识解释这个标注是否合理？ 【答案】不合理 【分析】先根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，求出包装盒的外部体积，再将体积单位换算为容积单位，最后与标注的净含量进行比较。根据常识，对于同一个容器，由于包装材料有厚度，其外部体积一定大于内部容积，而净含量应小于或等于容积。若计算出的外部体积小于标注的净含量，则说明标注不合理。 【详解】长方体包装盒的体积：6×4×10＝240（立方厘米） 240立方厘米＝240毫升 240＜250，即包装盒的体积小于标注的净含量。 又因为包装盒有一定的厚度，包装盒的体积应大于容积，容积应大于或等于净含量。 答：这个标注不合理。 16．有甲、乙两个长方体容器，甲容器的底面积是36平方厘米，高是28厘米，水深10厘米。乙容器的底面积是18平方厘米，高是20厘米，水深4厘米。将甲容器中的一些水倒入乙容器中，使两个容器的水面高度相等，则现在两个容器中的水深是多少厘米？ 【答案】8厘米 【分析】先根据长方体的体积＝底面积×高，分别求出甲、乙两个容器中水的体积，再相加，求出水的总体积； 将甲容器中的一些水倒入乙容器中，水的总体积不变；当两个容器的水面高度相等时，相当于把两个容器中的水合并倒入一个底面积为两个容器底面积之和的新容器中； 用水的总体积除以两个容器的底面积之和，求出现在两个容器中的水深。 【详解】甲容器中水的体积：（立方厘米） 乙容器中水的体积：（立方厘米） 水的总体积：（立方厘米） 两个容器的底面积之和：（平方厘米） 现在两个容器中的水深：（厘米） 答：现在两个容器中的水深是8厘米。 17．一个长方体容器，从里面量长为2分米，宽为1.5分米，放入一个铁球后，铁球完全浸没在水中，这时水面上升了0.25分米，且水未溢出，这个铁球的体积是多少立方分米？ 【答案】0.75立方分米 【分析】本题考查长方体体积的计算及测量不规则物体体积的方法。根据排水法原理，当物体完全浸没在水中且水未溢出时，物体的体积等于水面上升部分的水的体积。上升部分的水是一个长方体，其长和宽等于容器的内部长和宽，高等于水面上升的高度，利用长方体体积公式“体积＝长×宽×高”进行计算即可。 【详解】根据题意，铁球的体积等于水面上升部分的水的体积。 （立方分米） 答：这个铁球的体积是0.75立方分米。 18．在一个长16厘米，宽10厘米，高20厘米的长方体玻璃缸中，放入一个棱长8厘米的正方体铁块，然后往里面倒入水，使它正好完全淹没这个正方体铁块。当铁块从缸中取出时，现在缸中的水深是多少厘米？ 【答案】4.8厘米 【分析】倒入玻璃缸中的水正好完全淹没这个正方体铁块时，水面高度等于正方体铁块的高度，当铁块从缸中取出时，下降部分水的体积等于铁块的体积，根据“”求出下降部分水的体积，下降的水面高度＝下降部分水的体积÷玻璃缸的底面积，现在的水面高度＝正方体铁块的高度－下降的水面高度。 【详解】8×8×8÷（16×10） ＝8×8×8÷160 ＝64×8÷160 ＝512÷160 ＝3.2（厘米） 8－3.2＝4.8（厘米） 答：现在缸中的水深是4.8厘米。 19．劳动课上，老师给每个小组准备了纸壳（如图），长80厘米，宽40厘米。现在同学们要把纸壳折叠成一个无盖的收纳盒（连接处和纸壳厚度忽略不计）。这个收纳盒的体积是多少立方厘米？合多少立方分米？ 【答案】12000立方厘米；12立方分米 【分析】由图可知长方形纸壳的四个角均剪去了一个边长是10厘米的正方形，折叠成一个长方体后，长方体的长等于纸壳的长减去2个10厘米，长方体的宽等于纸壳的宽减去2个10厘米，长方体的高等于小正方形的边长。根据长方体体积＝长×宽×高进行计算。最后根据1立方分米＝1000立方厘米，把结果换算成立方分米。 【详解】长： （厘米） 宽： （厘米） （立方厘米） 12000立方厘米＝12立方分米 答：这个收纳盒的体积是12000立方厘米，合12立方分米。 20．明明家有一个长方体鱼缸（无盖），长6分米，宽5分米，高4分米。 (1)这个鱼缸的下面和右面的玻璃打碎了，要修好这个鱼缸，至少需要购买多少平方分米相配套的玻璃？ (2)明明妈妈在修好的鱼缸里注入3分米高的水，此时水的体积是多少升？ 【答案】(1)50平方分米 (2)90升 【分析】（1）长方体鱼缸的下面是长6分米、宽5分米的长方形，右面是宽5分米、高4分米的长方形。根据长方形面积＝长×宽，分别计算出两个破损面的面积，再将两个面积相加，即可得到需要购买的玻璃总面积。 （2）鱼缸内注入的水形成一个长6分米、宽5分米、高3分米的长方体，根据长方体体积＝长×宽×高计算出水的体积，再根据1立方分米＝1升的换算关系，将体积单位转换为容积单位升。 【详解】（1）下面玻璃的面积：6×5＝30（平方分米） 右面玻璃的面积：5×4＝20（平方分米） 需要购买的玻璃总面积：30＋20＝50（平方分米） 答：至少需要购买50平方分米相配套的玻璃。 （2）水的体积： 6×5×3 ＝30×3 ＝90（立方分米） 90立方分米＝90升 答：此时水的体积是90升。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 第六单元长方体和正方体 易错点2专项突破：长方体的正方体的体积 1.计算下面图形的表面积和体积。 (1) 15cm (2) 12dm 8cm 12dm 20cm 12dm 2.按要求计算下面图形的表面积和体积。 3cm 4cm 2cm 9cm 8cm 8cm 3.求下列图形的表面积和体积。（单位是厘米） 16 第1页共7页 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.求出下列图形的表面积和体积。 (1) 周 (2)》 4cm 1.5dm 1.5dm 15cm 5.计算下面正方体和长方体的表面积和体积。 (1) 8cm (2) 2dm 8cm 8cm 4dm 1.5dm 6.计算下面图形的表面积和体积。 8厘米 4分米 5厘米 12厘米 4分米 4分米 第2页共7页 西学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 7.计算下面各图形的表面积和体积。（单位：厘米） 8.分别求出下列立体图形的表面积和体积。 2.5cm 5cm 2.5cm 8cm 9.只列式，不解答。 一个长7分米、宽4分米、高5分米的长方体鱼缸倒满水，放入3个棱长为2分米的正方体铁 块后，溢出的水的体积占鱼缸容积的几分之几？ 第3页共7页 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10.把一个棱长是8厘米的正方体铁块放入一个长32厘米、宽16厘米、水深8厘米的长方体 水池中，且水未溢出，水面上升了多少厘米？ 11.做一个无盖的棱长为4分米的正方体铁皮水桶，做这个水桶至少需要多少平方分米的铁皮？ 在这个无盖水桶中装满水，把水倒入一个长8分米，宽4分米的长方体空鱼缸里，水深多少分 米？ 12.一块棱长是0.6米的正方体的钢坯，锻成横截面边长（横截面是正方形）是0.3米的长方 体钢材，锻成的钢材有多长？（用方程解答） 13.如图是一个长方体木质花盆，从里面量，长35厘米，宽16厘米，高12厘米。这个长方 体花盆中装有10厘米高的营养土，如果将这些营养土全部倒入一个从里面量棱长20厘米的空 的正方体花盆中，那么正方体花盆中营养土的高度是多少厘米？ 第4页共7页 色学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 14.一个长方体的玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米。如果投入一块棱 长为4分米的正方体铁块（如图），缸里的水溢出多少升？ 15.计算说理：张明在超市发现一盒牛奶的长方体包装盒上标注净含量250毫升”。他从外面 量，长6厘米，宽4厘米，高10厘米。请用你学过的知识解释这个标注是否合理？ 16.有甲、乙两个长方体容器，甲容器的底面积是36平方厘米，高是28厘米，水深10厘米。 乙容器的底面积是18平方厘米，高是20厘米，水深4厘米。将甲容器中的一些水倒入乙容器 第5页共7页 西学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 中，使两个容器的水面高度相等，则现在两个容器中的水深是多少厘米？ 17.一个长方体容器，从里面量长为2分米，宽为1.5分米，放入一个铁球后，铁球完全浸没 在水中，这时水面上升了0.25分米，且水未溢出，这个铁球的体积是多少立方分米？ 18.在一个长16厘米，宽10厘米，高20厘米的长方体玻璃缸中，放入一个棱长8厘米的正 方体铁块，然后往里面倒入水，使它正好完全淹没这个正方体铁块。当铁块从缸中取出时，现 在缸中的水深是多少厘米？ 19.劳动课上，老师给每个小组准备了纸壳（如图），长80厘米，宽40厘米。现在同学们要 把纸壳折叠成一个无盖的收纳盒（连接处和纸壳厚度忽略不计）。这个收纳盒的体积是多少立 方厘米？合多少立方分米？ 80cm 第6页共7页 西学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 20.明明家有一个长方体鱼缸（无盖），长6分米，宽5分米，高4分米。 (1)这个鱼缸的下面和右面的玻璃打碎了，要修好这个鱼缸，至少需要购买多少平方分米相配 套的玻璃？ (2)明明妈妈在修好的鱼缸里注入3分米高的水，此时水的体积是多少升？ 第7页共7页