怎样通知最快 （3大考点，5大易错点，3大题型）-2025-2026学年人教版五年级下册高频易错期末专项复习讲义

《怎样通知最快》期末复习讲义 明期末考情 考查重点 命题角度 三种通知方案对比辨析 考查逐个通知、分组通知、全员不空闲通知三种方案的耗时对比，理解优化思想，常以填空、判断、选择题基础考查，为本单元基础考点。 最优通知策略核心原理 考查最快通知的核心逻辑：每一分钟所有知情人员同时参与通知、无人空闲，掌握人数倍增规律，是期末核心重难点。 通知人数公式与规律计算 熟记n分钟知情总人数、新通知人数、队员总人数公式，能根据时间求人数、根据人数求最少时间，是期末高频计算题型。 通知问题综合应用 结合生活场景（紧急通知、消息传达、疫情报备等）解决实际问题，判断最少通知时间、推导人数范围，属于期末思维拔高与压轴题型。 核心考点总结 1、三种通知方案对比（必懂） 前提条件：通知为一对一单独通知，每次通知1人，每次耗时1分钟。 （1）逐个通知：专人依次通知所有人，速度最慢，耗时最长，无优化效果。 （2）分组通知：将人员分组，分组同时通知，比逐个通知快，但仍有部分人员空闲，不是最优方案。 （3）全员不空闲通知（最优方案）：凡是接到通知的人，下一分钟都参与通知新人，无人空闲、无人重复，速度最快。 2、最优通知倍增规律（核心必考） 每过1分钟，知情总人数扩大为原来的2倍，呈指数倍增。 关键数据规律（牢记）： 第1分钟：新通知1人，总知情2人，队员总数1人 第2分钟：新通知2人，总知情4人，队员总数3人 第3分钟：新通知4人，总知情8人，队员总数7人 第4分钟：新通知8人，总知情16人，队员总数15人 第5分钟：新通知16人，总知情32人，队员总数31人 3、万能计算公式（答题直接用） 设通知时间为n分钟： （1）n分钟后总知情人数（含发通知者）： （2）n分钟后接到通知的队员总人数： （3）第n分钟新接到通知的人数： 4、解题核心思路 已知人数求时间：依次代入公式计算，找到能覆盖全部队员的最小分钟数。 已知时间求人数：直接套用公式，求出总知情人数、队员人数、新增人数。 本单元高频易错点汇总 易错点1：混淆总人数和队员人数 错因：直接用当作队员人数，忘记减去发通知的1人，导致结果多1人。 纠正：总知情人数含发起人，队员人数必须-1（公式：）。 易错点2：误以为分组越多通知越快 错因：认为分组数量越多，耗时越短，盲目多分小组。 纠正：分组通知不是最优方案，全员参与、无人空闲才是最快方案，和分组多少无关。 易错点3：新通知人数计算错误 错因：把总新增人数当成当前分钟新通知人数，混淆累计和单分钟数据。 纠正：第n分钟新通知人数为，是单分钟新增，不是累计人数。 易错点4：求最少时间判断失误 错因：计算出人数刚好够就直接取值，忽略必须全部通知到位，人数不足需多算1分钟。 纠正：计算结果小于所需人数时，时间向上取整。 易错点5：不理解“同时通知”前提 错因：做题默认逐个通知，未启用全员同时通知的最优策略，耗时算错。 纠正：题目问“最快、最少时间”，一律用全员不空闲倍增方案解题。 经典例题精讲（期末真题题型） 例题1 基础时间计算 队长要通知15名队员，每次一对一通知，最少需要几分钟能全部通知完？ 解析：套用公式，4分钟可通知人，刚好覆盖，答案为4分钟。 例题2 单分钟新增人数计算 紧急通知，第5分钟最多可以新通知多少人？5分钟一共可以通知多少名队员？ 解析：第5分钟新通知：人；总队员人数：人。 例题3 人数不足取时间 要通知20名同学，最少需要几分钟？ 解析：4分钟最多通知15人（不够），5分钟最多通知31人（足够），所以最少需要5分钟。 例题4 方案辨析判断题 判断：要想通知最快，尽量多分组，分组越多用时越少。 解析：错误。最快方案是全员参与通知，无人空闲，与分组数量无关。 三大题型 题型一、已知人数求最少时间题型 标准解题法（精准推算、向上取整） 第一步：列数据，依次列出1、2、3、4、5分钟对应可通知队员人数。 第二步：做对比，对比题目需要通知的总人数。 第三步：判大小，找到第一个大于等于所需人数的时间。 第四步：定答案，人数不足则多取1分钟，保证全部通知到位。 1．有20名同学准备到郊外参加研学活动，但因为天气变化需要延期，现在老师要尽快通知到每一名学生，如果采用打电话的方式通知，每分钟可以通知一人，最短需要（    ）分钟就可以通知到每一名学生。 A．2 B．3 C．4 D．5 2．学校召开班主任紧急会议，校长要尽快通知到每位班主任，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，那么通知60位班主任至少需要（    ）分钟。 A．30 B．10 C．6 D．5 3．蚂蚁是社群性昆虫，它们通过触角接触来传递信息。1只蚂蚁发现食物，现要将信息传递给同伴，若2只蚂蚁之间5秒完成一次信息传递，其他15只蚂蚁全部收到信息最少需要（    ）秒。 A．15 B．20 C．25 D．75 4．打一个电话要1分钟，周老师要通知参加演出的15名同学进行集训，如果用打电话的最佳方案，那么至少要（    ）分钟。 A．3 B．4 C．5 D．6 5．老师接到紧急通知，要尽快通知体育队的15名同学参加紧急训练，通过打电话的方式一对一进行通知，每分钟通知1人，至少需要（    ）分钟才能通知到15名同学。 A．5 B．3 C．4 6．皮影戏，又称“影子戏”或“灯影戏”，是中国民间古老的传统艺术。某皮影戏剧团15名成员有紧急演出，团队负责人要打电话尽快通知到每名成员（一对一进行传达），每次通话需要1分钟，最少（    ）分钟才能通知到每个人。 A．15 B．5 C．4 D．14 7．一个救援队的队长接到紧急任务，需尽快将任务以一对一进行传达给63名队员，每分钟通知1人，最少（    ）分钟可以通知到所有队员。 A．5 B．6 C．7 D．8 8．学校舞蹈队共有50人，暑假期间有一个紧急演出，老师要尽快通知到每一个队员。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，最少花（    ）分钟，就能通知到每个人。 A．5 B．6 C．7 D．8 9．星期天，张老师要通知舞蹈队40名同学到学校参加一个活动，通知必须一对一进行传达，每2分钟通知1人。最少需要( )分钟可以通知到所有人。 10．聪聪的妈妈要通知舞蹈队的10名队员明天下午2点来排练。如果打电话通知1个人需要1分钟，妈妈最少需要( )分钟才能通知到所有队员。 题型二、求总人数和队员人数 解题妙招：总知情人数含发起人，队员人数必须-1（公式：） 11．蚂蚁之间通过触角传递信息，每两只蚂蚁之间传递一次信息需要2秒钟，经过12秒，最多有多少只蚂蚁知道信息？（    ） A．24 B．36 C．48 D．64 12．学校组织的郊游活动因天气的变化推迟了。王老师要尽快通知到每一位学生，如果一对一进行打电话传达，每分钟通知1人，每人接到电话后立即通知其他不知道这一消息的同学，7分钟最多可以通知（    ）人。 A．7 B．158 C．127 13．蚂蚁是社群性昆虫，它们在活动中需要通过触角来传递信息。如果一只蚂蚁用3秒完成一次信息传递，9秒后，最多会有（    ）只蚂蚁知道这个信息。 A．3 B．8 C．12 D．16 14．一个舞蹈队有若干名队员，暑假期间有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员。如果采用打电话的方式（学生之间也可以打电话），每1分钟通知1人，3分钟最多可以通知（    ）名队员。 A．3 B．5 C．7 D．15 15．放假期间，队长要通知篮球队的队员们紧急集合，如果用打电话的方式每分钟通知1名队员，4分钟最多可通知( )名队员。 16．运动会比赛顺序临时变动，张老师需要将新的赛程以打电话的方式告知每一位运动员，必须一对一进行传达，若每分钟通知1人，4分钟最多能通知( )人。 17．新区某小学研学活动因突发暴雨推迟，需要尽快通知家长。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，4分钟后，最多通知了( )名家长。 18．学校组织的郊游活动时间提前了。班主任李老师需要尽快通知到每一位学生，如果每分钟通知1人，每人接到通知后，继续通知其他同学（一对一进行传达，无重复通知）。李老师已经通知了5分钟，这时最多已经通知了( )名学生。 19．蚂蚁用触角传递信息。一只蚂蚁发现了食物，马上通知另一只蚂蚁，这两只蚂蚁再分别一对一通知其它蚂蚁……如果每通知1只蚂蚁需要10秒，那么30秒后一共有( )只蚂蚁知道了消息。 20．学校临时有急事要通知学生，李老师要尽快通知到每一个学生。如果用打电话的方式每分钟通知1人，5分钟最多可以通知( )个学生。 题型三、综合辨析与生活拔高应用题 四步标准解题步骤 第一步：读清题意，确定通知总人数，明确求时间还是求人数。 第二步：选定策略，求最快时间一律用全员不空闲倍增方案。 第三步：公式推算，结合倍增规律或公式计算对应数据。 第四步：规范作答，验证人数是否全覆盖，写出完整结论。 21．一个舞蹈队有7人，假期有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，接到电话的同学立即通知其他不知道这一信息的同学，全部通知完至少需要几分钟？ 22．孙悟空在去西天取经的路上又遇到了妖精，它每次拔一根毫毛就能变成一个孙悟空，变出的孙悟空每次拔一根毫毛也能变成一个孙悟空，每次变化需要的时间是2秒钟。如果要变化出15个孙悟空，最短需要多少时间？ 23．孙悟空在去西天取经的路上又遇到了妖精，它每次拔一根毫毛就能变成一个孙悟空，变出的孙悟空每次拔一根毫毛也能变成一个孙悟空，每次变化需要的时间是2秒钟。如果要变化出15个孙悟空，最短需要多少时间？把你的想法画出来。 24．五年级组织趣味游戏，其中一个项目是“快乐传递”。一位已经知道信息的同学要尽快将信息通知到13个组员。每人每次只能通知1人，通知1人用时1分钟。请设计一个最快的通知方案（可以用文字、画图等进行说明）。最快的方案需要多少时间？ 25．王老师有事要用打电话的方式通知同学。如果每分钟打电话通知1人，那么3分钟最多通知几个同学？（请用画图的方法表示出你的想法。） 26．春风小学教导主任接到校长的紧急通知，让学校舞蹈队参加一个演出。学校舞蹈队共有30人，如果一对一进行传达，每分钟通知1人。教导主任怎样才能尽快通知到所有人？ （1）教导主任一个一个地通知需要（    ）分钟。 （2）小南设计了上面的分组法。 ①请在括号里填出每个小组完成通知的时间。 ②所有人接到通知，一共需要（    ）分钟。 （3）小宇设计了如下方案（如图），请把下表填写完整。 第几分钟 1 2 3 4 5 … n 新通知的人数 1 2 … 一共通知的人数 1 3 … 由上表可知，通知30人只需要（    ）分钟。 （4）小南和小宇的方案相比，（    ）设计的方案更快，因为每个人都（    ），所以用的时间最少。 27．孙悟空在炫耀拔毫毛变分身的本领，每次拔一根毫毛就能变出一个孙悟空，变出的孙悟空也能每次拔一根毫毛变出一个孙悟空，并且每次变化的时间都是1秒钟。 （1）如果要变出7个新的孙悟空，最短需要（    ）秒。 （2）如果用“□”表示孙悟空，用“○”表示变出的孙悟空，请在下面空白处画出变化的示意图。 28．学校音乐小组有64人，现需通知外出演出，如果用打电话方式，每人通话1分钟，通知到每人需要多少分钟？如果只有6分钟时间，则至少有多少人没有通知到？ 29．合唱队有7人，暑假老师要通知合唱队的队员去演出，若每分钟通知一个人，至少需要多少分钟才能通知到每个队员？请画出分析图。 30．一个舞蹈队有7人，假期有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，接到电话的同学立即通知其他不知道这一信息的同学，全部通知完至少需要几分钟？请你用画图的方式设计一个打电话的方案。 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 《怎样通知最快》期末复习讲义 明期末考情 考查重点 命题角度 三种通知方案对比辨析 考查逐个通知、分组通知、全员不空闲通知三种方案的耗时对比，理解优化思想，常以填空、判断、选择题基础考查，为本单元基础考点。 最优通知策略核心原理 考查最快通知的核心逻辑：每一分钟所有知情人员同时参与通知、无人空闲，掌握人数倍增规律，是期末核心重难点。 通知人数公式与规律计算 熟记n分钟知情总人数、新通知人数、队员总人数公式，能根据时间求人数、根据人数求最少时间，是期末高频计算题型。 通知问题综合应用 结合生活场景（紧急通知、消息传达、疫情报备等）解决实际问题，判断最少通知时间、推导人数范围，属于期末思维拔高与压轴题型。 核心考点总结 1、三种通知方案对比（必懂） 前提条件：通知为一对一单独通知，每次通知1人，每次耗时1分钟。 （1）逐个通知：专人依次通知所有人，速度最慢，耗时最长，无优化效果。 （2）分组通知：将人员分组，分组同时通知，比逐个通知快，但仍有部分人员空闲，不是最优方案。 （3）全员不空闲通知（最优方案）：凡是接到通知的人，下一分钟都参与通知新人，无人空闲、无人重复，速度最快。 2、最优通知倍增规律（核心必考） 每过1分钟，知情总人数扩大为原来的2倍，呈指数倍增。 关键数据规律（牢记）： 第1分钟：新通知1人，总知情2人，队员总数1人 第2分钟：新通知2人，总知情4人，队员总数3人 第3分钟：新通知4人，总知情8人，队员总数7人 第4分钟：新通知8人，总知情16人，队员总数15人 第5分钟：新通知16人，总知情32人，队员总数31人 3、万能计算公式（答题直接用） 设通知时间为n分钟： （1）n分钟后总知情人数（含发通知者）： （2）n分钟后接到通知的队员总人数： （3）第n分钟新接到通知的人数： 4、解题核心思路 已知人数求时间：依次代入公式计算，找到能覆盖全部队员的最小分钟数。 已知时间求人数：直接套用公式，求出总知情人数、队员人数、新增人数。 本单元高频易错点汇总 易错点1：混淆总人数和队员人数 错因：直接用当作队员人数，忘记减去发通知的1人，导致结果多1人。 纠正：总知情人数含发起人，队员人数必须-1（公式：）。 易错点2：误以为分组越多通知越快 错因：认为分组数量越多，耗时越短，盲目多分小组。 纠正：分组通知不是最优方案，全员参与、无人空闲才是最快方案，和分组多少无关。 易错点3：新通知人数计算错误 错因：把总新增人数当成当前分钟新通知人数，混淆累计和单分钟数据。 纠正：第n分钟新通知人数为，是单分钟新增，不是累计人数。 易错点4：求最少时间判断失误 错因：计算出人数刚好够就直接取值，忽略必须全部通知到位，人数不足需多算1分钟。 纠正：计算结果小于所需人数时，时间向上取整。 易错点5：不理解“同时通知”前提 错因：做题默认逐个通知，未启用全员同时通知的最优策略，耗时算错。 纠正：题目问“最快、最少时间”，一律用全员不空闲倍增方案解题。 经典例题精讲（期末真题题型） 例题1 基础时间计算 队长要通知15名队员，每次一对一通知，最少需要几分钟能全部通知完？ 解析：套用公式，4分钟可通知人，刚好覆盖，答案为4分钟。 例题2 单分钟新增人数计算 紧急通知，第5分钟最多可以新通知多少人？5分钟一共可以通知多少名队员？ 解析：第5分钟新通知：人；总队员人数：人。 例题3 人数不足取时间 要通知20名同学，最少需要几分钟？ 解析：4分钟最多通知15人（不够），5分钟最多通知31人（足够），所以最少需要5分钟。 例题4 方案辨析判断题 判断：要想通知最快，尽量多分组，分组越多用时越少。 解析：错误。最快方案是全员参与通知，无人空闲，与分组数量无关。 三大题型 题型一、已知人数求最少时间题型 标准解题法（精准推算、向上取整） 第一步：列数据，依次列出1、2、3、4、5分钟对应可通知队员人数。 第二步：做对比，对比题目需要通知的总人数。 第三步：判大小，找到第一个大于等于所需人数的时间。 第四步：定答案，人数不足则多取1分钟，保证全部通知到位。 1．有20名同学准备到郊外参加研学活动，但因为天气变化需要延期，现在老师要尽快通知到每一名学生，如果采用打电话的方式通知，每分钟可以通知一人，最短需要（    ）分钟就可以通知到每一名学生。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】第一分钟通知到1人，接到通知的人下一分钟可以同时去通知其他人，即第一分钟：1人，第二分钟：2＋1＝3人，第三分钟：3＋4＝7人，以此类推，超过21人接到通知即可。 【详解】第一分钟：1（人） 第二分钟：2＋1＝3（人） 第三分钟：3＋4＝7（人） 第四分钟：7＋8＝15（人） 第五分钟：15＋16＝31（人） 31＞20 最短需要5分钟可以通知到每一名学生。。 所以选项D是正确的。 2．学校召开班主任紧急会议，校长要尽快通知到每位班主任，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，那么通知60位班主任至少需要（    ）分钟。 A．30 B．10 C．6 D．5 【答案】C 【分析】要使通知时间最短，需采用最优策略，即每一分钟所有知道消息的人（包括校长）都不空闲，同时去通知新的班主任。这样，每一分钟知道消息的总人数都会扩大到原来的 2 倍。通过计算每分钟最多能通知的班主任人数，找到大于或等于 60 所需的最少分钟数。 【详解】根据最优通知方案，每分钟知道消息的总人数扩大到原来的 2 倍，已通知的班主任人数为知道消息的总人数减 1（即减去校长）。 第1分钟：知道消息总人数为，已通知（人）； 第2分钟：知道消息总人数为，已通知（人）； 第3分钟：知道消息总人数为，已通知（人）； 第4分钟：知道消息总人数为，已通知（人）； 第5分钟：知道消息总人数为，已通知（人）； 第6分钟：知道消息总人数为，已通知（人）。 因为，所以通知60位班主任至少需要6分钟。 3．蚂蚁是社群性昆虫，它们通过触角接触来传递信息。1只蚂蚁发现食物，现要将信息传递给同伴，若2只蚂蚁之间5秒完成一次信息传递，其他15只蚂蚁全部收到信息最少需要（    ）秒。 A．15 B．20 C．25 D．75 【答案】B 【分析】根据题目中的通知方案可知：第一个5秒，一只蚂蚁通知另一只蚂蚁，共通知到（1×2）只蚂蚁；第二个5秒，2只蚂蚁通知另2只蚂蚁，共通知到（2×2）只蚂蚁；第三个5秒，4只蚂蚁通知另4只蚂蚁，共通知到（2×2×2）只蚂蚁……由此可知，第几个5秒，通知到的蚂蚁只数为几个2相乘，据此解答。 【详解】15＋1＝16（只） 16＝2×2×2×2 5×4＝20（秒） 蚂蚁是社群性昆虫，它们通过触角接触来传递信息。1只蚂蚁发现食物，现要将信息传递给同伴，若2只蚂蚁之间5秒完成一次信息传递，其他15只蚂蚁全部收到信息最少需要20秒。 故答案为：B 4．打一个电话要1分钟，周老师要通知参加演出的15名同学进行集训，如果用打电话的最佳方案，那么至少要（    ）分钟。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据打电话的最佳方案，即每次通知的人都帮助通知其他人，逐一分析每一分钟通知的人数，从而得出通知15名同学所需的最少时间。 【详解】周老师通知1名同学，此时通知到的同学有1名； 周老师和第1分钟通知的1名同学分别通知1名同学，此时通知到的同学有1＋2＝3名； 周老师和之前通知到的3名同学分别通知1名同学，此时通知到的同学有3＋4＝7名； 周老师和之前通知到的7名同学分别通知1名同学，此时通知到的同学有7＋8＝15名，刚好通知完15名同学。 因此，用打电话的最佳方案，至少要4分钟。 故答案为：B 5．老师接到紧急通知，要尽快通知体育队的15名同学参加紧急训练，通过打电话的方式一对一进行通知，每分钟通知1人，至少需要（    ）分钟才能通知到15名同学。 A．5 B．3 C．4 【答案】C 【分析】接到电话的同学可以同时通知其他同学，第1分钟通知1人，第2分钟通知（1＋2）人，第3分钟通知（3＋4）人……以此类推，保证接到通知的人数等于或大于15人即可。 【详解】第1分钟：1人 第2分钟：1＋2＝3（人） 第3分钟：3＋4＝7（人） 第4分钟：7＋8＝15（人） 至少需要4分钟才能通知到15名同学。 故答案为：C 6．皮影戏，又称“影子戏”或“灯影戏”，是中国民间古老的传统艺术。某皮影戏剧团15名成员有紧急演出，团队负责人要打电话尽快通知到每名成员（一对一进行传达），每次通话需要1分钟，最少（    ）分钟才能通知到每个人。 A．15 B．5 C．4 D．14 【答案】C 【分析】根据最优通知，即每过一分钟，已通知到的人（包括负责人）都可以同时通知下一批人，据此逐一分析每一分钟通知的人数，从而确定通知完所有人所需的最少时间。 【详解】第1分钟：负责人通知1人； 第2分钟：负责人和已通知到的1人各通知1人，即2人，共通知到1＋2＝3人； 第3分钟：负责人和已通知到的3人各通知1人，即4人，共通知到3＋4＝7人； 第4分钟：负责人和已通知到的7人各通知1人，即8人，共通知到7＋8＝15人。 因此，最少4分钟才能通知到每个人。 故答案为：C 7．一个救援队的队长接到紧急任务，需尽快将任务以一对一进行传达给63名队员，每分钟通知1人，最少（    ）分钟可以通知到所有队员。 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】每分钟通知1人，接到通知的人又可以通知下一个人，这样最节省时间。找到规律，按规律求出通知63名队员最少需要的时间。 【详解】第1分钟通知1人； 第2分钟通知1＋1＝2（人），接到通知的一共有：1＋2＝3（人）； 第3分钟通知1＋3＝4（人），接到通知的一共有：3＋4＝7（人）； 第4分钟通知1＋7＝8（人），接到通知的一共有：7＋8＝15（人）； 第5分钟通知1＋15＝16（人），接到通知的一共有：15＋16＝31（人）； 第6分钟通知1＋31＝32（人），接到通知的一共有：31＋32＝63（人）； 最少6分钟可以通知到所有队员。 故答案为：B 8．学校舞蹈队共有50人，暑假期间有一个紧急演出，老师要尽快通知到每一个队员。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，最少花（    ）分钟，就能通知到每个人。 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】第1分钟，老师通知1个队员； 第2分钟，老师和已经通知的队员分别通知1个队员，新接到通知的队员人数为2人，接到通知的队员总人数为2＋1＝3（人）； 第3分钟，老师和已经通知的队员分别通知1个队员，新接到通知的队员人数为3＋1＝4（人），接到通知的队员总人数为4＋3＝7（人）； 第4分钟，老师和已经通知的队员分别通知1个队员，新接到通知的队员人数为7＋1＝8（名），接到通知的队员总人数为8＋7＝15（名）； 第5分钟，老师和已经通知的队员分别通知1名队员，新接到通知的队员人数为15＋1＝16（人），接到通知的队员总人数为15＋16＝31（人）； 第6分钟，老师和已经通知的队员分别通知1名队员，新接到通知的队员人数为31＋1＝32（人），接到通知的队员总人数为31＋32＝63（人），由此可知，6分钟可以通知到每个人。 【详解】根据分析可知，学校舞蹈队共有50人，暑假期间有一个紧急演出，老师要尽快通知到每一个队员。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，最少花6分钟，就能通知到每个人。 故答案为：B 9．星期天，张老师要通知舞蹈队40名同学到学校参加一个活动，通知必须一对一进行传达，每2分钟通知1人。最少需要( )分钟可以通知到所有人。 【答案】12 【分析】要想用最少时间通知所有人，就要让所有已经接到通知的老师和同学，都一起帮忙通知新同学。 【详解】第1个2分钟：一共通知到1人； 第2个2分钟：一共通知到3人； 第3个2分钟：一共通知到7人； 第4个2分钟：一共通知到15人； 第5个2分钟：一共通知到31人； 第6个2分钟：一共通知到63人； 63人＞40人，全部通知完毕。 最少需要12分钟。 10．聪聪的妈妈要通知舞蹈队的10名队员明天下午2点来排练。如果打电话通知1个人需要1分钟，妈妈最少需要( )分钟才能通知到所有队员。 【答案】4 【分析】第1分钟新接到通知的队员人数是1人，此时共1＋1＝2人知道此事； 第2分钟新接到通知的队员人数是2人，此时共2＋2＝4人知道此事； 第3分钟新接到通知的队员人数是4人，此时共4＋4＝8人知道此事； 第4分钟新接到通知的队员人数是8人，此时共8＋8＝16人知道此事； 此时可以被通知到的人数大于10名队员加妈妈共11人，所以妈妈最少需要4分钟才能通知到所有队员。 【详解】第一分钟：1＋1＝2（人） 第二分钟：2＋2＝4（人） 第三分钟：4＋4＝8（人） 第四分钟：8＋8＝16（人）＞10＋1 需要4分钟。 题型二、求总人数和队员人数 解题妙招：总知情人数含发起人，队员人数必须-1（公式：） 11．蚂蚁之间通过触角传递信息，每两只蚂蚁之间传递一次信息需要2秒钟，经过12秒，最多有多少只蚂蚁知道信息？（    ） A．24 B．36 C．48 D．64 【答案】D 【分析】根据题意中的通知方案可知： 第1个2秒，一只蚂蚁通知了另一只蚂蚁，共通知到2只蚂蚁，2＝1×2； 第2个2秒，2只蚂蚁通知了另2只蚂蚁，共通知到4只蚂蚁，4＝2×2； 第3个2秒，4只蚂蚁通知了另4只蚂蚁，共通知到8只蚂蚁，8＝2×2×2； 第4个2秒，8只蚂蚁通知了另8只蚂蚁，共通知到16只蚂蚁，16＝2×2×2×2； …… 规律：第n个2秒，通知到的蚂蚁只数为2n只； 据此规律解答。 【详解】规律：第n个2秒，通知到的蚂蚁只数为2n只； 12÷2＝6（个） 当n＝6时，2×2×2×2×2×2＝64（只） 经过12秒，最多有64只蚂蚁知道信息。 故答案为：D 12．学校组织的郊游活动因天气的变化推迟了。王老师要尽快通知到每一位学生，如果一对一进行打电话传达，每分钟通知1人，每人接到电话后立即通知其他不知道这一消息的同学，7分钟最多可以通知（    ）人。 A．7 B．158 C．127 【答案】C 【分析】第1分钟：王老师通知1人，累计通知1人；第2分钟：王老师通知1人和已通知的1人通知1人，累计通知1＋1×2＝3人；第3分钟：王老师通知1人和之前已通知的3人通知3人，累计通知1＋3×2＝7人；第4分钟：王老师通知1人和之前已通知的7人通知7人，累计通知1＋7×2＝15人；……以此类推7分钟最多可以通知的人数。 【详解】第1分钟通知到1人， 第2分钟最多可通知到1＋1×2＝3（人）， 第3分钟最多可通知到1＋3×2＝7（人）， 第4分钟最多可通知到1＋7×2＝15（人）， 第5分钟最多可通知到1＋15×2＝31（人）， 第6分钟最多可通知到1＋31×2＝63（人）， 第7分钟最多可通知到1＋63×2＝127（人）， 所以7分钟最多可以通知127人。 故答案为：C 13．蚂蚁是社群性昆虫，它们在活动中需要通过触角来传递信息。如果一只蚂蚁用3秒完成一次信息传递，9秒后，最多会有（    ）只蚂蚁知道这个信息。 A．3 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】蚂蚁用3秒完成一次信息传递，那么9秒就可以完成3次信息传递，第1次传递后共有1＋1＝2（只）蚂蚁知道这个信息，第2次传递后共有1＋1＋2＝4（只）蚂蚁知道这个信息，第3次传递后共有1＋1＋2＋4＝8（只）蚂蚁知道这个信息，据此解答。 【详解】由分析可知： 第1次传递后共有1＋1＝2（只） 第2次传递后共有1＋1＋2＝4（只） 第3次传递后共有1＋1＋2＋4＝8（只） 9秒后有8只蚂蚁知道这个信息。 故答案为：B 14．一个舞蹈队有若干名队员，暑假期间有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员。如果采用打电话的方式（学生之间也可以打电话），每1分钟通知1人，3分钟最多可以通知（    ）名队员。 A．3 B．5 C．7 D．15 【答案】C 【分析】首先用1分钟通知第一名队员，第2分钟由第一次通知的人和1名队员两人分别通知1名队员，现在一共通知到1＋2＝3（名）队员，可以推出第3分钟最多通知到3＋4＝7（名）队员，以此类推，由此问题解决。 【详解】根据分析可得， 第1分钟通知到1名队员； 第2分钟最多可通知到3名队员； 第3分钟最多可通知到7名队员； 3分钟最多可以通知7名队员。 故答案为：C 15．放假期间，队长要通知篮球队的队员们紧急集合，如果用打电话的方式每分钟通知1名队员，4分钟最多可通知( )名队员。 【答案】15 【分析】这是最优通知问题，每分钟新接到通知的队员和队长一起通知其他人。第1分钟通知1人，第2分钟新通知2人，第3分钟新通知4人，第4分钟新通知8人，总通知人数是各分钟新通知人数之和。 【详解】1＋2＋4＋8 ＝3＋12 ＝15（名） 16．运动会比赛顺序临时变动，张老师需要将新的赛程以打电话的方式告知每一位运动员，必须一对一进行传达，若每分钟通知1人，4分钟最多能通知( )人。 【答案】15 【分析】第1分钟：只有张老师1人能通知，通知1人后，总通知人数为1人，此时老师＋已通知的1人，共2人可参与下一分钟通知。 第2分钟：老师和已通知的1人一起通知，共能通知2人，累计通知人数为1＋2＝3人，此时共3＋1＝4人可参与下一分钟通知。 第3分钟：4人一起通知，共能通知4人，累计通知人数为3＋4＝7人，此时共7＋1＝8人可参与下一分钟通知。 第4分钟：8人一起通知，共能通知8人，累计通知人数为7＋8＝15人。 【详解】第1分钟：1＋1＝2（人） 第2分钟：1＋2＝3（人） 可参与通知人数：3＋1＝4（人） 第3分钟：3＋4＝7（人） 可参与通知人数：7＋1＝8（人） 第4分钟：7＋8＝15（人） 所以4分钟最多能通知15人。 17．新区某小学研学活动因突发暴雨推迟，需要尽快通知家长。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，4分钟后，最多通知了( )名家长。 【答案】 15 【分析】老师首先用1分钟通知第一个人，第二分钟老师和已经通知的1个人分别各通知1个人，现在得到通知的一共为1＋1×2＝3个人； 第三分钟老师和已经通知的3个人分别各通知1个人，现在得到通知的一共为1＋3×2＝7个人，依次类推即可得到答案。 【详解】第一分钟通知到1个人 第二分钟最多可通知到1＋1×2＝1＋2＝3（人） 第三分钟最多可通知到1＋3×2＝1＋6＝7（人） 第四分钟最多可通知到1＋7×2＝1＋14＝15（人） 新区某小学研学活动因突发暴雨推迟，需要尽快通知家长。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，4分钟后，最多通知了15名家长。 18．学校组织的郊游活动时间提前了。班主任李老师需要尽快通知到每一位学生，如果每分钟通知1人，每人接到通知后，继续通知其他同学（一对一进行传达，无重复通知）。李老师已经通知了5分钟，这时最多已经通知了( )名学生。 【答案】31 【分析】每分钟通知1人，接到通知的人又可以通知下一个人，这样最节省时间。找到规律，按规律求出通知5分钟最多已经通知的学生人数。 【详解】第1分钟通知1人；1＝21－1； 第2分钟通知2人，接到通知的一共有：1＋2＝3（人），3＝22－1； 第3分钟通知4人，接到通知的一共有：3＋4＝7（人），7＝23－1； …… 第n分钟接到通知的一共有：（2n－1）人； 当n＝5时 2n－1 ＝25－1 ＝2×2×2×2×2－1 ＝32－1 ＝31（名） 李老师已经通知了5分钟，这时最多已经通知了（31）名学生。 19．蚂蚁用触角传递信息。一只蚂蚁发现了食物，马上通知另一只蚂蚁，这两只蚂蚁再分别一对一通知其它蚂蚁……如果每通知1只蚂蚁需要10秒，那么30秒后一共有( )只蚂蚁知道了消息。 【答案】8 【分析】蚂蚁通过触角传递信息，每次通知一只蚂蚁需要10秒。已知初始有1只蚂蚁知道消息，之后每一轮通知的时间间隔为10秒，且每只已知的蚂蚁可以同时通知新的蚂蚁。因此，蚂蚁数量呈翻倍增长。 【详解】初始状态（0秒）：1只蚂蚁。 第1轮（10秒后）：已有的1只蚂蚁通知1只，此时共有1＋1＝2只。 第2轮（20秒后）：2只蚂蚁各自通知1只，新增2只，此时共有2＋2＝4只。 第3轮（30秒后）：4只蚂蚁各自通知1只，新增4只，此时共有4＋4＝8只。 30秒后一共有8只蚂蚁知道了消息。 20．学校临时有急事要通知学生，李老师要尽快通知到每一个学生。如果用打电话的方式每分钟通知1人，5分钟最多可以通知( )个学生。 【答案】31 【分析】先将李老师算进去，每一分钟得到通知的人数都会是前一分钟人数的2倍，据此列式，最后减去李老师即可。 【详解】2×2×2×2×2－1＝32－1＝31（个） 5分钟最多可以通知31个学生。 题型三、综合辨析与生活拔高应用题 四步标准解题步骤 第一步：读清题意，确定通知总人数，明确求时间还是求人数。 第二步：选定策略，求最快时间一律用全员不空闲倍增方案。 第三步：公式推算，结合倍增规律或公式计算对应数据。 第四步：规范作答，验证人数是否全覆盖，写出完整结论。 21．一个舞蹈队有7人，假期有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，接到电话的同学立即通知其他不知道这一信息的同学，全部通知完至少需要几分钟？ 【答案】3分钟 【分析】按时间阶段分析每分钟通知到的总人数。依次推算每一分钟最多有多少人知道消息，当知道消息的总人数大于或等于需要通知的总人数时，所需时间即为最少时间。 【详解】第1分钟：老师通知1名队员，累计通知到1人，还剩6人未通知； 第2分钟：老师和1名已通知的队员，一共通知2名新队员，累计通知1＋2＝3（人），还剩4人未通知； 第3分钟：共4个知道消息的人（老师＋3名队员），可以同时通知4名新队员，累计通知3＋4＝7（人），刚好通知完所有队员。 答：3分钟可以通知完。 22．孙悟空在去西天取经的路上又遇到了妖精，它每次拔一根毫毛就能变成一个孙悟空，变出的孙悟空每次拔一根毫毛也能变成一个孙悟空，每次变化需要的时间是2秒钟。如果要变化出15个孙悟空，最短需要多少时间？ 【答案】8秒 【分析】为了使时间最短，每次变化时所有的孙悟空都要拔毫毛变出新的孙悟空，这样孙悟空的总数量每次都会扩大到原来的2倍。题干要求“变化出15个孙悟空”，指的是新增的孙悟空数量，因此孙悟空的总数量应为原来的1个加上新增的15个，共16个，求出变化次数，用变化次数×每次变化需要时间＝总时间。 【详解】我们需要变出15个新孙悟空，因此总孙悟空数量需要达到1＋15＝16个： 1次变化：总共有1×2＝2个，变出1个新的 2次变化：总共有2×2＝4个，变出3个新的 3次变化：总共有4×2＝8个，变出7个新的 4次变化：总共有8×2＝16个，刚好变出16－1＝15个新的 2×4＝8（秒） 答：最短需要8秒。 23．孙悟空在去西天取经的路上又遇到了妖精，它每次拔一根毫毛就能变成一个孙悟空，变出的孙悟空每次拔一根毫毛也能变成一个孙悟空，每次变化需要的时间是2秒钟。如果要变化出15个孙悟空，最短需要多少时间？把你的想法画出来。 【答案】8秒；图见详解 【分析】变化前：只有1个孙悟空； 第2秒：1个孙悟空拔毫毛变成1个新的孙悟空，变化出1个孙悟空； 第4秒：原有1个孙悟空和变化出的1个孙悟空，共2个孙悟空，2个孙悟空各拔毫毛变成1个新的孙悟空，共变化出1＋2＝3个孙悟空； 第6秒：原有1个孙悟空和变化出的3个孙悟空，共4个孙悟空，4个孙悟空各拔毫毛变成1个新的孙悟空，共变化出3＋4＝7个孙悟空； 第8秒：原有1个孙悟空和变化出的7个孙悟空，共8个孙悟空，8个孙悟空各拔毫毛变成1个新的孙悟空，共变化出7＋8＝15个孙悟空。 所以最短需要8秒钟。 【详解】如图： 2×4＝8（秒） 答：最短需要8秒。 24．五年级组织趣味游戏，其中一个项目是“快乐传递”。一位已经知道信息的同学要尽快将信息通知到13个组员。每人每次只能通知1人，通知1人用时1分钟。请设计一个最快的通知方案（可以用文字、画图等进行说明）。最快的方案需要多少时间？ 【答案】 4分钟 【分析】通知方案：采用“接力通知”的方式，每一分钟让已知道信息的所有人（包括最初的通知者和之前已通知的组员）同时去通知新的组员，确保每分钟通知的人数最大化。已知初始有1人，每分钟每个已通知的人可通知1人，每过1分钟，已通知人数翻倍，计算各分钟累计被通知人数，找到覆盖13人的最短时间。 【详解】第1分钟：初始1人通知1人，累计被通知1人； 第2分钟：2人（初始1人＋第1分钟1人）各通知1人，新增2人，累计被通知1＋2＝3人； 第3分钟：4人（前两轮共4人）各通知1人，新增4人，累计被通知3＋4＝7人； 第4分钟：8人（前三轮共8人）各通知1人，新增8人，累计被通知7＋8＝15人。 因第4分钟结束时累计被通知人数可达15人，超过所需13人，故最快需4分钟。 答：最快的方案需要4分钟。 25．王老师有事要用打电话的方式通知同学。如果每分钟打电话通知1人，那么3分钟最多通知几个同学？（请用画图的方法表示出你的想法。） 【答案】7人 【分析】老师先用1分钟通知1个学生； 再用1分钟让老师和这名学生同时通知两名学生； 最后再利用1分钟让老师和这三名学生同时通知四名学生。 最后相加即可。 【详解】1＋2＋4＝7（人） 第一分钟：； 第二分钟： 第三分钟： 答：3分钟最多通知7个同学。 26．春风小学教导主任接到校长的紧急通知，让学校舞蹈队参加一个演出。学校舞蹈队共有30人，如果一对一进行传达，每分钟通知1人。教导主任怎样才能尽快通知到所有人？ （1）教导主任一个一个地通知需要（    ）分钟。 （2）小南设计了上面的分组法。 ①请在括号里填出每个小组完成通知的时间。 ②所有人接到通知，一共需要（    ）分钟。 （3）小宇设计了如下方案（如图），请把下表填写完整。 第几分钟 1 2 3 4 5 … n 新通知的人数 1 2 … 一共通知的人数 1 3 … 由上表可知，通知30人只需要（    ）分钟。 （4）小南和小宇的方案相比，（    ）设计的方案更快，因为每个人都（    ），所以用的时间最少。 【答案】（1）30 （2）①6；7；8；9；10 ②10 （3）4；8；16；2n－1 7；15；31；2n－1 5 （4）小宇；不空闲 【分析】（1）教导主任一个一个地通知，每分钟通知1人，30人需通知30分钟。 （2）小南设计的分组法，30人分成5组，每组一个组长和5个组员，教导主任先通知组长，组长再分别通知5个组员，可得出通知每组需要的时间，进而得出所有人接到通知，一共需要的时间。 （3）小宇设计的方案： 第1分钟新通知1人； 第2分钟新通知2人，2＝21＝22－1；接到通知的共有：1＋2＝3（人），3＝22－1； 第3分钟新通知4人，4＝22＝23－1；接到通知的共有：3＋4＝7（人），7＝23－1； …… 规律：第n分钟新通知2n－1人，接到通知的共有（2n－1）人。 按此规律解答。 （4）比较小南和小宇的方案用的时间，得出结论。 【详解】（1）1×30＝30（分钟） 教导主任一个一个地通知需要30分钟。 （2）①小南设计的分组法： ②所有人接到通知，一共需要10分钟。 （3）小宇设计的方案： 第几分钟 1 2 3 4 5 … n 新通知的人数 1 2 4 8 16 … 2n－1 一共通知的人数 1 3 7 15 31 … 2n－1 由上表可知，通知30人只需要5分钟。 （4）5＜10 小南和小宇的方案相比，小宇设计的方案更快，因为每个人都不空闲，所以用的时间最少。 27．孙悟空在炫耀拔毫毛变分身的本领，每次拔一根毫毛就能变出一个孙悟空，变出的孙悟空也能每次拔一根毫毛变出一个孙悟空，并且每次变化的时间都是1秒钟。 （1）如果要变出7个新的孙悟空，最短需要（    ）秒。 （2）如果用“□”表示孙悟空，用“○”表示变出的孙悟空，请在下面空白处画出变化的示意图。 【答案】（1）3 （2）见详解 【分析】第1秒可以变出1个孙悟空，这时有2个孙悟空；2个孙悟空用1秒可以再变出2个，这时一共有4个孙悟空；4个孙悟空用1秒可以再变出4个，这时一共有8个孙悟空。故若要变出7个孙悟空需要：1＋1＋1＝3秒。据此解答及作图即可。 【详解】（1）1＋1＋1＝3（秒） 则如果要变出7个新的孙悟空，最短需要3秒。 （2）如图所示： 28．学校音乐小组有64人，现需通知外出演出，如果用打电话方式，每人通话1分钟，通知到每人需要多少分钟？如果只有6分钟时间，则至少有多少人没有通知到？ 【答案】7分钟；1人 【分析】首先用1分钟通知第一位小组成员，第2分钟由第一次通知的人和1位小组成员两人分别通知1位小组成员，现在一共通知到1＋2＝3（位）小组成员，可以推出第3分钟最多通知到3＋4＝7（位）小组成员，以此类推，由此问题解决。 【详解】根据分析可得， 第一分钟通知到1位小组成员； 第2分钟最多可通知到3位小组成员； 第3分钟最多可通知到7位小组成员； 第4分钟最多可通知到15位小组成员； 第5分钟最多可通知到31位小组成员； 第6分钟最多可通知到63位小组成员； 第7分钟最多可通知到127位小组成员； 63＜64＜127 用打电话的方式最少7分钟可以通知到所有小组成员。 64－63＝1（位） 答：通知到每人需要7分钟；如果只有6分钟时间，则至少有1人没有通知到。 29．合唱队有7人，暑假老师要通知合唱队的队员去演出，若每分钟通知一个人，至少需要多少分钟才能通知到每个队员？请画出分析图。 【答案】3分钟；见详解 【分析】每分钟通知1人，接到通知的人又可以通知下一个人，这样最节省时间。找到规律，按规律求出通知7人至少需要的时间。 【详解】如图： 第1分钟通知1人； 第2分钟通知2人，接到通知的一共有：1＋2＝3（人）； 第3分钟通知4人，接到通知的一共有：3＋4＝7（人）； 答：至少需要3分钟才能通知每个队员。 30．一个舞蹈队有7人，假期有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员，如果用打电话的方式，每分钟通知1人，接到电话的同学立即通知其他不知道这一信息的同学，全部通知完至少需要几分钟？请你用画图的方式设计一个打电话的方案。 【答案】3分钟；图见详解。 【分析】老师首先用1分钟通知第一个队员，第二分钟由老师和1个队员两人分别通知1个队员，现在通知了共l＋2＝3个队员，据此可以推出，第三分钟可以通知3＋4＝7个队员，所以要通知到7人，需要3分钟，据此解答即可。 【详解】第一分钟通知1人； 第二分钟最多可以通知1＋2＝3（人）； 第三分钟最多可以通知3＋4＝7（人）； 即需要3分钟能全部通知到位。 答：全部通知完至少需要3分钟。 如图： 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $