第三单元 长方体和正方体（5大考点，5大易错点，3大题型）-2025-2026学年人教版五年级下册高频易错期末专项复习讲义（人教版）

第三单元《长方体和正方体》期末复习讲义 明期末考情 考查重点 命题角度 长、正方体的特征与棱长总和 考查长方体、正方体的面、棱、顶点特征，区分异同点，熟练运用棱长总和公式计算，常以填空、选择、基础计算题考查，为本单元基础必考内容。 表面积计算及实际应用 考查标准图形表面积计算，重点考查无盖、无底、通风管道、贴瓷砖等少面实际题型，是期末高频重难点，以填空、解决问题为主。 体积、容积公式及单位换算 考查体积、容积计算公式运用，体积、面积、长度单位进率换算，区分体积与容积概念，题型覆盖填空、判断、计算。 切拼变化与浸水问题（压轴） 考查切割、拼接正方体/长方体后表面积、体积的变化规律，不规则物体浸水求体积，属于期末拔高压轴题型，多以解决问题考查。 核心考点总结 1、因数与倍数基本概念 1、长方体、正方体基本特征 （1）共同特征：都有6个面、12条棱、8个顶点。 （2）长方体特征：相对的面完全相同（一般是长方形，特殊情况有2个相对正方形）；相对的棱长度相等，12条棱分为长、宽、高各4条。 （3）正方体特征：6个面是完全相同的正方形；12条棱长度全部相等，正方体是特殊的长方体。 （4）棱长总和公式： 长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4 正方体棱长总和＝棱长×12 2、表面积核心公式与实际规律 （1）标准表面积： 长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 正方体表面积＝棱长×棱长×6 （2）实际少面规律（必考）： 5个面：鱼缸、无盖盒子、游泳池、粉刷房间地面以上墙面 4个面：通风管、烟囱、包装盒四周贴商标 3、体积与容积核心知识点 （1）体积：物体所占空间的大小。 长方体体积＝长×宽×高（V=abh） 正方体体积＝棱长×棱长×棱长（V=a³） 通用体积公式：底面积×高（V=Sh） （2）容积：容器内部所能容纳物体的体积，容积计算方法和体积相同，容积一般小于体积（容器有厚度）。 4、单位换算（必背） 长度：1m=10dm、1dm=10cm 面积：1m²=100dm²、1dm²=100cm² 体积/容积：1m³=1000dm³、1dm³=1000cm³、1L=1dm³、1mL=1cm³、1L=1000mL 5、切拼与浸水压轴规律 （1）拼接：每拼一次，减少2个贴合面面积，体积不变。 （2）切割：每切一次，增加2个切面面积，体积不变。 （3）浸水问题：不规则物体体积＝上升（或下降）的水的体积＝容器底面积×水面变化高度。 本单元高频易错点汇总 易错点1：表面积实际面数判断错误 错因：做题一律套用6个面公式，忽略无盖、通风、粉刷等实际场景，多算面、错算面。 纠正：先审题判断求几个面，再对应列式，杜绝死套公式。 易错点2：单位不统一直接计算 错因：题目长、宽、高、单位混杂（米、分米、厘米混用），未统一单位直接计算，结果全部错误。 纠正：先统一单位，再代入公式计算，是解题第一步。 易错点3：体积与容积概念混淆 错因：认为物体体积=容积，忽略容器壁厚；混淆体积、面积、长度单位进率。 纠正：体积看外部，容积看内部；面积进率100、体积进率1000，严格区分。 易错点4：切拼变化规律记反 错因：切割误以为面积减少、拼接误以为面积增加，无法判断增减面数量。 纠正：切多面、拼少面，切一次加2面，拼一次减2面，体积永远不变。 易错点5：棱长、表面积、体积公式混淆 错因：审题不清，求体积用成表面积公式，棱长计算漏乘倍数。 纠正：看清问题关键词，棱长看长度、表面积看平方、体积看立方。 经典例题精讲（期末真题题型） 例题1 基础公式计算题 一个长方体长5cm、宽3cm、高4cm，求棱长总和、表面积、体积。 解析：统一单位后代入对应公式，分别计算，区分三个公式的不同用法，规范书写步骤。 例题2 无盖表面积应用题 制作一个长8dm、宽5dm、高6dm的无盖玻璃鱼缸，需要多少平方分米玻璃？ 解析：无盖鱼缸只算5个面，少一个上面（长×宽），列式：底面积+四周侧面积。 例题3 单位换算填空题 3.05m³=（ ）dm³ 4500mL=（ ）L=（ ）cm³ 解析：大单位换小单位乘进率，小单位换大单位除以进率，牢记体积容积对应关系。 例题4 浸水压轴题 一个长10cm、宽8cm的长方体水槽，水深5cm，放入一块石块后水面上升到7cm，求石块体积。 解析：石块体积=上升水的体积，用底面积×上升高度，无需算总水深体积。 三大题型 题型一、棱长、表面积基础计算题 分步解题妙招 第一步：看单位，先把题目所有长度单位统一，规避计算错误。 第二步：判图形，区分长方体、正方体，对应选择公式。 第三步：辨面数，根据题意判断是6个面、5个面还是4个面。 第四步：代公式，规范列式计算，结果带对应单位。 1．把一根长96厘米的铁丝焊成正方体，它的棱长是（    ）厘米。（焊接处忽略不计） A．6 B．8 C．12 D．24 2．用一根40cm长的钢管，可以焊接成一个长5cm，宽3cm，高（    ）cm的长方体框架。 A．2 B．3 C．4 D．5 3．两个完全相同的小长方体恰好拼成一个表面积是30平方厘米的正方体。如果把这两个小长方体拼出一个大长方体，这个大长方体的表面积是（    ）平方厘米。 A．40 B．35 C．32.5 D．30 4．一张长方形铁皮（如图），利用图中的阴影部分刚好能做一个棱长是5厘米的正方体盒子（连接处忽略不计）。做成正方体盒子后，还剩余铁皮（    ）平方厘米。 A．100 B．120 C．130 D．150 5．如图，图①、图②都是由棱长1cm的正方体搭成的。 根据这样的算法，图②的表面积是( )cm2（填算式）。 6．下图为棱长1dm的小正方体搭成的立体图形堆放在墙角，这个立体图形露在外面的面积是( )，至少还需要( )个这样的小正方体才能搭成一个大正方体。 7．一个棱长是30厘米的正方体礼盒（如下图），像这样用丝带捆扎起来（打结处需25厘米），至少需要丝带的长度是多少厘米？ 8．学校计划对一间多媒体教室进行装修。教室长12米、宽9米、高3.5米，相关装修要求如下： （1）地面需铺设边长为6分米的正方形瓷砖，每块瓷砖售价18元。完成地面瓷砖铺设至少需要多少元？ （2）仅对教室房顶四周用铝合金条装饰棱边（墙体四周及地面不作装饰），至少需要多少米铝合金条？ 9．下图是由棱长1cm的正方体搭成的几何体，将所有外表面涂上颜色。 （1）数一数，一共有（    ）个正方体。 （2）其中只有2面涂色的有（    ）个。 （3）请在方格纸上分别画出这个几何体从正面和从左面看到的图形。 10．下图这个领奖台是由三个长方体拼成的。它的前后两面涂黄色油漆，其他露出来的面涂红色油漆。涂黄色油漆和红色油漆的面积各是多少？ 题型二、体积容积、单位换算题型 标准解题法（精准换算、公式套用） 第一步：审题意，区分求体积还是容积，看清单位要求。 第二步：统一单位，所有数据换算成相同单位再计算。 第三步：套用公式，常规图形用长宽高公式，不规则浸水用底面积乘高差。 第四步：规范换算，结果按题目要求转换单位。 1．某学校要建一个游泳池，这个游泳池的长50m、宽30m、高1.8m，要给游泳池的四周和底面贴上瓷砖。算式解决的是（    ）。 A．游泳池的空间大小 B．贴瓷砖的面积 C．游泳池的占地面积 2．一个长方体，如果高减少4分米就变成一个正方体，它的表面积比原来减少96平方分米。那么原来长方体的体积是（    ）立方分米。 A．90 B．160 C．250 D．360 3．湘西猕猴桃饮料瓶外包装纸上印有“净含量500mL”。这里的500mL指的是（    ）。 A．果汁的质量 B．果汁的容积 C．瓶子的体积 D．果汁的体积 4．( )    ( )L 5．一个正方体的棱长总和是48cm，它的表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 6．( )    ( )    1时45分( )时 ( )( )    ( ) 7．下图是魔术师使用的特殊无盖长方体箱子，从里面量，长1米，宽0.5米，高0.6米。当把鸽子放入后，魔术师会拉动透明的线，让挂在箱面左侧正中间的布料拉开，鸽子就被藏到了布料下方，呈现出消失的画面。已知箱子底部、内部四周和遮盖布料都采用同一种材质。 请提出一个与上面已知信息相关联的数学问题并解决。 问题：________________________________？ 解答： 8．一个长方体容器，长15厘米，宽9厘米，高9厘米。容器里面装着水，水面高度是6厘米（如下图）。 (1)如果把容器竖起来放（如下图），水面高度是多少厘米？ (2)竖起来后，打开顶盖，浸没一块体积500立方厘米的石块，水会不会溢出来？ 9．用排水法测量土豆和红薯的体积，已知长方体容器长15厘米，宽15厘米，高20厘米。仔细观察实验过程，比较土豆和红薯的体积，谁的体积大？大多少？ 10．修建一个游泳池，要挖一个长50米，宽40米，深2米的坑。 (1)用挖土机每小时可挖80立方米，需要几小时挖完？ (2)在这个游泳池的四壁和底面贴上瓷砖，需要贴瓷砖多少平方米？ 题型三、切拼变化与浸水拔高压轴题型 四步标准解题步骤 第一步：定变化，判断是切割还是拼接，牢记体积不变、表面积改变。 第二步：算增减面，切一次加2面，拼一次减2面，确定单个面面积。 第三步：浸水题型算高差，找出水面上升/下降高度。 第四步：列式求解，结合底面积公式算出对应体积、面积。 1．把2个棱长是1cm的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是（    ）。 A． B． C． 2．一根长方体木料，长20dm，宽5dm，高4dm。把它锯成同样的4段，表面积最少增加（    ）dm2。 A．10 B．30 C．90 D．120 3．现有四个长8cm、宽7cm、高2cm的礼盒，用彩纸包在一起，最省包装纸的方法是（    ）。 A． B． C． D． 4．如图，把一块棱长是5dm的正方体木料沿虚线锯成两块完全相同的长方体木料后，两块长方体木料的表面积之和与原来正方体木料的表面积相比，增加了（    ）dm2。 A．10 B．20 C．25 D．50 5．将一个大长方体切成3个小长方体，表面积增加( )cm2。 6．一根长方体木料，长4dm，横截面为边长5cm的正方形，锯成3段后，表面积增加了( )cm2。 7．“冬不凝固，夏不走油；水浸不烂，火烧留痕”的龙泉印泥在网上爆火，倾一生心血，凝千年国色，让人再度领略到了国潮顶流的魅力。将4个长12厘米、宽8厘米、高5厘米的长方体龙泉印泥盒子按下图的方式用彩纸包在一起，至少需要多少平方厘米的彩纸？ 8．如图，从一个正方体的一角切去一个长方体后，剩下图形的表面积是多少？（单位：分米） 9．一种盒子，长5厘米、宽4厘米、高3厘米，把两个这样相同的盒子包装在一起，你打算怎么包装？写出你的包装方案，并计算需要多少平方厘米的包装纸？（粘接处忽略不计。） 10．一块长2米、宽0.2米、高0.4米的长方体木头，被李叔叔如图所示平均分成四块后，准备做成四个木秋千。这块木头被分开后，表面积增加了多少平方米？ 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元《长方体和正方体》期末复习讲义 明期末考情 考查重点 命题角度 长、正方体的特征与棱长总和 考查长方体、正方体的面、棱、顶点特征，区分异同点，熟练运用棱长总和公式计算，常以填空、选择、基础计算题考查，为本单元基础必考内容。 表面积计算及实际应用 考查标准图形表面积计算，重点考查无盖、无底、通风管道、贴瓷砖等少面实际题型，是期末高频重难点，以填空、解决问题为主。 体积、容积公式及单位换算 考查体积、容积计算公式运用，体积、面积、长度单位进率换算，区分体积与容积概念，题型覆盖填空、判断、计算。 切拼变化与浸水问题（压轴） 考查切割、拼接正方体/长方体后表面积、体积的变化规律，不规则物体浸水求体积，属于期末拔高压轴题型，多以解决问题考查。 核心考点总结 1、因数与倍数基本概念 1、长方体、正方体基本特征 （1）共同特征：都有6个面、12条棱、8个顶点。 （2）长方体特征：相对的面完全相同（一般是长方形，特殊情况有2个相对正方形）；相对的棱长度相等，12条棱分为长、宽、高各4条。 （3）正方体特征：6个面是完全相同的正方形；12条棱长度全部相等，正方体是特殊的长方体。 （4）棱长总和公式： 长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4 正方体棱长总和＝棱长×12 2、表面积核心公式与实际规律 （1）标准表面积： 长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 正方体表面积＝棱长×棱长×6 （2）实际少面规律（必考）： 5个面：鱼缸、无盖盒子、游泳池、粉刷房间地面以上墙面 4个面：通风管、烟囱、包装盒四周贴商标 3、体积与容积核心知识点 （1）体积：物体所占空间的大小。 长方体体积＝长×宽×高（V=abh） 正方体体积＝棱长×棱长×棱长（V=a³） 通用体积公式：底面积×高（V=Sh） （2）容积：容器内部所能容纳物体的体积，容积计算方法和体积相同，容积一般小于体积（容器有厚度）。 4、单位换算（必背） 长度：1m=10dm、1dm=10cm 面积：1m²=100dm²、1dm²=100cm² 体积/容积：1m³=1000dm³、1dm³=1000cm³、1L=1dm³、1mL=1cm³、1L=1000mL 5、切拼与浸水压轴规律 （1）拼接：每拼一次，减少2个贴合面面积，体积不变。 （2）切割：每切一次，增加2个切面面积，体积不变。 （3）浸水问题：不规则物体体积＝上升（或下降）的水的体积＝容器底面积×水面变化高度。 本单元高频易错点汇总 易错点1：表面积实际面数判断错误 错因：做题一律套用6个面公式，忽略无盖、通风、粉刷等实际场景，多算面、错算面。 纠正：先审题判断求几个面，再对应列式，杜绝死套公式。 易错点2：单位不统一直接计算 错因：题目长、宽、高、单位混杂（米、分米、厘米混用），未统一单位直接计算，结果全部错误。 纠正：先统一单位，再代入公式计算，是解题第一步。 易错点3：体积与容积概念混淆 错因：认为物体体积=容积，忽略容器壁厚；混淆体积、面积、长度单位进率。 纠正：体积看外部，容积看内部；面积进率100、体积进率1000，严格区分。 易错点4：切拼变化规律记反 错因：切割误以为面积减少、拼接误以为面积增加，无法判断增减面数量。 纠正：切多面、拼少面，切一次加2面，拼一次减2面，体积永远不变。 易错点5：棱长、表面积、体积公式混淆 错因：审题不清，求体积用成表面积公式，棱长计算漏乘倍数。 纠正：看清问题关键词，棱长看长度、表面积看平方、体积看立方。 经典例题精讲（期末真题题型） 例题1 基础公式计算题 一个长方体长5cm、宽3cm、高4cm，求棱长总和、表面积、体积。 解析：统一单位后代入对应公式，分别计算，区分三个公式的不同用法，规范书写步骤。 例题2 无盖表面积应用题 制作一个长8dm、宽5dm、高6dm的无盖玻璃鱼缸，需要多少平方分米玻璃？ 解析：无盖鱼缸只算5个面，少一个上面（长×宽），列式：底面积+四周侧面积。 例题3 单位换算填空题 3.05m³=（ ）dm³ 4500mL=（ ）L=（ ）cm³ 解析：大单位换小单位乘进率，小单位换大单位除以进率，牢记体积容积对应关系。 例题4 浸水压轴题 一个长10cm、宽8cm的长方体水槽，水深5cm，放入一块石块后水面上升到7cm，求石块体积。 解析：石块体积=上升水的体积，用底面积×上升高度，无需算总水深体积。 三大题型 题型一、棱长、表面积基础计算题 分步解题妙招 第一步：看单位，先把题目所有长度单位统一，规避计算错误。 第二步：判图形，区分长方体、正方体，对应选择公式。 第三步：辨面数，根据题意判断是6个面、5个面还是4个面。 第四步：代公式，规范列式计算，结果带对应单位。 1．把一根长96厘米的铁丝焊成正方体，它的棱长是（    ）厘米。（焊接处忽略不计） A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】B 【分析】根据题意，用一根铁丝焊成正方体，那么铁丝的长度即是正方体的棱长总和；根据正方体的棱长总和＝棱长×12，可知正方体的棱长＝棱长总和÷12，求出它的棱长。 【详解】96÷12＝8（厘米） 它的棱长是8厘米。 故答案为：B 2．用一根40cm长的钢管，可以焊接成一个长5cm，宽3cm，高（    ）cm的长方体框架。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】长方体有12条棱，包括4条长、4条宽和4条高。棱长总和等于长、宽、高之和的4倍。已知钢管长度即为棱长总和，以及长和宽的具体数值，可以通过逆运算求出高。具体思路是先用棱长总和除以4求出一组长、宽、高的和，再减去已知的长和宽。 【详解】钢管的长度即为长方体的棱长总和，为，长为，宽为。 长方体框架的高为： 则该长方体框架的高为。 3．两个完全相同的小长方体恰好拼成一个表面积是30平方厘米的正方体。如果把这两个小长方体拼出一个大长方体，这个大长方体的表面积是（    ）平方厘米。 A．40 B．35 C．32.5 D．30 【答案】B 【分析】首先根据正方体的表面积求出其中一个面的面积，进而确定小长方体各个面的面积大小。两个小长方体拼成正方体时，重合的是较大的面；拼成大长方体时，重合的是较小的面。通过计算两个小长方体的总表面积，减去拼合时减少的面积，即可求出大长方体的表面积。 【详解】正方体一个面的面积：（平方厘米） 小长方体较大面的面积等于正方体一个面的面积，较小面的面积是较大面面积的一半：（平方厘米） 两个小长方体的总表面积： （平方厘米） 把这两个小长方体拼成一个大长方体，是将两个较小面重合，表面积减少2个较小面的面积： （平方厘米） 4．一张长方形铁皮（如图），利用图中的阴影部分刚好能做一个棱长是5厘米的正方体盒子（连接处忽略不计）。做成正方体盒子后，还剩余铁皮（    ）平方厘米。 A．100 B．120 C．130 D．150 【答案】D 【分析】由图可知，长方形铁皮的长是4个正方体的棱长，即5×4＝20厘米，宽是3个正方体的棱长，即5×3＝15厘米，根据“长方形面积＝长×宽”计算出长方形铁皮的面积； 根据“正方体的表面积＝棱长×棱长×6”计算出正方体的表面积； 最后用长方形铁皮面积减去正方体的表面积即可。 【详解】（5×4）×（5×3） ＝20×15 ＝300（平方厘米） 5×5×6 ＝25×6 ＝150（平方厘米） 300－150＝150（平方厘米） 所以做成正方体盒子后，还剩余铁皮150平方厘米。 故答案为：D 5．如图，图①、图②都是由棱长1cm的正方体搭成的。 根据这样的算法，图②的表面积是( )cm2（填算式）。 【答案】（6＋5＋4）×2＝30 【分析】图②从上面看：能看到6个小正方形。从前面看：能看到5个小正方形。从左面看：能看到4个小正方形。根据图①的算法，表面积为：（从上面看的个数＋从前面看的个数＋从左面看的个数）×2。所以图②的表面积算式为（6＋5＋4）×2＝30cm2。 【详解】图②从上面有6个小正方形；从前面看有5个小正方形；从左面看有4个小正方形。 （6＋5＋4）×2 ＝（11＋4）×2 ＝15×2 ＝30（cm2） 所以图②的表面积是30cm2，算式为（6＋5＋4）×2＝30cm2。 6．下图为棱长1dm的小正方体搭成的立体图形堆放在墙角，这个立体图形露在外面的面积是( )，至少还需要( )个这样的小正方体才能搭成一个大正方体。 【答案】 19 16 【分析】已知正方体的棱长是1dm，根据“正方形面积＝边长×边长”计算出小正方体一个面的面积为1×1＝1dm2；分别从正面、上面、右面去数露在外面的面的数量：正面有6个，上面有7个，右面有6个，总共有6＋7＋6＝19个；所以露在外面的面积是1×19＝19dm2。 要搭成一个大正方体，大正方体的棱长至少是3dm（因为现有立体图形最长的边有3个小正方体的棱长），那么大正方体需要的小正方体总数为3×3×3＝27个；数出现有小正方体的数量：第一层有7个，第二层有3个，第三层有1个，总共7＋3＋1＝11个，所以至少还需要27－11＝16个小正方体。 【详解】1×1＝1（dm2） 1×（6＋7＋6） ＝1×（13＋6） ＝1×19 ＝19（dm2） 3×3×3 ＝9×3 ＝27（个） 7＋3＋1 ＝10＋1 ＝11（个） 27－11＝16（个） 所以这个立体图形露在外面的面积是19，至少还需要16个这样的小正方体才能搭成一个大正方体。 7．一个棱长是30厘米的正方体礼盒（如下图），像这样用丝带捆扎起来（打结处需25厘米），至少需要丝带的长度是多少厘米？ 【答案】385厘米 【分析】观察图形，正方体礼盒每个面上需要丝带的长度相当于两条棱的长度，正方体一共有6个面，用棱长乘2求出一个面需要丝带的长度，再乘6，求出6个面需要丝带的长度，最后加上打结处丝带的长度，即是捆扎这个正方体礼盒至少需要丝带的长度。 【详解】30×2×6＋25 ＝360＋25 ＝385（厘米） 答：至少需要丝带的长度是385厘米。 8．学校计划对一间多媒体教室进行装修。教室长12米、宽9米、高3.5米，相关装修要求如下： （1）地面需铺设边长为6分米的正方形瓷砖，每块瓷砖售价18元。完成地面瓷砖铺设至少需要多少元？ （2）仅对教室房顶四周用铝合金条装饰棱边（墙体四周及地面不作装饰），至少需要多少米铝合金条？ 【答案】（1）5400元； （2）42米 【分析】（1）长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长，代入数据分别求出教室地面面积和一块瓷砖的面积。用教室地面的面积除以一块瓷砖的面积求出需要的快数，再乘每块瓷砖的面积即可。 （2）教室房顶四周棱长是2条长和2条宽，代入数据计算即可。 【详解】（1）12×9＝108（平方米） 6×6＝36（平方分米） 108平方米＝10800平方分米 10800÷36＝300（块） 300×18＝5400（元） 答：完成地面瓷砖铺设至少需要5400元。 （2）12×2＋9×2 ＝24＋18 ＝42（米） 答：至少需要42米铝合金条。 9．下图是由棱长1cm的正方体搭成的几何体，将所有外表面涂上颜色。 （1）数一数，一共有（    ）个正方体。 （2）其中只有2面涂色的有（    ）个。 （3）请在方格纸上分别画出这个几何体从正面和从左面看到的图形。 【答案】（1）10 （2）2 （3）见详解 【分析】（1）按行或列有条理的数一数，有10个正方体。 （2）根据搭成的几何体，开展合理的空间想象，可以发现2面涂色的只有2个。 （3）从正面看的图形有两层3列，最下面一层有3个正方形并排成一行，最上面一层靠左上摆放一个正方形。从左面看，也是两层3列，最下面一层3个正方形并排成一行，最上面一层靠左上角并排2个正方形。 【详解】（1）数一数，一共有（2）个正方体。 （2）其中只有2面涂色的有（    ）个。 （3） 10．下图这个领奖台是由三个长方体拼成的。它的前后两面涂黄色油漆，其他露出来的面涂红色油漆。涂黄色油漆和红色油漆的面积各是多少？ 【答案】涂黄色油漆10800平方厘米；涂红色油漆13000平方厘米 【分析】对于涂黄色油漆的面，是颁奖台的前后两个面，是由三个长方体的前后两个面组成，共6个面； 对于涂红色油漆的面，可以看作三个长方体的3个上面和1号长方体的左右两个面组成。 根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，分别求出涂黄色油漆和红色油漆的面积。 【详解】60×40×2＋60×20×2＋60×（40－10）×2 ＝60×40×2＋60×20×2＋60×30×2 ＝4800＋2400＋3600 ＝10800（平方厘米） 60×50×3＋50×40×2 ＝9000＋4000 ＝13000（平方厘米） 答：涂黄色油漆的面积是10800平方厘米，红色油漆的面积是13000平方厘米。 题型二、体积容积、单位换算题型 标准解题法（精准换算、公式套用） 第一步：审题意，区分求体积还是容积，看清单位要求。 第二步：统一单位，所有数据换算成相同单位再计算。 第三步：套用公式，常规图形用长宽高公式，不规则浸水用底面积乘高差。 第四步：规范换算，结果按题目要求转换单位。 1．某学校要建一个游泳池，这个游泳池的长50m、宽30m、高1.8m，要给游泳池的四周和底面贴上瓷砖。算式解决的是（    ）。 A．游泳池的空间大小 B．贴瓷砖的面积 C．游泳池的占地面积 【答案】C 【分析】从题意可知：A选项求游泳池的空间大小，即求长方体的体积；B选项求贴瓷砖的面积，即求游泳池的前后左右面和下面共5个面的面积；C选项求游泳池的占地面积，即求游泳池下面一个面的面积。根据算式50×30所表示的意义，判断即可。 【详解】根据分析可得：50×30是表示长×宽，是求长方体的面积，即题中的游泳池的占地面积。 2．一个长方体，如果高减少4分米就变成一个正方体，它的表面积比原来减少96平方分米。那么原来长方体的体积是（    ）立方分米。 A．90 B．160 C．250 D．360 【答案】D 【分析】表面积减少的是侧面积，高减少4分米就变成一个正方体，说明这个原来长方体的底面是正方形。减少的表面积÷减少的高＝底面周长，底面周长÷4＝正方体棱长，即原来长方体的长和宽，正方体棱长＋减少的高＝原来长方体的高，长方体体积＝长×宽×高。 【详解】底面周长：（分米） 底面边长：（分米） 原来长方体的高：（分米） 原来长方体的体积：（立方分米） 原来长方体的体积是360立方分米。 3．湘西猕猴桃饮料瓶外包装纸上印有“净含量500mL”。这里的500mL指的是（    ）。 A．果汁的质量 B．果汁的容积 C．瓶子的体积 D．果汁的体积 【答案】D 【分析】体积是指物体所占空间的大小，而容积是指木箱、油桶等所能容纳物体的体积，据此根据体积和容积的认识进行选择。 【详解】A．果汁的质量：质量单位应为g或kg，是容积单位，此选项错误； B．果汁的容积：容积是针对容器而言的，果汁是液体，属于物体，应说体积，此选项错误； C．瓶子的体积：瓶子的体积包含瓶子材料本身所占的空间，净含量不包含包装，此选项错误； D．果汁的体积：净含量指除去包装后里面物品的多少，对于液体饮料，指的是果汁所占空间的大小，即果汁的体积，此选项正确。 这里的500mL指的是果汁的体积。 4．( )    ( )L 【答案】 8630 4.8 【分析】大单位换算为小单位，要乘进率；小单位换算为大单位，要除以进率。逐一计算。 【详解】因为1m3＝1000dm3，m3换算为dm3，是大单位换算为小单位，要乘进率1000，即8.63×1000＝8630，所以8.63m3＝8630dm3； 因为1L＝1000mL，mL换算为L，是小单位换算为大单位，要除以进率1000，即4800÷1000＝4.8，所以4800mL＝4.8L。 5．一个正方体的棱长总和是48cm，它的表面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【答案】 96 64 【分析】先根据正方体棱长总和＝棱长×12，用棱长总和除以12求出棱长，再根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，代入数值即可解答。 【详解】棱长：48÷12＝4（cm） 表面积：4×4×6 ＝16×6 ＝96（cm2） 体积：4×4×4 ＝16×4 ＝64（cm3） 6．( )    ( )    1时45分( )时 ( )( )    ( ) 【答案】 2030 1.8 1.75 8 90 2500 【分析】高级单位化低级单位，乘单位之间的进率；低级单位化高级单位，除以单位之间的进率。1m3＝1000dm3，1L＝1000mL，1小时＝60分，1dm3＝1L＝1000mL，1mL＝1cm3，据此解答。 【详解】2.03m3＝2.03×1000＝2030dm3 1800mL＝1800÷1000＝1.8L 45÷60＝0.75小时，那么1时45分＝1＋0.75＝1.75时 8.09dm3中整数部分8dm3＝8L，0.09dm3＝0.09×1000＝90mL 2500mL＝2500cm3 7．下图是魔术师使用的特殊无盖长方体箱子，从里面量，长1米，宽0.5米，高0.6米。当把鸽子放入后，魔术师会拉动透明的线，让挂在箱面左侧正中间的布料拉开，鸽子就被藏到了布料下方，呈现出消失的画面。已知箱子底部、内部四周和遮盖布料都采用同一种材质。 请提出一个与上面已知信息相关联的数学问题并解决。 问题：________________________________？ 解答： 【答案】问题：箱子的容积是多少？ 0.3立方米 【分析】根据题目给出的无盖长方体箱子的内部长、宽、高信息我们可以从长方体容积计算的角度提出问题，因为长方体容积的计算需要用到内部的长、宽、高，与题目信息关联紧密。长方体的容积（体积）计算公式为V＝长×宽×高。 【详解】根据分析： 问题：箱子的容积是多少？ 1×0.5×0.6 ＝0.5×0.6 ＝0.3（立方米） 答：箱子的容积是0.3立方米。 （答案不唯一） 8．一个长方体容器，长15厘米，宽9厘米，高9厘米。容器里面装着水，水面高度是6厘米（如下图）。 (1)如果把容器竖起来放（如下图），水面高度是多少厘米？ (2)竖起来后，打开顶盖，浸没一块体积500立方厘米的石块，水会不会溢出来？ 【答案】(1)10厘米 (2)会 【分析】（1）用容器的底面积乘水面的高度求出水的体积，用水的体积除以竖起来后的底面积即可求出竖起来后的高度； （2）竖起来时容器空余的体积与横着放空余的体积相等，则用横着放的容器底面积乘空余部分的高度求出空余部分的体积，然后与石块的体积比较后判断是否会溢出。 【详解】（1）15×9×6 ＝135×6 ＝810（立方厘米） 810÷（9×9） ＝810÷81 ＝10（厘米） 答：水面高度是10厘米。 （2）15×9×（9－6） ＝135×3 ＝405（立方厘米） 405＜500 答：水会溢出来。 9．用排水法测量土豆和红薯的体积，已知长方体容器长15厘米，宽15厘米，高20厘米。仔细观察实验过程，比较土豆和红薯的体积，谁的体积大？大多少？ 【答案】红薯；225立方厘米 【分析】排水法中物体的体积等于容器底面积乘水面上升的高度。先分别算出土豆和红薯使水面上升的高度，再比较高度差，最后用底面积乘高度差算出体积差。 【详解】土豆使水面上升：13－10＝3（厘米） 红薯使水面上升：17－13＝4（厘米） 因为4＞3，所以红薯体积大。 体积差：15×15×（4－3） ＝15×15×1 ＝225（立方厘米） 答：红薯的体积大，大225立方厘米。 10．修建一个游泳池，要挖一个长50米，宽40米，深2米的坑。 (1)用挖土机每小时可挖80立方米，需要几小时挖完？ (2)在这个游泳池的四壁和底面贴上瓷砖，需要贴瓷砖多少平方米？ 【答案】(1)50小时 (2)2360平方米 【分析】（1）根据V＝abh求出泳池的容积，再除以80即可得到挖完的时间； （2）贴瓷砖的面积＝长×宽﹢长×高×2＋宽×高×2，将数据代入计算即可。 【详解】（1）（50×40×2）÷80 ＝4000÷80 ＝50（小时） 答：需要50小时挖完。 （2）50×40＋50×2×2＋40×2×2 ＝2000＋200＋160 ＝2200＋160 ＝2360（平方米） 答：需要贴瓷砖2360平方米。 题型三、切拼变化与浸水拔高压轴题型 四步标准解题步骤 第一步：定变化，判断是切割还是拼接，牢记体积不变、表面积改变。 第二步：算增减面，切一次加2面，拼一次减2面，确定单个面面积。 第三步：浸水题型算高差，找出水面上升/下降高度。 第四步：列式求解，结合底面积公式算出对应体积、面积。 1．把2个棱长是1cm的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】单个正方体表面积＝棱长×棱长×6，先算出两个正方体表面积总和。两个正方体拼成长方体，拼接处会遮住两个正方形面，用总表面积减去减少的面的面积。 【详解】1×1×6＝6（cm2）；6×2＝12（cm2） 1×1×2＝2（cm2）；12－2＝10（cm2） 2．一根长方体木料，长20dm，宽5dm，高4dm。把它锯成同样的4段，表面积最少增加（    ）dm2。 A．10 B．30 C．90 D．120 【答案】D 【分析】将长方体木料锯成若干段，每锯一次会增加两个切面的面积。要把木料锯成4段，需要锯3次，共增加6个面。要使表面积增加最少，应平行于长方体最小的面进行切割，即增加6个最小面的面积。 【详解】4－1＝3（次） 2×3＝6（个） 20×5＝100（dm2） 20×4＝80（dm2） 5×4＝20（dm2） 20＜80＜100，所以最小面的面积是20dm2。 20×6＝120（dm2） 表面积最少增加120dm2。 3．现有四个长8cm、宽7cm、高2cm的礼盒，用彩纸包在一起，最省包装纸的方法是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】包装物体时，重叠的面越大，表面积减少得越多，就越省包装纸。 已知礼盒长8cm、宽7cm、高2cm，8×7＞8×2＞7×2，所以最大的面的面积是8×7＝56cm2。分别分析每个选项中重叠面的大小，进而确定符合题意答案。 【详解】A．将礼盒沿高堆叠，减少了6个长8cm、宽7cm的面，即减少的面积为8×7×6＝336（cm2）。 B．重叠的面是4个长8cm、宽7cm的面和4个长8cm、高2cm的面，减少的面积为8×7×4＋8×2×4＝224＋64＝288（cm2）。 C．重叠的面是4个宽7cm、高2cm的面和4个长8cm、高2cm的面，减少的面积为7×2×4＋8×2×4＝56＋64＝120（cm2）。 D．重叠的面是6个长8cm、高2cm的面，减少的面积为8×2×6＝96（cm2）。 336＞288＞120＞96 所以选项A中的最省包装纸。 故答案为：A 4．如图，把一块棱长是5dm的正方体木料沿虚线锯成两块完全相同的长方体木料后，两块长方体木料的表面积之和与原来正方体木料的表面积相比，增加了（    ）dm2。 A．10 B．20 C．25 D．50 【答案】D 【分析】由题意可知：把棱长为5dm的正方体木料锯成两个长方体后，增加了2个面，利用正方形的面积公式即可求出增加部分的面积。 【详解】5×5×2 ＝25×2 ＝50（dm2） 所以两块长方体木料的表面积之和与原来正方体木料的表面积相比，增加了50dm2。 故答案为：D 5．将一个大长方体切成3个小长方体，表面积增加( )cm2。 【答案】48 【分析】根据题图可知，增加的表面积是以大长方体的宽为长，高为宽的4个长方形的面积。根据长方形的面积＝长×宽计算。 【详解】3×4×4＝48（cm²） 6．一根长方体木料，长4dm，横截面为边长5cm的正方形，锯成3段后，表面积增加了( )cm2。 【答案】100 【分析】锯成3段需要锯2次，每次增加2个横截面，共增加4个横截面。先求出1个横截面的面积，再乘4就是增加的表面积。 【详解】（3－1）×2 ＝2×2 ＝4（个） 5×5×4 ＝25×4 ＝100（cm2） 表面积增加了100cm2。 7．“冬不凝固，夏不走油；水浸不烂，火烧留痕”的龙泉印泥在网上爆火，倾一生心血，凝千年国色，让人再度领略到了国潮顶流的魅力。将4个长12厘米、宽8厘米、高5厘米的长方体龙泉印泥盒子按下图的方式用彩纸包在一起，至少需要多少平方厘米的彩纸？ 【答案】1024平方厘米 【分析】根据题意，这4个长方体龙泉印泥盒子按图中方式用彩纸包在一起，则组合成一个长（12×2）厘米、宽8厘米、高（5×2）厘米的长方体，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，求出至少需要彩纸的面积。 【详解】长：12×2＝24（厘米） 高：5×2＝10（厘米） （24×8＋24×10＋8×10）×2 ＝（192＋240＋80）×2 ＝512×2 ＝1024（平方厘米） 答：至少需要1024平方厘米的彩纸。 8．如图，从一个正方体的一角切去一个长方体后，剩下图形的表面积是多少？（单位：分米） 【答案】150平方分米 【分析】观察图形可知，切去一个长方体，减去3个面的面积，同时又增加3个面的面积，所以剩下的表面积等于正方体的表面积，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，代入数据，即可解答。 【详解】5×5×6 ＝25×6 ＝150（平方分米） 答：剩下图形的面积是150平方分米。 9．一种盒子，长5厘米、宽4厘米、高3厘米，把两个这样相同的盒子包装在一起，你打算怎么包装？写出你的包装方案，并计算需要多少平方厘米的包装纸？（粘接处忽略不计。） 【答案】将上下两个面拼起来进行包装；148平方厘米（答案不唯一） 【分析】①将上下两个面拼起来进行包装，如图，长和宽不变，高＝一个盒子的高×2；②将前后两个面拼起来进行包装，如图，长和高不变，宽＝一个盒子的宽×2；③将左右两个面拼起来进行包装，如图，宽和高不变，长＝一个盒子的长×2。选择一种包装方式，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，计算出拼起来的大长方体表面积即可。 【详解】①3×2＝6（厘米） （5×4＋5×6＋4×6）×2 ＝（20＋30＋24）×2 ＝74×2 ＝148（平方厘米） 答：将上下两个面拼起来进行包装，需要148平方厘米的包装纸。 ②4×2＝8（厘米） （5×8＋5×3＋8×3）×2 ＝（40＋15＋24）×2 ＝79×2 ＝158（平方厘米） 答：将前后两个面拼起来进行包装，需要158平方厘米的包装纸。 ③5×2＝10（厘米） （10×4＋10×3＋4×3）×2 ＝（40＋30＋12）×2 ＝82×2 ＝164（平方厘米） 答：将左右两个面拼起来进行包装，需要164平方厘米的包装纸。 10．一块长2米、宽0.2米、高0.4米的长方体木头，被李叔叔如图所示平均分成四块后，准备做成四个木秋千。这块木头被分开后，表面积增加了多少平方米？ 【答案】1.76平方米 【分析】观察可知，平均分成四块要切两下，每次一下就会增加2个长方形面积，所以表面积增加了4个长方形的面积，分别是2个长是2米，宽0.4米的长方形，2个长是0.4米，宽是0.2米的长方形，根据长方形的面积公式计算即可。 【详解】 （平方米） 答：表面积增加了1.76平方米。 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $