第二单元 因数和倍数（3大考点，5大易错点，3大题型）-25-26学年人教版五年级下册高频易错期末专项复习讲义（人教版）

第二单元《因数和倍数》期末复习讲义 明期末考情 考查重点 命题角度 因数与倍数的基本概念 考查因数、倍数的定义理解，判断因数倍数关系，区分研究范围（非0自然数），常以填空、判断题考查，是基础必考题型。 2、5、3的倍数特征 熟练掌握2、5、3的倍数判定方法，拓展判断偶数、奇数，结合组数、筛选数字题型考查，选择、填空高频出现。 质数与合数的辨析 区分质数、合数、1、0的概念，熟记20以内质数，判断数字属性，结合奇数偶数综合辨析，是期末核心重难点。 因数倍数综合应用 结合组数问题、最值问题、实际生活场景出题，考查数字推理、分类讨论能力，多以解决问题、压轴填空题考查。 核心考点总结 1、因数与倍数基本概念 （1）研究范围：只在非0自然数范围内研究因数和倍数，小数、分数、0均不参与讨论。 （2）相互依存关系：因数和倍数不能单独存在，必须表述为“谁是谁的因数，谁是谁的倍数”。 （3）因数特征：一个数的因数个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身。 （4）倍数特征：一个数的倍数个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 （5）特殊规律：1是所有非0自然数的因数，一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。 2、2、5、3的倍数核心规律（必考） （1）2的倍数：个位是0、2、4、6、8的自然数；是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 （2）5的倍数：个位是0或5的自然数。 （3）同时是2和5的倍数：个位一定是0。 （4）3的倍数：各个数位上的数字之和是3的倍数，与个位数字无关。 （5）奇偶运算规律：奇数±奇数=偶数、偶数±偶数=偶数、奇数±偶数=奇数；奇数×奇数=奇数、偶数×任意数=偶数。 3、质数与合数核心知识点 （1）质数（素数）：只有1和它本身两个因数的自然数。 （2）合数：除了1和它本身，还有其他因数的自然数（至少3个因数）。 （3）特殊数字界定：1既不是质数，也不是合数；最小的质数是2（唯一的偶质数），最小的合数是4。 （4）20以内常用质数（必背）：2、3、5、7、11、13、17、19。 本单元高频易错点汇总 易错点1：概念范围混淆 错因：忽略因数倍数仅适用于非0自然数，误将小数、0纳入判断范围；单独说某数是因数/倍数。 纠正：牢记范围，表述必须完整（A是B的因数，B是A的倍数），不单独拆分概念。 易错点2：3的倍数判断失误 错因：误以为个位是3、6、9的数就是3的倍数，照搬2、5倍数的判断规律。 纠正：3的倍数看数位数字和，与个位无关，必须求和验证。 易错点3：质数合数、奇偶概念混淆 错因：认为奇数都是质数、偶数都是合数，忽略特殊数字2、9、15等。 纠正：2是唯一偶质数；9、15、21等是奇数但属于合数；1既非质数也非合数。 易错点4：找因数遗漏、重复 错因：无序找因数，漏找中间因数，或重复书写相同因数。 纠正：成对列举，从小到大排列，直到两个因数交叉重合，杜绝遗漏重复。 易错点5：最值、组数题型思路混乱 错因：组数时忽略限制条件，求因数倍数最值时概念颠倒。 纠正：最大因数、最小倍数都是本身；组数先定核心数位，分步筛选所有符合条件的情况。 经典例题精讲（期末真题题型） 例题1 概念辨析题 判断：因为1.2÷0.6=2，所以1.2是0.6的倍数，0.6是1.2的因数。 解析：错误。因数倍数仅适用于非0自然数，小数不满足研究范围，不成立。 例题2 倍数特征应用题 用0、3、5、8组成既是2又是3的倍数的三位数，写出所有符合条件的数。 解析：先定个位为0、8（2的倍数），再保证数位和是3的倍数，逐一筛选组合，不重不漏。 例题3 质数合数综合判断 在1、2、9、11、15、19、20中，区分奇数、偶数、质数、合数。 解析：先按奇偶分类，再排除1，结合因数个数判断质合，重点区分奇数中的合数。 例题4 因数倍数最值问题 一个数的最大因数是18，这个数的最小倍数是多少，它的所有因数有哪些？ 解析：一个数最大因数和最小倍数都是本身，确定数为18，再成对列举全部因数。 三大题型 题型一、因数倍数基础概念题型 分步解题妙招 第一步：定范围，判断数字是否为非0自然数，排除小数、分数、0。 第二步：判关系，根据除法整除特征，确定谁是谁的因数、谁是谁的倍数。 第三步：找特征，牢记因数有限、倍数无限，最值均为数字本身。 第四步：细辨析，杜绝单独表述概念，区分易混淆特殊数字。 1．《水浒传》是我国四大名著之一，在这部古典名著中描写了108位梁山好汉。下面各数中（    ）不是108的因数。 A．6 B．9 C．15 D．18 2．已知a×2＝b（a、b均是不为0的自然数），下面说法正确的是（    ）。 A．a是b的倍数 B．2是a的因数 C．2是b的因数 D．b是2的因数 3．10的因数有（    ）个。 A．1 B．10 C．4 4．已知a是17的因数，那么（    ）。 A．a只能是1 B．a只能是17 C．a是1或17 D．a只能是3 5．【A】表示自然数A的因数个数，例如：8有1，2，4，8四个因数，则【8】＝4，那么【30】＝( )，【45】＝( )。 6．一个数既是4的倍数，又是32的因数，这个数最大是( )，最小是( )。 7．两个数的最大公因数是6，最小公倍数是72，其中一个数是24，另一个数是( )。 8．新华书店周日卖出的文艺书180本，比卖出的科技书多100本，卖出的科技书是卖出的历史书的2倍，卖出的历史书有多少本？ 9．张阿姨做了57个蛋挞，准备送给亲朋好友品尝，用哪种包装盒能正好装完？为什么？ 10．要在一条长是20米，宽1.2米的小路上铺地砖。下面是三种大小不一的地砖，要使所用的地砖尽可能是整块的，请选择你认为最合适的，并算出需要的数量。 题型二、2、5、3倍数特征应用题型 标准解题法（精准判断、组数、筛选） 第一步：看尾数，快速判断2、5的倍数，个位定奇偶。 第二步：求和值，计算数位数字总和，判断是否为3的倍数。 第三步：结合条件，同时满足多个倍数要求时，叠加特征筛选（如同时是2、3、5的倍数，个位必为0且数字和是3的倍数）。 第四步：有序枚举，组数题型按顺序列举，不重复、不遗漏。 1．一个四位数163A是偶数，还有因数5，那么A可能是（    ）。 A．0 B．5 C．4 2．代表一个大于0小于10的自然数，代表0，下面的四位数中，一定同时是2、3、5的倍数的数是（    ）。 A． B． C． D． 3．一个三位数54能同时被2，3，5整除，里应填（    ）。 A．2 B．3 C．0 4．下面各组数中，既是2的倍数也是3的倍数的是（    ）。 A．9、12、15 B．6、10、27 C．18、24、36 5．琳琳经常使用智慧中小学学习平台学习。在智慧中小学平台上的积分达到了1856分，至少增加( )分就是3的倍数，至少增加( )分就同时是2和5的倍数。 6．既是2的倍数，又是3的倍数的最小两位数是( )，最大两位数是( )。 7．聪聪家的WiFi密码是一个四位数：3□7□。已知这个密码是2、3、5的倍数，而且百位是一个偶数。那么聪聪家的WiFi密码可能是( )，也可能是( )。 8．小锋到文具店买日记本，日记本的单价已看不清楚，他买了3本日记本，售货员阿姨说应付134元。售货员阿姨的说法正确吗？说说你的理由。 9．学校组织“童心向党，快乐成长”活动，五年级参加的学生人数是偶数，且在40～50之间。每3人分一组，全部分完，没有剩余。五年级参加的学生可能有多少人？ 10．妈妈给小明买了3件相同价格的夏装，收银员说：应付245元。对吗？为什么？请你说明理由。 题型三、质数合数综合拔高题型 四步标准解题步骤 第一步：定特殊，先排除数字1、0，牢记2是唯一偶质数。 第二步：判奇偶，区分奇数、偶数，初步筛选范围。 第三步：数因数，根据因数个数判断质数（2个因数）、合数（≥3个因数）。 第四步：综合推，结合奇偶、质合、倍数特征，解决填空、推理、应用题。 1．三个连续自然数的和一定是（    ）。 A．3的倍数 B．偶数 C．奇数 D．质数 2．下面关于合数的说法，正确的是（    ）。 A．所有的合数都是偶数 B．所有的偶数都是合数 C．合数只有2个因数 D．合数至少有3个因数 3．2，12，22，32这四个数都是（    ）。 A．质数 B．合数 C．偶数 4．一个非零自然数a有3个因数，a一定是（    ）。 A．合数 B．质数 C．偶数 5．一个三位数既有因数2，又是5的倍数，百位上是最小的质数，十位上的数既是奇数又是合数，这个三位数是( )。 6．湘西土家族苗族自治州共有林木资源101科，珍贵乡土树种36种，古树名木41034株。杉木在湘西林木资源中占有重要地位，共有3科6属约10种被统称为“杉木”。以上出现的数，质数有( )个，合数有( )个。 7．小强家的电话号码是由7位数字组成的A5B3C3D。其中A的最大因数是3，B是最小的质数，C有因数2和3，D既是奇数也是合数，小强家的电话号码是( )。 8．大年初三，乐乐和天天玩掷骰子游戏，规则是；掷一枚骰子（6个面分别为1～6），落下后如果点数是质数，乐乐赢；如果点数是合数，天天赢。 （1）这个游戏对双方公平吗？为什么？ （2）如果这个游戏不公平，你能设计一个公平的游戏规则吗？ 9．淘气和笑笑玩掷骰子游戏，掷出质数淘气赢，掷出合数笑笑赢，这个游戏规则公平吗？ 如果不公平，请你修改这个游戏规则，使它是公平的。 10．一块长方形菜地的长和宽都是以米为单位的质数，周长是36m，这块长方形菜地的面积最大是多少平方米？ 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元《因数和倍数》期末复习讲义 明期末考情 考查重点 命题角度 因数与倍数的基本概念 考查因数、倍数的定义理解，判断因数倍数关系，区分研究范围（非0自然数），常以填空、判断题考查，是基础必考题型。 2、5、3的倍数特征 熟练掌握2、5、3的倍数判定方法，拓展判断偶数、奇数，结合组数、筛选数字题型考查，选择、填空高频出现。 质数与合数的辨析 区分质数、合数、1、0的概念，熟记20以内质数，判断数字属性，结合奇数偶数综合辨析，是期末核心重难点。 因数倍数综合应用 结合组数问题、最值问题、实际生活场景出题，考查数字推理、分类讨论能力，多以解决问题、压轴填空题考查。 核心考点总结 1、因数与倍数基本概念 （1）研究范围：只在非0自然数范围内研究因数和倍数，小数、分数、0均不参与讨论。 （2）相互依存关系：因数和倍数不能单独存在，必须表述为“谁是谁的因数，谁是谁的倍数”。 （3）因数特征：一个数的因数个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身。 （4）倍数特征：一个数的倍数个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 （5）特殊规律：1是所有非0自然数的因数，一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。 2、2、5、3的倍数核心规律（必考） （1）2的倍数：个位是0、2、4、6、8的自然数；是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 （2）5的倍数：个位是0或5的自然数。 （3）同时是2和5的倍数：个位一定是0。 （4）3的倍数：各个数位上的数字之和是3的倍数，与个位数字无关。 （5）奇偶运算规律：奇数±奇数=偶数、偶数±偶数=偶数、奇数±偶数=奇数；奇数×奇数=奇数、偶数×任意数=偶数。 3、质数与合数核心知识点 （1）质数（素数）：只有1和它本身两个因数的自然数。 （2）合数：除了1和它本身，还有其他因数的自然数（至少3个因数）。 （3）特殊数字界定：1既不是质数，也不是合数；最小的质数是2（唯一的偶质数），最小的合数是4。 （4）20以内常用质数（必背）：2、3、5、7、11、13、17、19。 本单元高频易错点汇总 易错点1：概念范围混淆 错因：忽略因数倍数仅适用于非0自然数，误将小数、0纳入判断范围；单独说某数是因数/倍数。 纠正：牢记范围，表述必须完整（A是B的因数，B是A的倍数），不单独拆分概念。 易错点2：3的倍数判断失误 错因：误以为个位是3、6、9的数就是3的倍数，照搬2、5倍数的判断规律。 纠正：3的倍数看数位数字和，与个位无关，必须求和验证。 易错点3：质数合数、奇偶概念混淆 错因：认为奇数都是质数、偶数都是合数，忽略特殊数字2、9、15等。 纠正：2是唯一偶质数；9、15、21等是奇数但属于合数；1既非质数也非合数。 易错点4：找因数遗漏、重复 错因：无序找因数，漏找中间因数，或重复书写相同因数。 纠正：成对列举，从小到大排列，直到两个因数交叉重合，杜绝遗漏重复。 易错点5：最值、组数题型思路混乱 错因：组数时忽略限制条件，求因数倍数最值时概念颠倒。 纠正：最大因数、最小倍数都是本身；组数先定核心数位，分步筛选所有符合条件的情况。 经典例题精讲（期末真题题型） 例题1 概念辨析题 判断：因为1.2÷0.6=2，所以1.2是0.6的倍数，0.6是1.2的因数。 解析：错误。因数倍数仅适用于非0自然数，小数不满足研究范围，不成立。 例题2 倍数特征应用题 用0、3、5、8组成既是2又是3的倍数的三位数，写出所有符合条件的数。 解析：先定个位为0、8（2的倍数），再保证数位和是3的倍数，逐一筛选组合，不重不漏。 例题3 质数合数综合判断 在1、2、9、11、15、19、20中，区分奇数、偶数、质数、合数。 解析：先按奇偶分类，再排除1，结合因数个数判断质合，重点区分奇数中的合数。 例题4 因数倍数最值问题 一个数的最大因数是18，这个数的最小倍数是多少，它的所有因数有哪些？ 解析：一个数最大因数和最小倍数都是本身，确定数为18，再成对列举全部因数。 三大题型 题型一、因数倍数基础概念题型 分步解题妙招 第一步：定范围，判断数字是否为非0自然数，排除小数、分数、0。 第二步：判关系，根据除法整除特征，确定谁是谁的因数、谁是谁的倍数。 第三步：找特征，牢记因数有限、倍数无限，最值均为数字本身。 第四步：细辨析，杜绝单独表述概念，区分易混淆特殊数字。 1．《水浒传》是我国四大名著之一，在这部古典名著中描写了108位梁山好汉。下面各数中（    ）不是108的因数。 A．6 B．9 C．15 D．18 【答案】C 【分析】在非零自然数范围内，如果整数除以整数（）的商是整数而没有余数，我们就说是的因数。本题需要找出不是因数的数，可以通过计算除以各选项的数，看是否有余数来判断。 【详解】A．，没有余数，所以是的因数，不符合题意，此选项错误； B．，没有余数，所以是的因数，不符合题意，此选项错误； C．，有余数，所以不是的因数，符合题意，此选项正确； D．，没有余数，所以是的因数，不符合题意，此选项错误。 2．已知a×2＝b（a、b均是不为0的自然数），下面说法正确的是（    ）。 A．a是b的倍数 B．2是a的因数 C．2是b的因数 D．b是2的因数 【答案】C 【分析】如果a÷b＝c（a、b、c都是不为0的自然数，且没有余数），我们就说a是b和c的倍数，b和c是a的因数。 【详解】，则。 b是a和2的倍数，a和2是b的因数。 3．10的因数有（    ）个。 A．1 B．10 C．4 【答案】C 【分析】两个整数相乘，乘积是10，这两个数都是10的因数。 【详解】，则1和10是10的因数； ，则2和5是10的因数； 的因数有：1、2、5、10，一共有4个因数。 4．已知a是17的因数，那么（    ）。 A．a只能是1 B．a只能是17 C．a是1或17 D．a只能是3 【答案】C 【分析】因数的定义：在非零自然数范围内，如果a×b＝c （a、b、c均为非零自然数），那么a和b是c的因数。据此通过乘法算式找到17的因数。 【详解】1×17＝17，17的因数是1和17。 所以，已知a是17的因数，那么a是1或17。 5．【A】表示自然数A的因数个数，例如：8有1，2，4，8四个因数，则【8】＝4，那么【30】＝( )，【45】＝( )。 【答案】 8 6 【分析】根据找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组的写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【详解】30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6 30的因数有1，2，3，5，6，10，15，30，一共有8个。【30】＝8 45＝1×45＝3×15＝5×9 45的因数有1，3，5，9，15，45，一共有6个。【45】＝6 6．一个数既是4的倍数，又是32的因数，这个数最大是( )，最小是( )。 【答案】 32 4 【分析】求一个数的所有的因数的方法：有序地写出以这个数为积的所有整数乘法算式，算式中的每个因数都是该数的因数。 求一个数的倍数的方法：列乘法算式找，用这个数依次与正整数1，2，3，…相乘，所得的积就是这个数的倍数。 【详解】32的因数：1、2、4、8、16、32； 4的倍数：4、8、12、16、20、24、28、32… 其中既是32的因数，又是4的倍数的数有：4、8、16、32。 所以这个数最大是32，最小是4。 7．两个数的最大公因数是6，最小公倍数是72，其中一个数是24，另一个数是( )。 【答案】18 【分析】利用最大公因数和最小公倍数之间的性质：两个数的积等于这两个数的最大公因数和最小公倍数的积。据此作答。 【详解】 两个数的最大公因数是6，最小公倍数是72，其中一个数是24，另一个数是18。 8．新华书店周日卖出的文艺书180本，比卖出的科技书多100本，卖出的科技书是卖出的历史书的2倍，卖出的历史书有多少本？ 【答案】40本 【分析】根据题意，文艺书比科技书多100本，因此科技书数量为180本减去100本。科技书是历史书的2倍，所以历史书数量为科技书数量除以2。据此解答即可。 【详解】180－100＝80（本） 80÷2＝40（本） 答：卖出的历史书有40本。 9．张阿姨做了57个蛋挞，准备送给亲朋好友品尝，用哪种包装盒能正好装完？为什么？ 【答案】3个装；因为3是57的因数 【分析】根据题意可知，如果包装盒正好能装完蛋挞，则盒子的数量×每个盒子蛋挞的个数＝57个，根据因数的定义，5、3、2哪个是57的因数，对应的包装盒正好能装完。 【详解】57÷5＝11……2 57÷3＝19 57÷2＝28……1 答：用3个装的包装盒能正好装完，因为3是57的因数。 10．要在一条长是20米，宽1.2米的小路上铺地砖。下面是三种大小不一的地砖，要使所用的地砖尽可能是整块的，请选择你认为最合适的，并算出需要的数量。 【答案】边长为40厘米的地砖；150块 【分析】要使所用的地砖尽可能是整块的，就需要找到长方形小路的长和宽分别是地砖边长的整数倍，所以要计算小路的长和宽分别是三种地砖边长的倍数关系，然后选择倍数关系都是整数的地砖，最后用长包含的地砖数乘宽所包含的地砖数，求出需要的地砖数量。 【详解】20米＝2000厘米、1.2米＝120厘米 ①地砖边长为40厘米 2000÷40＝50（块） 120÷40＝3（块） 长和宽都是地砖边长的整数倍。 ②地砖边长为50厘米 2000÷50＝40（块） 120÷50＝2.4（块） 宽不是地砖边长的整数倍。 ③地砖边长为60厘米 2000÷60≈33.33（块） 120÷60＝2（块） 长不是地砖边长的整数倍。 最合适的地砖是边长为40厘米的地砖。 50×3＝150（块） 答：最合适的地砖是边长为40厘米的地砖，需要的数量是150块。 题型二、2、5、3倍数特征应用题型 标准解题法（精准判断、组数、筛选） 第一步：看尾数，快速判断2、5的倍数，个位定奇偶。 第二步：求和值，计算数位数字总和，判断是否为3的倍数。 第三步：结合条件，同时满足多个倍数要求时，叠加特征筛选（如同时是2、3、5的倍数，个位必为0且数字和是3的倍数）。 第四步：有序枚举，组数题型按顺序列举，不重复、不遗漏。 1．一个四位数163A是偶数，还有因数5，那么A可能是（    ）。 A．0 B．5 C．4 【答案】A 【分析】2的倍数的特征：个位上是 0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。偶数：是2的倍数的数叫偶数。 5的倍数的特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数。 如果一个数同时是2和5的倍数，那它的个位上的数字一定是0。 【详解】一个四位数163A是偶数，还有因数5，那么A可能是0。 2．代表一个大于0小于10的自然数，代表0，下面的四位数中，一定同时是2、3、5的倍数的数是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【详解】A．如果＝1，不是2、5的倍数，且各数位上的数字的和是4，也不是3的倍数，排除； B．＝0，是2、5的倍数，各数位上的数字的和是3，也是3的倍数； C．＝0，是2、5的倍数，各数位上的数字的和是2，不是3的倍数，排除； D．＝0，是2、5的倍数，各数位上的数字的和是，如果＝1，不是3的倍数，排除。 一定同时是2、3、5的倍数的数是。 3．一个三位数54能同时被2，3，5整除，里应填（    ）。 A．2 B．3 C．0 【答案】C 【分析】要让三位数54□同时被2、3、5整除，需要同时满足这三个数的整除特征：能被2和5整除的数，个位必须是0；再验证各位数字之和能否被3整除即可。 【详解】能同时被2和5整除的数，个位只能是0，所以先确定□可能是0。 当□＝0时，数字和为5＋4＋0＝9，9能被3整除，满足条件。 所以一个三位数54能同时被2，3，5整除，里应填0。 4．下面各组数中，既是2的倍数也是3的倍数的是（    ）。 A．9、12、15 B．6、10、27 C．18、24、36 【答案】C 【分析】既是的倍数也是的倍数，说明这个数必须同时满足的倍数特征和的倍数特征。 的倍数特征是个位上是、、、、的数；的倍数特征是各位上数字之和是的倍数，逐项验证即可。 【详解】A．不是的倍数；的个位是，不是的倍数。此选项错误； B．的各位数字之和是，不是的倍数，所以不是的倍数；的个位是，不是的倍数。此选项错误； C．的个位是，是的倍数；各位数字之和，是的倍数，所以也是的倍数； ：个位是，是的倍数；各位数字之和，是的倍数，所以也是的倍数； ：个位是，是的倍数；各位数字之和，是的倍数，所以也是的倍数。 既是的倍数也是的倍数的是18、24、36。 5．琳琳经常使用智慧中小学学习平台学习。在智慧中小学平台上的积分达到了1856分，至少增加( )分就是3的倍数，至少增加( )分就同时是2和5的倍数。 【答案】1 4 【分析】2的倍数：个位是2，4，6，8，0的数；5的倍数：个位是0或5的数；一个数同时是2和5的倍数，则个位一定是0；3的倍数：所有数位上的数字之和能被3整除的数，据此解答。 【详解】1＋8＋5＋6＝20 20÷7＝2……6 7－6＝1 要同时是2和5的倍数，那么最接近的数是1860。 1860－1856＝4 至少增加1分就是3的倍数，至少增加4分就同时是2和5的倍数。 6．既是2的倍数，又是3的倍数的最小两位数是( )，最大两位数是( )。 【答案】 12 96 【分析】个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。要想得到最小两位数，十位上可先考虑是1；要想得到最大两位数，十位上可先考虑是9；再根据2、3的倍数的特征解答。 【详解】根据2的倍数的特征可知：这个两位数的个位上是0，2，4，6，8。 最小两位数： 十位上最小是1，1＋0＝1，1不是3的倍数，所以10不是3的倍数； 1＋1＝2，2不是3的倍数，所以11不是3的倍数； 1＋2＝3，3是3的倍数，所以12是3的倍数。 最大两位数： 十位上最大是9，9＋8＝17，17不是3的倍数，所以98不是3的倍数； 9＋7＝16，16不是3的倍数，所以97不是3的倍数； 9＋6＝15，15是3的倍数，所以96是3的倍数。 所以既是2的倍数，又是3的倍数的最小两位数是12，最大两位数是96。 7．聪聪家的WiFi密码是一个四位数：3□7□。已知这个密码是2、3、5的倍数，而且百位是一个偶数。那么聪聪家的WiFi密码可能是( )，也可能是( )。 【答案】 3270 3870 【分析】密码是2、3、5的倍数，首先同时是2和5的倍数的数，个位必须是0；再根据3的倍数特征，各位数字之和是3的倍数，且百位是偶数，找出符合条件的数。 【详解】同时是2和5的倍数，个位只能是0，密码形式为3□70。 各位数字和：3＋□＋7＋0＝10＋□，10＋□必须是3的倍数，且□是偶数（0，2，4，6，8）。 试算：10＋2＝12（是3的倍数），10＋8＝18（是3的倍数），所以百位可以是2或8。 可能是3270，也可能是3870。 8．小锋到文具店买日记本，日记本的单价已看不清楚，他买了3本日记本，售货员阿姨说应付134元。售货员阿姨的说法正确吗？说说你的理由。 【答案】不正确；理由见详解3本日记本，付款数应该是3的倍数，而134不是3的倍数。所以售货员阿姨的说法不正确。 【分析】根据数量关系“总价＝单价×数量”，购买3本日记本，总价应该是3的倍数。利用3的倍数的特征（各位上数的和是3的倍数）来验证134是否符合条件。 【详解】134各位上数的和是：1＋3＋4＝8 8不是3的倍数，所以134不是3的倍数。 答：不正确，因为小锋买了3本日记本，所以应付的总钱数应该是3的倍数，134不是3的倍数。 9．学校组织“童心向党，快乐成长”活动，五年级参加的学生人数是偶数，且在40～50之间。每3人分一组，全部分完，没有剩余。五年级参加的学生可能有多少人？ 【答案】42人或48人 【分析】整数中，能被2整除的数是偶数；每3人一组，全部分完，说明能被3整除，总数是3的倍数，3的倍数：各位数字之和是否能被3整除；列出40~50之间所有的偶数：40、42、44、46、48、50，再从中筛选出能被3整除的数。 【详解】40~50之间的偶数：40、42、44、46、48、50 再判断能否被3整除： （4＋0）÷3＝4÷3＝1……1 （4＋2）÷3＝6÷3＝2 （4＋4）÷3＝8÷3＝2……2 （4＋6）÷3＝10÷3＝3……1 （4＋8）÷3＝12÷3＝4 （5＋0）÷3＝5÷3＝1……2 符合条件的数是42和48。 答案：五年级参加的学生可能是42人或48人。 10．妈妈给小明买了3件相同价格的夏装，收银员说：应付245元。对吗？为什么？请你说明理由。 【答案】不对；理由见详解 【分析】根据3的倍数的特征，各位上的数字之和是3的倍数，这个数就一定是3的倍数；依此即可判断。 【详解】不对。 因为3件夏装价格相同，应付的钱数应是3的倍数，245不是3的倍数，所以不对。 题型三、质数合数综合拔高题型 四步标准解题步骤 第一步：定特殊，先排除数字1、0，牢记2是唯一偶质数。 第二步：判奇偶，区分奇数、偶数，初步筛选范围。 第三步：数因数，根据因数个数判断质数（2个因数）、合数（≥3个因数）。 第四步：综合推，结合奇偶、质合、倍数特征，解决填空、推理、应用题。 1．三个连续自然数的和一定是（    ）。 A．3的倍数 B．偶数 C．奇数 D．质数 【答案】A 【分析】先设出三个连续自然数，用含有字母的式子表示出它们的和，观察和的特征。 【详解】设三个连续自然数中最小的一个为n，则这三个连续自然数分别为n、n＋1、n＋2。 它们的和为：n＋（n＋1）＋（n＋2）＝3n＋3＝3（n＋1）。 A．3（n＋1）一定是3的倍数，此选项正确； B．当n是奇数时，n＋1是偶数，3（n＋1）是偶数；当n是偶数时，n＋1是奇数，3（n＋1）是奇数；即3（n＋1）可能是奇数，也可能是偶数，此选项错误； C．当n是奇数时，n＋1是偶数，3（n＋1）是偶数；当n是偶数时，n＋1是奇数，3（n＋1）是奇数；即3（n＋1）可能是奇数，也可能是偶数，此选项错误； D．当n＝0时，3（n＋1） ＝3×（0＋1） ＝3×1 ＝3 3的因数只有1和3，是质数； 当n≥1时，3（n＋1）的因数有1，3，n＋1和3（n＋1），是合数，此选项错误。 2．下面关于合数的说法，正确的是（    ）。 A．所有的合数都是偶数 B．所有的偶数都是合数 C．合数只有2个因数 D．合数至少有3个因数 【答案】D 【分析】一个数除了和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。合数至少有3个因数。 2的倍数都是偶数。 【详解】A．9是合数，但9是奇数，所以所有的合数都是偶数的说法错误。 B．2是偶数，但2是质数，2是唯一的偶质数，所以所有的偶数都是合数的说法错误。 C．只有1和它本身两个因数的数是质数，合数至少有3个因数。 D．合数除了1和它本身外还有别的因数，所以合数至少有3个因数。此选项正确。 3．2，12，22，32这四个数都是（    ）。 A．质数 B．合数 C．偶数 【答案】C 【分析】质数是只有1和它本身两个因数的数，合数是除了1和它本身外还有其它因数的数，偶数的个位上是0、2、4、6、8的数。 【详解】A．2的因数只有1和2，所以2是质数；12的因数有1，2，3，4，6和12，所以12是合数；22的因数有1，2，11和22，所以22是合数；32的因数有1，2，4，8，16和32，所以32是合数。此选项错误。 B．2的因数只有1和2，所以2是质数；12的因数有1，2，3，4，6和12，所以12是合数；22的因数有1，2，11和22，所以22是合数；32的因数有1，2，4，8，16和32，所以32是合数。此选项错误。 C．2、12、22、32的个位数字都是2，这四个数都是偶数，此选项正确。 4．一个非零自然数a有3个因数，a一定是（    ）。 A．合数 B．质数 C．偶数 【答案】A 【分析】一个大于1的自然数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，即质数只有2个因数；除了1和它本身外还有其它因数，这样的数叫做合数，即合数至少有3个因数。 【详解】一个非零自然数a有3个因数，a一定是合数。 如4的因数有1、2、4，共3个，所以4是合数。 5．一个三位数既有因数2，又是5的倍数，百位上是最小的质数，十位上的数既是奇数又是合数，这个三位数是( )。 【答案】290 【分析】同时是2和5的倍数的数，个位上一定是0。最小的质数是2，所以百位上的数字是2。10以内既是奇数又是合数的数是9，所以十位上的数字是9，据此写出这个三位数。 【详解】既有因数2又是5的倍数，个位数字是0； 最小的质数是2，百位数字是2； 10以内既是奇数又是合数的数是9，十位数字是9； 所以这个三位数是290 6．湘西土家族苗族自治州共有林木资源101科，珍贵乡土树种36种，古树名木41034株。杉木在湘西林木资源中占有重要地位，共有3科6属约10种被统称为“杉木”。以上出现的数，质数有( )个，合数有( )个。 【答案】 2 4 【分析】质数就是只能被1和它自身整除的数，合数就是除了1和它本身之外，还能被其它数整除的数。注意：1既不是质数也不是合数，据此判断。 【详解】101只能被1和它自身整除，是质数； 36除了能被1和它自身整除，还能被2、3、4、6、9、12、18整除，是合数； 41034除了能被1和它自身整除，还能被2、3等等整除，是合数。 3只能被1和它自身整除，是质数； 6除了能被1和它自身整除，还能被2、3整除，是合数； 10除了能被1和它自身整除，还能被2、5整除，是合数。 质数有2个，合数是4个。 7．小强家的电话号码是由7位数字组成的A5B3C3D。其中A的最大因数是3，B是最小的质数，C有因数2和3，D既是奇数也是合数，小强家的电话号码是( )。 【答案】3523639 【分析】一个数的最大因数是它本身。整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。除了1和它本身以外没有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【详解】A的最大因数是3，A是3；最小的质数是2，B是2；10以内有因数2和3的是6，C是6；10以内既是奇数也是合数的是9，D是9。因此小强家的电话号码是3523639。 8．大年初三，乐乐和天天玩掷骰子游戏，规则是；掷一枚骰子（6个面分别为1～6），落下后如果点数是质数，乐乐赢；如果点数是合数，天天赢。 （1）这个游戏对双方公平吗？为什么？ （2）如果这个游戏不公平，你能设计一个公平的游戏规则吗？ 【答案】（1）不公平，因为骰子质数有3个，合数有2个，所以出现的可能性不相等，所以不公平； （2）掷一枚骰子，如果出现的是奇数，乐乐赢；如果出现的是偶数，天天赢。 【分析】（1）骰子上的数字中，质数有：2、3、5共3个，合数有：4、6共2个，即出现质数的可能性大，出现合数的可能性小，所以不公平。 （2）为了体现游戏的公平性，要找出1～6中分类后数量一样多的，如可分为奇数和偶数。（答案不唯一） 【详解】（1）1～6中质数有：2、3、5共3个； 合数有：4、6共2个。 答：不公平，因为骰子质数有3个，合数有2个，所以出现的可能性不相等，所以不公平。 （2）1～6中奇数有：1、3、5共3个； 偶数有：2、4、6共3个。 答：公平的游戏规则是：掷一枚骰子，如果出现的是奇数，乐乐赢；如果出现的是偶数，天天赢。（答案不唯一） 9．淘气和笑笑玩掷骰子游戏，掷出质数淘气赢，掷出合数笑笑赢，这个游戏规则公平吗？ 如果不公平，请你修改这个游戏规则，使它是公平的。 【答案】不公平；掷出奇数淘气赢，掷出偶数笑笑赢 【分析】质数：只有1和它本身2个因数的数；合数：除了1和它本身还有别的因数的数；1既不是质数也不是合数，据此分别列举出淘气和笑笑赢的情况数，如果两人赢的情况数相同，则公平，反之则不公平；如果不公平，可以修改游戏规则使淘气和笑笑赢的可能性相同即可。 【详解】质数：2，3，5，有3种情况；合数：4，6，有2种情况；笑笑和淘气赢的情况数不相同，所以游戏不公平。奇数：1，3，5，有3种情况，偶数：2，4，6，有3种情况，因为奇数和偶数都有3个，所以可以改变游戏规则为：掷出奇数淘气赢，掷出偶数笑笑赢。 答：游戏规则不公平。可以改变游戏规则为：掷出奇数淘气赢，掷出偶数笑笑赢。 10．一块长方形菜地的长和宽都是以米为单位的质数，周长是36m，这块长方形菜地的面积最大是多少平方米？ 【答案】77平方米 【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2可得，长＋宽＝周长÷2，即36÷2得18米，再结合长和宽都是以米为单位的质数，则可以将18拆成两个质数之和，再从中找出乘积最大的即可。 【详解】36÷2＝18（米） 18＝5＋13＝7＋11 13×5＝65（平方米） 11×7＝77（平方米） 77＞65 答：这块长方形菜地的面积最大是77平方米。 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $