学易金卷：高二数学下学期期末模拟卷（湘教版专用：全部高中内容）

**基本信息** 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷（湘教版全内容），120分钟150分，通过集合、复数、立体几何等知识，以三棱柱容器水面问题（第5题）、统计联表分析（第17题）等情境，考查数学眼光、思维与语言，适配期末综合测评。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、复数、向量、数列、函数奇偶性、双曲线离心率|单选基础巩固，多选（如第9题概率统计）辨析概念逻辑| |填空题|3题15分|二项式定理、切线方程、抛物线焦点三角形|第13题曲线切线综合，体现数学思维的严谨性| |解答题|5题77分|三角函数与解三角形（15题）、立体几何（16题）、统计与概率（17题）、导数应用（18题）、解析几何（19题）|17题结合联表与概率递推，19题直线过定点及垂直平分线问题，注重知识综合与创新应用|

2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版全部内容。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2.在复平面内， 对应的点位于（ 　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量 ，，若 ，则实数 （ 　　） A. B. C. D. 4. 已知是递增的等差数列，，若成等比数列，则（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 5.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，，若底面水平放置时，水面恰好过侧棱的中点，当侧面水平放置时，水面恰好与交于点D，则等于（ ） A. 2 B. 4 C. D. 6.若函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 7. 已知函数 为奇函数，且 为偶函数，当 时，有 ，则 A. B. C. D. 8. 已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点 使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 不存在三个事件A，B，C两两对立 B. 若三个事件A，B，C 两两互斥，则 C. 给定事件A，B，C，且P(C)>0，则P(A∪B|C)=P(A|C)+P(B|C) D. 已知数据的极差为4，方差为2，则数据 的极差和方差分别为8，4 10. 数列的前项和记为，且，则（    ） A． B．为等差数列 C．中既有最大项也有最小项 D．中有最大项但无最小项 11．在棱长为1的正方体中，点，满足，，则（    ） A．平面 B．若与平面所成角为，则点的轨迹长度为 C．当时，满足到直线与到平面的距离相等的点有两个 D．当时，四面体外接球体积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.的展开式中的常数项为_____． 13. 已知曲线在处的切线与曲线相切，则的值为_____________． 14.已知O 为坐标原点，F是抛物线C：的焦点，是C上位于y 轴异侧的两点，且的面积为，则_____________ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （13分）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式和单调递减区间； (2)在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，求的最大值． 16.（15分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段中点，为线段上的动点． (1)证明：平面平面； (2)设直线与平面所成角为，求的取值范围． 17.（15分）为研究主、客场比赛是否影响自身的发挥，甲统计在主、客场进行的150场比赛，得到如下列联表： 场地 胜负情况 合计 胜 负 主场 60 40 100 客场 20 30 50 合计 80 70 150 (1)根据小概率值的独立性检验，分析胜负情况是否与主、客场有关； (2)用上述胜负的频率估计甲在两个场地胜负的概率．现在甲进行n场比赛，规定：若甲胜，则下一场比赛在甲的主场进行；若甲负，则下一场比赛在甲的客场进行．第一场比赛在甲的主场开始，记第k场比赛甲获胜的概率为． ①求； ②记，求． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18.（17分） 已知函数（），. (1)若不存在零点，求实数的取值范围； (2)若恒成立，求的值； (3)已知数列，满足，记，若对任意的正整数，不等式成立，其中为整数，求最小值. 19.（17分）已知、分别是椭圆的左、右顶点，动点满足，过作于，线段交椭圆于点；过作，交椭圆于点. (1)设直线、的斜率分别为、，求的值； (2)求证：直线过定点； (3)设线段的垂直平分线交椭圆于、两点，若，求直线的斜率. 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版全部内容。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2.在复平面内， 对应的点位于（ 　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量 ，，若 ，则实数 （ 　　） A. B. C. D. 4. 已知是递增的等差数列，，若成等比数列，则（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 5.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，，若底面水平放置时，水面恰好过侧棱的中点，当侧面水平放置时，水面恰好与交于点D，则等于（ ） A. 2 B. 4 C. D. 6.若函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 7. 已知函数 为奇函数，且 为偶函数，当 时，有 ，则 （ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点 使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 不存在三个事件A，B，C两两对立 B. 若三个事件A，B，C 两两互斥，则 C. 给定事件A，B，C，且P(C)>0，则P(A∪B|C)=P(A|C)+P(B|C) D. 已知数据的极差为4，方差为2，则数据 的极差和方差分别为8，4 10. 数列的前项和记为，且，则（    ） A． B．为等差数列 C．中既有最大项也有最小项 D．中有最大项但无最小项 11．在棱长为1的正方体中，点，满足，，则（    ） A．平面 B．若与平面所成角为，则点的轨迹长度为 C．当时，满足到直线与到平面的距离相等的点有两个 D．当时，四面体外接球体积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.的展开式中的常数项为_____ 13. 已知曲线在处的切线与曲线相切，则的值为_____________． 14.已知O 为坐标原点，F是抛物线C：的焦点，是C上位于y 轴异侧的两点，且的面积为，则_____________ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （13分）已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式和单调递减区间； (2)在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，求的最大值． 16.（15分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段中点，为线段上的动点． (1)证明：平面平面； (2)设直线与平面所成角为，求的取值范围． 17．（15分）为研究主、客场比赛是否影响自身的发挥，甲统计在主、客场进行的150场比赛，得到如下列联表： 场地 胜负情况 合计 胜 负 主场 60 40 100 客场 20 30 50 合计 80 70 150 (1)根据小概率值的独立性检验，分析胜负情况是否与主、客场有关； (2)用上述胜负的频率估计甲在两个场地胜负的概率．现在甲进行n场比赛，规定：若甲胜，则下一场比赛在甲的主场进行；若甲负，则下一场比赛在甲的客场进行．第一场比赛在甲的主场开始，记第k场比赛甲获胜的概率为． ①求； ②记，求． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18.（17分） 已知函数（），. (1)若不存在零点，求实数的取值范围； (2)若恒成立，求的值； (3)已知数列，满足，记，若对任意的正整数，不等式成立，其中为整数，求最小值. 19.（17分）已知、分别是椭圆的左、右顶点，动点满足，过作于，线段交椭圆于点；过作，交椭圆于点. (1)设直线、的斜率分别为、，求的值；(2)求证：直线过定点； (3)设线段的垂直平分线交椭圆于、两点，若，求直线的斜率. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：集合， 且集合， 所以. 2.在复平面内， 对应的点位于（ 　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】，在复平面内对应的点为 ，位于第四象限． 3. 已知向量 ，，若 ，则实数 （ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】已知向量 ，，则 ，， ∴ ，解得 ． 4. 已知是递增的等差数列，，若成等比数列，则（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 解析：设该等差数列的公差为， 因为数列是递增的等差数列，所以， 因为成等比数列，， 所以，或（舍去）， 则， 故选：B. 5.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，，若底面水平放置时，水面恰好过侧棱的中点，当侧面水平放置时，水面恰好与交于点D，则等于（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【详解】若底面水平放置时，水面恰好过侧棱的中点， 设棱柱的体积为V，则水的体积为； 当侧面水平放置时，三棱柱有水部分的体积为， 则无水部分为水平放置小三棱柱（一侧面为水面），其体积为， 由于三棱柱和三棱柱的高相同， 故，由于，则∽ ， 故，而，故，故， 故选：D 6.若函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由为定义在上的奇函数，得， 即，，. 结合，得. 所以. 验证奇偶性：，满足奇函数定义. 因此，. 7. 已知函数 为奇函数，且 为偶函数，当 时，有 ，则 （ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵ 为奇函数，∴ ，即 ． 又∵ 为偶函数，故 ， ∴ ， 故 是周期函数且周期为4，而 ， 故 ，故选A． 8. 已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点 使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】因为双曲线的右焦点为，则，即， 且双曲线的渐近线方程为， 设圆上一点，且圆心为，半径， 则的中点在其渐近线上，可得， 即，所以点在直线上， 因为圆心到直线的距离为， 因为圆上存在点满足条件，所以直线与圆有公共点， 所以，即，可得，可得，所以， 又因为双曲线的离心率，所以， 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 不存在三个事件A，B，C两两对立 B. 若三个事件A，B，C 两两互斥，则 C. 给定事件A，B，C，且P(C)>0，则P(A∪B|C)=P(A|C)+P(B|C) D. 已知数据的极差为4，方差为2，则数据 的极差和方差分别为8，4 【答案】AB 【详解】对于A，假设存在三个两两对立的事件A，B，C.由A与B对立可知B是事件A的对立事件，即；由A与C对立可知C是事件A的对立事件，即.因此；而事件B与C也要对立，则必需满足，即.若，则其对立事件，此时，但事件B，C对立要求，而.产生矛盾.故不存在三个两两对立的事件.故A正确； 对于B，根据互斥事件的加法公式得到，又，即.故B正确； 对于C，因为，根据条件概率下的加法公式得到，故C不正确； 对于D，不妨令，则，，因此新数据组的极差为，方差为，故D不正确. 故选：AB. 10. 数列的前项和记为，且，则（    ） A． B．为等差数列 C．中既有最大项也有最小项 D．中有最大项但无最小项 【答案】ABC 【详解】对于A，当时，， 当时，， 所以 ，故A正确； 对于B，由已知，所以， 当时，，且， 所以是以为首项，为公差的等差数列，故B正确； 对于C， 当时，， 所以， 所以当时开始单调递增且为负数， 且当时，为最大项， 为最小项，可得中有最大项也有最小项，故C正确D错误. 11．在棱长为1的正方体中，点，满足，，则（    ） A．平面 B．若与平面所成角为，则点的轨迹长度为 C．当时，满足到直线与到平面的距离相等的点有两个 D．当时，四面体外接球体积为 【答案】AD 【详解】选项A：，为中点. 连接，交于点，则为中点，所以. 又平面，平面，平面.故A正确. 选项B：以为原点，以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 正方体中，易知平面的法向量为， 因为，，，， 所以，则，. 设与平面所成角为（）， 则，即， 又，，，， 所以，即. 因为，所以点的轨迹为以点为圆心，1为半径的圆在平面上四边形内的部分（含与四边形的交点），其长度为.故B错误. 选项C：由选项B知，点到直线的距离为1. 又，所以点到平面的距离为. 若点满足到直线与到平面的距离相等，则，即，此时，所以满足条件的点有1个（与点重合），故C错误. 选项D：当时，，又，，， 设四面体的外接球球心坐标为，半径为，则 ，解得. 所以外接球的体积为.故D正确. 故选：AD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.的展开式中的常数项为_____ 答案为：. 【详解】的展开式的通项为， 令可得， 所以常数项为， 故答案为：. 13. 已知曲线在处的切线与曲线相切，则的值为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【详解】对求导得，当时，，， 曲线在处的切线方程为. 设切线与相切于点，对求导得， 由切线斜率为得，解得， 将切点代入切线方程得，解得. 14.已知O 为坐标原点，F是抛物线C：的焦点，是C上位于y 轴异侧的两点，且的面积为，则_____________ 【答案】 【详解】由题意知抛物线C：的焦点为，准线方程为， 设，则由可得，得， 则，则，不妨取，则， 设，则满足， 由于的面积为即， 即，即，则 又，则，解得或（舍去）， 故，则， 故， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式和单调递减区间； (2)在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，求的最大值． 【详解】（1）由图象可知，函数的最大值为1，最小值为，又，所以； 观察图象，函数的半个周期， 所以周期； 由且，解得，此时； 由图象可知，函数图象过点，且该点位于单调递增区间上， 所以，， 即，； 因为，令，解得， 所以函数的解析式为； 令，， 解得，， 所以函数的单调递减区间为.（7分） （2）由知， 因为，所以，即，因为为三角形内角，所以， 由余弦定理，由基本不等式，设，则，当且仅当时等号成立，故（13分） 16.（15分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段中点，为线段上的动点． (1)证明：平面平面； (2)设直线与平面所成角为，求的取值范围． 【详解】（1）因为，且为线段中点，所以． 又因为底面，平面，所以． 而，且，因此平面 而平面，因此． 又因为，所以平面． 而平面，所以平面平面.（6分） （2）法一：由（1）可知直线与平面所成角为， 因此 不妨设，则， 所以（15分） 法二：以为原点， ，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系． 不妨设，设，，则，，，， ，，， 设平面的一个法向量， ，即，令，则， 则， 因此.（15分） 17.（15分）17．（15分）为研究主、客场比赛是否影响自身的发挥，甲统计在主、客场进行的150场比赛，得到如下列联表： 场地 胜负情况 合计 胜 负 主场 60 40 100 客场 20 30 50 合计 80 70 150 (1)根据小概率值的独立性检验，分析胜负情况是否与主、客场有关； (2)用上述胜负的频率估计甲在两个场地胜负的概率．现在甲进行n场比赛，规定：若甲胜，则下一场比赛在甲的主场进行；若甲负，则下一场比赛在甲的客场进行．第一场比赛在甲的主场开始，记第k场比赛甲获胜的概率为． ①求； ②记，求． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【详解】（1）零假设：胜负情况与主、客场无关， 根据表中数据可得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为胜负情况与主、客场有关，该推断犯错的概率不超过0.05．（4分） （2）①根据题意，由频率估计概率，可得甲在主场获胜的概率为，在客场获胜的概率为． 第场获胜的概率，可能存在两种情况，即第场甲胜或甲负， 所以，即， 因为，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． 所以．（9分） ②， 记，则， 两式相减得， 故， 则.（15分） 18.（17分） 已知函数（），. (1)若不存在零点，求实数的取值范围； (2)若恒成立，求的值； (3)已知数列，满足，记，若对任意的正整数，不等式成立，其中为整数，求最小值. 【详解】（1）由题意函数（），求导可得，， 当时，令，得，当时，，当时，， 所以在上单调递增，上单调递减，所以， 不存在零点，只需 ，解得，所以实数a的取值范围是.（5分） （2）因为，所以，其中， 令 ，其中，则恒成立，求导得：，且， 当时，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增， 若，则在上单调递增，所以时，，与题设矛盾； 若，则在上单调递减，所以时，，与题设矛盾； 若，则在上单调递减，在上单调递增，所以，满足题意；综上所述（11分）. （3）因为，所以， 由（2）可知当时 ，即， 所以当且仅当时取等号，所以，. ， 所以 ， 即：对于任意正整数，恒成立， 且因为为整数，且对于任意正整数， 成立， 当时， ，所以不能恒成立， 所以m的最小值为3.（17分） 19.（17分）已知、分别是椭圆的左、右顶点，动点满足，过作于，线段交椭圆于点；过作，交椭圆于点. (1)设直线、的斜率分别为、，求的值； (2)求证：直线过定点； (3)设线段的垂直平分线交椭圆于、两点，若，求直线的斜率. 【详解】（1）因为，则，故点的轨迹方程为， 设点，则，易知点、， 因为，，所以， 所以 .（5分） （2）设点、，设直线的方程为， 设直线的方程为，则， 则直线的方程为，则， 易知，则， 由得， 可得， 即①， 联立得， 由韦达定理可得，， 代入①式得，即， 解得（舍去）或，即直线的方程为， 故直线过定点.（12分） （3）易知直线、的斜率都存在，设线段的中点为， 设直线的方程为，设直线的方程为， 联立得， 由韦达定理可得，， 则 ， 同理可得， 因为为线段的中垂线，且，记， 在中，，所以， 所以四点、、、共圆，且， 则，化简得， 又因为，故.（17分） 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A D B B D B A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB ABC AD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （13分） 【详解】（1）由图象可知，函数的最大值为1，最小值为，又，所以； 观察图象，函数的半个周期， 所以周期； 由且，解得，此时； 由图象可知，函数图象过点，且该点位于单调递增区间上， 所以，， 即，； 因为，令，解得， 所以函数的解析式为； 令，， 解得，， 所以函数的单调递减区间为.（7分） （2）由知， 因为，所以，即，因为为三角形内角，所以， 由余弦定理，由基本不等式，设，则，当且仅当时等号成立，故（13分） 16. （15分） 【详解】（1）因为，且为线段中点，所以． 又因为底面，平面，所以． 而，且，因此平面 而平面，因此． 又因为，所以平面． 而平面，所以平面平面.（6分） （2）法一：由（1）可知直线与平面所成角为， 因此 不妨设，则， 所以（15分） 法二：以为原点， ，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系． 不妨设，设，，则，，，， ，，， 设平面的一个法向量， ，即，令，则， 则， 因此.（15分） 17. （15分） 【详解】（1）零假设：胜负情况与主、客场无关， 根据表中数据可得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为胜负情况与主、客场有关，该推断犯错的概率不超过0.05．（4分） （2）①根据题意，由频率估计概率，可得甲在主场获胜的概率为，在客场获胜的概率为． 第场获胜的概率，可能存在两种情况，即第场甲胜或甲负， 所以，即， 因为，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． 所以．（9分） ②， 记，则， 两式相减得， 故， 则.（15分） 18. （17分） 【详解】（1）由题意函数（），求导可得，， 当时，令，得，当时，，当时，， 所以在上单调递增，上单调递减，所以， 不存在零点，只需 ，解得，所以实数a的取值范围是.（5分） （2）因为，所以，其中， 令 ，其中，则恒成立，求导得：，且， 当时，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增， 若，则在上单调递增，所以时，，与题设矛盾； 若，则在上单调递减，所以时，，与题设矛盾； 若，则在上单调递减，在上单调递增，所以，满足题意；综上所述（11分）. （3）因为，所以， 由（2）可知当时 ，即， 所以当且仅当时取等号，所以，. ， 所以 ， 即：对于任意正整数，恒成立， 且因为为整数，且对于任意正整数， 成立， 当时， ，所以不能恒成立， 所以m的最小值为3.（17分） 19.（17分） 【详解】（1）因为，则，故点的轨迹方程为， 设点，则，易知点、， 因为，，所以， 所以 .（5分） （2）设点、，设直线的方程为， 设直线的方程为，则， 则直线的方程为，则， 易知，则， 由得， 可得， 即①， 联立得， 由韦达定理可得，， 代入①式得，即， 解得（舍去）或，即直线的方程为， 故直线过定点.（12分） （3）易知直线、的斜率都存在，设线段的中点为， 设直线的方程为，设直线的方程为， 联立得， 由韦达定理可得，， 则 ， 同理可得， 因为为线段的中垂线，且，记， 在中，，所以， 所以四点、、、共圆，且， 则，化简得， 又因为，故.（17分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）