甘肃兰州市某校2025-2026学年高二下学期第二次月考数学试卷

**基本信息** 聚焦高二数学核心内容，通过梯度化题型设计，融合概率、导数与立体几何，以实际问题情境（如产品抽样、袋中取球）考查数学思维与应用能力，适配月考巩固与提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|条件概率、导数极限、切线斜率、向量投影|基础概念辨析，如第6题结合骰子试验考查互斥与独立事件| |填空题|3/15|两点分布、空间基底共面、函数最值|第11题通过双函数最值关系，培养抽象能力| |I卷解答题|3/45|立体几何面面垂直、导数切线与恒成立、概率计算|第14题以甲袋取球入乙袋为情境，考查全概率公式，体现模型意识| |多选题|3/18|随机事件独立性、平行六面体性质、导数零点|第17题结合函数零点与极值点，发展推理能力| |II卷解答题|2/32|立体几何探究性问题、导数零点与极值证明|第19题通过多零点与极值点关系证明，提升数学语言表达能力|

西北师大附中 2025一2026学年第二学期第二次月考考试试题 高二数学 命题人：尹丁审题人：黄少龙 I卷(100分) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.已知随机事件A、B满足P心=子P®L0=号，则PMB)=（) A.1 3 B. c. 2 3 D. 6 2若f()=2x+1,则当→0时1+2)-f四的极限是 () 2h A.0 B.1 C.2 D.4 3.曲线y=f(x)在x=1处的切线如图所示，则f'(1)-f(1)=() A.0 B.2 C.-2 D.-1 4.向量ā=(2,2,0)在向量b=(3,0,4)上的投影长为() A. B.3v2 a.s V2 5 6 5.函数f(x)=x的图象可能是(). 第1页，共4页 6.抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为2=1,2,3,4,5,6}，事件M={1,2},事件N={2,3,4, 则() A.M与N是互斥事件 B.M与N是相互独立事件 C.P(M N=P(NM D.PM+PMN)片号 7有7件产品，其中3件是次品，从中每次取1件，不放回地任取3次，若X表示取得次品的件数，则P(X>1)= () A月 B. 号 C. D. 35 8.函数f()是定义在R上的偶函数，其导函数为f"(x),且当x≤0时，2f(x)-xf(x)<0,则不等式 f(x-2026-f(-1)(x-20262<0的解集为() A.(-0,2027) B.(2025,2027) C.(-0,2025)U(2027,+0) D.(-0,2024)U(2026,+0) 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 9.已知离散型随机变量X的分布列服从参数为p的两点分布，且P(X=1)=3-4P(X=0),则卫= 10.已知{a,b,是空间的一个基底，向量AB=2a-3,AC=a+b,AD=b+元，且A,B,C,D四 点共面，则2= 11.已知函数f)=e-x2,g(9=ar2+(2a+1x+nx+1,若对于任意名>0，总存在-2，-，使得 g(:)≤f(:),则实数a的取值范围是 三、I卷解答题：本题共3小题，共45分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 12.(本题15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,BC=3, E为AD的中点 (I)证明：平面PAD⊥平面PAB; (2)求直线PC与平面PBE所成角的正弦值 A0----- E 13.（本殿15分)已知函数f(=m- 2-2hx. B (1)曲线y=f(:在点M1,fQ)》处的切线方程为x+2y-3=0,求实数a,b的值： (2)当b=1时，对于任意x>1,f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围. 第2页，共4页 14.(本题15分)设甲袋中有3个白球、2个红球和5个黑球，乙袋中装有3个白球、3个红球和个黑球 (m©N),这些球除颜色外完全相同已知从乙袋中任取一球。取出的是红球的概率为号 (1)求m的值： (2)若依次从甲袋中取出两球，在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率： (3)若先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一个球，求从乙袋取出的是白球或黑球的 概率 Ⅱ卷(50分) 四、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 15.己知A、B是两个随机事件，且0<P(A)<1,0<P(B)<1,则下列说法正确的有() A.若A、B相互独立，则P(BA=P(B) B.P(B)≥P(BA)恒成立 C.若P(AUB)=P(A)+P(B),则P(BA=0 D.若P(BA)+P(BA)=1,则A、B相互独立 16.如图，平行六面体ABCD-ABGD的底面ABCD是边长为1的菱形，且∠CCB=∠CCD=∠BCD=亚 CA⊥平面C,BD,则() A.平面C,BD//平面AB,D B A B.BD⊥CC 】 C.AC=3 B D.平行六面体ABCD-ARCD的体积为5 D 17.已知函数f(x)=aer-lnx(a>0)有两个零点，设其由小到大分别为x,x2,则() A.实数a的取值范围是0， B.(x-e)(x2-e)<0 e C.f'(s)>a-1 D.+5>2e 第3页，共4页 五、Ⅱ卷解答题：本题共2小题，共32分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18.(本题16分)四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°，PA=PB,BC=1, AB=2,AD=3,O是AB中点 D (1)求证：CD⊥平面POC: (2)若二面角C-PD-0的平面角的正弦值为25 求出OP的值： 5 A D (3)侧棱PC上是否存在点M,使得BM/I平面POD？若存在，求出 CM PC 的值： 若不存在，请说明理由. 1 19.（本题16分)已知函数f(x)=x-二-anx (1)求f(2026)+f 1 2026 的值 (2)讨论∫(x)的单调性. (3)若∫(x)存在3个不同的零点x,x2,x3且满足x<x<x3,此外f(x)有两个极值点x4和，求证： x1+2x2+x3>2(x4+x5) 第4页，共4页高二下第二次月考数学答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1-4.DCCA 5-8.ABCB 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 10月 11.as-s 三、I卷解答题：本题共3小题，共45分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 12.(15分)解：(1)底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD, 又因为PA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,所以PA⊥AB, 又PAOAD=A,PA,ADC平面PAD, 所以AB⊥平面PAD,又ABC平面PAB, 可知平面PAD⊥平面PAB; (2)由(1)可知AB,AD,AP两两垂直，以A为坐标原点，分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空 间直角坐标系，如下图所示： ZA 易知A@Qo,Da3,0).EQ0Pa0,2B(20o.c(23o). 则西=20-2.丽-02元=3-2)， 设平面PBE的法向量为i=(x,y,), PB.ii=2x-2z=0 则 B.i=3-2z=0'令=3，可得x=3,y=4,可得元=(3,43)， 所以kcs(ac外- n.PC |2×3+3×4+(-2)×3 12 6V5 PC √22+32+(-2)2×32+42+32 V17×V3417: 因此直线PC与平面PBE所成角的正弦值为W2 17 13.(15分)解：(1)f'(x)=a +名2，曲线y=j在点M0,f0)处的切线方程为x+2y-3=0, 第1页，共5页 则f0)-a+b-2-f0)-a-b1,则a-=4 44 (2)当b=1时，依题意有-1-2r>0对于任意r>1恒成立，则a>2n+马 设mx)=2血+是(x>1,m(x)=2-2血-2 (x)=2x-2xInx-2,h'(x)=-2Inx 由x>1得：(x)<0,则h(x)在(1，+o)上单调递减， 且h(1)=0,则h(x)<0在(1，+o)上恒成立，即m'(x)<0,(x)在(1，+o)上单调递减， m(1)=1,则m(x)<1,则a≥1. 14（15分)解：①）由从乙袋中任取球，取出的是红球的概率为分，符，3} 3+3+m3' 所以m=3 (2)从甲袋中取出两球，事件A=“第一个球是白球”，事件B=“第二个球是红球” 圆P0AA3P)55P6DPM9 A010 P(A)91 所以在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率为弓 (3)从甲袋中取出一个球是白球、红球、黑球的事件分别为A,A,A,从乙袋取出的是白球或黑球的事件 为C, 则4)8P4)-品写P4)nC140PC4)-8-gPCA0品 1051 由全概率公式得PO)-PA)PC40+PA)PCA)+Pa)PCA)=品品专号2105， 37,13.1717 所以从乙袋取出的是白球或黑球的概率 25 四、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 15AC 16.ABD 17.ABD 五、解答题：本题共2小题，共32分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 18.(16分)(1)PA=PB,O是AB中点，.PO⊥AB, ·平面PAB⊥平面ABCD,平面PABO平面ABCD=AB,POC平面PAB, PO⊥平面ABCD,,CDCc平面ABCD,PO⊥CD, :AB=2,O是AB中点，∴AO=BO=1, 第2页，共5页 .∠ABC=90°，BC=1,OC=√2， AD‖BC,.∠BAC=90°， :AD=3,.OD=√10，在AD上取点N,使得AN=1,AN//BC且AN=BC, .四边形ABCN为矩形，∠CND=90°，CN=AB=2, AD=3,.ND=2,.CD=2W2, 在△COD中，CD=22,OD=√10，OC=√2， ..OC2+CD2 OD2,..OC L CD, :PO⊥CD,OC∩PO=O,OCc平面POC,OPc平面POC, CD⊥平面POC: (2)取CD中点M,连接OM,则OM//BC, 以O为原点，以OB,OM,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， OP=h,BC=1,AB=2,AD=3, 则O(0,0,1),A(-1,0,0),B1,0,0),C1,1,0),D(-1,3,0),P(0,0,), CD=(-2,2,0),PD=(1,3,-),设平面CPD的法向量为M=(s,,), ,[CD.元=0.∫-2x+24=0 以0=0号G=0取=1，解得%1房则 M ma1月 PD=(1,3,-),OD=(1,3,0),设平面OPD的法向量为=(k2,乃，2)， [0D.元2=0 -x2+3y2=0 元PD=0' -5+3%-亿，=0取⅓1，解得=32=0，=6,10， 厦1原.-2+是，元=610，io. :a加=4，水os月元归 元方 4 2+而 设二面角C-PD-0的平面角为a,则sma&25 45 cosa=cos,元，T 3,h=6 3 第3页，共5页 (3)假设在侧棱PC上存在点M,使得BMI/平面POD, 设M(,o,),C1,10),P(0,0,h), 设CM=2CP(0<1<1),CM=(G-1,%-1,),CP=(-1,-1,), .(-1%-1,)=(-1,-1,h),.=-元+1，%=-元+1，=h2, .M(-2+1,-+1,h), B1,0,0),BM=（-元，-+1，h2), :平面OPD的法向量为2=(3,10)， 8Mm=0,-3+(2+0=0,=}, 存在点MC,,,使得BM1/平面POD, CM 1 PC4 19.(16分) 1） 解：(1)f(2026)+f2026 =2026 2026a2026+ 1 1 -2026-ad 1 2026 20260. (2)f(四定义域为(0，+，J(x)=1+1-a=-a+1 x2 x x2 令g(x)=x2-ar+1, 1°a≤0时，g(x)>0,即f'(x)>0,则f(x)在(0，+o)单调递增： 2°a>0时，当△=a2-4≤0，即0<a≤2时，f'(x)≥0，f(x)在(0，+o)单调递增： 当△=d-4>0,即a>2时，由f'(y=0可解得x=a±园-4， 2 或xa+a2-4 2+时f(x)>0, a+V-4 ，+∞上单调递增， 2 a-v2-4a+a-4 2 上单调递减。 第4页，共5页 综上，a≤2时，f(x)在(0，+∞)单调递增； a>2时，f(x)在 a-va-4 a+va-4 2 上单调递减， 上单调递增 (3)由(2)知若∫(x)存在两个极值点，则a>2,且x4和为x2-r+1=0的两根， 不纺令5a-4飞=a+-4,+5=a,华=1，且0<<1<5 2 2 f(x)在(0，x4)上单调递增，(x4,x)上单调递减，(：，+o)上单调递增，且f(I)=0, f(x)在(0，x4)上存在零点x,(x4,x)上存在零点x3=1,(x,+0)上存在零点， 则有0<x1<x3=1<x3, 要证+2x3+3>2(x4+x）,只要证x1+x3>2a-2, f0=j0=0,=-0,与专=0， x .上也是f(x)的零点，即= 1 X 下证￥+1>2a-2(3>1) X3 1 _1-alnx;=0, .a= Inx 1 只要证。 X3- +1>2当2 1 (1 只要证：书25-2飞-业 23- 考++2(+1本+1 令M=r2x>D,m四=4x 5>0, x+1 x(x+1)2x(x+1) ∴h(x)在(1，+∞)上单调递增，.h(x)>h(1)=0. 即h(x)>0,得证. 第5页，共5页西北师大附中2025一2026学年第二学期第二次月考考试答题卡 高二数学 姓名： 班级： 考场/座位号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场填写清楚，并认真核对 条形码上的姓名和准考证号。 2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不 (正面潮上，切勿贴出虚线方框) 留痕迹。 3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答 无效。要求字体工整、笔迹清晰。作图时，必须用2B铅笔，并描浓。 正确填涂 缺考标记 4.在草稿纸、试题卷上答题无效。 5.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。 “、 单选题 1[A][B][C][D] 5[A][B][c][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][c][D] 二、填空题 9 10. 11 三、卷解答题 12.(15分) B I 囚囚■ 第1页共4页 13.(15分) 14.(15分) 囚囚■ a 第2页共4页 ■ 四、多选题 15[A][B][C][D] 16[A][B][C][D] 17[A][B][C][D] 五、Ⅱ卷解答题 18.(16分) I I I I 囚■囚 第3页共4页 ■ ▣ 19.(16分) 囚■囚 ■ 第4页共4页 西北师大附中 2025—2026学年第二学期第二次月考考试试题 高二 数学 命题人：尹丁 审题人：黄少龙 I卷（100分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1．已知随机事件A、B满足P(A) = ，P(B|A) = ,则P(AB) = （ ） A． B． C． D． 2若，则当h 时 的极限是  （   ） A． B． C． D． 3．曲线在处的切线如图所示，则＝（    ）    A．0 B．2 C．－2 D．－1 4．向量在向量上的投影长为（   ） A． B． C． D． 5．函数的图象可能是（    ）． A．   B．   C．   D．   6．抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为，事件，事件，则（   ） A．M与N是互斥事件 B．M与N是相互独立事件 C． D． 7.有7件产品，其中3件是次品，从中每次取1件，不放回地任取3次，若表示取得次品的件数，则（    ） A． B． C． D． 8．函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 9．已知离散型随机变量X的分布列服从参数为p的两点分布，且，则______. 10．已知是空间的一个基底，向量，，，且，，，四点共面，则______. 11．已知函数，，若对于任意，总存在，使得，则实数a的取值范围是______． 三、I卷解答题：本题共3小题，共45分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 12．（本题15分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 13．（本题15分）已知函数. (1)曲线在点处的切线方程为，求实数a，b的值； (2)当时，对于任意恒成立，求实数的取值范围. 14．（本题15分）设甲袋中有3个白球､2个红球和5个黑球，乙袋中装有3个白球､3个红球和个黑球（），这些球除颜色外完全相同.已知从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为. (1)求的值； (2)若依次从甲袋中取出两球，在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率； (3)若先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一个球，求从乙袋取出的是白球或黑球的概率 II卷（50分） 四、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 15．已知、是两个随机事件，且，，则下列说法正确的有（   ） A．若、相互独立，则 B．恒成立 C．若，则 D．若，则、相互独立 16．如图，平行六面体的底面ABCD是边长为1的菱形，且，平面，则（   ） A．平面平面 B． C． D．平行六面体的体积为 17．已知函数有两个零点，设其由小到大分别为，，则（    ） A．实数的取值范围是 B． C． D． 五、II卷解答题：本题共2小题，共32分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 18．（本题16分）四棱锥中，平面平面，，，，，是中点． (1)求证：平面； (2)若二面角的平面角的正弦值为，求出的值； (3)侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．（本题16分）已知函数 (1)求的值． (2)讨论的单调性． (3)若存在3个不同的零点，，且满足，此外有两个极值点和，求证：． 第2页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下第二次月考数学答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1-4. DCCA 5-8. ABCB 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 9.   10. 11. 三、I卷解答题：本题共3小题，共45分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 12.（15分）解：（1）底面为矩形，所以， 又因为平面，平面，所以， 又平面， 所以平面，又平面， 可知平面平面； （2）由（1）可知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 易知， 则， 设平面的法向量为， 则，令，可得，可得， 所以； 因此直线与平面所成角的正弦值为. 13.（15分）解：（1），曲线在点处的切线方程为， 则，则 （2）当时，依题意有对于任意恒成立，则， 设， 设， 由得：，则在上单调递减， 且，则在上恒成立，即在上单调递减， ，则，则. 14.（15分）解：（1）由从乙袋中任取一球，取出的是红球的概率为，得， 所以. （2）从甲袋中取出两球，事件“第一个球是白球”，事件“第二个球是红球” 则，，， 所以在取出的第一个球是白球的条件下，求第二个球是红球的概率为. （3）从甲袋中取出一个球是白球、红球、黑球的事件分别为，从乙袋取出的是白球或黑球的事件为， 则，， 由全概率公式得， 所以从乙袋取出的是白球或黑球的概率. 四、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 15.AC  16. ABD  17. ABD  五、解答题：本题共2小题，共32分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 18. （16分）（1），是中点，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，， ，是中点，， ，，， ，， ，，在上取点，使得，且， 四边形为矩形，，， ，，， 在中，，，， ，， ，，平面，平面， 平面； （2）取中点，连接，则， 以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 设，，， 则，，，，，， ，，设平面的法向量为， ，，取，解得，则， ，，设平面的法向量为， ，，取，解得，， ，，，， ，， 设二面角的平面角为，则，， ，，，， （3）假设在侧棱上存在点，使得平面， 设，，， 设，，， ，， ， ，， 平面的法向量为， ，，， 存在点，使得平面， . 19. （16分） 解：（1）. （2）定义域为，． 令， 1°时,，即，则在单调递增； 2°时，当，即时，，在单调递增； 当，即时，由可解得， 所以或时， 在，上单调递增， 时，，在上单调递减． 综上，时，在单调递增； 时，在上单调递减， 在，上单调递增. （3）由（2）知若存在两个极值点，则，且和为的两根， 不妨令，，，且． 在上单调递增，上单调递减，上单调递增，且， 在上存在零点，上存在零点，上存在零点， 则有， 要证，只要证， ，，， 又， 也是的零点，即， 下证 ，． 只要证， 只要证：， 令，， 在上单调递增，． 即，得证． 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $