精品解析：甘肃省平凉市第一中学2025-2026学年高二第二学期第二次阶段性考试数学试题

平凉一中2027届高二第二学期第二次阶段性考试数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知的三条边长分别为3，5，7，则最大的内角为（ ）． A. B. C. D. 2. 为纯虚数，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机事件A，B，，，，则＝（　　） A. B. C. D. 4. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知是异面直线，且分别为直线上的单位向量，且，则实数的值为（ ） A. B. 6 C. 3 D. 6. 已知随机变量的分布列如下表所示，则（ ） 1 2 3 A. B. C. D. 7. 已知直线与，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 8. 双曲线（，）的左右焦点分别是，，是坐标原点，，两个点在双曲线上满足，，则该双曲线的离心率（ ） A. B. 2 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线l：与圆C：，则（ ） A. 直线l过定点 B. 当时，直线l被圆C所截的弦长为 C. 直线l与圆C必然相交，且相交弦最短时直线l的方程为 D. 直线l与圆C必然相交，且相交弦最长时， 11. “杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地杂交水稻的特定时期幼苗株高，得出株高（单位：cm）服从正态分布，且的幼苗株高指标值符合优质种植标准，其中幼苗株高不低于即为合格种植标准，研究所采集了1000株互不影响生长的水稻幼苗株高样本，则下列说法正确的是（ ） 附：参考数据与公式：若，则，，. A. 幼苗株高优质种植标准约为 B. 此地杂交水稻合格率约为0.97725 C. 采集样本中，株高指标合格数量依然服从正态分布 D. 采集样本中，株高指标合格数量最有可能是978株 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间向量，若，则____ 13. 已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率为______． 14. 唐代诗人罗隐在《咏蜂》中写道：不论平地与山尖，无限风光尽被占.采得百花成蜜后，为谁辛苦为谁甜？蜜蜂是最令人敬佩的建筑专家，蜂巢的结构十分的精密，其中的蜂房均为正六棱柱状.如图是蜂房的一部分，一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房A只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房……以此类推，用表示蜜蜂爬到n号蜂房的方法数，设集合，集合B是集合S的非空子集，则B中所有元素之和为奇数的概率为________ 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列中，，当时，为的展开式第3项的二项式系数. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，数列的前项和为，求证：. 16. 如图，正方体中，点在棱上. （1）求证：； （2）设在上，且，是否在上存在点，使平面平面，若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由. 17. 抛物线C：与直线：相切． （1）求抛物线C的方程． （2）设抛物线C的焦点为F，过F的直线交C于A，B，点满足，求直线的方程． 18. 高考数学试卷评阅采用“双评仲裁”的方式，具体规则如下：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分.高考的第一道大题为基础题，不少同学的结果正确，但由于书写潦草，步骤不规范等原因，实际得分往往达不到满分，我校为了解学生的答题书写情况，开展了一次测评，针对这道满分13分的大题，选取了大量“结果正确”的试卷，由数十名阅卷老师按照高考阅卷规则进行评阅，规定每位老师给出的分数仅在13分、12分、11分中取值，经统计，各分数对应的比例如下表所示，以频率视为概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响. 教师评分 13 12 11 各分数所占比例 甲同学上交了一道“结果正确”的题参与本次测评. （1）求此题需要仲裁的概率； （2）求此题在一评、二评两位老师给分不同的条件下，最终得了满分的概率； （3）求此题得分的分布列及数学期望. 19. 已知，函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值为，求的值； （3）当时，函数在上的零点按从小到大排列构成一个数列，记为，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平凉一中2027届高二第二学期第二次阶段性考试数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知的三条边长分别为3，5，7，则最大的内角为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】在三角形中，大角对大边，则边长为的边所对的角最大，设为， 由余弦定理得， ， ． 2. 为纯虚数，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】法一：先利用复数的除法法则化简计算即可；法二：设，化简计算即可. 【详解】解法一：，由题意得，则； 解法二：因为为纯虚数，设，则， 所以，则. 3. 已知随机事件A，B，，，，则＝（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件概率公式计算判断各个选项. 【详解】因为，，， 所以，则， 所以. 4. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，， 设切线斜率为，则， 又因为切线与直线垂直， 所以，即，解得. 5. 已知是异面直线，且分别为直线上的单位向量，且，则实数的值为（ ） A. B. 6 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，得到，再根据，列出方程，即可求解. 【详解】由题意知． 由得， 即． 所以，解得. 故选：B． 6. 已知随机变量的分布列如下表所示，则（ ） 1 2 3 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据分布列的性质求，再求，再代入期望公式求. 【详解】由条件可知， ，得， ， 所以. 7. 已知直线与，则“”是“”的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】借助直线平行的性质及充分条件与必要条件定义计算即可得. 【详解】若，则，解得或， 当时，，两直线重合，不符； 当时，，符合题意； 所以，即“”是“” 的充要条件. 8. 双曲线（，）的左右焦点分别是，，是坐标原点，，两个点在双曲线上满足，，则该双曲线的离心率（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，可推出为直角三角形；再根据，结合双曲线定义，表示出三角形各边的长，利用勾股定理建立等量关系，即可求出离心率. 【详解】解：由题意知，，，， 由，为中点，易知为直角三角形，即， 因为，所以设，则，， 根据双曲线定义可知，，， 所以，，， 在中，由勾股定理可得， 即，化简整理得， 因为，所以. 在中，由勾股定理可得，即， 代入得，，所以，即， 又因为，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】推导出数列的周期为，结合数列的周期性逐项判断即可. 【详解】数列满足，， 可得，，，， 所以，数列的周期为，，A对B错； ，故， ，CD都对. 10. 已知直线l：与圆C：，则（ ） A. 直线l过定点 B. 当时，直线l被圆C所截的弦长为 C. 直线l与圆C必然相交，且相交弦最短时直线l的方程为 D. 直线l与圆C必然相交，且相交弦最长时， 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，可整理为： ， 令，则，故直线l过定点，故A正确. 对于B，当时，，圆C：的圆心为 ， 到直线的距离为：， 所以直线l被圆C所截的弦长为，B正确； 对于C，因为，直线l恒过定点在圆内， 所以直线l与圆C必然相交， 当时，直线被圆截得的弦长最短， 由直线的斜率，直线的斜率 ，且 ， 则，所以直线l的方程为，化简可得，故C错误； 对于D，由C知直线l与圆C必然相交，直线过圆心时，相交弦最长， 所以 ，解得：，故D正确. 11. “杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地杂交水稻的特定时期幼苗株高，得出株高（单位：cm）服从正态分布，且的幼苗株高指标值符合优质种植标准，其中幼苗株高不低于即为合格种植标准，研究所采集了1000株互不影响生长的水稻幼苗株高样本，则下列说法正确的是（ ） 附：参考数据与公式：若，则，，. A. 幼苗株高优质种植标准约为 B. 此地杂交水稻合格率约为0.97725 C. 采集样本中，株高指标合格数量依然服从正态分布 D. 采集样本中，株高指标合格数量最有可能是978株 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二项分布、正态分布的性质及正态分布的三段区间概率公式计算即可. 【详解】由题意，得，则，， 而； 当时，满足的幼苗株高指标值符合优质种植标准的题意，即优质种植标准的质量指标值约为14.77，故A正确； 由，可知每件产品的质量指标值不低于12.14的事件概率约为0.97725，故B正确； 记这1000株互不影响生长的水稻幼苗株高样本指标值不低于12.14的件数为， 则，其中，故C错误； 恰有k株指标值不低于12.14的事件概率， 则，解得， 当时，，当时，，由此可知，指标值不低于12.14的数量最有可能是978株，故D正确， 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间向量，若，则____ 【答案】16 【解析】 【分析】首先求向量，再根据向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】，因为，所以， 所以. 故答案为： 13. 已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知渐近线方程推导的比值，再代入双曲线离心率公式计算即可. 【详解】双曲线为焦点在轴上的双曲线，其渐近线的标准形式为. 将题干给出的渐近线方程整理变形，可得，因此可得. 根据双曲线参数关系（为半焦距），离心率定义为， 代入参数关系得：  ，将代入上式计算： . 14. 唐代诗人罗隐在《咏蜂》中写道：不论平地与山尖，无限风光尽被占.采得百花成蜜后，为谁辛苦为谁甜？蜜蜂是最令人敬佩的建筑专家，蜂巢的结构十分的精密，其中的蜂房均为正六棱柱状.如图是蜂房的一部分，一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房A只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房……以此类推，用表示蜜蜂爬到n号蜂房的方法数，设集合，集合B是集合S的非空子集，则B中所有元素之和为奇数的概率为________ 【答案】 【解析】 【分析】先抓数列奇偶规律，再用组合计数的核心性质破题，两步转化把复杂问题简化为基础的指数运算 【详解】由题意，蜜蜂爬到1号蜂房方法数，爬到2号蜂房方法数． 对于，，有，依次计算得，，…． 观察数列：1，2，3，5，8，13，21，34，…，发现，，，…为偶数，即项（）时为偶数． 在中，，，所以偶数项有675项，奇数项有项． 集合S的非空子集个数为． 对于集合B，其元素之和为奇数时，B中奇数项个数为奇数个，偶数项个数任意． 从675个偶数项中选元素的组合数为种，从1349个奇数项中选奇数个元素的组合数为． 满足条件的B的个数为． 所以B中所有元素之和为奇数的概率． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列中，，当时，为的展开式第3项的二项式系数. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，数列的前项和为，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由二项式定理写出数列的通项公式； （2）应用裂项相消法求，结合单调性证明结论. 【小问1详解】 由题意，时为的展开式第3项的二项式系数， 所以，且，故； 【小问2详解】 由（1）， 当时，， 因为满足上式，所以对恒成立， 易知在上单调递增， ，，所以. 16. 如图，正方体中，点在棱上. （1）求证：； （2）设在上，且，是否在上存在点，使平面平面，若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）存在，点为的中点. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用直线方向向量数量积即可得证； （2）求出两个平面的法向量，根据数量积为0计算是否有解即可. 【小问1详解】 以点为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 设正方体的棱长为1，则，,， 设，则,， 所以，所以， 故. 【小问2详解】 设满足条件的点，设平面的一个法向量， 因为,， 则，即， 取，得， 由M在上，且，则， 设平面的一个法向量， ,， 则即， 取，得， 平面⊥平面，则，解得或（舍）， 所以当，即为的中点时，平面⊥平面. 17. 抛物线C：与直线：相切． （1）求抛物线C的方程． （2）设抛物线C的焦点为F，过F的直线交C于A，B，点满足，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立直线的方程与抛物线C的方程，利用判别式为0，求出p的值，从而可得答案； （2）设， 联立可得，利用韦达定理建立方程以及平面向量的数量积列式求解m的值即可. 【小问1详解】 联立，可得， 因为直线与相切， 所以， 抛物线C的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知， 设， 联立可得， 设，可得 ∵，∴ 因为,，所以， 则， 所以 即 所以，即， 解得， ， 即. 18. 高考数学试卷评阅采用“双评仲裁”的方式，具体规则如下：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分.高考的第一道大题为基础题，不少同学的结果正确，但由于书写潦草，步骤不规范等原因，实际得分往往达不到满分，我校为了解学生的答题书写情况，开展了一次测评，针对这道满分13分的大题，选取了大量“结果正确”的试卷，由数十名阅卷老师按照高考阅卷规则进行评阅，规定每位老师给出的分数仅在13分、12分、11分中取值，经统计，各分数对应的比例如下表所示，以频率视为概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响. 教师评分 13 12 11 各分数所占比例 甲同学上交了一道“结果正确”的题参与本次测评. （1）求此题需要仲裁的概率； （2）求此题在一评、二评两位老师给分不同的条件下，最终得了满分的概率； （3）求此题得分的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2） （3）的分布列为: 11 11.5 12 12.5 13 所以 【解析】 【分析】（1）所有可能得评分组合中，差的绝对值大于1的情况仅为，一评11，二评13或一评13，二评11，由此求解即可； （2）先计算一评二评给分相同的概率，再计算一评二评给分不同的概率，即可求解； （3）由随机变量可能的取值，分别求出对应的概率，列出分布列，求出数学期望. 【小问1详解】 根据规则，只有当一评，二评的分数差绝对值大于1时，才需要仲裁， 所有可能得评分组合中，差的绝对值大于1的情况仅为，一评11，二评13或一评13，二评11， 两种情况的概率之和为：. 【小问2详解】 设事件为“一评，二评给分不同”，事件为“最终得满分13分”， 一评二评给分相同的概率为, 因此，， . 【小问3详解】 由题意可得的可能取值为：，，，，， 则， ， ， ， 所以的分布列为: 11 11.5 12 12.5 13 所以. 19. 已知，函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值为，求的值； （3）当时，函数在上的零点按从小到大排列构成一个数列，记为，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合的极小值为可求得实数的值； （3）先判断当时，无零点；依题分析当时，分和两种情况分析，在时，存在，使，分析得出；在时，同理可证，，构造函数，分析该函数在上的单调性，由可得，借助于，即可证明. 【小问1详解】 当时，，所以，切点为， 则，所以， 则曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 因为，则， ①当时，由，得， 由得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值，解得不符合题意； 当时，由，得或， ②当时，即时， 由得或；由，得， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值，不符合题意； ③当时，即时，恒成立，函数无极值，不符合题意； ④当，即时，由，得或；由，得， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则函数在处取得极小值，解得，符合题意， 综上所述，. 【小问3详解】 因为，令，即， 因为，所以等价于，令，其中， 当，时，恒成立，此时无零点， 当，时，， 令，则， （i）若，则，由可得，由可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 而，，， 故存在，使， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 而，，，存在，使得， 故的零点； （ii）当，， 当时，因为， 由可得，由可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， ， 故存在，使， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 由，当时，， 所以在上单调递增，， 所以， 又因为，， 故的零点，， 由（i）（ii）有，， 因为是的零点，即，所以， 令，因为，当，， 所以在上单调递减， 又因为，所以，即， 因为， 而，， 所以，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $