精品解析：2026年吉林省长春市朝阳区长春外国语学校 九年级中考网上阅卷模拟练习 数学

长春外国语学校2026年初三年级中考网上阅卷模拟练习数学 本试卷包括三道大题，共6页．全卷满分为120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 3．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 质检员抽查4袋方便面，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的产品是（　　） A. -3 B. -1 C. 2 D. 4 2. 下面的多边形中，内角和等于外角和的是（ ） A. B. C. D. 3. 钟表这个时刻，时针与分针所成的角度为（ ） A. B. C. D. 4. 若，，则下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小春荡秋千，秋千的链子长度为米，当秋千向两边摆动时，摆过的角度，且两边摆动的角度相同，则它摆至最高位置时与摆至最低位置时的高度之差为（ ）． A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 为了估计某种新型催化剂在化学反应中的有效催化概率，兴趣小组通过实验，记录了如下催化情况： 实验总次数 有效催化频数 有效催化频率 由此可估计该新型催化剂的有效催化概率约为（结果精确到）（ ） A. B. C. D. 7. 将四边形按如图所示的折纸方法展开后，下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流与电阻之间的函数关系如图所示．若以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过，原电路中已经有一个的定值电阻，应再串联一个电阻才可以保证电路安全，则这个电阻至少为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 平方根等于它本身的数是______． 10. 因式分解：__________． 11. 比较角度的大小：________．（填“”“”或“”） 12. 请写出一个开口向下，并且与y轴交于点的抛物线的表达式：______． 13. 如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为，则的面积为________． 14. 如图，是等腰直角三角形，，点是底边上一点（不与、重合），将点绕点逆时针旋转得到点，连接、，给出下面四个结论： ①； ②； ③线段长度的最大值为； ④面积的最大值为． 上述结论中，正确结论的序号有________． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的砝码后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为，，，的四件砝码中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，用画树状图（或列表）的方法，求天平恢复平衡的概率． 17. 在平行四边形中，点F、H分别在边上，且．求证：与互相平分 18. 为了改善富春河的周围环境，践行“绿水青山就是金山银山”理念，县政府决定，将该河上游A地的一部分牧场改为林场．改变后，预计林场和牧场共有，牧场面积是林场面积的20%．请你算一算：改变后林场和牧场的面积各为多少公顷？ 19. 图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长为的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上，且三边均为无理数． （1）在图①中，的面积为； （2）在图②中，的面积为； （3）在图③中，的面积为． 20. “健康管理年”掀起全民健身热潮，健康生活方式成新风尚，长春市某学校在八年级和九年级开展了“食动并行，体质并重”的健康知识竞赛，并从八年级和九年级的学生中分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩（百分制），通过收集、整理、描述和分析（得分用表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．），得到如下信息； 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 八年级抽取的竞赛成绩在组中的数据为：，，，，， 九年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为：，，，，；，，，，，，，，，，，，，， 请根据以上信息完成下列问题： （1）补全八年级的条形统计图； （2）写出表中、的值：________，________； （3）规定90分及以上为优秀，该校八年级参加此次竞赛的学生有人，九年级参加此次竞赛的有人，请你估计八年级和九年级参加此次竞赛的学生中成绩为优秀的共有多少人？ 21. 某服务区有甲、乙两种品牌的充电桩．甲品牌充电桩每分钟收费0.3元．甲、乙两品牌的充电桩收费y（元）与使用时间，x（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）a的值为______； （2）当时，求乙充电桩收费y与x之间的函数表达式； （3）已知两种品牌的充电桩的平均充电速度为每小时3千瓦时，若小明的电车需要4.5千瓦时的电量，通过计算说明小明选择哪个品牌的充电桩更省钱． 22. 【问题呈现】小明遇到这样一个问题：如图①，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且．连接、，将四边形沿直线翻折，得到四边形．连接，求线段长度的最小值． 【问题解决】如图②，连接交于点，小明利用，发现点为定点，由可确定点的运动轨迹．以下是小明的证明过程： 证明：连接、、， ， ________． 由翻折，得， 点在以点________为圆心，长为半径的圆弧上运动． 请完成下列问题： （1）补全上述证明过程及填空： （2）线段的长度为________，线段长度的最小值为________； （3）【拓展应用】在【问题呈现】的条件下，如图③，点是边上任意一点，连接，，则的最小值为________． 23. 如图①，在矩形中，，，连结．点为线段上一动点（与不重合），以点为圆心，长为半径在上方作半圆，交射线于点． （1）线段的长为________； （2）当点在半圆上时，求线段的长； （3）连接，将沿折叠，得到，连接． ①用圆规和无刻度的直尺在图②中画出取最小值时的半圆，并画出；（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑） ②当取最小值时线段的长为________，半圆与的位置关系是________； （4）当半圆与的边有个交点时，直接写出线段长的取值范围． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点是该抛物线上的两点，横坐标分别为、．过点作垂直于轴的直线，过点作垂直于轴的直线，两条直线交于点，以为对角线作． （1）求该抛物线所对应的函数表达式； （2）当时，求的值； （3）当线段与抛物线有交点时（异于点），设这个交点为，连结． ①当将的面积分成相等的两部分时，求点的坐标； ②当时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春外国语学校2026年初三年级中考网上阅卷模拟练习数学 本试卷包括三道大题，共6页．全卷满分为120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 3．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 质检员抽查4袋方便面，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的产品是（　　） A. -3 B. -1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】∵|-3|=3，|-1|=1，|2|=2，|4|=4， 1＜2＜3＜4， ∴-1的一袋方便面最接近标准质量， 故选B． 【点睛】本题考查了正负数大小的比较，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 2. 下面的多边形中，内角和等于外角和的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的内角和，外角和，三角形内角和，任意多边形的外角和都等于，所以当内角和等于外角和时，内角和等于，利用公式求出多边形内角和即可． 【详解】解：A、三角形的内角和等于，任意多边形的外角和等于，故三角形的内角和与外角和不相等，那么A不符合题意； B、四边形的内角和等于，任意多边形的外角和等于，故四边形的内角和和外角和相等，那么B符合题意； C、五边形的内角和等于，任意多边形的外角和等于，故五边形的内角和与外角和不相等，那么C不符合题意； D、六边形的内角和等于，任意多边形的外角和等于，故六边形的内角和与外角和不相等，那么D不符合题意； 故选：B． 3. 钟表这个时刻，时针与分针所成的角度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查钟面角，熟练掌握钟面角的计算是解题的关键；根据钟面的每一大格为，即可求解． 【详解】解：∵在时，时针指向8，分针指向12， ∴时针与分针所成的角度为； 故选C． 4. 若，，则下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可． 【详解】解：∵a＞b＞0，c≠0， ∴a-c＞b-c， ∴选项A不符合题意； ∵a＞b＞0，c≠0， ∴， ∴选项B不符合题意； ∵a＞b＞0，c≠0， ∴-2a＜-2b， ∴选项C不符合题意； ∵a＞b＞0，c≠0， ∴， ∴选项D符合题意． 故选D． 【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变． 5. 如图，小春荡秋千，秋千的链子长度为米，当秋千向两边摆动时，摆过的角度，且两边摆动的角度相同，则它摆至最高位置时与摆至最低位置时的高度之差为（ ）． A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，过点作，先根据题意，推出，并判断最高点和最低点，再根据等腰三角形求出，运用解直角三角形求出，进一步求出，最后证明四边形为矩形，求出，即可求解． 【详解】过点作，过点作， ∵秋千的链子长度为米， ∴， ∵摆过的角度， ∴点、点为最高处， ∵当时，与交于点， ∴点为最低处， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴秋千摆至最高位置时与摆至最低位置时的高度之差为． 6. 为了估计某种新型催化剂在化学反应中的有效催化概率，兴趣小组通过实验，记录了如下催化情况： 实验总次数 有效催化频数 有效催化频率 由此可估计该新型催化剂的有效催化概率约为（结果精确到）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：当实验次数越大时，频率越稳定，越接近真实概率，本题中最大实验总次数为，对应有效催化频率为，又 题目要求结果精确到，，且随实验次数增加，频率逐渐稳定在附近， 估计该新型催化剂的有效催化概率约为， 故选：C． 7. 将四边形按如图所示的折纸方法展开后，下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据折叠性质得出，得出，证明，即可得出结论． 【详解】解：由折叠得：， ，故A、B都一定正确； ， ， ， ， ，故C一定正确； 无法得出，故D不一定正确． 8. 蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流与电阻之间的函数关系如图所示．若以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过，原电路中已经有一个的定值电阻，应再串联一个电阻才可以保证电路安全，则这个电阻至少为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用待定系数法求出反比例函数解析式，根据函数解析式求值即可． 【详解】解：从图中可以看出：与呈反比例函数关系， ∴设， 将代入，解得：， ∴， ∵蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过， ∴，解得：， ∵已经有一个的定值电阻， ∴ ∴则至少应再串联一个的电阻． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 平方根等于它本身的数是______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查平方根，熟知平方根的定义是解题的关键．如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根．任何正数a的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根仍旧是零；负数没有平方根． 【详解】解：平方根等于它本身的数是0， 故答案为：0． 10. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：=； 故答案为 11. 比较角度的大小：________．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】利用进行换算后再比较大小． 【详解】∵，即， 又∵， ∴． 12. 请写出一个开口向下，并且与y轴交于点的抛物线的表达式：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】写出一个二次函数，使其二次项系数为负数，常数项为2即可． 【详解】解：根据题意得：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键． 13. 如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为，则的面积为________． 【答案】8 【解析】 【详解】解：点、、分别是、、的中点， 、、， 是的中线， ， ， ． 14. 如图，是等腰直角三角形，，点是底边上一点（不与、重合），将点绕点逆时针旋转得到点，连接、，给出下面四个结论： ①； ②； ③线段长度的最大值为； ④面积的最大值为． 上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】连接、，先根据等腰直角三角形的性质求出的值，再根据等腰直角三角形的性质结合旋转的性质证明，即可判断①②的结论，然后设， ，根据勾股定理求出，即可根据二次函数的最值判断③的结论，最后根据三角形的面积公式求出，即可根据二次函数的最值判断④的结论． 【详解】如图，连接、， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵在中，， ∴根据勾股定理，， ∵点绕点逆时针旋转得到点， ∴，， ∴， ∵在和中， ∴， ∴，，故①符合条件； ∴，故②符合条件； ∵， ∴设，则， ∵在中，，， ∴根据勾股定理，， ∵， ∴有最小值，的最小值为， ∴的最小值为，故③不符合条件； ∵， ∵， ∴有最大值，的最大值为，故④符合条件； 综上，正确结论的序号有①②④． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的运算法则化简，然后将x的值代入计算即可． 【详解】解：原式 当时，． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是运用分式混合运算法则进行化简． 16. 在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的砝码后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为，，，的四件砝码中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，用画树状图（或列表）的方法，求天平恢复平衡的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题综合了天平的背景，可知当天平左右两端的砝码重量相等时，天平平衡，于是可求得选取的两件砝码的重量之和应该为，用画树状图或列表的方法求概率即可． 【详解】解：由题意，得天平恢复平衡的概率即选取两件砝码的重量之和为的概率， 列表如下：（单位：g） 第二件砝码 第一件砝码 10 20 30 40 10 20 30 40 由表可知，共有12种等可能的情况，其中两件砝码的重量之和为的情况有4种， 故天平恢复平衡的概率为． 17. 在平行四边形中，点F、H分别在边上，且．求证：与互相平分 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据定理证得即可得到结论． 【详解】证明：如图，设与交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴和互相平分． 18. 为了改善富春河的周围环境，践行“绿水青山就是金山银山”理念，县政府决定，将该河上游A地的一部分牧场改为林场．改变后，预计林场和牧场共有，牧场面积是林场面积的20%．请你算一算：改变后林场和牧场的面积各为多少公顷？ 【答案】改变后林场面积为，牧场面积为． 【解析】 【分析】根据等量关系为：林场面积+牧场面积；牧场面积＝林场面积．根据这两个等量关系，可列方程组，解出即可得出答案． 【详解】解：设改变后林场面积为，牧场面积为， 根据题意，列出方程组为． 解得：． 答：改变后林场面积为，牧场面积为． 19. 图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长为的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上，且三边均为无理数． （1）在图①中，的面积为； （2）在图②中，的面积为； （3）在图③中，的面积为． 【答案】（1）如图所示： （2）如图所示： （3）如图所示： 【解析】 【小问1详解】 解：由网格的特性可知，、、， 、， ， 是直角三角形， ， ； 【小问2详解】 解：同（1）可证明是直角三角形， 、， ； 【小问3详解】 解：同（1）可证明是直角三角形， 、， ． 20. “健康管理年”掀起全民健身热潮，健康生活方式成新风尚，长春市某学校在八年级和九年级开展了“食动并行，体质并重”的健康知识竞赛，并从八年级和九年级的学生中分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩（百分制），通过收集、整理、描述和分析（得分用表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．），得到如下信息； 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 九年级 八年级抽取的竞赛成绩在组中的数据为：，，，，， 九年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为：，，，，；，，，，，，，，，，，，，， 请根据以上信息完成下列问题： （1）补全八年级的条形统计图； （2）写出表中、的值：________，________； （3）规定90分及以上为优秀，该校八年级参加此次竞赛的学生有人，九年级参加此次竞赛的有人，请你估计八年级和九年级参加此次竞赛的学生中成绩为优秀的共有多少人？ 【答案】（1）如图所示： （2）87；88 （3）796 【解析】 【分析】（1）求出八年级D组的人数，再补全条形图即可； （2）利用中位数和众数的定义求解即可； （3）利用“样本估计总体”的方法求解即可． 【小问1详解】 解：八年级D组的人数为人， 补全八年级的条形统计图见答案； 【小问2详解】 解：八年级成绩的中位数为排序后的第10位和第11位的平均数， 由条形图可知，八年级的中位数位于B组， 将八年级组中的成绩从小到大排列为：，，，，，， 则第10位和第11位分别为86、88， 即中位数； 由于九年级抽取的所有学生竞赛成绩数据中88出现3次，出现次数最多， 则众数； 【小问3详解】 解：人 答：八年级和九年级参加此次竞赛的学生中成绩为优秀的共有796人． 21. 某服务区有甲、乙两种品牌的充电桩．甲品牌充电桩每分钟收费0.3元．甲、乙两品牌的充电桩收费y（元）与使用时间，x（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）a的值为______； （2）当时，求乙充电桩收费y与x之间的函数表达式； （3）已知两种品牌的充电桩的平均充电速度为每小时3千瓦时，若小明的电车需要4.5千瓦时的电量，通过计算说明小明选择哪个品牌的充电桩更省钱． 【答案】（1）6； （2）； （3）乙品牌的充电桩更省钱 【解析】 【分析】（1）先求出甲充电桩收费的函数解析式，进而即可求解； （2）根据函数图象，用待定系数法求解即可； （3）分别求出两种品牌充电桩的费用，即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵甲品牌充电桩每分钟收费0.3元， ∴甲充电桩收费， 当时，； 【小问2详解】 解：设乙充电桩收费y与x之间的函数表达式为：, 把代入上式：，解得：， ∴； 【小问3详解】 解：（小时）（分钟）， 甲品牌充电桩收费：， 乙品牌充电桩收费：， ， 答：乙品牌的充电桩更省钱． 22. 【问题呈现】小明遇到这样一个问题：如图①，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且．连接、，将四边形沿直线翻折，得到四边形．连接，求线段长度的最小值． 【问题解决】如图②，连接交于点，小明利用，发现点为定点，由可确定点的运动轨迹．以下是小明的证明过程： 证明：连接、、， ， ________． 由翻折，得， 点在以点________为圆心，长为半径的圆弧上运动． 请完成下列问题： （1）补全上述证明过程及填空： （2）线段的长度为________，线段长度的最小值为________； （3）【拓展应用】在【问题呈现】的条件下，如图③，点是边上任意一点，连接，，则的最小值为________． 【答案】（1） ；； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质证明，直接可得的比值；由翻折性质得，所以到定点距离等于定长的点的轨迹是圆，确定圆心； （2）利用勾股定理求出长，进而求出长，过点C作于点，利用“等面积法”求出点G和点E重合，从而求出长；过点A作于点H，利用“等面积法”求出长，利用勾股定理求出长，当A、、E三点共线时，有最小值，据此求解即可； （3）作点D关于的对称点，则，进而得到，连接，当点、、三点共线时，有最小值，最小值为，过点E作于点N，证明，则，进而求出、长，利用勾股定理求出长，从而求出的最小值． 【小问1详解】 证明：连接、、， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 由翻折，得， 点在以点为圆心，长为半径的圆弧上运动； 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ， 、、， ， 由（1）知，， ， ， 过点C作于点， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 点G和点E重合， ； 过点A作于点H， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得： 当A、、E三点共线时，有最小值， 最小值为； 【小问3详解】 解：作点D关于的对称点， 垂直平分、， 点M在上， ， ， 连接，当点、、三点共线时，有最小值，最小值为， 过点E作于点N， 、， ， ， ， ， ， 、， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即的最小值为． 【点睛】本题考查矩形的性质、相似三角形判定与性质、轴对称的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． 23. 如图①，在矩形中，，，连结．点为线段上一动点（与不重合），以点为圆心，长为半径在上方作半圆，交射线于点． （1）线段的长为________； （2）当点在半圆上时，求线段的长； （3）连接，将沿折叠，得到，连接． ①用圆规和无刻度的直尺在图②中画出取最小值时的半圆，并画出；（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑） ②当取最小值时线段的长为________，半圆与的位置关系是________； （4）当半圆与的边有个交点时，直接写出线段长的取值范围． 【答案】（1）5 （2） （3）①，②，相切 （4）或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，得到，利用勾股定理即可求解； （2）画出图形，连接，利用，在中，利用勾股定理求解即可； （3）①由折叠的性质得到，即，，当点O在运动过程中，的长度和的长度是固定不变的，由此可以得到当点B、P、D三点共线时，的长度最短，即有最小值，最小值为，②此时，再根据正弦的定义即可求解； （4）根据题意，分为当半圆O与有2个交点；当点半圆O与有1个交点，与有1个交点；当点半圆O与有1个交点，与有1个交点；三种情况讨论，分别求出半径的范围，即可得到取值范围． 【小问1详解】 ，四边形是矩形， ， 在中，， 【小问2详解】 如图，当点在半圆上时，连接， 此时， 设， 在中，， 即， 解得， 线段的长为． 【小问3详解】 ①由折叠的性质得：， ，， 点在运动过程中， 的长度和的长度是固定不变的，如图， ， 当点三点共线时，的长度最短，即有最小值，最小值为， ②由（1）知， ， ， ， 当取最小值时，线段的长为， 此时，，则， ∴半圆与的位置关系是相切． 【小问4详解】 解：如图1，当半圆与相切时，此时半圆O与的边有1个交点，即为切点，设切点为H，连接， ，， ， ， 如图2，当点Q与点B重合时，此时半圆O与的边有2个交点， 此时，为半圆O的直径， ， 当时，半圆O与有2个交点，即半圆O与的边有2个交点； 如图3，此时，半圆O与有1个交点，与有1个交点， 如图4，当半圆O与相切时，此时半圆O与的边有3个交点，设与半圆O相切点为M，连接， 此时， 当时，半圆O与有1个交点，与有1个交点， 即半圆O与的边有2个交点； 如图5，当半圆O经过点A时，此时半圆O与的边有3个交点；连接， 由（2）知，， 如图6，当点O与点B重合时，此时点O停止运动， ， 当时，半圆O与有1个交点，与有1个交点， 即半圆O与的边有2个交点； 综上，半圆O与的边有两个交点时，或． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点是该抛物线上的两点，横坐标分别为、．过点作垂直于轴的直线，过点作垂直于轴的直线，两条直线交于点，以为对角线作． （1）求该抛物线所对应的函数表达式； （2）当时，求的值； （3）当线段与抛物线有交点时（异于点），设这个交点为，连结． ①当将的面积分成相等的两部分时，求点的坐标； ②当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）代入点到，求出的值即可解答； （2）当时，、的横坐标分别为1、3，分别求出的坐标，进而得出点的坐标，再利用正切的定义即可求解； （3）①根据线段与抛物线有交点时（异于点），得出的中点的横坐标在对称轴的左侧且在对称轴的右侧，则有，结合将的面积分成相等的两部分，得到，再根据抛物线的对称性列出关于的方程，即可求出点的坐标；②根据题意可得恒成立，进而求得时，，根据勾股定理得到，列出关于的方程，求得，再结合图象以及①中的结论，即可求解． 【小问1详解】 解：代入点到，得， 解得， ∴该抛物线所对应的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，、的横坐标分别为1、3， 当时，， 当时，， ∴，， ∵过点作垂直于轴的直线，过点作垂直于轴的直线，两条直线交于点， ∴，， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：①，对称轴为直线， 依题意，点横坐标分别为、， 当线段与抛物线有交点时（异于点），由题意可知，不重合， 则的中点的横坐标在对称轴的左侧且在对称轴的右侧， ∴且， ∴， 此时， ∵将的面积分成相等的两部分， ∴， ∴， ∴点是的中点，则其横坐标为， 由抛物线的对称性可知，点与点关于直线对称， ∴， 解得， ∴点的横坐标为， 当时，， ∴点的坐标为； ②∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴恒成立， 当时，则， ∴， 如图， ∵点与点关于直线对称， ∴点的横坐标为， ∴，， 当时，， 当时，， ∴， 在中， 又， ∴， 解得：或， 由①知，，则， 由图象可得，当时，， ∴的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $