北师大版2025-2026学年第二学期期末八年级数学试卷

**基本信息** 立足北师大版八年级下册核心知识，通过因式分解、图形性质等基础题巩固抽象能力与运算能力，综合题如防疫口罩购买、旋转探究发展模型意识与几何直观，适配期末检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|因式分解、分式、图形对称性等|第9题工程问题考查模型意识| |填空题|4/20|多边形内角和、分式方程增根等|第13题角平分线面积体现几何直观| |解答题|9/90|不等式应用、旋转探究等|20题防疫口罩购买结合实际，23题旋转综合发展推理能力|

2025-2026学年第二学期 八年级数学期末检测试卷 （北师大2025年12月第1版） 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 2.若分式的值为0，则的值是（ ） A. B. C. D. 3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 正五边形 D. 矩形 4.等腰三角形的一个内角是，则它的底角的度数是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 5.不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 6.如图， 在中，，点、分别是、的中点，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7.将点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8.下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（ ） A. B. C. D. 9.某工程队承接了60万平方米的绿化工程，由于采用新的施工方式，实际每天工作效率比原计划提高了20%，结果提前20天完成任务。设原计划每天绿化万平方米，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10.如图， 在中，，，为中点，于点，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11.一个多边形的内角和是外角和的3倍，这个多边形的边数是______。 12.若关于的分式方程有增根，则的值为______。 13.如图，在中，，平分，交于点，若，，则的面积为______。 14.若不等式组有解，则的取值范围是______。 三、解答题（本大题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（8分）因式分解： （1) ； （2) 。 16.（8分）解不等式组，并写出它的整数解。 17.（8分）先化简，再求值：，其中。 18.（8分）如图，在中，点、分别在、上，且。 求证：四边形是平行四边形。 19.（10分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，。 （1) 将向左平移4个单位长度，画出平移后得到的，并写出点的坐标； （2) 画出绕原点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标。 20.（10分）为了做好校园防疫工作，学校计划购买、两种型号的口罩，已知购买2个型口罩和3个型口罩共需27元；购买3个型口罩和2个型口罩共需28元。 （1) 求型口罩和型口罩的单价； （2) 学校准备购买两种型号的口罩共500个，且型口罩的数量不少于型口罩数量的。请设计出最省钱的购买方案，并说明理由。 21.（12分）如图，在中，是边上的中点，，交于点，且。 （1) 求证：； （2) 若，，求的长度。 22.（12分）阅读理解①：若，都是非负实数，则．当且仅当时，“”成立． 证明：， ． ，当且仅当时，“”成立． 举例应用：已知，求函数的最小值． 解：，当且仅当，即时，“”成立． 当时，函数取得最小值，． 阅读理解②：分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式，例如，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如：． 问题解决： （1）若，只有当 　 　 时，有最小值 　　 ； （2）求函数的最小值； （3）已知：如图，，，为第四象限内一点，且满足，过点作轴于点，轴于点．当四边形面积的最小时，求出此时点坐标，并直接写出此时四边形的形状． 23.（14分）综合与实践 【知识研究】旋转图形中对应线段所在直线的夹角（小于等于的角）与旋转角的关系． 【初步初探】线段绕点顺时针旋转得线段，其中点与点对应，点与点对应，旋转角的度数为，且． （1）如图（1）当时，线段、所在直线夹角为 　 　； （2）如图（2）当时，线段、所在直线夹角为 　　； （3）如图（3），当时，直线与直线夹角与旋转角存在着怎样的数量关系？请说明理由； 【形成结论】旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角 　 　； 【延伸探究】运用所形成的结论求解下面的问题： （4）如图（4），四边形中，，，，，，试求的长度． 参考答案： 1.答案：D 解析：A选项错误，正确应为；B选项错误，正确应为；C选项错误，正确应为；D选项先提公因式2，再用平方差公式，分解正确。 2.答案：A 解析：分式值为0的条件是分子为0且分母不为0。由得，代入分母，符合条件。 3.答案：D 解析：等边三角形和正五边形是轴对称图形但不是中心对称图形；平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；矩形既是轴对称图形（2条对称轴）又是中心对称图形（对称中心为对角线交点）。 4.答案：B 解析：分两种情况讨论：①当角为底角时，底角为；②当角为顶角时，底角为，因此底角度数为或。 5.答案：A 解析：解第一个不等式得，解第二个不等式得，因此解集为。 6.如图， 6.答案：C 解析：根据平行四边形性质，。、分别是、的中点，由三角形中位线定理，是的中位线，因此。 7.答案：A 解析：点平移规律：横坐标右加左减，纵坐标上加下减。向右平移3个单位，横坐标变为；向下平移2个单位，纵坐标变为，因此坐标为。 8.答案：D 解析：A选项可分解为（完全平方公式）；B选项可分解为（完全平方公式）；C选项可分解为（平方差公式）；D选项前三项可合并为，整体为，不符合平方差公式特征，无法用公式法分解。 9.答案：B 解析：原计划工作时间为天，实际工作效率为万平方米/天，实际工作时间为天。根据提前20天完成，可列方程为原计划时间减去实际时间等于20，即。 10.答案：A 解析：连接，由等腰三角形三线合一性质，，。 在中，，因此，由勾股定理得，代入，解得。在中，，因此，再由勾股定理得，因此。 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11.答案：8 解析：多边形外角和恒为，设边数为，则内角和为。根据题意列方程：，解得。 12.答案：3 解析：分式方程增根是使分母为0的根，即。方程两边同乘得，将代入得。 13.答案：15 解析：过作于，由角平分线性质，。 因此的面积为。 14.答案： 解析：解第一个不等式得，解第二个不等式得。不等式组有解的条件是两个解集有公共部分，因此，即。 三、解答题（本大题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.答案：（1) （2) 解析：（1) 先提公因式，得，再用完全平方公式分解为。 （2) 先用平方差公式分解为，再分别用完全平方公式分解为。 解：（1) 。 （2) 。 16.答案：解集为，整数解为2、3。 解析：解第一个不等式：，，。 解第二个不等式：两边同乘3得，移项得。 因此解集为，整数解为2、3。 解：解不等式①：，，。 解不等式②：两边同乘3得，移项，得。 因此原不等式组的解集是，整数解为2、3。 17.答案：化简结果为，代入得值为。 解析：先对括号内通分： 代入： 。 解： 当时， 原式＝。 18.解析：因为四边形是平行四边形，所以且。 又因为，所以，即。 又因为（），所以一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，因此四边形是平行四边形。 证明：∵四边形是平行四边形， ∴且。 又∵， ∴，即。 又∵（）， ∴四边形是平行四边形。（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 19.答案：（1) 坐标为，画图略；（2) 坐标为，画图略。 解析：（1) 平移规律：横坐标减4，纵坐标不变，因此平移后为。 （2) 点绕原点顺时针旋转后的坐标为，因此旋转后为。 解：（1) 平移规律：横坐标减4，纵坐标不变，因此平移后为。 （2) 点绕原点顺时针旋转后的坐标为，因此旋转后为。 20.答案： （1) 型口罩单价6元，型口罩单价5元； （2) 购买型口罩125个，型口罩375个时最省钱。 解：（1) 设型口罩单价为元，型口罩单价为元，列方程组： 解得。 （2) 设购买型口罩个，则购买型口罩个，总费用为元。 由题意得，解得。 总费用， 因为的系数，所以随的增大而增大， 因此当取最小值125时，最小，此时。 即购买型口罩125个，型口罩375个时最省钱。 21.答案：（1) 证明见解析；（2) 。 解：（1) 如图，连接， ∵是中点且， ∴是的垂直平分线， ∴。 ∵， ∴，即， ∴（勾股定理逆定理）。 （2) ∵， ∴。 在中，，，由勾股定理得。 设，则。 在中，，即， 展开得，，解得。 ∴ 。 22.解：（1）， 当时，的最小值为2， ，． 故答案为：2，2； （2）， ∴最小值为4； （3）设，则，， ， 当且仅当 时等号成立，此时， ，， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形． 23.（14分）解：（1）如图1，延长交于，交于， 。 线段绕点顺时针旋转得线段， ，，， ， 。 ，， 故答案为：。 （2）如图1，延长交于，交于， ，。 线段绕点顺时针旋转得线段， ，，， ， 。 ，， 。 故答案为： （3）直线与直线所夹锐角角与旋转角互补， 理由如下： 如图，延长，交于点， 线段绕点顺时针旋转得线段， ，，， ， 。 ， ， ， 。 直线与直线所夹锐角角与旋转角互补。 【形成结论】 由（1）（2）（3）可知：旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的所夹锐角角与旋转角：相等或互补。 故答案为：相等或互补。 【延伸探究】 （4）如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接， ，， ，，， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ， 。 学科网（北京）股份有限公司 $