精品解析：福建省厦门市海沧区北附学校2025-2026学年第二学期4月份九年级数学模拟二试题

福建省厦门市海沧区北附学校2025-2026学年第二学期4月份九年级数学模拟二试题 （满分150分：完成时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息、核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号、非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 中国的领水面积约为370000km2，将数370000用科学记数法表示为（　　） A. 37×104 B. 3.7×104 C. 0.37×106 D. 3.7×105 2. 如图所示的立体图形的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列点中，在函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，，点在边上，平分．下列角中，与相等的是（ ） A. B. C. D. 6. 某初中校有七、八、九三个年级．学期初，校医随机调查了的七年级学生的身高，并计算出这些学生的平均身高为米．下列估计最合理的是（ ） A. 该校学生的平均身高约为米 B. 该校七年级学生的平均身高约为米 C. 该校七年级女生的平均身高约为米 D. 该校七年级男生的平均身高约为米 7. 根据物理学规律，如果把一个小球从地面以的速度竖直上抛，那么小球经过离地面的高度（单位：）为．根据该规律，下列对方程的两根与的解释正确的是（ ） A. 小球经过约离地面的高度为 B. 小球离地面的高度为时，经过约 C. 小球经过约离地面的高度为，并将继续上升 D. 小球两次到达离地面的高度为的位置，其时间间隔约为 8. 如图，六边形是正六边形，点是边的中点，分别与交于点，则四边形MCDN的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9. 不等式 解集是_______________． 10. 一元二次方程，当 时，它的求根公式为：___________ 11. 小桐花元在文具店购买了一些水笔和笔记本，这两种文具的单价分别为7元/支、5元/本．设小桐购买了支水笔和本笔记本，根据已知信息，可列出方程：________． 12. 如图，在矩形中，对角线，交于点，，，则的长为________． 13. 某校初一年开展“读书月”活动，并将授予该月阅读课外书籍册以上（含册）的学生“阅读之星”的称号．初一年少先队大队委进行了随机调查，结果如表所示： 阅读册数 学生数 可以估计该年级学生获得此称号的概率是________． 14. 如图，四边形ABCD，CEFG都是正方形，点G在边CD上，它们的面积之差为51cm2，且，则DG的长为_______cm． 15. 如图1是某品牌台灯竖直摆放在水平桌面上的侧面示意图，其中为桌面（台灯底座的厚度忽略不计），台灯支架与灯管的长度都为，且夹角为（即）．若保持该夹角不变，当支架绕点顺时针旋转时，支架与灯管落在位置（如图2所示），则灯管末梢的高度会降低________． 16. 如图1，在中，．动点P，Q均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边CA向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：s）的关系如图2所示．（1）______；（2）______． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算： 18. 如图，，，，求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元． （1）求种文创产品每件的进价； （2）小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？ 21. 甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息． 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分） 日期 队员 2月 10日 2月 21日 3月 5日 3月 14日 3月 25日 4月 7日 4月 17日 4月 27日 5月 8日 5月 20日 甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96 乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85 其中，甲、乙成绩的平均数分别是；方差分别是． 信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分） 年份 2020 2021 2022 2023 2024 获奖分数线 90 89 90 89 90 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： （1）计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价； （2）计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适； （3）若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？ 22. 如图，已知与相切于点，点是上一点，且． （1）求证：与相切； （2）若，的半径为6，求的长． 23. 已知两个不相等的实数满足：． （1）如果时，求的值； （2）求证：当为任意实数时，代数式为定值． 24. 已知抛物线与y轴交于点，对称轴是直线． 直线与抛物线交于B，C两点（点B在点C的左侧），点Q是直线BC下方抛物线上的一个动点，点P在抛物线对称轴上． （1）求抛物线的表达式； （2）当点P在x轴上，且和的面积相等时，求m的值； （3）求证：当四边形是平行四边形时，不论m为何值，点Q的坐标不变． 25. 已知矩形纸片． 第1步：先将矩形纸片对折，使点A和点B重合，然后展开铺平，确定的中点E； 第2步：将边沿翻折到的位置，点的对应点为； 第3步：连接并延长，交边于点． （1）当四边形为正方形，如图1． ①用尺规作出点F，G（不写作法，保留作图痕迹）； ②求证： （2）如图2，连接并延长，交于点，当恰为的中点时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省厦门市海沧区北附学校2025-2026学年第二学期4月份九年级数学模拟二试题 （满分150分：完成时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息、核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号、非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 中国的领水面积约为370000km2，将数370000用科学记数法表示为（　　） A. 37×104 B. 3.7×104 C. 0.37×106 D. 3.7×105 【答案】D 【解析】 【分析】试题分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数. 【详解】解：370000=3.7×105． 故选D． 【点睛】本题考查科学记数法—表示较大的数 2. 如图所示的立体图形的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图即可． 【详解】解：从左边看有两层，第一层有两个正方形，第二层的左边有一个正方形，即A 选项满足题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了简单组合体的三视图，掌握从左边看得到的图形是左视图是解答本题的关键． 3. 下列点中，在函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把点坐标代入解析式，验证等式是否成立． 【详解】A．，故A符合题意； B．，不符合题意； C．，不符合题意； D．，不符合题意． 故选A． 【点睛】本题主要考查点与函数图象，点坐标与函数解析式的关系；明确点坐标满足函数解析式，则点在函数图象上是解题的关键． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项的运算法则计算即可． 【详解】解：A、，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、，不是同类项不能合并，故该选项错误； D、，故该选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5. 如图，在四边形中，，点在边上，平分．下列角中，与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义即可得出． 【详解】解： ∵平分， 故选： 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，熟练平行线的性质和角平分线的定义是解此题的关键． 6. 某初中校有七、八、九三个年级．学期初，校医随机调查了的七年级学生的身高，并计算出这些学生的平均身高为米．下列估计最合理的是（ ） A. 该校学生的平均身高约为米 B. 该校七年级学生的平均身高约为米 C. 该校七年级女生的平均身高约为米 D. 该校七年级男生的平均身高约为米 【答案】B 【解析】 【分析】根据样本估计总体进行判断即可． 【详解】解：由的七年级学生的身高的平均身高为米，可估计该校七年级学生的平均身高约为米最合理， 故选：B． 【点睛】本题考查了了由样本估计总体．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 7. 根据物理学规律，如果把一个小球从地面以的速度竖直上抛，那么小球经过离地面的高度（单位：）为．根据该规律，下列对方程的两根与的解释正确的是（ ） A. 小球经过约离地面的高度为 B. 小球离地面的高度为时，经过约 C. 小球经过约离地面的高度为，并将继续上升 D. 小球两次到达离地面的高度为的位置，其时间间隔约为 【答案】D 【解析】 【分析】根据小球经过离地面的高度（单位：）为逐项进行判断． 【详解】解：A．小球经过约离地面的高度为，故选项错误，不符合题意； B．小球离地面的高度为时，经过约或，故选项错误，不符合题意； C．小球经过约离地面的高度为，并将继续下降，故选项错误，不符合题意； D．小球两次到达离地面的高度为的位置，其时间间隔约为，故选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了用关系式表示函数，读懂题意是解题的关键． 8. 如图，六边形是正六边形，点是边的中点，分别与交于点，则四边形MCDN的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设BE的中点为O，则O为正六边形ABCDEF的中心，过点O作OQ⊥CD于Q，连接AC交BE于G，连接FD交BE于H，根据六边形是正六边形得到正六边形的边长都相等，各内角都相等，都等于120°，从而得到∠BAC=∠BCA=30°，∠AGB=∠CGB=∠FHB=∠DHE=90°，AG=CG，所以∠CAF=∠AFD=∠CDF=∠GCD=∠OGC=90°，根据直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，得到AB=2BG，可以得到四边形ACDF和四边形OGCQ都是矩形，所以AF∥GH∥CD，AF=GH=CD，OQ=CG=AG，设BG=a，则AB=2a，AP=AF=AB=×2a=a，CD=AB=a，CD=AB=2a，GH=AF=2a，根据GM∥AP得到△CGM∽△CAP和△DHN∽△DFP，可得GM=AP=a，NH=PF=a，根据线段的和差可以求出BM，MN，AG，CD的长，根据三角形面积公式和梯形面积公式即可求出S△PBM和S四边形MCDN的面积，从而得到它们的比值． 【详解】解：设BE的中点为O，则O为正六边形ABCDEF的中心，过点O作OQ⊥CD于Q，连接AC交BE于G，连接FD交BE于H，如图： ∵六边形ABCDEF是正六边形，P是AF的中点 ∴∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=∠BAF=120°，AB=BC=CD=DE=EF=AF，BE平分∠ABC，EB平分∠DEF，AP=PF ∴∠BAC=∠BCA==30°，∠AGB=∠CGB=∠FHB=∠DHE=90°，AG=CG ∴AB=2BG，∠CAF=∠AFD=∠CDF=∠GCD=∠OGC=90° ∴四边形ACDF和四边形OGCQ都是矩形 ∴AF∥GH∥CD，AF=GH=CD，OQ=CG=AG 设BG=a，则AB=2a ∴AP=AF=AB=×2a=a，CD=AB=a，CD=AB=2a，GH=AF=2a ∵GM∥AP ∴△CGM∽△CAP ∴ ∴GM=AP=a 同理可得NH=PF=a， ∴BM=BG+GM=a+a=a，MN=GH-GM-NH=2a-a-a=a 在Rt△ABG中，AG= ∴OQ=GC=AG= ∴= 故选A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识．正确作出辅助线是解题的关键． 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9. 不等式 解集是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】按照移项,系数化为一的步骤即可解题. 【详解】解： 2x6 【点睛】本题考查了解不等式,属于简单题,熟悉解不等式的一般步骤是解题关键. 10. 一元二次方程，当 时，它的求根公式为：___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用公式法解一元二次方程，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，然后写出求根公式即可． 【详解】解：当 时，它的求根公式为， 故答案为：． 11. 小桐花元在文具店购买了一些水笔和笔记本，这两种文具的单价分别为7元/支、5元/本．设小桐购买了支水笔和本笔记本，根据已知信息，可列出方程：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，找出等量关系：购买水笔的钱+购买笔记本的钱元，即可列出方程． 【详解】解：设小桐购买了支水笔和本笔记本， 根据已知信息，可列出方程：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列二元一次方程，解题的关键是正确理解题意，找出等量关系，正确列出方程． 12. 如图，在矩形中，对角线，交于点，，，则的长为________． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据矩形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据含30度角的直角三角形的性质即可得． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 13. 某校初一年开展“读书月”活动，并将授予该月阅读课外书籍册以上（含册）的学生“阅读之星”的称号．初一年少先队大队委进行了随机调查，结果如表所示： 阅读册数 学生数 可以估计该年级学生获得此称号的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】用阅读4册以上（含4册）的学生人数÷总人数求得获得“阅读之星”称号的概率即可 【详解】解：该年级学生获得此称号的概率是 故答案为：． 【点睛】本题考查概率的计算，掌握概率的计算公式正确计算是解题关键． 14. 如图，四边形ABCD，CEFG都是正方形，点G在边CD上，它们的面积之差为51cm2，且，则DG的长为_______cm． 【答案】3 【解析】 【分析】设为，为，利用面积之差为，且，得出方程组解答即可． 【详解】解：四边形，都是正方形， 设为，为， 可得：， 解得：， ， 故答案为：3． 【点睛】此题考查正方形的性质，关键是利用面积之差为，且，得出方程组解答． 15. 如图1是某品牌台灯竖直摆放在水平桌面上的侧面示意图，其中为桌面（台灯底座的厚度忽略不计），台灯支架与灯管的长度都为，且夹角为（即）．若保持该夹角不变，当支架绕点顺时针旋转时，支架与灯管落在位置（如图2所示），则灯管末梢的高度会降低________． 【答案】20 【解析】 【分析】作于点D，作于点E，则四边形是矩形，利用矩形的性质和解直角三角形的知识求出的长，如图2中，作于点F，作于点H，作于点G，则四边形是矩形，利用解直角三角形的知识求出的长度，然后用即得答案． 【详解】解：如图1中，作于点D，作于点E，则四边形是矩形， ∴，∵，∴， 在中，， ∴ ， 如图2中，作于点F，作于点H，作于点G，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴ ， ∴ ， 即灯管末梢的高度降低了． 16. 如图1，在中，．动点P，Q均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边CA向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：s）的关系如图2所示．（1）______；（2）______． 【答案】 ①. 8 ②. 12 【解析】 【分析】本题考查动点的函数图象，相似三角形的判定和性质，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键： （1）观察图象可知，当时，点与点重合，得到，利用直角三角形的面积公式进行计算，求出的值即可； （2）根据图象当时，，此时，过点作，根据面积公式求出的长，证明，列出比例式求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：（1）观察图象可知，当时，点与点重合， ∵动点P，Q均以的速度从点同时出发， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）由图象可知，当时，，此时， 过点作于点，如图：则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴； 故答案为：12． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及二次根式的化简、零指数幂、化简绝对值等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．原式利用二次根式性质，零指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果． 【详解】解： ． 18. 如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 利用“”即可证明全等； 【详解】证明：∵， ∴． ∵， ∴． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先通分计算括号内的分式加法，再将除法转化为乘法，约分得到最简结果，最后代入的值计算即可． 【详解】解：原式    ， 将代入上式得： 原式． 20. 小张计划购进两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元． （1）求种文创产品每件的进价； （2）小张决定购进A，B两种文创产品共100件，且总费用不超过550元，那么小张最多可以购进多少件种文创产品？ 【答案】（1）种文创产品每件的进价为元 （2）小张最多可以购进50件种文创产品 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键： （1）设种文创产品每件的进价为元，根据种文创产品比种文创产品每件进价多3元，购进2件种文创产品和3件种文创产品共需花费26元，列出一元一次方程进行求解即可； （2）设小张购进件种文创产品，根据总费用不超过550元，列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：设种文创产品每件的进价为元，则：种文创产品每件的进价为元， 由题意，得：， 解得：， 答：种文创产品每件的进价为元； 【小问2详解】 设小张购进件种文创产品，由（1）可知，种文创产品每件的进价为元， 由题意，得：， 解得：； 答：小张最多可以购进50件种文创产品． 21. 甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息． 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分） 日期 队员 2月 10日 2月 21日 3月 5日 3月 14日 3月 25日 4月 7日 4月 17日 4月 27日 5月 8日 5月 20日 甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96 乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85 其中，甲、乙成绩的平均数分别是；方差分别是． 信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分） 年份 2020 2021 2022 2023 2024 获奖分数线 90 89 90 89 90 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： （1）计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价； （2）计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适； （3）若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？ 【答案】（1），见解析 （2）甲，见解析 （3）选甲更合适．理由见解析 【解析】 【分析】本小题考查平均数、方差，正确求出乙的方差是解答本题的关键． （1）先求出乙的方差，然后比较即可； （2）先求出五年获奖的平均数，然后根据甲、乙十次测试成绩达到平均成绩的频数多少判断即可； （3）根据甲乙成绩的变化趋势分析即可． 【小问1详解】 ， 即． 因为， 所以， 所以甲、乙两人的整体水平相当，但乙的成绩比甲稳定． 【小问2详解】 由已知得，获奖分数线的平均数为， 从信息一可知，在集训期间的十次测试成绩中，甲达到获奖分数线的平均数的频数为4，而乙的频数为1，所以甲获奖的可能性更大，故选甲参加更合适． 【小问3详解】 选甲更合适．理由：在集训期间的十次测试成绩中，甲呈上升趋势，而乙基本稳定在原有的水平，故从发展潜能的角度考虑，选甲更合适． 22. 如图，已知与相切于点，点是上一点，且． （1）求证：与相切； （2）若，的半径为6，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】（1）延长交于点，连接，，由切线的性质得，而是的直径，所以，则，因为，所以，则，求得，即可证明与相切； （2）连接，由切线长定理得，因为，，所以，则，求得，所以． 【小问1详解】 证明：延长交于点，连接，， 与相切于点， ， 是的直径， ， ， ，， ， ， ， ， 是的半径，且， 与相切． 【小问2详解】 解：连接， 、都是的切线， ， 由（1）得， ， ， ， ，， ， ， ， 的长为8． 【点睛】此题重点考查同角的余角相等、圆周角定理、切线的判定与性质、切线长定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 23. 已知两个不相等的实数满足：． （1）如果时，求的值； （2）求证：当为任意实数时，代数式为定值． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）代入将两个式子作差，进行因式分解即可求出结果； （2）将两式作差求得与n的关系式，再将两式相加并代入该关系式化简，即可证明为定值． 【小问1详解】 解：当时，已知等式为  ，  ， 两式作差得  ， 因式分解得  ， ∵是不相等的实数 ， ∴ ， ∴等式两边同时除以，得 ； 【小问2详解】 证明：∵ ，  ， ∴两式作差得  ， ∴  ， ∵，即 ， ∴ ， ∴  ， ∵ ，  ， ∴两个相加得  ， ∵ ， ∴  ， ∵ ， ∴  ， ∴   ，即  ， ∴  ， ∴当为任意实数时，代数式为定值． 24. 已知抛物线与y轴交于点，对称轴是直线． 直线与抛物线交于B，C两点（点B在点C的左侧），点Q是直线BC下方抛物线上的一个动点，点P在抛物线对称轴上． （1）求抛物线的表达式； （2）当点P在x轴上，且和的面积相等时，求m的值； （3）求证：当四边形是平行四边形时，不论m为何值，点Q的坐标不变． 【答案】（1）抛物线的表达式是 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）代入点，与对称轴是直线两个条件，列方程即可求出抛物线的解析式； （2）分别过点A，C作的垂线，垂足为E，F，连接交于点G，根据和的面积相等，得到，再证明，证明点G是的中点，再代入点G的坐标即可； （3）先根据一元二次方程根与系数的关系，得，再根据四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标公式列方程即可． 【小问1详解】 解：将代入，得． 对称轴是直线， ， ， 抛物线的表达式是． 【小问2详解】 解法一：分别过点A，P作的垂线，垂足为E，F，连接交于点G， ． 和的面积相等， ． ． 又， ． ． 即点G是的中点， ，， 点G的坐标为． 点在直线上，得． 解法二： 设直线与y轴交于点H，与直线交于点I， ， ． 和的面积相等， ． 点H，I在直线上， 点H的坐标为，点I的坐标为． ． ． 【小问3详解】 解法一：直线与抛物线交于，两点， ． ．． 连接交于点M． 四边形是平行四边形， ，． 即． ， ． 点在抛物线上， ， 点Q的坐标为． 即点的坐标不变． 解法二： 直线与抛物线交于，两点， ． 整理，得． 解得 ，． 四边形是平行边形， ，． 根据平移的性质 ， 即． （经检验是原方程的解且符合题意）． 点在抛物线上， ， 点Q的坐标为． 即点的坐标不变． 【点睛】此题考查二次函数的性质、求一次函的解析式、动点问题，平行四边形的性质，综合性较强，难度较大．运用数形结合及方程思想是解题的关键． 25. 已知矩形纸片． 第1步：先将矩形纸片对折，使点A和点B重合，然后展开铺平，确定的中点E； 第2步：将边沿翻折到的位置，点的对应点为； 第3步：连接并延长，交边于点． （1）当四边形为正方形，如图1． ①用尺规作出点F，G（不写作法，保留作图痕迹）； ②求证： （2）如图2，连接并延长，交于点，当恰为的中点时，求的值． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①以点C为圆心，长为半径画弧，以点E为圆心，长为半径画弧，两弧交于F，连接，延长交于G即可； ②根据正方形的性质与折叠的性质得，，再证明，得，设，，则， ，+，根据勾股定理得：，解得，所以， ，即可得出结论． （2）根据矩形的性质与折叠的性质得，则，再由等腰三角形的性质和直角三角形的性质证得，设，，则，根据勾股定理，解得，代入即可求解． 【小问1详解】 解：①如图，点F，G即为所作的点，（答案不唯一） ∵，，， ∴ ∴将边沿翻折到的位置； ②四边形是正方形， ，， 由折叠可得， ，，， ，， 连接， ， ， ， 设，， 为的中点， ， ，+， 根据勾股定理得： ， 解得， ， ， ． 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，， 由折叠可得， ， ， 为的中点， 为的中点， ，， ， 即， 设，， ， 根据勾股定理， 解得， ． 【点睛】本题考查尺规作图，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，此题属中考试压轴题，综合性较强，灵活运用相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $