期末考试必考题型（四）——整式运算与方程不等式综合压轴（3大考点5类题型）- 2025-2026学年苏科版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

期末考试必考题型（四）——整式运算与方程不等式综合压轴（3大考点5类题型） 目录 一.必考点知识回顾 1 【考点一】整式运算 1 【考点二】二元一次方程组 1 【考点三】一元一次不等式（组） 1 二.必考题型精析 2 【题型 1】整式乘法与含参数方程组综合（6题） 2 【题型 2】整式乘法 + 一元一次不等式（组）综合（6题） 3 【题型 3】二元一次方程组 + 含参数不等式综合（6题） 4 【题型 4】二元一次方程组 + 一元一次不等式组整数解综合（6题） 5 【题型 5】乘法公式 + 方程不等式最值问题（6题） 6 一.必考点知识回顾 【考点一】整式运算 1、幂的运算性质逆用，结合指数关系进行代数式转化、大小比较。 2、平方差公式、完全平方公式的恒等变形与几何意义应用。 3、多项式乘法中不含指定项、取值与字母无关、多项式恒成立问题，利用系数特征求解参数。 【考点二】二元一次方程组 1、方程组错解问题、两个方程组同解问题，依托解的定义逆向求系数。 2、含参数方程组，结合解的正负性、整数性、数量比例关系，搭建与不等式的关联。 3、整体代入思想在含参方程组中的综合运用。 【考点三】一元一次不等式（组） 1、含参数不等式（组），根据整数解个数、解集包含关系确定参数范围。 2、不等式系数含参数时，结合不等式性质分类讨论。 3、结合方程、整式变形结果，求解最值类延伸问题。 二.必考题型精析 【题型 1】整式乘法与含参数方程组综合（6题） 1．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）已知关于x，y二元一次方程组． （1）解该方程组； （2）若上述方程组的解是关于x，y的二元一次方程的一组解，先化简代数式，再求它的值． 2．（23-24七年级下·全国·期中）在关于，的二元一次方程组中， （1）若，求方程组的解； （2）若，当为何值时，有最小值？是多少？ 3．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）计算下列各题： （1） （2）简便计算： （3） （4）已知关于，的二元一次方程组 ①解该方程组； ②若上述方程组的解是关于的二元一次方程的一组解，求代数式的值． 4．（24-25七年级下·北京通州·期中）已知关于的二元一次方程组，给出下列结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②当时，；③当时，；④不论取什么有理数，的值始终不变；⑤当时，．其中正确的结论有（   ） A．①②③④ B．②③④⑤ C．①③⑤ D．②④⑤ 5．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组，给出以下结论： ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，； ②当方程组的解x，y都为自然数时，则m值为0； ③无论m取何值，恒成立； ④无论m取什么实数，始终为定值． 其中正确的是______（请填序号） 6．（23-24七年级下·浙江温州·期中）小聪和小明同做一道题：已知，求，的值． 小聪的思路是：将左边化简，根据左右两边多项式中的同类项系数相同，从而求得，的值． 小明的思路是：因为左右两边是同一个代数式，只是表达形式不一样，因此当左右两边的取同一个值时，等式成立．他将，分别代入，可以得到关于a，b的一个二元一次方程组，从而求得，的值． （1）请用小聪和小明的思路（两种不同的方法）分别求出a，b的值，你有什么发现？ （2）将代数式表示成的形式，请选择其中一种方法求出，的值． 【题型 2】整式乘法 + 一元一次不等式（组）综合（6题） 1．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知代数式，，其中，为常数． （1）若与的乘积化简后不含的一次项，求的值（用含的代数式表示）； （2）在（）的条件下，是不等式的解，不是不等式的解，求整数的值． 2．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）已知多项式，． （1）若在M·N的运算结果中，的系数为，求a的值； （2）解关于x的不等式． 3．（23-24九年级下·湖南衡阳·自主招生）满足不等式的最大整数等于（    ） A． B． C． D． 4．（2024七年级·全国·竞赛）若为不等式的解，则的最小正整数的值是________． 5．（2024·贵州黔东南·一模）（1）计算：； （2）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得 ； （Ⅱ）解不等式②，得 ； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （Ⅳ）原不等式组的解集为 ．    6．（25-26九年级下·福建龙岩·阶段检测）阅读下列材料，回答问题. 爱动脑的小明在学习不等式知识时，查阅资料了解到：当给出不等式时，我们可以将表示为（其中为增量），从而将用代换进一步变形不等式.结合“作差法比较大小”，小明创新出一种证明不等式的方法-增量代换作差法证明不等式. 例如：已知，，求证： 证明：令，，其中， 作差得 ，，，， ， 所以 根据上述材料，解决下列问题： （1）已知，，求证：； （2）已知，试比较代数式与的大小. 【题型 3】二元一次方程组 + 含参数不等式综合（6题） 1．（2026·四川南充·二模）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的值可以是（    ） A．4 B．3 C．0 D．－4 2．（24-25七年级下·四川泸州·期末）若关于，的二元一次方程组的解是正数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·河南南阳·期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是_____． 4．（25-26七年级下·北京通州·期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足，那么的取值范围为_______． 5．（23-24七年级下·河南周口·期末）（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整． 问题：在关于的二元一次方程组中，求的取值范围． 分析：在关于的二元一次方程组中，利用含参数的代数式表示，然后根据列出关于参数a的不等式组即可求得a的取值范围． 解：由解得因为．所以解得 ． （2）请你按照上述方法，完成下列问题：已知，且，求的取值范围． 6．（24-25七年级下·山东威海·期末）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请用整体思想完成： （1）已知关于a，b，c的三元一次方程组，则 ； （2）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，那么关于p，q的二元一次方程组的解为 ； （3）关于x，y的二元一次方程组满足，求k的取值范围． 【题型 4】二元一次方程组 + 一元一次不等式组整数解综合（6题） 1．（24-25七年级下·湖南永州·期中）关于x，y的二元一次方程组的解为整数，关于的不等式组有且仅有个整数解，则所有满足条件的整数的和为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）关于x，y的二元一次方程组的解为整数，关于z的不等式组有且仅有2个整数解，则所有满足条件的整数k的和为（　　） A．6 B．7 C．11 D．12 3．（24-25七年级下·广东江门·阶段检测）若m使得关于x，y的二元一次方程组有解，且使关于x的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，那么所有满足条件的整数m的值之和是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·四川成都·期中）如果关于，的二元一次方程组有解，且关于的一元一次不等式组有且仅有个整数解，那么所有满足条件的整数的值之和是______． 5．（25-26八年级上·重庆江北·阶段检测）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，且关于s的不等式组恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a的个数为______． 6．（2022·河南·模拟预测）整数m满足关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，且关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则m的值为______． 【题型 5】乘法公式 + 方程不等式最值问题（6题） 1．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段检测）已知关于、的二元一次方程组． （1）若方程组的解满足，求的值． （2）若，均为非正数，求的取值范围． （3）在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 2．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）已知关于x，y二元一次方程组． （1）解该方程组； （2）若上述方程组的解是关于x，y的二元一次方程的一组解，先化简代数式，再求它的值． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）阅读与思考：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法． 例如：． （1）【解决问题】补全下列完全平方式： ①_________；②_______． （2）【变式训练】试说明无论x取何值，代数式是正数； （3）【深入研究】若，，比较M、N的大小； （4）【拓展应用】关于x、y的二元一次方程组和的解相同，求的值． 4．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解： ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）知识再现：当 时，代数式的最小值是 ； （2）知识运用：求代数式的最大值； （3）知识拓展：若，求的最小值． 5．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）【提出问题】 利用“图形”能够证明“等式”，如“完全平方公式”、“平方差公式”都可以用图形进行证明，那么“图形”能否证明“不等式”呢？请完成以下探究性学习内容． 【自主探究】 用直角边分别为a和b的两个等腰直角三角形进行拼图，由图①得到图②．    （1）请你仔细观察图形变化，解决下列问题． （ⅰ）图①中两个三角形的面积分别为___________和___________，图②中长方形的面积为___________．（用含a，b的字母表示） （ⅱ）当时，比较大小：__________．（填“>”或“<”） （ⅲ）当a和b满足什么条件时，与相等？甲同学说：我可以通过计算进行说明．乙同学说：我可以通过画图进行说明．请你选择其中一人的方法，进行说明． 【知识应用】 （2）已知，，且，利用（1）发现的结论求的最小值． 6．（25-26八年级上·广东广州·期末）先阅读材料，再运用材料介绍的数学方法解决问题． 【阅读思考】我们知道，利用完全平方公式可以把二次三项式写成，由于，可知当时，代数式有最小值为0．同理，由，可知代数式有最小值为．类似地，通过这样的等式变形，我们可以得到一个二次三项式的最大值或最小值．    【解决问题】 （1）求代数式的最小值； （2）判断代数式有最大值还是有最小值？并求出这个最值； （3）如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），若要使得围成的生物园的面积最大，则该如何围篱笆？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末考试必考题型（四）——整式运算与方程不等式综合压轴（3大考点5类题型） 目录 一.必考点知识回顾 1 【考点一】整式运算 1 【考点二】二元一次方程组 1 【考点三】一元一次不等式（组） 1 二.必考题型精析 2 【题型 1】整式乘法与含参数方程组综合（6题） 2 【题型 2】整式乘法 + 一元一次不等式（组）综合（6题） 8 【题型 3】二元一次方程组 + 含参数不等式综合（6题） 13 【题型 4】二元一次方程组 + 一元一次不等式组整数解综合（6题） 18 【题型 5】乘法公式 + 方程不等式最值问题（6题） 23 一.必考点知识回顾 【考点一】整式运算 1、幂的运算性质逆用，结合指数关系进行代数式转化、大小比较。 2、平方差公式、完全平方公式的恒等变形与几何意义应用。 3、多项式乘法中不含指定项、取值与字母无关、多项式恒成立问题，利用系数特征求解参数。 【考点二】二元一次方程组 1、方程组错解问题、两个方程组同解问题，依托解的定义逆向求系数。 2、含参数方程组，结合解的正负性、整数性、数量比例关系，搭建与不等式的关联。 3、整体代入思想在含参方程组中的综合运用。 【考点三】一元一次不等式（组） 1、含参数不等式（组），根据整数解个数、解集包含关系确定参数范围。 2、不等式系数含参数时，结合不等式性质分类讨论。 3、结合方程、整式变形结果，求解最值类延伸问题。 二.必考题型精析 【题型 1】整式乘法与含参数方程组综合（6题） 1．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）已知关于x，y二元一次方程组． （1）解该方程组； （2）若上述方程组的解是关于x，y的二元一次方程的一组解，先化简代数式，再求它的值． 【答案】（1）；（2）； 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解，整式的化简求值，正确求出方程组的解是解题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）根据（1）所求把代入方程中，求出a的值，再根据整式的混合计算法则化简，最后代值计算即可． 解：（1）解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为； （2）解：由题意得是方程的一组解， ∴， ∴； ∴ 当时， 原式 ． 2．（23-24七年级下·全国·期中）在关于，的二元一次方程组中， （1）若，求方程组的解； （2）若，当为何值时，有最小值？是多少？ 【答案】（1）；（2）当时，S有最小值，最小值是． 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，完全平方公式变形求值，熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤和完全平方公式变形，是解题的关键． （1）用加减消元法求解即可； （2）把方程组的两个方程相加得到，然后代入整理，再利用完全平方公式变形为，根据进行解答即可． 解：（1）解：时，方程组为， 得，，解得； 把代入①得，，解得， ∴方程组的解是． （2）解： 方程组的两个方程相加得，， ∴， ∵， ∴， ∴当时，S有最小值，最小值是． 3．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）计算下列各题： （1） （2）简便计算： （3） （4）已知关于，的二元一次方程组 ①解该方程组； ②若上述方程组的解是关于的二元一次方程的一组解，求代数式的值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）①，② 解：（1） （2） （3） （4）① 得，， 解得：， 把代入①得， ∴方程组的解为： ②把代入方程，得， 解得：， ， 当时，原式． 4．（24-25七年级下·北京通州·期中）已知关于的二元一次方程组，给出下列结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②当时，；③当时，；④不论取什么有理数，的值始终不变；⑤当时，．其中正确的结论有（   ） A．①②③④ B．②③④⑤ C．①③⑤ D．②④⑤ 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，平方差公式的应用，根据题意把各选项条件代入方程组解答可判断①②③⑤，解方程组，再把方程组的解代入代数式可判断④，综上即可求解，正确计算是解题的关键． 解：①当时，方程可化为， ∴方程组的解不是方程的解，故①错误； ②当时，方程可化为， ∴，故②正确； ③当时，方程组可化为， ∴， 解得，故③错误； ④解方程组，得， ∴， ∴不论取什么有理数，的值始终不变，故④正确； ⑤当时，，， ∴，故⑤正确； 综上，正确的结论有②④⑤， 故选：． 5．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组，给出以下结论： ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，； ②当方程组的解x，y都为自然数时，则m值为0； ③无论m取何值，恒成立； ④无论m取什么实数，始终为定值． 其中正确的是______（请填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组、整式的混合运算，求得x、y与m的关系是解答的关键．先解二元一次方程组，得到x、y与m的关系，根据相反数的性质得到m的方程，然后解方程即可求解①；将x、y代入等式的右边，化简即可判断③；根据自然数是非负整数可判断②；利用，得则可判断④． 解：∵， ∴得， ①∵x，y的值互为相反数 ∴，即， 解得，故①符合题意； ②∵方程组的解都为自然数， ∴或， 当时，符合题意； 当时，符合题意， 故方程组的解x，y都为自然数时，m的值为0或1， 故②不符合题意； ③ ， 故③符合题意； ④由得 ∴， 无论m取什么实数，始终为定值． 故④符合题意， 综上，结论正确的是①③④， 故答案为：①③④． 6．（23-24七年级下·浙江温州·期中）小聪和小明同做一道题：已知，求，的值． 小聪的思路是：将左边化简，根据左右两边多项式中的同类项系数相同，从而求得，的值． 小明的思路是：因为左右两边是同一个代数式，只是表达形式不一样，因此当左右两边的取同一个值时，等式成立．他将，分别代入，可以得到关于a，b的一个二元一次方程组，从而求得，的值． （1）请用小聪和小明的思路（两种不同的方法）分别求出a，b的值，你有什么发现？ （2）将代数式表示成的形式，请选择其中一种方法求出，的值． 【答案】（1），；发现：用两种思路求得的，的值一样，即小聪和小明的思路都是正确的；（2）；，． 【分析】本题考查了代数式的运算，灵活利用题目在所给的信息是解题的关键． （1）分别根据小聪和小明的思路进行运算求解即可； （2）选用小明的思路，分别把和代入运算求解即可． 解：（1）解：小聪的思路：， ∴， ∴，； 小明的思路： 把代入可得：， ∴， 把代入可得：， ∴ 把代入可得：， ∴； 发现：用两种思路求得的，的值一样，即小聪和小明的思路都是正确的； （2）解：选用小明的思路 ∵， ∴把代入可得：， ∴， 把代入可得：， ∴， ∴把代入可得：， ∴． 【题型 2】整式乘法 + 一元一次不等式（组）综合（6题） 1．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知代数式，，其中，为常数． （1）若与的乘积化简后不含的一次项，求的值（用含的代数式表示）； （2）在（）的条件下，是不等式的解，不是不等式的解，求整数的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则，一元一次不等式组解法是解题的关键． （）先计算与的乘积，合并同类项后，由乘积中不含有项即可求解； （）由，，则，解得，然后通过题意列出，然后解得，从而求解． 解：（1）解： ， ∵的结果不含的一次项， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵是不等式的解，不是不等式的解， ∴， ∴， ∴整数的值为． 2．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）已知多项式，． （1）若在M·N的运算结果中，的系数为，求a的值； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1）；（2）①当，即时，原不等式的解集是；②当，即时，原不等式的解集是；③当，即时，原不等式无解 【分析】（1）原式先计算M·N，再根据的系数为列式求出a的值即可； （2）分、和三种情况讨论求解即可． 解：（1） ． 因为的系数为，所以， 解得，即a的值为； （2）由得， 即； ①当，即时，原不等式的解集是； ②当，即时，原不等式的解集是； ③当，即时，原不等式无解． 【点拨】本题主要考查了整式的乘法和解一元一次不等式，运用分类讨论的思想是解答本题的关键． 3．（23-24九年级下·湖南衡阳·自主招生）满足不等式的最大整数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算．将不等式左右两边由幂的乘方运算法则变形为指数相同的两个幂，通过计算可求出的最大值． 解：∵，，， ∴， ∵，，， ∴满足不等式的最大整数等于． 故选：D． 4．（2024七年级·全国·竞赛）若为不等式的解，则的最小正整数的值是________． 【答案】15 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运用，先把，且，结合取正整数，即可作答． 解：∵，且 ∴， ∵，， 又∵， ∴的最小正整数的值是15． 故答案为：15． 5．（2024·贵州黔东南·一模）（1）计算：； （2）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得 ； （Ⅱ）解不等式②，得 ； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （Ⅳ）原不等式组的解集为 ．    【答案】（1）；（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）见分析；（Ⅳ） 【分析】本题考查整式的混合运算、解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则和解一元一次不等式的方法是解答本题的关键． （1）根据多项式除以单项式、积的乘方和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可； （2）先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集． 解：（1） ； （2）， （Ⅰ）解不等式①，得：； （Ⅱ）解不等式②，得：； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：    （Ⅳ）原不等式组的解集为． 故答案为：；；． 6．（25-26九年级下·福建龙岩·阶段检测）阅读下列材料，回答问题. 爱动脑的小明在学习不等式知识时，查阅资料了解到：当给出不等式时，我们可以将表示为（其中为增量），从而将用代换进一步变形不等式.结合“作差法比较大小”，小明创新出一种证明不等式的方法-增量代换作差法证明不等式. 例如：已知，，求证： 证明：令，，其中， 作差得 ，，，， ， 所以 根据上述材料，解决下列问题： （1）已知，，求证：； （2）已知，试比较代数式与的大小. 【答案】（1）见详解；（2）． 【分析】（1）根据材料设，，其中，，作差代入并整理结论即可得证； （2）令，其中，，作差法比较大小即可； 解：（1）证明：令，，其中，， 作差得：， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：令，其中，， ∴，， ∴ ∴． 【点拨】本题是阅读材料问题，学习了一种新的证明不等式的方法：增量代换作差法证明不等式，运用了整式的乘除法计算、因式分解及不等式的性质． 【题型 3】二元一次方程组 + 含参数不等式综合（6题） 1．（2026·四川南充·二模）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的值可以是（    ） A．4 B．3 C．0 D．－4 【答案】A 【分析】先通过加减消元法解出关于m的表达式，再根据得到m的取值范围，最后判断选项． 解：解方程组 ∵ 将 得 ，整理得 将 代入，得 整理得 ∵ 方程组的解满足 ∴ 移项得 解得 选项中只有， 故选项A符合题意． 2．（24-25七年级下·四川泸州·期末）若关于，的二元一次方程组的解是正数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解二元一次方程组，求一元一次不等式组的解集等，求出a的取值范围是解题的关键． 先利用加减消元法解方程组，根据方程组的解为正数列不等式组，求出a的取值范围，再用含a的式子表示出w，即可求解． 解：， ，得：， 将代入，得：， 解得， 该方程组的解为， ． 方程组的解是正数， ， ， ∴， ∴， 即的取值范围是， 故选：B． 3．（25-26七年级下·河南南阳·期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】将方程组中两个方程相加整理得到关于的表达式，再结合已知条件列出关于的不等式，求解即可． 解：， 得，即， 由方程组的解满足， 可得， 解得． 4．（25-26七年级下·北京通州·期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足，那么的取值范围为_______． 【答案】 【分析】先利用整体的思想求出，从而可得，进而可得，进一步进行计算，即可解答． 解：， 得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 5．（23-24七年级下·河南周口·期末）（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整． 问题：在关于的二元一次方程组中，求的取值范围． 分析：在关于的二元一次方程组中，利用含参数的代数式表示，然后根据列出关于参数a的不等式组即可求得a的取值范围． 解：由解得因为．所以解得 ． （2）请你按照上述方法，完成下列问题：已知，且，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集； （2）仿照例子即可求出的取值范围． 解：（1）解不等式，得：， 解不等式，得：， 则； （2）解：设与构成方程组， 解得：， ∵， ， ， ∴． 6．（24-25七年级下·山东威海·期末）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请用整体思想完成： （1）已知关于a，b，c的三元一次方程组，则 ； （2）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，那么关于p，q的二元一次方程组的解为 ； （3）关于x，y的二元一次方程组满足，求k的取值范围． 【答案】（1）7；（2）；（3）或 【分析】本题考查了解三元一次方程组，解二元一次方程组，解不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把三个方程相加，然后在方程的两边同时除2即可得出答案． （2）由题意可知关于和的方程组的解，从而列关于p和q的二元一次方程组并求解即可． （3）解方程组求得，，由，得到，即可得到或，再进行解不等式组，即可作答． 解：（1）解：， 得：， 解得：； 故答案为：7． （2）解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为，且关于p，q的二元一次方程组 ∴， 解得， 故答案为：； （3）解：， 得，即 得， ∵， ∴， ∴或， ∴或， ∴或． 【题型 4】二元一次方程组 + 一元一次不等式组整数解综合（6题） 1．（24-25七年级下·湖南永州·期中）关于x，y的二元一次方程组的解为整数，关于的不等式组有且仅有个整数解，则所有满足条件的整数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，解二元一次方程组等知识点，能求出符合题意的的整数解是解此题的关键． 先求出方程组的解，根据方程组的解为整数得出，，，，，，根据不等式组有且仅有个整数解得出关于的不等式组的解集，从而求出符合题意的的整数解，求其和即可． 解：， 得： 解得， 把代入得：， 解得：， ∵关于，的二元一次方程组的解为整数， ，，，，，， 解关于的不等式组，得； ∵关于的不等式组有且仅有个整数解， ； 解得：， 整数为，，，，其和为； 故选：D 2．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）关于x，y的二元一次方程组的解为整数，关于z的不等式组有且仅有2个整数解，则所有满足条件的整数k的和为（　　） A．6 B．7 C．11 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了解含参数的二元一次方程组整数解，含参数的不等式组整数解问题；解出方程组，根据整数解确定的取值，解出不等式组，由整数解的个数确定的取值范围，即可求解；能正确解出含参数的方程组和不等式组，并确定的取值范围是解题的关键． 解：解方程组得： ， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为整数， ∴k可取，1，，4，5，， 解关于z的不等式组得， ∵关于z的不等式组有且仅有2个整数解， ， 解得：， ∴整数k为，1，，4， 其和为， 故选：A． 3．（24-25七年级下·广东江门·阶段检测）若m使得关于x，y的二元一次方程组有解，且使关于x的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，那么所有满足条件的整数m的值之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组的整数解，解题关键是正确求出不等式组的解集． 先由方程组得，根据方程组有解得出，再解不等式组得出，根据不等式组有且只有3个整数解得出，从而确定m的取值范围，继而得出答案． 解：， ，得：， 即， ∵方程组有解， ∴，即， 解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组有且只有3个整数解， ∴不等式组的解集为，且整数解为， ∴， 解得， ∴符合条件的整数m的值为，，， 它们的和为， 故选：B． 4．（25-26九年级上·四川成都·期中）如果关于，的二元一次方程组有解，且关于的一元一次不等式组有且仅有个整数解，那么所有满足条件的整数的值之和是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程和一元一次不等式组的整数解，由方程组得，根据方程组有解，即，不等式组整理得，根据不等式组有且只有个整数解得出，从而确定的取值范围，继而得出答案，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 解：， ，得：， 即， ∵方程组有解， ∴，即， 不等式组，整理得， ∵不等式组有且只有个整数解， ∴， 解得， ∴符合条件的整数m的值的和为， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·重庆江北·阶段检测）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，且关于s的不等式组恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a的个数为______． 【答案】2 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解一元一次不等式等知识点，能求出的取值范围是解此题的关键． 先求出方程组和不等式的解集，再求出的范围，最后得出答案即可． 解：解方程组得：， ， ， 解得：， 解不等式组得， 关于的不等式组恰好有4个整数解，，0，， ， 解得：， ， ， 所有符合条件的整数有，0，共有2个， 故答案为：2． 6．（2022·河南·模拟预测）整数m满足关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，且关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则m的值为______． 【答案】5 【分析】根据题意先解二元一次方程组，根据解是正整数列出一元一次不等式组，解关于的不等式，进而根据是正整数的条件求得的范围，解一元一次不等式组，根据有且仅有2个整数解，确定的范围，最后根据，为整数，舍去不符合题意的的值即可求解． 解： ①＋②得， 将代入①，得 ，是正整数， ， 解得， 解不等式③得： 解不等式④得： 有且仅有2个整数解， 解得 是整数 或 当时，，不合题意，故舍去 故答案为： 【点拨】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式组结合，解一元一次不等式组，求不等式的整数解，正确的计算是解题的关键． 【题型 5】乘法公式 + 方程不等式最值问题（6题） 1．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段检测）已知关于、的二元一次方程组． （1）若方程组的解满足，求的值． （2）若，均为非正数，求的取值范围． （3）在（2）的条件下，求的最大值和最小值． 【答案】（1）3；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解和解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组和一元一次不等式组的一般步骤． （1）把两个方程相加，再根据列出关于的方程，解方程求出即可； （2）利用加减消元法解方程组，求出，再根据均为非正数，列出关于的不等式组，解不等式组求出的取值范围即可； （3）根据（2）中所求，把用含的式子表示出来，再根据（2）中的取值范围，求出的最大值和最小值即可． 解：（1）解：， 得：， ∵方程组的解满足， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 得：③， 得：， ∴， 把代入②得：， ∴， ∴， ∵均为非正数， ， 由①得：， 由②得：， ∴， ． （3）解：由（2）可知：， ， ， ∴的最大值为：的最小值为：． 2．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）已知关于x，y二元一次方程组． （1）解该方程组； （2）若上述方程组的解是关于x，y的二元一次方程的一组解，先化简代数式，再求它的值． 【答案】（1）；（2）； 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解，整式的化简求值，正确求出方程组的解是解题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）根据（1）所求把代入方程中，求出a的值，再根据整式的混合计算法则化简，最后代值计算即可． 解：（1）解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为； （2）解：由题意得是方程的一组解， ∴， ∴； ∴ 当时， 原式 ． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）阅读与思考：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法． 例如：． （1）【解决问题】补全下列完全平方式： ①_________；②_______． （2）【变式训练】试说明无论x取何值，代数式是正数； （3）【深入研究】若，，比较M、N的大小； （4）【拓展应用】关于x、y的二元一次方程组和的解相同，求的值． 【答案】（1）①1；② 4y2；（2）见分析；（3）M≥N；（4）2 【分析】（1）根据完全平方式的形式直接得出结果； （2）先将原式配成完全平方式即可； （3）将M、N分别配成完全平方式，再比较大小； （4）解方程组，用含m、n的代数式表示出x、y，再将x、y代入求出m、n的值，即可计算． 解：（1）解：①1　；② 　4y2　＋4y＋1. （2）x2﹣12x＋37 ＝ x2﹣12x＋36＋37﹣36   ＝（x﹣6）2＋1                       ∵（x﹣6）2≥0        ∴（x﹣6）2＋1＞0                     ∴无论x取何值，代数式x2﹣12x＋37是正数 （3）M﹣N＝（2x2＋4x＋5＋y2）﹣（x2＋6x＋4） ＝2x2＋4x＋5＋y2﹣x2﹣6x﹣4 ＝x2﹣2x＋1＋y2 ＝（x﹣1）2＋y2                  ∵（x﹣1）2≥0  y2≥0 ∴（x﹣1）2＋y2 ≥0                  ∴M≥N （4）解二元一次方程组 得         把代入中得 ①＋②得：2m2＋2mn＋n2＋4m＋4＝0 ∴m2＋2mn＋n2＋m2＋4m＋4＝0 ∴（m＋n）2＋（m＋2）2＝0                            ∴ ∴                             ∴m＋2n＝﹣2＋2×2＝2 ∴m＋2n的值为2 【点拨】本题考查完全平方式，解二元一次方程组，灵活运用完全平方式是解题的关键． 4．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解： ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： （1）知识再现：当 时，代数式的最小值是 ； （2）知识运用：求代数式的最大值； （3）知识拓展：若，求的最小值． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】（1）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性可得答案； （2）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据可得答案； （3）移项可得然后根据偶次方的非负性可得答案． 解：（1）解：， 当时，代数式有最小值； （2）解：，且， 当时，代数式的最大值为； （3）解：， ， ， 当时，的最小值为． 5．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）【提出问题】 利用“图形”能够证明“等式”，如“完全平方公式”、“平方差公式”都可以用图形进行证明，那么“图形”能否证明“不等式”呢？请完成以下探究性学习内容． 【自主探究】 用直角边分别为a和b的两个等腰直角三角形进行拼图，由图①得到图②．    （1）请你仔细观察图形变化，解决下列问题． （ⅰ）图①中两个三角形的面积分别为___________和___________，图②中长方形的面积为___________．（用含a，b的字母表示） （ⅱ）当时，比较大小：__________．（填“>”或“<”） （ⅲ）当a和b满足什么条件时，与相等？甲同学说：我可以通过计算进行说明．乙同学说：我可以通过画图进行说明．请你选择其中一人的方法，进行说明． 【知识应用】 （2）已知，，且，利用（1）发现的结论求的最小值． 【答案】（1）（ⅰ），，；（ⅱ）（ⅲ）见详解（2） 【分析】本题考查了利用图形面积证明不等式； （1）（ⅰ）根据图形即可求解； （ⅱ）由图②中的矩形面积及两个三角形的面积和即可求解； （ⅲ）甲同学：当时，分别计算即可求解；乙同学：画出图形即可求解； （2）由（1）得，即可求解； 理解图形面积与不等式之间的关系是解题的关键． 解：（1）（ⅰ）由题意得 ①中两个三角形的面积分别为和，图②中长方形ABCD的面积为， 故答案：，，； （ⅱ）由图②得 当时，， 故答案：； （ⅲ）当时，， 甲同学：当时， ， ， 当时，； 乙同学：    当时，； （2） ， 由（1）得： ， ， ， 的最小值为． 6．（25-26八年级上·广东广州·期末）先阅读材料，再运用材料介绍的数学方法解决问题． 【阅读思考】我们知道，利用完全平方公式可以把二次三项式写成，由于，可知当时，代数式有最小值为0．同理，由，可知代数式有最小值为．类似地，通过这样的等式变形，我们可以得到一个二次三项式的最大值或最小值．    【解决问题】 （1）求代数式的最小值； （2）判断代数式有最大值还是有最小值？并求出这个最值； （3）如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），若要使得围成的生物园的面积最大，则该如何围篱笆？ 【答案】（1）最小值为；（2）代数式有最大值，最大值为12；（3）当时，生物园的面积有最大值，最大值为50 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）由，可知当时，代数式有最小值，最小值为； （2）由，可知当时，代数式有最大值，最大值为12； （3）设，则，由题意得，然后求解作答即可． 解：（1）解： ， 当时，代数式有最小值，最小值为； （2）解：      ， 当时，代数式有最大值，最大值为12； （3）解：设，则， 由题意得，生物园的面积 ，      当时，生物园的面积有最大值，最大值为50． 答：当时，围成的生物园的面积最大． 2 / 30 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