期末考试必考题型（四）——因式分解、分式与二次根式综合压轴（4大考点6类题型）- 2025-2026学年苏科版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

期末考试必考题型（四）——因式分解、分式与二次根式综合压轴（4大考点6类题型） 目录 一.必考点知识梳理 1 【考点一】因式分解 1 【考点二】分式 1 【考点三】二次根式 2 【考点四】因式分解、分式、二次根式综合压轴题 2 二.必考题型精析 2 【题型 1】因式分解综合拓展（8题） 2 【题型 2】因式分解 + 分式综合压轴（6题） 4 【题型 3】因式分解 + 二次根式综合压轴（6题） 7 【题型 4】分式 + 二次根式综合压轴（8题） 11 【题型 5】因式分解、分式、二次根式三者融合压轴（8题） 13 【题型 6】含参数综合探究（8题） 18 一.必考点知识梳理 【考点一】因式分解 基础方法综合运用：提公因式法、公式法（平方差、完全平方公式）、十字相乘法、分组分解法，多方法混合分解多项式。 因式分解的拓展应用：利用因式分解进行代数式求值、判断代数式符号、简化复杂计算。 新定义题型：分解规律、“完美因式”“分解变形” 等自定义概念，结合分解法则解题。 恒等变形：根据多项式恒成立、整除、余式等条件，求参数的值或取值范围。 【考点二】分式 分式有意义、值为零、值为正负的条件，结合参数范围讨论。 分式化简与恒等变形：分式混合运算、整体代入求值，含参数分式的化简分析。 分式方程：含参数分式方程解的情况（解为正数 / 负数、无解、有增根、整数解），是期末高频难点。 分式实际模型：结合数量关系列分式表达式，搭配不等式求最值、方案问题。 【考点三】二次根式 二次根式双重非负性、，利用该性质求字母取值、代数式的值。 二次根式化简与运算：最简二次根式、同类二次根式判定，根式加减乘除、混合运算及分母有理化。 含参数二次根式：根据根式有意义、同类根式、根式大小关系，求解参数范围。 根式化简求值：含字母的根式化简，结合隐含条件（字母正负）去根号，易错点集中。 【考点四】因式分解、分式、二次根式综合压轴题 两两结合：因式分解 + 分式、因式分解 + 二次根式、分式 + 二次根式，以变形、求值、参数讨论为主。 三者融合：以代数式恒等变形为核心，串联分解、分式运算、根式化简，设置多小问梯度考题。 结合思想：整体思想、分类讨论思想、数形结合思想，搭配整除、最值、整数解、增根等压轴常见考法。 二.必考题型精析 【题型 1】因式分解综合拓展（8题） 考法说明：不局限单一分解方法，考查分组分解、十字相乘、多次分解；结合整除、代数式符号判断、新定义命题，常作为综合题第一问铺垫条件。 1．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）能被下列数整除的是（   ） A．5 B．8 C．10 D．11 2．（25-26九年级下·山东淄博·期中）若满足，则分解因式等于（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山东枣庄·二模）分解因式：____． 4．（24-25八年级上·北京·期中）若，，则的值为________． 5．（24-25七年级下·浙江台州·期末）我们定义两种运算“”和“”，对于任意两个数，，有，． （1）因式分解：________； （2）若，求的值； （3）若，求，之间满足的数量关系． 6．（24-25九年级下·湖南湘潭·自主招生）[阅读材料]：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． [问题解决]： （1）因式分解：； （2）证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 7．（25-26七年级下·全国·单元测试）阅读材料，解决问题． 【材料1】将形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 如中，常数项，一次项系数，；同理，中，常数项“”，一次项系数“”，． 【材料2】因式分解： 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： （1）根据材料1，因式分解； （2）结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 8．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）【阅读与思考】 阅读下面的材料，并解决问题． 我们知道借助因式分解可以解决整除问题．嘉琪认为，若n为正整数，那么一定能被24整除．她的证明过程如下： 证明：． ∵n为正整数， ∴一定能被3整除． ∵8能被8整除， ∴一定能被3×8整除，即一定能被24整除． 【问题解决】 （1）若n为正整数，下列各数，一定能整除的是（     ）． A．8    B．10    C．14    D．17 （2）应用：已知n是正整数，参照材料中的方法，证明：能被24整除． （3）拓展：已知n是正整数能被36整除，请直接写出n的最小值 ． 【题型 2】因式分解 + 分式综合压轴（6题） 考法说明：先因式分解再进行分式化简，结合分式有意义、值为 0、整体代入求值；进阶考法为含参数分式方程、分式整数解问题。 1．（23-24八年级上·全国·课堂例题）八年级的三位同学在一起讨论一个分式乘法题目： 甲：它是一个整式与一个分式相乘． 乙：在计算过程中，用到了平方差公式进行因式分解． 丙：计算结果是． 请你写出一个符合上述条件的题目：_____________． 2．（25-26七年级上·上海·期中）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是互逆的变化过程．类似地，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是互逆的变化过程．例如，将分式分解：，若可以分式分解为（其中、、是常数）．则____，____． 3．（24-25八年级上·山东聊城·阶段检测）类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法． 观察下列计算过程： 这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算． 阅读下面一道例题的解答过程： 因式分解： 解：我们可以将拆成和即原式 在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式分解，像这样的方法称为拆项法． 请用类比的方法，解决以下问题： （1）①已知，则依据此规律________； ②请你利用拆项法进行因式分解： _______； （2）若a，b满足，求的值； （3）受此启发，解方程． 4．（25-26八年级上·广东惠州·期末）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：．②求的最小值． 解：原式 解：原式 ； 即当时，的最小值为2 请根据上述材料解决下列问题： （1）因式分解： （2）当为何值时，多项式有最小值？请求出这个最小值； （3）若，求的值； 5．（25-26八年级上·湖南常德·期中）知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： （1）根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； （2）已知，求的值； （3）计算：_____________．（直接写出结果） 6．（24-25八年级上·山东德州·阶段检测）【教材呈现】鲁教版八年级上册数学教材121页“阅读与思考”， 根据多项式的乘法法则，可知 那么，反过来，也有． 这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式． 例如：因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数， 符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数． 这样，我们也可以得到． 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式： 于是有：． （1）填空：因式分解； （2）化简： 【题型 3】因式分解 + 二次根式综合压轴（6题） 考法说明：借助因式分解对被开方数变形，结合二次根式双重非负性、最简根式、同类根式求解参数、化简求值，分类讨论为主要难点。 1．（24-25八年级下·安徽芜湖·阶段检测）【初步感知】 （1）已知，求的值． 【拓展应用】 对于这样的式子，我们可以利用“配方法”进行因式分解： ． （2）请解答：已知，求的值． 2．（2024九年级下·山西·专题练习）（1）计算：； （2）下面是小明同学进行因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务． 因式分解： 解：原式    第一步     第二步     第三步 任务一： 填空： ①以上解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是______公式； ②第三步进行因式分解用到的方法是______法． 任务二： 同桌互查时，小明的同桌指出小明因式分解的结果是错误的，具体错误是______． 任务三： 小组交流的过程中，大家发现这个题可以先用公式法进行因式分解，再继续完成，请你写出正确的解答过程． 3．（23-24八年级下·山东临沂·期中）阅读下列材料，完成下列任务．小丽在数学资料上看到这样一道题：已知，求代数式的值． 解：， ． ． ． ． 任务： （1）在材料解答过程中，主要用了我们学过的数学知识是_________． A．因式分解        B．单项式与多项式的乘法 C．平方差公式        D．完全平方公式 （2）在材料解答的过程中，主要用的方法是_________． A．整体与化归    B．分类讨论    C．数形结合 （3）已知，求的值． 4．（24-25八年级上·江西宜春·开学考试）所谓配方，就是把一个多项式经过适当变形配成完全平方式．配方法除一元二次方程求根公式推导这一典型应用外，在因式分解、化简二次根式、证明恒等式、解方程、求代数式最值等问题中都有广泛应用．是一种 很重要、很基本的数学方法．如以下例1，例2： 例1：分解因式 解：原式 例2：化简： 解：原式 阅读以上材料，请回答以下问题： （1）分解因式：______； （2）化简：； （3）利用配方法求的最小值． 5．（25-26八年级下·山东威海·期中）阅读下面材料，完成问题． 在二次根式运算中，部分代数式结构复杂，直接计算难度较大，我们可以通过观察结构、因式分解、倒数转化等方法化繁为简． （1）因式分解     合理分组     提取公因式     整体分解 （2）倒数转化 求代数式的值时，若原式不宜计算，可先求其倒数，再取倒数得结果． 已知，求代数式的值． 解：先求倒数： 代入： 所以 （3）灵活运用 请运用上述方法，解答下列问题 （1）问题1：因式分解：_________ （2）问题2：已知，求代数式的值． （3）问题3：化简： 6．（25-26八年级上·重庆·期中）阅读材料一：学习了整式乘法和因式分解后，同学们知道了多项式可以配成完全平方式，因为具有非负性，所以，这样的非负性有非常广泛的应用，比如：对任意正实数a，b，用，代替x，y可得： ∴ ∴， 当且仅当时，等号成立． 因此当a，b的乘积是一个定值时，可以求a，b和的最小值． 例：当时，，当且仅当，即时，有最小值为2． 阅读材料二：对于一个关于x的方程，我们也可以通过配方的方式把它变形为，从而解出该方程的解为． 例：若，则变形为， ∴该方程的解为， 化简后得：． 请同学们根据以上材料中的知识解决下列问题： （1）若，当_______时，式子的最大值为_______． （2）若，求出的最小值及对应的x的值． （3）已知关于的代数式，求M的最小值及此时a和x的值． 【题型 4】分式 + 二次根式综合压轴（8题） 考法说明：两大计算模块融合，优先利用根式性质确定字母取值范围，再进行分式运算、参数讨论；常考根式隐含条件 + 分式方程、分式最值问题。 1．（24-25九年级下·山东东营·阶段检测）若m、n满足，则______．分式有意义，则x的取值范围为______． 2．（25-26八年级下·河南许昌·期中）【观察】，． 【感悟】在二次根式的运算中，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是分母有理化．像上述解题过程中，与，与相乘的积都不含二次根式，我们可以将每组中的两个式子称作互为有理化因式． 【运用】对于正整数，定义，例如：．求的值为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广西南宁·期中）阅读材料：在进行二次根式运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化成有理数，这就是分母有理化．例如：，，根据材料化简： ______． 4．（2026·广东茂名·二模）化简分式：以下是某同学化简分式的部分运算过程： 解：原式① ② ……③． （1）上面的运算过程中第________步出现了错误； （2）请你写出完整的解答过程． （3）当时，请求上述分式的值． 5．（24-25八年级下·北京海淀·期中）阅读材料： 小华在学习分式运算时，通过具体运算发现： ，，，… 在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律，请将下面的探究过程，补充完整． （1）具体运算： 特例1：； 特例2：； 特例3： （填写一个符合上述运算特征的例子）． （2）发现规律： （n为正整数），并证明此规律成立． （3）应用规律： 如果 的小数部分0.06，那么整数部分为 ． 6．（2026·湖南娄底·一模）以下是某同学化简分式的运算过程． 解：原式    ①     ②     ③ （1）以上的运算过程第______（填序号）步出现了错误； （2）写出正确的完整化简过程，并求出当时分式的值． 7．（24-25八年级下·贵州黔南·阶段检测）请你阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们已经知道，因此将分式的分子、分母同时乘“”分母就变成了1，例如． （1）计算：； （2）若为正整数，，，且，求的值． 8．（23-24八年级下·广西梧州·期中）阅读材料，并回答下列问题． 材料1：我们规定：如果两个含有二次根式的因式的积中不含根号，那么就称这两个因式互为有理化因式．如，，我们称与互为有理化因式、与互为有理化因式． 材料2：利用分式的基本性质和二次根式的运算性质，可以对进行如下的化简：，从而把分母中的根号化去，我们把这样的化简称为“分母有理化”． 问题： （1）的互为有理化因式是______；分母有理化_____； （2）与是否是互为有理化因式？并说明理由； （3）化简： 【题型 5】因式分解、分式、二次根式三者融合压轴（8题） 考法说明：全模块综合，分多小问层层递进，第一问因式分解 / 根式化简铺垫条件，第二问分式运算与参数分析，第三问拓展最值、整数解、方案问题，是试卷压轴解答题主流形式。 1．（24-25八年级下·安徽芜湖·阶段检测）【初步感知】 （1）已知，求的值． 【拓展应用】 对于这样的式子，我们可以利用“配方法”进行因式分解： ． （2）请解答：已知，求的值． 2．（2024九年级下·山西·专题练习）（1）计算：； （2）下面是小明同学进行因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务． 因式分解： 解：原式    第一步     第二步     第三步 任务一： 填空： ①以上解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是______公式； ②第三步进行因式分解用到的方法是______法． 任务二： 同桌互查时，小明的同桌指出小明因式分解的结果是错误的，具体错误是______． 任务三： 小组交流的过程中，大家发现这个题可以先用公式法进行因式分解，再继续完成，请你写出正确的解答过程． 3．（25-26八年级下·河南周口·期中）阅读理解：我们知道将一个二次根式乘以一个适当的二次根式后结果不再含有根号．因此利用这个性质结合二次根式除法法则、分式基本性质可以化去分母中的根号，例如： 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… 按上述规律，解答下列问题： （1）请写出第6个等式：_____； （2）请写出第个等式：_____；并通过计算证明你的结论； （3）计算：． 4．（25-26八年级上·上海闵行·期中）阅读材料： 数学中有些问题看起来复杂，但如果我们仔细分析代数式的结构，寻找其中隐藏的规律或联系，就能找到解决问题的钥匙． 常用的思路有： 1．代数式的变形：比如，一个分式的分母如果含有根号，我们可以通过“分母有理化”的方法，使其变得更容易计算； 2．整体的视角：有时我们不需要分别求出每一个部分的值，而是将它们看作一个整体，通过观察它们之间的相互关系，从而找到解决问题的方法． 请运用以上思路进行思考并解答以下各题： （1）已知，求的值； （2）计算：； （3）设实数，满足，求的值． 5．（24-25八年级上·山东青岛·期中）【激活经验】 小明在学习有理数运算时，通过具体运算发现： ，，，… 在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：； 特例2：； 特例3： ______（填写一个符合上述运算特征的式子）． 【发现规律】 ______（，且n为整数） 【应用规律】 （1）______； （2）如果的小数部分是，那么整数部分为______． 6．（24-25八年级上·北京昌平·期中）我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式． （1）下列式子中①，②，③，______是根分式（填写序号即可）； （2）写出根分式中x的取值范围______； （3）已知两个根分式． ①若，求的值； ②若是一个整数，且为整数，请直接写出的值：______． 7．（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）阅读下述材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”；与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如： 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小,也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如： 比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下： ， 因为，所以 再例如：求的最大值．做法如下： 解：由可知，而 当时，分母有最小值2，所以的最大值是2． 解决下述问题： （1）比较和的大小； （2）求的最大值． 8．（23-24八年级下·湖南湘西·期中）阅读材料： 小明的数学兴趣小组在深度学习过程中，对“完全平方数（式）”有了更深刻的全面了解．他们先回顾“有理数”，知道1，4，，0．25，…，等这样的数，可以写成，，，，…他们称它们为完全平方数；然后回顾“整式的乘法与因式分解”这个章节，掌握了，等这样的整式，可以写成，，，…，他们称它们为完全平方式，他们发现这些数式的变形有时能给问题解决提供方便．现在，小明团队学习了“二次根式”后，能熟练把任意一个非负数改写成一个非负数的平方形式，如，，，，…，等，小明他们类比称这些非负数（式）为二次根式中的完全平方数（式）． 下面，请跟随他们探究、解答下列问题： （1）请分解因式：________________． （2）． 反之，，． （3）仿上例，化简：． （4）继续进行以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有： ． ∴，． 这样就找到了一种把类似的式子化为完全平方式的方法． 方法迁移：当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：__________，__________； 利用上述探索的结论，找一组正整数a、b、m、n， 使得：________，________，_________，_________； （5）若，且a、m、n均为正整数，求a的值． 【题型 6】含参数综合探究（8题） 考法说明：全程围绕参数展开，融合三大知识点，考查分类讨论、逻辑推理，区分度最高。 1．（25-26八年级上·山东烟台·期末）化简求值，其中与2，2构成三角形的三边，且为整数． 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）定义：若二次根式可以写成的形式（其中a、b、m、n为非负常数），则称为完整根式，是的完整平方根，例如：∵，∴是完整根式，是的完整平方根． （1）若完整根式的完整平方根为，a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a和b； （2）若，且a、n为正整数，则______； （3）试判断是否是完整根式的完整平方根，并说明理由． 3．（25-26八年级上·北京密云·期末）如果两个分式M与N的和为k（k为正整数），则称M与N互为“和整分式”，其中k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，． （1）已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，求出k的值； （2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且． ①求G所代表的代数式； ②若x为整数，分式D的值为正整数，直接写出x的值． 4．（25-26八年级上·北京石景山·期末）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律． 第1个等式； 第2个等式； 第3个等式； 第4个等式； 第5个等式_________（根据规律填空） （2）观察、归纳、得出猜想． 第n个等式为_________（用含n的式子表示，n为正整数） （3）证明你的猜想； （4）应用运算规律． 若（a，b均为正整数），则的值为_________． 5．（25-26八年级上·广东汕头·期末）（1）【观察】；； 【猜想】若为正整数，请你猜想第个等式（用含的式子表示），并证明． （2）【拓展】 ①利用你发现的规律计算：； ②利用上述规律解答：若的值为，求n的值． 6．（25-26八年级上·福建福州·期末）对于分式与，若（为常数），则称是的“级牵挂分式”，如分式，则是的“3级牵挂分式”． （1）若分式是分式的“级牵挂分式”，则的值为____________； （2）已知分式，且分式是分式的“2级牵挂分式”， ①求（用含的式子表示）； ②若的值为正整数，为正整数，求的值． （3）已知分式（为整数），是的“级牵挂分式”，若，请用含的代数式表示和． 7．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）对于三个数，，，用表示这三个数的平均数；用表示这三个数中最小的数．如：，． （1）填空：________；________； （2）如果，求的值； （3）关于的方程有解，求常数的取值范围． 8．（25-26八年级上·福建福州·期末）【问题初探】 小菲在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，…，在学习二次根式运算时，小菲根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：；特例2：； 特例3：________________________（填写一个符合上述运算特征的式子） 【发现规律】 ______．（，且n为整数） 【应用规律】 （1）计算：； （2）如果（，且为整数）的小数部分是，求出整数部分． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末考试必考题型（四）——因式分解、分式与二次根式综合压轴（4大考点6类题型） 目录 一.必考点知识梳理 1 【考点一】因式分解 1 【考点二】分式 1 【考点三】二次根式 2 【考点四】因式分解、分式、二次根式综合压轴题 2 二.必考题型精析 2 【题型 1】因式分解综合拓展（8题） 2 【题型 2】因式分解 + 分式综合压轴（6题） 8 【题型 3】因式分解 + 二次根式综合压轴（6题） 15 【题型 4】分式 + 二次根式综合压轴（6题） 24 【题型 5】因式分解、分式、二次根式三者融合压轴（8题） 32 【题型 6】含参数综合探究（8题） 44 一.必考点知识梳理 【考点一】因式分解 基础方法综合运用：提公因式法、公式法（平方差、完全平方公式）、十字相乘法、分组分解法，多方法混合分解多项式。 因式分解的拓展应用：利用因式分解进行代数式求值、判断代数式符号、简化复杂计算。 新定义题型：分解规律、“完美因式”“分解变形” 等自定义概念，结合分解法则解题。 恒等变形：根据多项式恒成立、整除、余式等条件，求参数的值或取值范围。 【考点二】分式 分式有意义、值为零、值为正负的条件，结合参数范围讨论。 分式化简与恒等变形：分式混合运算、整体代入求值，含参数分式的化简分析。 分式方程：含参数分式方程解的情况（解为正数 / 负数、无解、有增根、整数解），是期末高频难点。 分式实际模型：结合数量关系列分式表达式，搭配不等式求最值、方案问题。 【考点三】二次根式 二次根式双重非负性、，利用该性质求字母取值、代数式的值。 二次根式化简与运算：最简二次根式、同类二次根式判定，根式加减乘除、混合运算及分母有理化。 含参数二次根式：根据根式有意义、同类根式、根式大小关系，求解参数范围。 根式化简求值：含字母的根式化简，结合隐含条件（字母正负）去根号，易错点集中。 【考点四】因式分解、分式、二次根式综合压轴题 两两结合：因式分解 + 分式、因式分解 + 二次根式、分式 + 二次根式，以变形、求值、参数讨论为主。 三者融合：以代数式恒等变形为核心，串联分解、分式运算、根式化简，设置多小问梯度考题。 结合思想：整体思想、分类讨论思想、数形结合思想，搭配整除、最值、整数解、增根等压轴常见考法。 二.必考题型精析 【题型 1】因式分解综合拓展（8题） 考法说明：不局限单一分解方法，考查分组分解、十字相乘、多次分解；结合整除、代数式符号判断、新定义命题，常作为综合题第一问铺垫条件。 1．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）能被下列数整除的是（   ） A．5 B．8 C．10 D．11 【答案】B 【分析】根据提公因式法对原式因式分解，根据化简结果判断能被哪个数整除． 解：对原式变形提取公因式， ∵，是8的整数倍， ∴原式能被8整除． 2．（25-26九年级下·山东淄博·期中）若满足，则分解因式等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解含有字母参数的二元一次方程组，因式分解；根据已知条件可求出关于的表达式，代入二次三项式后进行分解因式即可得到结果． 解： 由得，可得， 将代入得，可得， 将代入得：． 故选：C． 3．（2026·山东枣庄·二模）分解因式：____． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式，即可求解． 解： ． 4．（24-25八年级上·北京·期中）若，，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据已知得出，原式化为即可求解． 解：∵，， ∴ 即 ∴ 故答案为：． 5．（24-25七年级下·浙江台州·期末）我们定义两种运算“”和“”，对于任意两个数，，有，． （1）因式分解：________； （2）若，求的值； （3）若，求，之间满足的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】本题考查了新定义运算，因式分解，分式的化简求值，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）仿照题干计算即可； （2）仿照题干计算得到，则，则因式分解为，得到，再代入进行分式的求值； （3）先由新定义计算得到，化简因式分解可得，则即可求解． 解：（1）解：； （2）解：∵ ∴， 即 ∴ （3）解：∵， ， 解得或． 6．（24-25九年级下·湖南湘潭·自主招生）[阅读材料]：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． [问题解决]： （1）因式分解：； （2）证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】（1）设 ，则原式可化为，利用完全平方公式因式分解为，再将B还原后，最后再利用完全平方公式即可； （2）先计算，再利用完全平方公式即可． 解：（1）解：令， 则 ； （2）解： ， ∵n为正整数， ∴是正整数． ∴， 即代数式的值一定是某个整数的平方． 7．（25-26七年级下·全国·单元测试）阅读材料，解决问题． 【材料1】将形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 如中，常数项，一次项系数，；同理，中，常数项“”，一次项系数“”，． 【材料2】因式分解： 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： （1）根据材料1，因式分解； （2）结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】（1）选择材料1的方法求解即可； （2）①结合材料2的方法求解即可； ②结合材料1和材料2的方法求解即可． 解：（1）解：中，常数项“”，一次项系数“”， 则 ； （2）①解：把看成一个整体，令，则原式， 再将重新代入，得：原式； ②解：原式， 把看成一个整体，令， 则原式， 再将重新代入，得： 原式． 8．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）【阅读与思考】 阅读下面的材料，并解决问题． 我们知道借助因式分解可以解决整除问题．嘉琪认为，若n为正整数，那么一定能被24整除．她的证明过程如下： 证明：． ∵n为正整数， ∴一定能被3整除． ∵8能被8整除， ∴一定能被3×8整除，即一定能被24整除． 【问题解决】 （1）若n为正整数，下列各数，一定能整除的是（     ）． A．8    B．10    C．14    D．17 （2）应用：已知n是正整数，参照材料中的方法，证明：能被24整除． （3）拓展：已知n是正整数能被36整除，请直接写出n的最小值 ． 【答案】（1）C；（2）见分析；（3）2 【分析】（1）对因式分解，确定其因数，得到符合要求的选项； （2）利用平方差公式分解原式，化简后根据正整数的性质证明原式含因数24即可； （3）根据整除要求推导得到满足的条件，计算得到的最小值. 解：（1） 解：， 为正整数， 是整数， 一定能被14整除； （2）证明： ； 是正整数，和是连续正整数， 能被2整除， 能被整除， 能被24整除； （3）解：由（2）得， 能被36整除， 是整数，即能被3整除， 是正整数，和是连续正整数， 当时，，不能被3整除， 当时，，能被3整除， 的最小值为2. 【题型 2】因式分解 + 分式综合压轴（6题） 考法说明：先因式分解再进行分式化简，结合分式有意义、值为 0、整体代入求值；进阶考法为含参数分式方程、分式整数解问题。 1．（23-24八年级上·全国·课堂例题）八年级的三位同学在一起讨论一个分式乘法题目： 甲：它是一个整式与一个分式相乘． 乙：在计算过程中，用到了平方差公式进行因式分解． 丙：计算结果是． 请你写出一个符合上述条件的题目：_____________． 【答案】答案不唯一，如． 【分析】直接利用分式的性质结合因式分解的定义得出符合题意的一个算式． 解：由题意得：（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 【点拨】此题主要考查了分式的乘法，正确掌握分式的乘法运算法则是解题关键． 2．（25-26七年级上·上海·期中）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是互逆的变化过程．类似地，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是互逆的变化过程．例如，将分式分解：，若可以分式分解为（其中、、是常数）．则____，____． 【答案】 1 3 【分析】本题主要考查整式的乘法、二元一次方程组的解法及分式的运算，熟练掌握整式的乘法、二元一次方程组的解法及分式的运算是解题的关键；通过将分式分解后的形式通分，比较分子系数，建立方程组求解即可． 解：原分式分母为，分解后分母为，故， 设，通分得分子为， 与分子比较系数，得方程组：， 解得 ，； 故答案为1，3． 3．（24-25八年级上·山东聊城·阶段检测）类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法． 观察下列计算过程： 这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算． 阅读下面一道例题的解答过程： 因式分解： 解：我们可以将拆成和即原式 在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式分解，像这样的方法称为拆项法． 请用类比的方法，解决以下问题： （1）①已知，则依据此规律________； ②请你利用拆项法进行因式分解： _______； （2）若a，b满足，求的值； （3）受此启发，解方程． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】本题考查了有理数的混合运算、因式分解与解分式方程，解题的关键是明确题意，理解裂项相消法的应用以及熟练求解分式方程． （1）①类比题材即可得解，②类比题材即可因式分解； （2）根据绝对值和偶次方的非负性得，，然后代入所求式子利用裂项相消法即可求解； （3）利用拆项法因式分解后再利用裂项相消法化简方程，解化简后的分式方程即可． 解：（1）解：①∵ ∴类比得． ②． 故答案为：①；②； （2）解：∵，满足，即 ∴，， 解得：，． ； 故答案为：． （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 4．（25-26八年级上·广东惠州·期末）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：．②求的最小值． 解：原式 解：原式 ； 即当时，的最小值为2 请根据上述材料解决下列问题： （1）因式分解： （2）当为何值时，多项式有最小值？请求出这个最小值； （3）若，求的值； 【答案】（1）；（2）当时，代数式有最小值，最小值为3；（3） 【分析】本题主要考查了分解因式，完全平方公式，分式的化简求值，正确理解题意是解题的关键． （1）利用题中所给配方法进行计算即可； （2）利用题中所给配方法进行计算即可； （3）根据题意可得，则可推出，，，把所求式子变形得到，据此计算求解即可． 解：（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值，最小值为3； （3）解：当时，， ∴当时，， ∴，， ∴， ∴ ． 5．（25-26八年级上·湖南常德·期中）知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： （1）根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； （2）已知，求的值； （3）计算：_____________．（直接写出结果） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了整式的混合运算，分式的混合运算． （1）仿照例1，整体设元，分解因式； （2）仿照例2，整体代入化简求值； （3）仿照例1，令，，分解因式，代入化简结果求值即可． 解：（1）解：设， 原式 ， ； （2）解：， ； （3）解：令，， ， 原式 ， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·山东德州·阶段检测）【教材呈现】鲁教版八年级上册数学教材121页“阅读与思考”， 根据多项式的乘法法则，可知 那么，反过来，也有． 这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式． 例如：因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数， 符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数． 这样，我们也可以得到． 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式： 于是有：． （1）填空：因式分解； （2）化简： 【答案】（1）3；2；（2） 【分析】本题主要考查了分解因式以及分式的混合计算． （1）根据题意利用十字相乘法分解因式即可； （2）先把小括号内的两个分式的分子和分母都分解因式，然后化简，再计算分式除法即可得到答案． 解：（1）解：（1），， ； 故答案为：3；2； （2）解：原式 ． 【题型 3】因式分解 + 二次根式综合压轴（6题） 考法说明：借助因式分解对被开方数变形，结合二次根式双重非负性、最简根式、同类根式求解参数、化简求值，分类讨论为主要难点。 1．（24-25八年级下·安徽芜湖·阶段检测）【初步感知】 （1）已知，求的值． 【拓展应用】 对于这样的式子，我们可以利用“配方法”进行因式分解： ． （2）请解答：已知，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了二次根式运算、运用完全平方公式变形求值等知识，正确理解题意，熟练掌握完全平方公式的应用是解题关键． （1）首先根据完全平方公式可得，进而可得，进一步求解即可获得答案； （2）首先根据完全平方公式可得，进而可得，然后根据“配方法”求解即可． 解：（1）∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴； （2）， ∴， ∴， ， ∴． 2．（2024九年级下·山西·专题练习）（1）计算：； （2）下面是小明同学进行因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务． 因式分解： 解：原式    第一步     第二步     第三步 任务一： 填空： ①以上解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是______公式； ②第三步进行因式分解用到的方法是______法． 任务二： 同桌互查时，小明的同桌指出小明因式分解的结果是错误的，具体错误是______． 任务三： 小组交流的过程中，大家发现这个题可以先用公式法进行因式分解，再继续完成，请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）；（2）任务一：①完全平方；②提公因式；任务二：因式分解的结果不彻底，还可以进行因式分解；任务三：，过程见分析 【分析】（1）先根据零指数幂、负整数指数幂和平方差公式进行计算，然后再计算加减法即可； （2）按照给出的解答过程，进行分析解答即可． 解：（1） ； （2）任务一： ①以上解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是完全平方公式； ②第三步进行因式分解用到的方法是提公因式法， 故答案为：完全平方，提公因式． 任务二：同桌互查时，小明的同桌指出小明因式分解的结果是错误的，具体错误是因式分解的结果不彻底，还可以进行因式分解， 故答案为：因式分解的结果不彻底，还可以进行因式分解． 任务三： 原式 ． 【点拨】本题考查了实数的混合运算，平方差公式和完全平方公式，因式分解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．（23-24八年级下·山东临沂·期中）阅读下列材料，完成下列任务．小丽在数学资料上看到这样一道题：已知，求代数式的值． 解：， ． ． ． ． 任务： （1）在材料解答过程中，主要用了我们学过的数学知识是_________． A．因式分解        B．单项式与多项式的乘法 C．平方差公式        D．完全平方公式 （2）在材料解答的过程中，主要用的方法是_________． A．整体与化归    B．分类讨论    C．数形结合 （3）已知，求的值． 【答案】（1）D；（2）A；（3）6 【分析】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是读懂题意，能用整体思想解决问题． （1）在材料解答过程中，主要用的数学知识是完全平方公式； （2）在材料解答的过程中，主要用的思想方法是整体与化归思想； （3）由，可得，故． 解：（1）解：在材料解答过程中，主要用了我们学过的数学知识是完全平方公式； 故选：D； （2）解：在材料解答的过程中，主要用的思想方法是整体与化归思想； 故选：A； （3）解：， ， ， ， ； 故的值为6． 4．（24-25八年级上·江西宜春·开学考试）所谓配方，就是把一个多项式经过适当变形配成完全平方式．配方法除一元二次方程求根公式推导这一典型应用外，在因式分解、化简二次根式、证明恒等式、解方程、求代数式最值等问题中都有广泛应用．是一种 很重要、很基本的数学方法．如以下例1，例2： 例1：分解因式 解：原式 例2：化简： 解：原式 阅读以上材料，请回答以下问题： （1）分解因式：______； （2）化简：； （3）利用配方法求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）13 【分析】此题考查了配方法的应用， （1）利用例1中给出的方法分解因式即可； （2）利用例2中给出的方法求解，进一步开方即可； （3）分组分解，利用非负数的性质求得最小值即可． 解：（1） ； （2） ； （3） ∵， ∴ ∴的最小值是13． 5．（25-26八年级下·山东威海·期中）阅读下面材料，完成问题． 在二次根式运算中，部分代数式结构复杂，直接计算难度较大，我们可以通过观察结构、因式分解、倒数转化等方法化繁为简． （1）因式分解     合理分组     提取公因式     整体分解 （2）倒数转化 求代数式的值时，若原式不宜计算，可先求其倒数，再取倒数得结果． 已知，求代数式的值． 解：先求倒数： 代入： 所以 （3）灵活运用 请运用上述方法，解答下列问题 （1）问题1：因式分解：_________ （2）问题2：已知，求代数式的值． （3）问题3：化简： 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先将各二次根式分解为，再提出公因式，然后整体提出公因式即可； （2）先求出，再整理待求式的倒数，并代入求值，进而得出答案； （3）先将分子进行因式分解，然后借鉴（2）根据倒数转化的方法进行化简． 解：（1）解：原式 ； （2）解：∵， ∴， 即， ∴． ∵或0（舍去）， ∴； （3）解：， 设： ， ， 则原式， ， ． 6．（25-26八年级上·重庆·期中）阅读材料一：学习了整式乘法和因式分解后，同学们知道了多项式可以配成完全平方式，因为具有非负性，所以，这样的非负性有非常广泛的应用，比如：对任意正实数a，b，用，代替x，y可得： ∴ ∴， 当且仅当时，等号成立． 因此当a，b的乘积是一个定值时，可以求a，b和的最小值． 例：当时，，当且仅当，即时，有最小值为2． 阅读材料二：对于一个关于x的方程，我们也可以通过配方的方式把它变形为，从而解出该方程的解为． 例：若，则变形为， ∴该方程的解为， 化简后得：． 请同学们根据以上材料中的知识解决下列问题： （1）若，当_______时，式子的最大值为_______． （2）若，求出的最小值及对应的x的值． （3）已知关于的代数式，求M的最小值及此时a和x的值． 【答案】（1）3，；（2），；（3），， 【分析】本题考查了完全平方公式及非负性应用，利用配方法求复杂式子最值． （1）先将式子变形为，由于，根据完全平方式的非负性，对于正实数x和，有，计算的值，进而得到的最小值，再根据求出最大值，同时确定等号成立时x的值； （2）先将式子变形为，由于，根据完全平方式的非负性，对于正实数和，有，计算的值，进而得到的最小值，再根据求出最小值，同时确定等号成立时x的值； （3）先对M进行变形，将分子凑成含有的形式，由于，根据完全平方式的非负性，对于正实数，有，计算的值，进而得到的最小值，再根据求出最小值，当且仅当，，且，此时确定等号成立时x的值． 解：（1）解：由题意知，， 解得， ∵， ∴， 故答案为：3，． （2）解：， 当且仅当，即，解得， ∵， ∴时，的最小值为． （3）解： , 当时，． 当且仅当，，且， ∴，． 【题型 4】分式 + 二次根式综合压轴（6题） 考法说明：两大计算模块融合，优先利用根式性质确定字母取值范围，再进行分式运算、参数讨论；常考根式隐含条件 + 分式方程、分式最值问题。 1．（24-25九年级下·山东东营·阶段检测）若m、n满足，则______．分式有意义，则x的取值范围为______． 【答案】 16 且 【分析】此题考查了同底数幂的除法运算，分式和二次根式有意义的条件，直接利用同底数幂的除法运算法则将原式变形，进而计算得出答案．令该分式的分母不为零，二次根式的被开方数非负数，即可求出答案． 解：∵， ∴， ∴； ∵分式有意义， ∴，， 解得且． 故答案为：16；且． 2．（25-26八年级下·河南许昌·期中）【观察】，． 【感悟】在二次根式的运算中，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是分母有理化．像上述解题过程中，与，与相乘的积都不含二次根式，我们可以将每组中的两个式子称作互为有理化因式． 【运用】对于正整数，定义，例如：．求的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得出，由此计算即可得出结果，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解此题的关键． 解：由题意可得， ∴ ． 3．（23-24八年级下·广西南宁·期中）阅读材料：在进行二次根式运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化成有理数，这就是分母有理化．例如：，，根据材料化简： ______． 【答案】/ 【分析】本题考查了分母有理化．熟练掌握分母有理化是解题的关键． 根据分母有理化求解作答即可． 解：由题意知，， 故答案为：． 4．（2026·广东茂名·二模）化简分式：以下是某同学化简分式的部分运算过程： 解：原式① ② ……③． （1）上面的运算过程中第________步出现了错误； （2）请你写出完整的解答过程． （3）当时，请求上述分式的值． 【答案】（1）③；（2）见分析；（3） 【分析】（1）第③步，分子相减时，符号出错； （2）通分计算括号内，除法变乘法，再约分化简即可； （3）把代入（2）中结果，进行计算即可． 解：（1）解：第③步，分子相减时，符号出错； （2）解：原式 ； （3）解：当时，上式． 5．（24-25八年级下·北京海淀·期中）阅读材料： 小华在学习分式运算时，通过具体运算发现： ，，，… 在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律，请将下面的探究过程，补充完整． （1）具体运算： 特例1：； 特例2：； 特例3： （填写一个符合上述运算特征的例子）． （2）发现规律： （n为正整数），并证明此规律成立． （3）应用规律： 如果 的小数部分0.06，那么整数部分为 ． 【答案】（1）；（2）；见分析；（3）15 【分析】本题考查二次根式的混合运算，数字的变化类，掌握二次根式的混合运算的方法以及所列举代数式所呈现的规律是正确解答的关键． （1）由二次根式的运算规律即可得出答案； （2）由二次根式的运算规律即可得出一般性的规律； （3）根据规律计算出结果，再根据结果的小数部分求出的值，再求出结果的整数部分即可． 解：（1）由二次根式的运算规律可得， ， 故答案为：； （2）由二次根式的运算规律可得， ， 证明：左边 右边， 故答案为：； （3）原式 ， ∵结果的小数部分0.06，即， 解得， 经检验，是该分式方程的解， ∴结果的整数部分为． 故答案为：15． 6．（2026·湖南娄底·一模）以下是某同学化简分式的运算过程． 解：原式    ①     ②     ③ （1）以上的运算过程第______（填序号）步出现了错误； （2）写出正确的完整化简过程，并求出当时分式的值． 【答案】（1）③；（2）过程见分析； 【分析】（1）先对原式中的分子分母进行因式分解，再将除法转化为乘法，最后进行约分； （2）先对原式进行化简，再将代入化简后的式子求值． 解：（1）解：在第③步中，对进行约分，先将化为，分子分母同时约去和a，可得，而不是， ∴第③步错误． （2）解：正确的完整化简过程如下： 原式 ， 当时， ． 7．（24-25八年级下·贵州黔南·阶段检测）请你阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们已经知道，因此将分式的分子、分母同时乘“”分母就变成了1，例如． （1）计算：； （2）若为正整数，，，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算即可； （2）先利用分母有理化得到，，进而可得，，然后利用完全平方公式将变形为，进而可得，解方程即可求出的值． 解：（1）解： ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 或， 而， 的值为． 【点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化，完全平方公式，平方差公式等知识点，熟练掌握二次根式的运算法则及乘法公式是解题的关键． 8．（23-24八年级下·广西梧州·期中）阅读材料，并回答下列问题． 材料1：我们规定：如果两个含有二次根式的因式的积中不含根号，那么就称这两个因式互为有理化因式．如，，我们称与互为有理化因式、与互为有理化因式． 材料2：利用分式的基本性质和二次根式的运算性质，可以对进行如下的化简：，从而把分母中的根号化去，我们把这样的化简称为“分母有理化”． 问题： （1）的互为有理化因式是______；分母有理化_____； （2）与是否是互为有理化因式？并说明理由； （3）化简： 【答案】（1），；（2）是，见分析；（3） 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，解题的关键是掌握分母有理化的方法． （1）根据互为有理化因式以及分母有理化的定义进行逐个作答即可； （2）求出两个式子的积，再结合互为有理化因式的定义，即可得到答案； （3）根据阅读材料，每个项都进行分母有理化，再代入然后合并即可． 解：（1）解：∵ ∴的互为有理化因式是； ∵ ∴分母有理化； 故答案为：， （2）解：与是互为有理化因式，理由如下： ， 与是互为有理化因式； （3）解：∵ 以此类推 ． 【题型 5】因式分解、分式、二次根式三者融合压轴（8题） 考法说明：全模块综合，分多小问层层递进，第一问因式分解 / 根式化简铺垫条件，第二问分式运算与参数分析，第三问拓展最值、整数解、方案问题，是试卷压轴解答题主流形式。 1．（24-25八年级下·安徽芜湖·阶段检测）【初步感知】 （1）已知，求的值． 【拓展应用】 对于这样的式子，我们可以利用“配方法”进行因式分解： ． （2）请解答：已知，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了二次根式运算、运用完全平方公式变形求值等知识，正确理解题意，熟练掌握完全平方公式的应用是解题关键． （1）首先根据完全平方公式可得，进而可得，进一步求解即可获得答案； （2）首先根据完全平方公式可得，进而可得，然后根据“配方法”求解即可． 解：（1）∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴； （2）， ∴， ∴， ， ∴． 2．（2024九年级下·山西·专题练习）（1）计算：； （2）下面是小明同学进行因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务． 因式分解： 解：原式    第一步     第二步     第三步 任务一： 填空： ①以上解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是______公式； ②第三步进行因式分解用到的方法是______法． 任务二： 同桌互查时，小明的同桌指出小明因式分解的结果是错误的，具体错误是______． 任务三： 小组交流的过程中，大家发现这个题可以先用公式法进行因式分解，再继续完成，请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）；（2）任务一：①完全平方；②提公因式；任务二：因式分解的结果不彻底，还可以进行因式分解；任务三：，过程见分析 【分析】（1）先根据零指数幂、负整数指数幂和平方差公式进行计算，然后再计算加减法即可； （2）按照给出的解答过程，进行分析解答即可． 解：（1） ； （2）任务一： ①以上解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是完全平方公式； ②第三步进行因式分解用到的方法是提公因式法， 故答案为：完全平方，提公因式． 任务二：同桌互查时，小明的同桌指出小明因式分解的结果是错误的，具体错误是因式分解的结果不彻底，还可以进行因式分解， 故答案为：因式分解的结果不彻底，还可以进行因式分解． 任务三： 原式 ． 【点拨】本题考查了实数的混合运算，平方差公式和完全平方公式，因式分解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．（25-26八年级下·河南周口·期中）阅读理解：我们知道将一个二次根式乘以一个适当的二次根式后结果不再含有根号．因此利用这个性质结合二次根式除法法则、分式基本性质可以化去分母中的根号，例如： 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… 按上述规律，解答下列问题： （1）请写出第6个等式：_____； （2）请写出第个等式：_____；并通过计算证明你的结论； （3）计算：． 【答案】（1）；（2），证明见分析；（3） 【分析】本题考查平方差公式，分母有理化和二次根式的混合运算，能找出分母的有理化因式是解题的关键． （1）根据平方差公式，分母有理化化简即可； （2）根据二次根式乘法及平方差公式证明即可； （3）观察式子中间项相抵消只剩下和求和即可． 解：（1）解：； （2） 证明： 故结论正确． （3）解：=． 4．（25-26八年级上·上海闵行·期中）阅读材料： 数学中有些问题看起来复杂，但如果我们仔细分析代数式的结构，寻找其中隐藏的规律或联系，就能找到解决问题的钥匙． 常用的思路有： 1．代数式的变形：比如，一个分式的分母如果含有根号，我们可以通过“分母有理化”的方法，使其变得更容易计算； 2．整体的视角：有时我们不需要分别求出每一个部分的值，而是将它们看作一个整体，通过观察它们之间的相互关系，从而找到解决问题的方法． 请运用以上思路进行思考并解答以下各题： （1）已知，求的值； （2）计算：； （3）设实数，满足，求的值． 【答案】（1）2；（2）；（3）2025 【分析】本题考查二次根式的应用，掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键． （1）先将进行分母有理化后，得，再代入进行计算，即可作答； （2）先将其中的一项进行分母有理化后观察规律，再进行计算即可； （3）根据（1）和（2）得到的规律进行计算即可． 解：（1）解：； ； （2）解： ； （3）解：， ， 则 ①， 同理②， ∴①②得：， ， ． 5．（24-25八年级上·山东青岛·期中）【激活经验】 小明在学习有理数运算时，通过具体运算发现： ，，，… 在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：； 特例2：； 特例3： ______（填写一个符合上述运算特征的式子）． 【发现规律】 ______（，且n为整数） 【应用规律】 （1）______； （2）如果的小数部分是，那么整数部分为______． 【答案】激活经验：；发现规律：；应用规律：（1）（2）5 【分析】本题考查二次根式的混合运算，数字的变化类，掌握二次根式的混合运算的方法以及所列举代数式所呈现的规律是正确解答的关键． 激活经验：由二次根式的运算规律即可得出答案； 发现规律：由二次根式的运算规律即可得出一般性的规律； 应用规律：（1）根据规律计算出结果即可； （2）先根据规律得出原式为，再根据结果的小数部分求出的值，再求出结果的整数部分即可． 解：激活经验：由二次根式的运算规律可得： ； 发现规律：由二次根式的运算规律可得， ， 证明：左边 右边； 应用规律： （1） ； （2） ， ∵结果的小数部分，即， ∴ 解得：， 经检验，是该分式方程的解， ∴结果的整数部分为． 6．（24-25八年级上·北京昌平·期中）我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式． （1）下列式子中①，②，③，______是根分式（填写序号即可）； （2）写出根分式中x的取值范围______； （3）已知两个根分式． ①若，求的值； ②若是一个整数，且为整数，请直接写出的值：______． 【答案】（1）③；（2）且；（3）①；②或 【分析】（1）根据定义进行判断即可求解； （2）根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件进行计算即可求解； （3）①根据题意列出方程，解方程即可求解，最后要检验； ②先计算，根据是一个整数，为整数，求得的值，最后检验即可求解． 解：（1）解：①的分子不是二次根式，不是根分式， ②的分母不是整式，不是根分式， ③是根分式， 故答案为：③； （2）由题意得：，， 解得：，， 故x的取值范围是：且； 故答案为：且； （3）当，时， ①， ， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解； ② ， 是一个整数，且x为整数， 是一个整数， ， 解得：或1， 经检验，或1符合题意， 故答案为：3或1． 【点拨】本题考查了二次根式的性质，解分式方程，正确的计算是解题的关键． 7．（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）阅读下述材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”；与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如： 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小,也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如： 比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下： ， 因为，所以 再例如：求的最大值．做法如下： 解：由可知，而 当时，分母有最小值2，所以的最大值是2． 解决下述问题： （1）比较和的大小； （2）求的最大值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用分母有理化得：，，由，，可知，则，进而可得；； （2）根据二次根式有意义的性质可知，，逆用分母有理化得，当x＝1时，分母有最小值，此时分子有最大值，代入求值即可． 解：（1）解：， ， ∵ ，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意得：，， 则， ， 当x=1时，分母有最小值，此时分子有最大值， 故最大值为：， 故答案为：． 【点拨】本题考查了分母有理化，平方差公式的逆用，分母有理化是指把分母中的根号化去． 8．（23-24八年级下·湖南湘西·期中）阅读材料： 小明的数学兴趣小组在深度学习过程中，对“完全平方数（式）”有了更深刻的全面了解．他们先回顾“有理数”，知道1，4，，0．25，…，等这样的数，可以写成，，，，…他们称它们为完全平方数；然后回顾“整式的乘法与因式分解”这个章节，掌握了，等这样的整式，可以写成，，，…，他们称它们为完全平方式，他们发现这些数式的变形有时能给问题解决提供方便．现在，小明团队学习了“二次根式”后，能熟练把任意一个非负数改写成一个非负数的平方形式，如，，，，…，等，小明他们类比称这些非负数（式）为二次根式中的完全平方数（式）． 下面，请跟随他们探究、解答下列问题： （1）请分解因式：________________． （2）． 反之，，． （3）仿上例，化简：． （4）继续进行以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有： ． ∴，． 这样就找到了一种把类似的式子化为完全平方式的方法． 方法迁移：当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：__________，__________； 利用上述探索的结论，找一组正整数a、b、m、n， 使得：________，________，_________，_________； （5）若，且a、m、n均为正整数，求a的值． 【答案】（1）；（2）；；（3）；（4），；答案不唯一，13，4，1，2；（5）14或46 【分析】（1）根据解答即可． （2）根据公式的可逆性解答即可． （3）根据，化简即可． （4）根据，得：，； 答案不唯一，，，， （5）根据，得，整理，得，得或，计算a的值即可． 本题考查了完全平方公式的应用，分解因式，化简，计算，熟练掌握公式是解题的关键． 解：（1）∵, 故答案为：． （2）∵． ， ∴，, 故答案为：；． （3）∵， ∴． （4）∵， ∴，； 故答案为：，； 答案不唯一，，，， 故答案为：13，4，1，2． （5）∵， ∴， ∴， ∵a、m、n均为正整数， ∴或， ∴或， 故a的值为14或46． 【题型 6】含参数综合探究（8题） 考法说明：全程围绕参数展开，融合三大知识点，考查分类讨论、逻辑推理，区分度最高。 1．（25-26八年级上·山东烟台·期末）化简求值，其中与2，2构成三角形的三边，且为整数． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用三角形的三边关系求得的值，再代入计算即可求出值． 解： ， 与2，2构成三角形的三边， ， ， 为整数， ，2或3， 又，， 且， ， 当时，原式． 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）定义：若二次根式可以写成的形式（其中a、b、m、n为非负常数），则称为完整根式，是的完整平方根，例如：∵，∴是完整根式，是的完整平方根． （1）若完整根式的完整平方根为，a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a和b； （2）若，且a、n为正整数，则______； （3）试判断是否是完整根式的完整平方根，并说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）是，理由见分析 【分析】本题考查完整根式，完整平方根的理解； （1）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （2）利用完全平方公式求解即可； （3）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； 解：（1）解：∵的完整平方根是， ∴． ∴． ∵，，，都是有理数， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∵a、n为正整数， ∴，， 解得，， 故答案为：10； （3）解：是完整根式的完整平方根， 理由：∵，即， ∴是完整根式， ∴是完整根式的完整平方根． 3．（25-26八年级上·北京密云·期末）如果两个分式M与N的和为k（k为正整数），则称M与N互为“和整分式”，其中k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，． （1）已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，求出k的值； （2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且． ①求G所代表的代数式； ②若x为整数，分式D的值为正整数，直接写出x的值． 【答案】（1）是，；（2）①②或0 【分析】本题考查分式的加减法，分式方程，分式的值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据分式的加减法的运算法则求出，即可得出结论． （2）①由题意可得，再去分母、整理求出的值即可． ②将①所求的值代入，再化简得到最简结果，根据为整数，分式的值也为正整数可得出的值． 解：（1）解：， 与互为“和整分式”，“和整值” ； （2）解：①，，与互为“和整分式”，且“和整值” ， ， ， ； ②， ． 分式的值为正整数， 或， 当时，， 当时，， 值为或0． 4．（25-26八年级上·北京石景山·期末）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律． 第1个等式； 第2个等式； 第3个等式； 第4个等式； 第5个等式_________（根据规律填空） （2）观察、归纳、得出猜想． 第n个等式为_________（用含n的式子表示，n为正整数） （3）证明你的猜想； （4）应用运算规律． 若（a，b均为正整数），则的值为_________． 【答案】（1）；（2）；（3）见分析；（4） 【分析】本题考查规律型、数字的变化类、二次根式的混合运算，解题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并应用规律解题．（1）根据题目中的例子并计算可以写出第5个等式；（2）根据（1）中特例及发现规律，可以写出相应的猜想；（3）根据猜想的左边利用分式的通分和二次根式的性质进行化简发现与右边一样即可；（4）根据（2）中的规律对比即可求解． 解：（1）解：， 故答案为：； （2）解：第n个等式为， 故答案为：； （3）证明： ； （4）解：根据和，得 ， 解得， ∴， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·广东汕头·期末）（1）【观察】；； 【猜想】若为正整数，请你猜想第个等式（用含的式子表示），并证明． （2）【拓展】 ①利用你发现的规律计算：； ②利用上述规律解答：若的值为，求n的值． 【答案】（1），证明见分析；（2）①；②25 【分析】本题考查了分式规律探究，异分母减法，分式方程，理解题意，观察得到规律，并熟练掌握分式的运算法则是解题关键． （1）由题意给的规律即可通过分式的减法进行证明； （2）①根据裂项，每项拆分为两个分数之差，将所有项相加，中间项相互抵消即可求解； ②根据题目的意思，裂项合并后，得到分式方程即可求解． 解：（1）解：第n个等式为：； 证明如下： ． （2）解：① ． ②∵ ， ∴， 解得， 经检验是分式方程的解， 的值为25． 6．（25-26八年级上·福建福州·期末）对于分式与，若（为常数），则称是的“级牵挂分式”，如分式，则是的“3级牵挂分式”． （1）若分式是分式的“级牵挂分式”，则的值为____________； （2）已知分式，且分式是分式的“2级牵挂分式”， ①求（用含的式子表示）； ②若的值为正整数，为正整数，求的值． （3）已知分式（为整数），是的“级牵挂分式”，若，请用含的代数式表示和． 【答案】（1）；（2）①；②当时，；当时，；（3）当时，；当时， 【分析】本题主要考查了分式的减法运算，正确理解“级牵挂分式”的定义是解题的关键． （1）计算出的结果即可得到答案； （2）①根据题意可得，据此去分母求解即可；②可得，则根据题意可得为正整数，且6能被整除，据此建立方程求解即可； （3）根据题意可得，则可推出，，进一步可得，根据a、b都是整数，可推出是一个完全平方数，则，据此求解即可． 解：（1）解：， ∴分式是分式的“级牵挂分式”， ∴； （2）解：①∵分式，且分式是分式的“2级牵挂分式”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②由（2）①得， ∵的值为正整数，为正整数， ∴为正整数，且6能被整除， ∴或或或， 解得或或（舍去）或（舍去）； 当时，； 当时，； （3）解：∵分式（为整数），是的“级牵挂分式”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵k为常数， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵a、b都是整数， ∴是整数， ∴是一个完全平方数， 又∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则， ∴； 当时，则， ∴ 7．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）对于三个数，，，用表示这三个数的平均数；用表示这三个数中最小的数．如：，． （1）填空：________；________； （2）如果，求的值； （3）关于的方程有解，求常数的取值范围． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】（1）根据定义，直接计算平均数和比较三个实数的大小即可； （2）先计算，可知，据此列出不等式组，即可解答； （3）设，采用数形结合的方法，画出图象，根据图象需要先求得和的交点，然后求得经过该交点时的m值，结合图象即可解答． 解：（1）解：， ， ， ． 故答案为：；． （2）解：， ， ， ∴； （3）解：设， 画出图象，如图①， 由图象得， 当时，， 解得， ， 当过点时，则，解得， 如图②，由图象得常数的取值范围是． 【点拨】本题考查了二次根式的运算，实数的大小比较，整式的运算，解不等式组，一次函数图象与性质，灵活运用以上知识点，采用数形结合的方法是解题的关键． 8．（25-26八年级上·福建福州·期末）【问题初探】 小菲在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，…，在学习二次根式运算时，小菲根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：；特例2：； 特例3：________________________（填写一个符合上述运算特征的式子） 【发现规律】 ______．（，且n为整数） 【应用规律】 （1）计算：； （2）如果（，且为整数）的小数部分是，求出整数部分． 【答案】问题初探： 发现规律： 应用规律：（1）；（2）9 【分析】问题初探：直接通过计算求解即可； 发现规律：通过计算，化去根号即可； 应用规律：（1）利用规律求解； （2）先利用规律化简，再根据小数部分求得，进而求出整数部分． 解：问题初探：解： 故答案为：； 发现规律：解： 故答案为：； 应用规律：（1）解： （2）解： 当小数部分是时， ， 解得：， 经检验是分式方程的根， ∴整数部分是． 【点拨】本题考查了数字类规律探索，分式加减混合运算，二次根式的混合运算，解分式方程（化为一元一次）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $