八年级下册期末数学复习专题二（选择填空篇）（6大考点29类题型）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

八年级下册期末数学复习专题二（选择填空篇）（6大考点29类题型） 苏科版八年级下册数学期末考试的选择题和填空题通常紧扣教材核心知识点，注重基础概念、计算能力和简单应用。本专题结合历年来江苏地区期末考试的特点，分为6个方面汇编了典型题型，供大家期末高效复习使用！ 第一部分 考点与题型目录 【考点一】概念与性质辨析型 【题型一】普查与抽样调查..........................................................................................................................2 【题型二】频数与频率..................................................................................................................................2 【题型三】确定事件与随机事件..................................................................................................................2 【题型四】频率与概率..................................................................................................................................2 【题型五】中心对称图形与轴对称图形......................................................................................................3 【题型六】平行四边形..................................................................................................................................3 【题型七】矩形、菱形、正方形..................................................................................................................4 【题型八】分式的基本性质..........................................................................................................................4 【题型九】最简二次根式与同类二次根式..................................................................................................4 【考点二】计算化简求值型 【题型十】分式的意义..................................................................................................................................5 【题型十一】二次根式的意义......................................................................................................................5 【题型十二】增根与无解..............................................................................................................................6 【题型十三】分式的运算化简求值..............................................................................................................6 【题型十四】解分式方程..............................................................................................................................6 【题型十五】二次根式的运算化简求值......................................................................................................7 【考点三】图象分析型 【题型十六】统计图的选用..........................................................................................................................7 【题型十七】频数分布直方图......................................................................................................................8 【题型十八】反比例函数图象......................................................................................................................9 【题型十九】反比例函数与一次函数图象综合.........................................................................................10 【考点四】几何判定推理、求值型 【题型二十】图形的旋转.............................................................................................................................12 【题型二十一】平行四边形.........................................................................................................................13 【题型二十二】矩形、菱形、正方形.........................................................................................................13 【题型二十三】反比例函数与几何综合.....................................................................................................14 【考点五】几何综合型 【题型二十四】平行四边形与几何变换.....................................................................................................15 【题型二十五】矩形、菱形、正方形与几何变换.....................................................................................15 【题型二十六】反比例函数几何综合.........................................................................................................16 【题型二十七】反比例函数与一次函数几何综合.....................................................................................17 【考点六】实际应用型 【题型二十八】列分式方程解应用题.........................................................................................................18 【题型二十九】反比例函数的应用.............................................................................................................19 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】概念与性质辨析型 【题型一】普查与抽样调查 1．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）下列调查中，适宜用普查的是（    ） A．了解某品牌灯泡的使用寿命 B．审核书稿中的错别字 C．了解《今日生活》节目的收视率 D．了解公民保护环境的意识 2．（23-24八年级下·江苏南京·期末）2024年南京市有67011名初中毕业生参加升学考试，为了了解这67011 名考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计，在这个问题中样本是（     ） A．67011名考生 B．抽取的2000名考生 C．67011名考生的数学成绩 D．抽取的2000名考生的数学成绩 3．（23-24七年级下·江苏南通·期末）某校开展课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：乒乓球、排球、篮球、足球．为了解学生最喜欢哪种运动项目，随机选取若干名学生进行问卷调查（每位学生仅选一种）．若最喜欢足球的学生为80人，占比40％，则样本容量为 ． 【题型二】频数与频率 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）已知一个样本中，50个数据分别落在5个组内，第一、二、四、五组数据的个数分别为2，8，20，5，则第三组的频率为 ． 2．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）在一个样本中，个数据分别落在5个小组内，第1、3、4、5小组的频数分别是3，，，5，则第2小组的频数是 ． 3．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）为丰富学生的课外生活，学校开展游园活动，小丽同学在套圈游戏中一共套圈15次，套中6次，则小丽套圈套中的频率是（    ） A． B． C． D． 【题型三】确定事件与随机事件 1．（24-25九年级上·江苏南通·期末）事件A：我市某射击运动员射击三次，刚好都射中靶心，事件B：连续掷四次一角硬币，每次都是正面朝上则（    ） A．事件A和事件B都是必然事件 B．事件A是随机事件，事件B是不可能事件 C．事件A是必然事件，事件B是随机事件 D．事件A和事件B都是随机事件 2．（23-24八年级下·江苏南京·期末）下列事件为必然事件的是（    ） A．个人里有人的生日相同 B．标准大气压下，温度低于时冰融化 C．抛出的篮球会下落 D．买一张电影票，座位号是奇数 3．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）小明和小丽按如下规则做游戏：桌面上放有17根火柴棒，每次取1根或2根，最后取完者获胜．若由小明先取，且小明一定获胜，则小明第一次取走火柴棒的根数是 ． 【题型四】频率与概率 1．（2023·江苏泰州·中考真题）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（    ） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数越多，f越接近于P D．当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定 2．（21-22八年级下·江苏宿迁·期中）从一副扑克牌中任意抽取1张，下列事件发生的可能性最大的是（    ） A．这张牌是“A” B．这张牌是“大王” C．这张牌是“黑桃” D．这张牌的点数是10 3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）小乐同学将新华书店的阅读二维码打印在面积为的正方形纸上，如图所示，为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.4左右，据此可以估计黑色部分的面积约为 ． 【题型五】中心对称图形与轴对称图形 1．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（   ） A．正方形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．平行四边形 3．（2021·河北石家庄·一模）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．一棋谱中四部分的截图由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（    ） A． B． C． D． 【题型六】平行四边形 1．（2023·湖南·中考真题）如图，在四边形中，，添加下列条件后仍不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏南京·期末）在四边形中，、相交于点，下列选项中，不能判定是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是直角或钝角”时，则首先应该提出假设是：这个四边形中 ． 【题型七】矩形、菱形、正方形 1．（21-22九年级上·河南郑州·期末）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（     ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 2．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）菱形具有矩形不一定具有的性质是（    ） A．对边相等 B．对边平行 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 3．（21-22八年级下·江苏泰州·阶段练习）下列性质中，矩形具有而菱形不一定具有的是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．邻边相等 【题型八】分式的基本性质 1．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）下列式子从左到右，变形正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）把分式中的a，b，c都扩大为原来的4倍，那么分式的值（    ） A．变为原来的4倍 B．变为原来的8倍 C．变为原来的 D．不变 3．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）分式、、的最简公分母是 ． 【题型九】最简二次根式与同类二次根式 1．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（23-24八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若与最简二次根式可以合并，则 ． 【考点二】计算化简求值型 【题型十】分式的意义 1．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）下列分式中，一定有意义的分式是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24八年级下·江苏扬州·期末）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏宿迁·二模）兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组的值,得到了如图函数图象，借助学习函数的经验，可以推断输入的的值满足（    ） A． B． C． D． 【题型十一】二次根式的意义 1．（23-24八年级下·江苏南京·期末）关于函数的描述，正确的是（   ）． A．它的自变量取值范围是全体实数 B．它的图象关于原点成中心对称 C．它的图象关于直线成轴对称 D．在自变量的取值范围内，y随x的增大而增大 2．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若关于x的方程存在整数解，则正整数m的所有取值的和为 ． 3．（23-24八年级下·黑龙江佳木斯·期中）要使式子有意义，则m的取值范围是 ． 4．（20-21八年级下·湖南长沙·期末）若式子，有意义，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【题型十二】增根与无解 1．（23-24八年级下·福建泉州·期中）若关于x的分式方程 有增根，则a的值为（     ） A．4 B． C．3 D． 2．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）关于的分式方程有增根，则的值为 ． 3．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）若关于x的方程有增根，则m的值为 ． 【题型十三】分式的运算化简求值 1．（23-24八年级下·江苏·期末）化简： ． 2．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）八下数学《伴你学》第55页有这样一段表述：当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．任何一个假分式都能化成整式和真分式的代数和的形式．如： 阅读完这段文字后，小丽认为，当时，随着x的不断增大，的值会无限接近一个数．类比上述过程，当时，随着x的不断增大，的值会无限接近的一个数是 ． 3．（2023·河北石家庄·模拟预测）代数式（x为整数）的值为．则为整数值的个数有（    ） A．0个 B．7个 C．8个 D．无数个 【题型十四】解分式方程 1．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 2．（23-24八年级下·江苏南京·期末）定义两种新运算“”和“”，其运算规则为，，若，则 ． 3．（23-24八年级上·江苏南通·期末）我们把形如（，不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．如，为“十字分式方程”，其可转化为，则，．若时，关于的“十字分式方程”的两个解分别为，且，则的值为（    ） A． B． C．-2 D．2 【题型十五】二次根式的运算化简求值 1．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期末）若，且，则 ． 3．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知，则代数式的值为 ． 【考点三】图象分析型 【题型十六】统计图的选用 1．（2024·江苏盐城·中考真题）甲、乙两家公司年的利润统计图如下，比较这两家公司的利润增长情况（    ）    A．甲始终比乙快 B．甲先比乙慢，后比乙快 C．甲始终比乙慢 D．甲先比乙快，后比乙慢 2．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船成功发射，成为我国航天事业的里程碑，某校对全校名学生进行了“航空航天知识”了解情况的调查，调查结果分为A，B，C，D四个等级（A：非常了解；B：比较了解；C：了解；D：不了解）．随机抽取了部分学生的调查结果，绘制成两幅不完整的统计图．根据统计图信息，下列结论不正确的是（    ）    A．样本容量是 B．样本中C等级所占百分比是 C．D等级所在扇形的圆心角为 D．估计全校学生A等级大约有人 3．（23-24九年级下·江西九江·期中）在九年级的一次考试中，某道单项选择题的作答情况如图所示，由统计图可得选C的人数是 ． 【题型十七】频数分布直方图 1．（2024·云南昭通·一模）如图是某地的气温曲线和降水量柱状图，根据图中信息推断，下列说法正确的是（    ） A．1月平均气温在以下，降水量多 B．从4月到10月，气温逐渐升高 C．7月份以后，降水量逐渐减少 D．冬冷夏热，7、8月份的降水较多 2．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）某养羊专业户对130只羊的质量进行统计，得到如图所示的频数直方图（每一组含前一个边界值，不含后一值）如图所示，其中质量在 及以上的羊有 只． 3．（21-22七年级下·江苏南通·期末）为了解某校八年级男生的体能情况，从该校八年级抽取50名男生进行1分钟跳绳测试，把所得数据整理后，画出频数分布直方图．已知图中从左到右第一、第二、第三、第四小组的频数的比为1：3：4：2．由此估计该校八年级1分钟跳绳次数在100次以上（含100次）的人数占全体男生人数的百分比是 ． 【题型十八】反比例函数图象 1．（22-23九年级上·江苏盐城·期末）公元前三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时，给出“赵爽弦图”，如图，数学课上数学老师把该图放置在在平面直角坐标系中，如图，此时正方形的顶点A的坐标为，顶点B的横坐标为3，若反比例函数的图像经过B，C两点，则的值为（   ） A．12 B．15 C．18 D．21 2．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，点在反比例函数图像上，且，过作轴，垂足为，的垂直平分线交于，则的周长为（　　） A．7 B．8 C． D． 3．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）如图，反比例函数，点位于反比例函数图像上，垂直于轴，点在轴从上往下运动的过程中，三角形的面积变化情况是（    ）    A．不变 B．一直变大 C．先变大后变小 D．先变小后变大    【题型十九】反比例函数与一次函数图象综合 1．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，一次函数与反比例函数相交于A，B两点，A，B两点的横坐标分别为1和3，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C．或 D．或 3．（2024·宁夏银川·一模）如图，一次函数与函数的图象相交于点，．下列说法错误的是（    ）    A．两图象的交点的坐标为 B．一次函数与反比例函数都随x的增大而增大 C．若，则的取值范围是或 D．连接、，则的面积是 4．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，一次函数与的图象与反比例函数的图象在第一象限分别交于A、B两点，已知面积为3，则k的值为 ． 【考点四】几何判定推理、求值型 【题型二十】图形的旋转 1．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转后，点B的坐标为（       ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，将绕点A顺时针旋转得到，点恰好落在上，连接，若，则 ． 3．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，将绕点B逆时针旋转得，连接，若，，则 ． 【题型二十一】平行四边形 1．（23-24八年级下·江苏南京·期末）在四边形中，、相交于点，下列选项中，不能判定是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（22-23九年级上·山西忻州·期中）平行四边形绕点A逆时针旋转，得到平行四边形（点与点B是对应点，点与点C是对应点，点与点D是对应点），点恰好落在边上，与交于点E，则 ． 3．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点和顶点，直线以每秒1个单位长度向上移动，经过 秒该直线可将平行四边形的面积平分． 【题型二十二】矩形、菱形、正方形 1．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．有一个角是直角 2．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，E、F分别是、的中点，若，，则的长为 ． 3．（2023·湖南长沙·二模）如图，平行四边形中，在上截取，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于，若，，则的长为 ． 【题型二十三】反比例函数与几何综合 1．（23-24九年级下·湖南常德·阶段练习）如图，O是坐标原点，点B位于第一象限，轴于点D，， C为的中点，连接， 过点B作交x轴于点A， 若反比例函数的图象经过的中点C， 与线段交于点E，则的长为 （   ） A．0.45 B． C．0.75 D． 2．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形的顶点在反比例函数的图像上，点B在x轴正半轴上，将该菱形向上平移，使点B的对应点D落在反比例函数的图像上，则图中 ．      3．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，已知是x轴上的点，且，分别过点作x轴的垂线交反比例函数的图象于点，过点作于点，过点作于点……，记的面积为，的面积为……，的面积为，则 ． 【考点五】几何综合型 【题型二十四】平行四边形与几何变换 1．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）如图，在菱形中，是的中点．过点作，垂足为．将沿点到点的方向平移，得到．设分别是的中点，当点与点重合时，四边形的面积为（    ）      A． B． C． D． 2．（20-21八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到，连接、，则的最小值为 ． 3．（2024·福建泉州·三模）如图，将折叠，使点A落在边上的点F处，折痕为．已知，则四边形的周长为 ． 【题型二十五】矩形、菱形、正方形与几何变换 1．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）如图，将四边形纸片沿折叠，使点落在上的点处，点在上；再将、分别沿、折叠，此时点、都落在上的点处．若，则当四边形是平行四边形时， ．    2．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，，E，F分别是，上的点．现将四边形沿折叠，点A、B的对应点分别为M、N，且点N恰好落在上．连接，过B作，垂足为G，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．7 3．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，四边形为正方形，为等边三角形，将绕点A旋转，若，则的度数为（    ）    A． B． C．或 D．或 【题型二十六】反比例函数与几何综合 1．（20-21八年级下·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO，点B（10，8），点D在BC边上，连接AD，把ABD沿AD折叠，使点B恰好落在OC边上点E处，反比例函数（k≠0）的图象经过点D，则k的值为（　　） A．20 B．30 C．40 D．48 2．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形的顶点在反比例函数的图像上，点B在x轴正半轴上，将该菱形向上平移，使点B的对应点D落在反比例函数的图像上，则图中 ．      3．（19-20八年级下·江苏常州·期末）等边△AOB的边长为4，如图所示地放置在平面直角坐标系中，点B绕点A旋转30°，恰好落在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则k＝ ．    【题型二十七】反比例函数与一次函数几何综合 1．（23-24九年级下·湖南常德·阶段练习）如图，O是坐标原点，点B位于第一象限，轴于点D，， C为的中点，连接， 过点B作交x轴于点A， 若反比例函数的图象经过的中点C， 与线段交于点E，则的长为 （   ） A．0.45 B． C．0.75 D． 2．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，双曲线与直线交于，B两点，将直线向下平移n个单位，平移后的直线与双曲线在第一象限的分支交于点C，连接并延长交x轴于点D．若点C恰好是线段的中点，则n的值为 ． 3．（23-24八年级下·江苏常州·期末）如图，直线与反比例函数交于A、B两点，过点B作x轴的平行线，点C是该平行线上的一点，连接，使得，过点C作x轴的垂线交于点D，以为边作矩形，若，则 ． 【考点六】实际应用型 【题型二十八】列分式方程解应用题 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格多30元，用1800元购进篮球的数量比用900元购进足球的数量多4个．如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2022·湖北襄阳·中考真题）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，射线、分别表示买牛肉和买猪肉所需费用（单位：元）与购买数量（单位：千克）的关系，已知买牛肉每千克所需的费用比买猪肉每千克所需的费用的倍少元，设买猪肉每千克所需的费用为元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【题型二十九】反比例函数的应用 1．（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为（   ） A． B． C． D． 2．（2022·广西南宁·一模）某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 3．（22-23九年级上·山东潍坊·期末）饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中，水温与开机时间分满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中，水温与开机时间x分成反比例函数关系），当水温降至时，饮水机又自动开始加热，……如此循环下去（如图所示）．那么开机后分钟时，水的温度是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下册期末数学复习专题二（选择填空篇）（6大考点29类题型） 苏科版八年级下册数学期末考试的选择题和填空题通常紧扣教材核心知识点，注重基础概念、计算能力和简单应用。本专题结合历年来江苏地区期末考试的特点，分为6个方面汇编了典型题型，供大家期末高效复习使用！ 第一部分 考点与题型目录 【考点一】概念与性质辨析型 【题型一】普查与抽样调查..........................................................................................................................2 【题型二】频数与频率..................................................................................................................................3 【题型三】确定事件与随机事件..................................................................................................................4 【题型四】频率与概率..................................................................................................................................5 【题型五】中心对称图形与轴对称图形......................................................................................................6 【题型六】平行四边形..................................................................................................................................8 【题型七】矩形、菱形、正方形..................................................................................................................9 【题型八】分式的基本性质.........................................................................................................................10 【题型九】最简二次根式与同类二次根式.................................................................................................11 【考点二】计算化简求值型 【题型十】分式的意义.................................................................................................................................12 【题型十一】二次根式的意义.....................................................................................................................14 【题型十二】增根与无解.............................................................................................................................16 【题型十三】分式的运算化简求值.............................................................................................................17 【题型十四】解分式方程.............................................................................................................................19 【题型十五】二次根式的运算化简求值.....................................................................................................20 【考点三】图象分析型 【题型十六】统计图的选用.........................................................................................................................23 【题型十七】频数分布直方图.....................................................................................................................24 【题型十八】反比例函数图象.....................................................................................................................26 【题型十九】反比例函数与一次函数图象综合.........................................................................................29 【考点四】几何判定推理、求值型 【题型二十】图形的旋转.............................................................................................................................33 【题型二十一】平行四边形.........................................................................................................................36 【题型二十二】矩形、菱形、正方形.........................................................................................................38 【题型二十三】反比例函数与几何综合.....................................................................................................41 【考点五】几何综合型 【题型二十四】平行四边形与几何变换....................................................................................................44 【题型二十五】矩形、菱形、正方形与几何变换....................................................................................48 【题型二十六】反比例函数几何综合........................................................................................................52 【题型二十七】反比例函数与一次函数几何综合....................................................................................55 【考点六】实际应用型 【题型二十八】列分式方程解应用题.......................................................................................................59 【题型二十九】反比例函数的应用...........................................................................................................61 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】概念与性质辨析型 【题型一】普查与抽样调查 1．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）下列调查中，适宜用普查的是（    ） A．了解某品牌灯泡的使用寿命 B．审核书稿中的错别字 C．了解《今日生活》节目的收视率 D．了解公民保护环境的意识 【答案】B 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的选择，熟练掌握所要考查的对象的特征灵活选用调查方式，是解题的关键．一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多；而抽样调查得到的调查结果比较近似，但但所费人力、物力和时间较少．根据调查的性质和特点，选择调查方式，逐一判断． 解：A．了解某品牌灯泡的使用寿命， ∵某品牌灯泡的使用寿命调查最适合的方式抽查， ∴不符合题意； B．审核书稿中的错别字， ∵审核书稿中的错别字调查最适合的方式全面调查， ∴符合题意； C．了解《今日生活》节目的收视率， ∵了解《今日生活》节目的收视率调查最适合的方式抽查， ∴不符合题意； D．了解公民保护环境的意识， ∵了解公民保护环境的意识调查最适合的抽查， ∴不符合题意； 故选：B． 2．（23-24八年级下·江苏南京·期末）2024年南京市有67011名初中毕业生参加升学考试，为了了解这67011 名考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计，在这个问题中样本是（     ） A．67011名考生 B．抽取的2000名考生 C．67011名考生的数学成绩 D．抽取的2000名考生的数学成绩 【答案】D 【分析】本题考查了总体、个体、样本和样本容量：我们把所要考查的对象的全体叫做总体；把组成总体的每一个考查对象叫做个体；从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；一个样本包括的个体数量叫做样本容量． 根据样本的定义：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本进行解答即可． 解：从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计， ∴在这个问题中样本是抽取的2000名考生的数学成绩． 故选：D． 3．（23-24七年级下·江苏南通·期末）某校开展课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：乒乓球、排球、篮球、足球．为了解学生最喜欢哪种运动项目，随机选取若干名学生进行问卷调查（每位学生仅选一种）．若最喜欢足球的学生为80人，占比40％，则样本容量为 ． 【答案】200 【分析】此题主要考查了样本容量，正确掌握样本容量的定义是解题关键．根据样本容量喜欢足球人数所占百分比，进而得出答案． 解：根据题意可得，样本容量为：． 故答案为：200． 【题型二】频数与频率 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）已知一个样本中，50个数据分别落在5个组内，第一、二、四、五组数据的个数分别为2，8，20，5，则第三组的频率为 ． 【答案】0.3 【分析】本题考查频数与频率．每组的数据个数就是每组的频数，50减去第一、二、四、五组数据的个数就是第三组的频数，据此求解即可． 解：， ， 则第三组的频率为． 故答案为：． 2．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）在一个样本中，个数据分别落在5个小组内，第1、3、4、5小组的频数分别是3，，，5，则第2小组的频数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了频数，根据题意可得：第1、3、4、5个小组的频数分别为3，，，4，样本总数为，即可得，掌握各小组频数之和等于数据总和是解题的关键． 解：根据题意可得：第1、3、4、5个小组的频数分别为3，，，4， 又∵样本总数为， ∴第二小组的频数是：， 故答案为：． 3．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）为丰富学生的课外生活，学校开展游园活动，小丽同学在套圈游戏中一共套圈15次，套中6次，则小丽套圈套中的频率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据频率频数总数求解即可． 解：小丽同学在套圈游戏中一共套圈15次，套中6次，则小丽套圈套中的频率是， 故选：A． 【点拨】本题主要考查频数与频率，解题的关键是掌握“频率频数总数”． 【题型三】确定事件与随机事件 1．（24-25九年级上·江苏南通·期末）事件A：我市某射击运动员射击三次，刚好都射中靶心，事件B：连续掷四次一角硬币，每次都是正面朝上则（    ） A．事件A和事件B都是必然事件 B．事件A是随机事件，事件B是不可能事件 C．事件A是必然事件，事件B是随机事件 D．事件A和事件B都是随机事件 【答案】D 【分析】本题考查了必然事件“必然事件发生的可能性为1”与随机事件“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件”，熟练掌握定义是解题关键．根据必然事件和随机事件的定义求解即可得． 解：我市某射击运动员射击三次，刚好都射中靶心，是随机事件， 连续掷四次一角硬币，每次都是正面朝上，是随机事件， 所以事件和事件都是随机事件， 故选：D． 2．（23-24八年级下·江苏南京·期末）下列事件为必然事件的是（    ） A．个人里有人的生日相同 B．标准大气压下，温度低于时冰融化 C．抛出的篮球会下落 D．买一张电影票，座位号是奇数 【答案】C 【分析】本题考查了必然事件、随机事件和不可能事件，根据必然事件、随机事件和不可能事件的定义逐项判断即可求解，掌握必然事件、随机事件和不可能事件的定义是解题的关键． 解：、个人里有人的生日相同，是随机事件，该选项不合题意； 、标准大气压下，温度低于时冰融化是不可能事件，该选项不合题意； 、抛出的篮球会下落是必然事件，该选项符合题意； 、买一张电影票，座位号是奇数是随机事件，该选项不合题意； 故选：． 3．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）小明和小丽按如下规则做游戏：桌面上放有17根火柴棒，每次取1根或2根，最后取完者获胜．若由小明先取，且小明一定获胜，则小明第一次取走火柴棒的根数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了必然事件．判断出使两人所取的根数之和为3是解题的关键． 由题意知，小明第一次取2根，然后保证第二次所取的根数和小丽所取的根数和为3，则小明必然要取到第根． 解：由题意知，小明第一次取2根，然后保证第二次所取的根数和小丽所取的根数和为3，则小明必然要取到第根火柴，小明一定获胜， ∴小明先取，第一次取走2根， 故答案为：2． 【题型四】频率与概率 1．（2023·江苏泰州·中考真题）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（    ） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数越多，f越接近于P D．当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【分析】根据频率的稳定性解答即可． 解：在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个性质称为频率的稳定性． 故选：D． 【点拨】本题考查了频率与概率，掌握频率的稳定性是关键． 2．（21-22八年级下·江苏宿迁·期中）从一副扑克牌中任意抽取1张，下列事件发生的可能性最大的是（    ） A．这张牌是“A” B．这张牌是“大王” C．这张牌是“黑桃” D．这张牌的点数是10 【答案】C 【分析】根据概率的公式，分别计算出概率，比较即可． 解：A、一副扑克牌共54张，共54种等可能结果，抽取“A”的结果有4种，所以概率=， B、一副扑克牌共54张，共54种等可能结果，抽取“大王”的结果有1种，所以概率=， C、一副扑克牌共54张，共54种等可能结果，抽取“黑桃”的结果有13种，所以概率=， D、一副扑克牌共54张，共54种等可能结果，抽取这张牌的点数是10有4种，所以概率=， ∵＞＞， ∴发生的可能性最大的事件是从一副扑克牌中任意抽取1张，抽到这张牌是“黑桃”， 故选：C． 【点拨】本题考查了概率的求法，解题的关键是掌握如果一个试验有 n 种等可能的结果，事件 A 包含其中的 k 种结果，那么事件 A 发生的概率为 P （ A ）=． 3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）小乐同学将新华书店的阅读二维码打印在面积为的正方形纸上，如图所示，为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.4左右，据此可以估计黑色部分的面积约为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率的知识．利用频率估计概率，然后计算得出结论即可． 解：， 即黑色部分的面积约为， 故答案为：． 【题型五】中心对称图形与轴对称图形 1．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的性质，解题的关键是掌握判断方法，轴对称图形是要寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后两部分重合．根据轴对称图形和中心对称图形的概念即可判断． 解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，但是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（   ） A．正方形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形； 中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据轴对称图形、中心对称图形的定义即可判断． 解：A、正方形是中心对称图形，又是轴对称图形不符合题意； B、等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； C、直角三角形不是中心对称图形，不一定是轴对称图形，不符合题意； D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意． 故选：D． 3．（2021·河北石家庄·一模）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．一棋谱中四部分的截图由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解． 解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 选项B、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 故选：A． 【题型六】平行四边形 1．（2023·湖南·中考真题）如图，在四边形中，，添加下列条件后仍不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟记平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 解：A．∵，， ∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意； B．∵，， ∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意； C．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意； D．∵，， ∴四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级下·江苏南京·期末）在四边形中，、相交于点，下列选项中，不能判定是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理逐一判断即可求解，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 解：、，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，该选项能判定是平行四边形，不合题意； 、，，该选项不能判定是平行四边形，符合题意； 、，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，该选项能判定是平行四边形，不合题意； 、，，根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形，该选项能判定是平行四边形，不合题意； 故选：． 3．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是直角或钝角”时，则首先应该提出假设是：这个四边形中 ． 【答案】所有的角都为锐角 【分析】本题考查的是反证法，反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 解：用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是直角或钝角”时，则首先应该提出假设是：这个四边形中所有的角都为锐角， 故答案为：所有的角都为锐角． 【题型七】矩形、菱形、正方形 1．（21-22九年级上·河南郑州·期末）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（     ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质，熟练掌握矩形和平行四边形的性质是解题的关键．由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论． 解：∵矩形的对边平行且相等，对角线互相平分且相等，对角相等；平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等． ∴矩形具有而平行四边形不具有的性质是对角线相等． 故选：D． 2．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）菱形具有矩形不一定具有的性质是（    ） A．对边相等 B．对边平行 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】本题考查了菱形和矩形的性质；根据菱形和矩形的性质，容易得出结论． 解：菱形的性质有：对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相垂直平分； 矩形的性质有：对边平行且相等；四个角都是直角；对角线互相平分； 根据菱形和矩形的性质得出：菱形具有而矩形不一定具有的性质是对角线互相垂直； 故选：D． 3．（21-22八年级下·江苏泰州·阶段练习）下列性质中，矩形具有而菱形不一定具有的是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．邻边相等 【答案】A 【分析】通过矩形和菱形的性质逐一分析即可． 解：矩形的性质有：①矩形的对边平行且相等，②矩形的四个角都是直角，③矩形的对角线互相平分且相等； 菱形的性质有：①菱形的对边平行，菱形的四条边都相等，②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角， 所以矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等， 故选：A． 【点拨】本题考查了矩形和菱形的性质，能熟记矩形的性质和菱形的性质的内容是解此题的关键． 【题型八】分式的基本性质 1．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）下列式子从左到右，变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质进行计算，逐一判断即可解答，分式的分子和分母同乘以（或除以）一个不为0的数，分式的值不变． 解：A、当时，，故A不符合题意； B、，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意． 故选：B． 2．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）把分式中的a，b，c都扩大为原来的4倍，那么分式的值（    ） A．变为原来的4倍 B．变为原来的8倍 C．变为原来的 D．不变 【答案】D 【分析】本题考查的是分式的基本性质，熟悉分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数或整式，分式的值不变是解题的关键．根据分式的基本性质计算，得到答案． 解： ∴分式的值不变 故选：D． 3．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）分式、、的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的最简公分母，掌握“各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积” 叫做最简公分母，是解题的关键．取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积，即可得到答案． 解：∵， ∴分式，，的最简公分母是：． 故答案是：． 【题型九】最简二次根式与同类二次根式 1．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式的识别，掌握定义是解题的关键，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．首先化简二次根式，然后根据同类二次根式的定义即可判定． 解：，与不是同类二次根式，故A选项不合题意； 不能化简，与不是同类二次根式，故B选项不合题意； ，与不是同类二次根式，故C选项不合题意； ，与是同类二次根式，故D选项符合题意； 故选：D． 2．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】根据同类二次根式的定义，逐一判断即可解答． 解：A、∵，∴与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； B、∵，∴与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； C、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； D、∵，∴与是同类二次根式，故此选项符合题意； 故选：D． 【点拨】本题考查了同类二次根式，熟练掌握被开方数相同的最简二次根式叫同类二次根式是解题的关键． 3．（23-24八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若与最简二次根式可以合并，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查同类二次根式，根据被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式进行求解即可． 解：∵，且与最简二次根式可以合并， ∴， ∴； 故答案为：2． 【考点二】计算化简求值型 【题型十】分式的意义 1．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）下列分式中，一定有意义的分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义的条件，利用分式的分母不为零逐项判断即可得出答案． 解：、当时，，分式无意义，故选项不符合题意； 、当时，，分式无意义，故选项不符合题意； 、无论取何值，都有，分式一定有意义，故选项符合题意； 、当时，，分式无意义，故选项不符合题意， 故选：． 2.（23-24八年级下·江苏扬州·期末）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象，分式有意义的条件等知识．熟练掌握函数图象，分式有意义的条件是解题的关键． 由题意得，，可判断A的正误；当时，，即图象不经过第四象限，可判断B的正误；当时，，可求，即图象过，可判断C图象的正误；当时，，图象经过第三象限，当时，，图象经过第二象限，可判断D的正误． 解：∵， ∴，故A图象不符合要求； 当时，，即图象不经过第四象限，故B图象不符合要求； 当时，， 解得，， ∴图象过，故C图象不符合要求； 当时，，图象经过第三象限， 当时，，图象经过第二象限，故D图象符合要求； 故选：D． 3．（2024·江苏宿迁·二模）兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组的值,得到了如图函数图象，借助学习函数的经验，可以推断输入的的值满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象与系数之间的关系以及分式方程有意义的条件，由两支曲线的分界线在轴右侧可以判断的正负，由时的函数图象判断的正负． 解： 的取值范围是 两支曲线的分界线位于轴的右侧 当时，函数图象位于轴的下方 当时， 又 故选：C． 【题型十一】二次根式的意义 1．（23-24八年级下·江苏南京·期末）关于函数的描述，正确的是（   ）． A．它的自变量取值范围是全体实数 B．它的图象关于原点成中心对称 C．它的图象关于直线成轴对称 D．在自变量的取值范围内，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，中心对称与轴对称，理解函数图象是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，可判断A选项；根据函数图象和判断B、C选项；根据函数的增减性和判断D选项． 解：A、它的自变量取值范围是，故不符合题意； B、它的图象关于原点不成中心对称，故不符合题意； C、它的图象不关于直线对称，不符合题意； D、在自变量的取值范围内，随的增大而增大，故符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若关于x的方程存在整数解，则正整数m的所有取值的和为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了方程的整数解问题，由题意，令，则，可得，由m是正整数，且整数，推出时，，时，，由此即可解决问题．解决本题巧妙运用整数的特点及在分数计算中整数的倍数关系求解，令从而使得用表示的代数式不含根式是解题的关键． 解：由题意，令，则， ∴， ∵m是正整数，且整数， ∴时，， 时，， ∴正整数m的所有取值的和为15， 故答案为：15． 3．（23-24八年级下·黑龙江佳木斯·期中）要使式子有意义，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式、分式有意义的条件．熟练掌握二次根式、分式有意义的条件是解题的关键． 由题意得，，求解作答即可． 解：∵式子有意义， ∴， 解得，且， 故答案为：且． 4．（20-21八年级下·湖南长沙·期末）若式子，有意义，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象、零指数幂，根据式子有意义，可以求得k的取值范围，然后即可得和的正负，从而可以一次函数的图象经过的象限． 解：∵式子有意义， ∴， 解得， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， 故选：B． 【题型十二】增根与无解 1．（23-24八年级下·福建泉州·期中）若关于x的分式方程 有增根，则a的值为（     ） A．4 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查分式方程增根的定义，解决本题的关键是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义．分式方程的增根是使得最简公分母为0的未知数的取值，根据分式方程的增根定义即可求解． 解： 方程两边同乘得：， ∵方程有增根， ∴满足 解得： 故选：D． 2．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）关于的分式方程有增根，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程的解，先去分母，根据分式方程有增根的条件求解即可． 解： 当，即时，方程无解 当，即时，此时 分式方程无解 ，解得： 综上，或时，分式方程无解 故答案为：或． 3．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）若关于x的方程有增根，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查分式方程的增根：熟练掌握分式方程的求解方法，分式方程增根与分式方程根之间的联系是解题的关键． 若原分式方程有增根，则，解得x的值，再代入去分母后的整式方程中，即可解得m值． 解： 去分母得， 若原分式方程有增根，则，所以 当 时，，得， 所以若原分式方程有增根，则， 故答案为 ：2． 【题型十三】分式的运算化简求值 1．（23-24八年级下·江苏·期末）化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的除法计算，根据分式的除法计算法则求解即可． 解： ， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）八下数学《伴你学》第55页有这样一段表述：当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．任何一个假分式都能化成整式和真分式的代数和的形式．如： 阅读完这段文字后，小丽认为，当时，随着x的不断增大，的值会无限接近一个数．类比上述过程，当时，随着x的不断增大，的值会无限接近的一个数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键． 由，再结合的取值范围即可求解． 解：∵， ∵当时，随着的不断增大而减小，的值无限接近0， ∴的值无限接近2， 故答案为2． 3．（2023·河北石家庄·模拟预测）代数式（x为整数）的值为．则为整数值的个数有（    ） A．0个 B．7个 C．8个 D．无数个 【答案】B 【分析】先将分式进行化简，然后根据题意确定为整数的x的值，即可确定F的值的个数． 解： ， ∵代数式的值为，且F为整数， ∴为整数，且 ∴的值为：，共7个， ∴对应的F值有7个， 故选：B． 【点拨】题目主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值及分式有意义的条件是解题关键． 【题型十四】解分式方程 1．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解是解题的关键．根据运算法则计算分式方程，根据题意即可得到取值范围． 解：， 两边同时乘以，得， ， 检验得，当时，方程有增根， ， 解得， 由于关于的分式方程的解为非负数， ， 解得， 故的取值范围是且， 故答案为：且． 2．（23-24八年级下·江苏南京·期末）定义两种新运算“”和“”，其运算规则为，，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数新定义运算，解分式方程，根据题意列得分式方程，解方程即可． 解：由题意可得， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·江苏南通·期末）我们把形如（，不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．如，为“十字分式方程”，其可转化为，则，．若时，关于的“十字分式方程”的两个解分别为，且，则的值为（    ） A． B． C．-2 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、分式方程等知识点；理解“十字分式方程”的定义以及题目中的答题方法是解题的关键． 把原方程变形为，再结合运用“十字分式方程”求得，进而得到，最后代入运算即可求解． 解： ∴， ∴， ∴． 故选A． 【题型十五】二次根式的运算化简求值 1．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，以及二次根式的加法和乘法除法运算法则，由二次根式的加法和乘法除法运算法则、二次根式的性质分别进行判断，即可得到答案． 解：A、，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、2与不是同类二次根式，不能合并计算，不符合题意；        D、，计算正确，符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期末）若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形应用，二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，先由，得出，求出，，得出，再代入求值即可． 解：∵， ∴， 即， ∴，， 解得：，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，求代数式的值，先把已知条件变形得到，两边平方可得到，然后利用整体代入的方法计算的值．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 故答案为：． 【考点三】图象分析型 【题型十六】统计图的选用 1．（2024·江苏盐城·中考真题）甲、乙两家公司年的利润统计图如下，比较这两家公司的利润增长情况（    ）    A．甲始终比乙快 B．甲先比乙慢，后比乙快 C．甲始终比乙慢 D．甲先比乙快，后比乙慢 【答案】A 【分析】本题考查了折线统计图，根据折线统计图即可判断求解，看懂折线统计图是解题的关键． 解：由折线统计图可知，甲公司年利润增长万元，年利润增长万元，乙公司年利润增长万元，年利润增长万元， ∴甲始终比乙快， 故选：． 2．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船成功发射，成为我国航天事业的里程碑，某校对全校名学生进行了“航空航天知识”了解情况的调查，调查结果分为A，B，C，D四个等级（A：非常了解；B：比较了解；C：了解；D：不了解）．随机抽取了部分学生的调查结果，绘制成两幅不完整的统计图．根据统计图信息，下列结论不正确的是（    ）    A．样本容量是 B．样本中C等级所占百分比是 C．D等级所在扇形的圆心角为 D．估计全校学生A等级大约有人 【答案】C 【分析】用B等的人数除以B等的百分比即可得到样本容量，用C等级人数除以总人数计算样本中C等级所占百分比，用乘以D等级的百分比即可计算D等级所在扇形的圆心角，用全校学生数乘以A等级的百分比即可得到全校学生A等级人数，即可分别判断各选项． 解：A．∵，即样本容量为200，故选项正确，不符合题意； B．样本中C等级所占百分比是，故选项正确，不符合题意； C．样本中C等级所占百分比是，D等级所在扇形的圆心角为，故选项错误，符合题意； D．估计全校学生A等级大约有（人），故选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点拨】此题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，读懂题意，准确计算是解题的关键． 3．（23-24九年级下·江西九江·期中）在九年级的一次考试中，某道单项选择题的作答情况如图所示，由统计图可得选C的人数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，掌握扇形统计图中调查总数等于部分数除以部分数所占总数的百分比，部分数等于总数乘以部分数所占总数的百分比是解题的关键．根据统计图中，选择D的人数为人，占总人数的，求出总人数，最后用总人数乘以选择C的百分比即可． 解：调查总人数为：（人）， 选择B的人数为：（人）， 故答案为：． 【题型十七】频数分布直方图 1．（2024·云南昭通·一模）如图是某地的气温曲线和降水量柱状图，根据图中信息推断，下列说法正确的是（    ） A．1月平均气温在以下，降水量多 B．从4月到10月，气温逐渐升高 C．7月份以后，降水量逐渐减少 D．冬冷夏热，7、8月份的降水较多 【答案】D 【分析】本题主要考查了折线统计图，频数分布直方图，根据统计图所给的信息逐一判断即可． 解：A、由统计图可得，1月平均气温在以下，降水量少，原说法错误，不符合题意； B、由统计图可得，从4月到10月，气温先升高，后降低，原说法错误，不符合题意； C、由统计图可得，7月份以后，降水量先增加，再逐渐减少，原说法错误，不符合题意； D、由统计图可得，冬冷夏热，7、8月份的降水较多，原说法正确，符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）某养羊专业户对130只羊的质量进行统计，得到如图所示的频数直方图（每一组含前一个边界值，不含后一值）如图所示，其中质量在 及以上的羊有 只． 【答案】 【分析】本题考查频数分布直方图，根据题意和直方图中的数据可以求得质量在及以上的羊数，本题得以解决． 解：由直方图可得， 质量在及以上的羊：（只）， 故答案为：． 3．（21-22七年级下·江苏南通·期末）为了解某校八年级男生的体能情况，从该校八年级抽取50名男生进行1分钟跳绳测试，把所得数据整理后，画出频数分布直方图．已知图中从左到右第一、第二、第三、第四小组的频数的比为1：3：4：2．由此估计该校八年级1分钟跳绳次数在100次以上（含100次）的人数占全体男生人数的百分比是 ． 【答案】60% 【分析】根据频数直方图可得第三、第四组的跳绳次数在100次以上（含100次），根据频数比即可求解． 解：∵根据频数直方图可得第三、第四组的跳绳次数在100次以上（含100次），图中从左到右第一、第二、第三、第四小组的频数的比为1：3：4：2． ∴估计该校八年级1分钟跳绳次数在100次以上（含100次）的人数占全体男生人数的百分比是， 故答案为： 【点拨】本题考查了频数分布直方图，从统计图获取信息是解题的关键． 【题型十八】反比例函数图象 1．（22-23九年级上·江苏盐城·期末）公元前三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时，给出“赵爽弦图”，如图，数学课上数学老师把该图放置在在平面直角坐标系中，如图，此时正方形的顶点A的坐标为，顶点B的横坐标为3，若反比例函数的图像经过B，C两点，则的值为（   ） A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】C 【分析】此题考查了正方形性质、反比例函数的图象和性质等知识，设点B的坐标为，其中，则点C的坐标为，把两点的坐标代入得到，解方程即可得到答案 解：∵正方形的顶点A的坐标为，顶点B的横坐标为3， ∴可设点B的坐标为，其中，则点C的坐标为， ∵反比例函数的图像经过B，C两点， ∴， 则 解得或（不合题意，舍去）， ∴， 故选：C 2．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，点在反比例函数图像上，且，过作轴，垂足为，的垂直平分线交于，则的周长为（　　） A．7 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、反比例函数的应用、勾股定理、运用完全平方公式进行运算等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据线段垂直平分线的性质可知，由此可知的周长，设，，根据勾股定理和函数解析式即可得到关于的方程组，解得的值，即可求出答案． 解：∵的垂直平分线交于， ∴， ∴的周长， ∵点A在反比例函数上 ∴设，， 则有， ∴， ∴或（舍去）， ∴的周长． 故选：C． 3．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）如图，反比例函数，点位于反比例函数图像上，垂直于轴，点在轴从上往下运动的过程中，三角形的面积变化情况是（    ）    A．不变 B．一直变大 C．先变大后变小 D．先变小后变大 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，反比例函数比例系数的几何意义，，根据平行线的性质和反比例函数比例系数的几何意义可得，据此可得答案． 解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点位于反比例函数图像上， ∴， 故选：A．    【题型十九】反比例函数与一次函数图象综合 1．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的图像综合判断，分和先判断反比例函数和一次函数的图像所在的象限，再结合一次函数图像与坐标轴的交点即可求解． 解：当时，一次函数的图像经过第一、二、三象限，且经过点；反比例函数的图像在第一、三象限，没有选项中的图像符合题意； 当时，一次函数的图像经过第二、三、西象限，且经过点，反比例函数的图像在第二、四象限，选项C中图像符合题意，选项A、B、D中图像不符合题意， 综上，选项C符合题意， 故选：C． 2．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，一次函数与反比例函数相交于A，B两点，A，B两点的横坐标分别为1和3，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键， 先将所求的不等式变形为，再利用函数图象法找到对应的自变量的取值范围，据此作答即可． 解：， ， ∵一次函数与反比例函数的两个交点的横坐标分别为1和3， 由图象知，当或时，一次函数在反比例函数的图象上方， ∴的解集为：或， 故选：C． 3．（2024·宁夏银川·一模）如图，一次函数与函数的图象相交于点，．下列说法错误的是（    ）    A．两图象的交点的坐标为 B．一次函数与反比例函数都随x的增大而增大 C．若，则的取值范围是或 D．连接、，则的面积是 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，反比例函数与一次函数的性质；将代入，得，进而求得，即可判断A选项；根据函数图象可得反比例函数在每个象限内随x的增大而增大，即可判断B选项；根据交点的横坐标结合函数图象即可判断C选项；连接、，设直线与轴交于点，将代入得出，进而根据三角形的面积公式即可求解． 解：将代入，得，则， 将代入 得，则 ∴A. 两图象的交点的坐标为，故该选项正确，不符合题意； B. 一次函数随x的增大而增大，反比例函数在每个象限内随x的增大而增大，故该选项不正确，符合题意； C. ∵，， 根据函数图象可得，若，则的取值范围是或，故该选项正确，不符合题意； D. 连接、，设直线与轴交于点，    将代入，则， ∴，即， ∵，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 4．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，一次函数与的图象与反比例函数的图象在第一象限分别交于A、B两点，已知面积为3，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，两条直线平行问题，三角形的面积，设的图象与x轴的交点为C，连接，求得点C的坐标，即可求得，利用三角形面积求得A的纵坐标，代入求得横坐标，然后利用待定系数法求得k即可． 解：设的图象与x轴的交点为C，连接， 令，则， ， ， ∵直线与直线平行， ， ， 把代入，求得， ， ∵反比例函数的图象过点A， ， 故答案为：． 【考点四】几何判定推理、求值型 【题型二十】图形的旋转 1．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转后，点B的坐标为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点的规律探究．熟练掌握旋转的性质，所对的直角边是斜边的一半以及勾股定理，是解题的关键． 过点作轴于，求出的长，进于求出点的坐标，根据旋转的性质，以及点的坐标规律，判断每6次一个循环，进而求出第2024次旋转后，点的坐标即可． 解：过点作轴于， 在中，， ， ， 由勾股定理得， ， ， ， ∴逆时针旋转后，得，以此类推，6次一个循环， ， ∴第2024次旋转后，点的坐标为， 故选：A． 2．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，将绕点A顺时针旋转得到，点恰好落在上，连接，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，熟记旋转前后对应边、对应角相等是解答本题的关键．由旋转的性质得出，得出，再根据直角三角形的性质推出的度数，即可得出的度数． 解：将绕点A顺时针旋转得到， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为∶． 3．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，将绕点B逆时针旋转得，连接，若，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了旋转的性质，垂直平分线的判定，勾股定理，先根据旋转性质得出，，证明垂直平分，得出，，根据勾股定理求出，，最后求出结果即可． 解：根据旋转可知：，， ∴，，， ∵， ∴， ∴点D、C在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ， ∴． 故答案为：． 【题型二十一】平行四边形 1．（23-24八年级下·江苏南京·期末）在四边形中，、相交于点，下列选项中，不能判定是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理逐一判断即可求解，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 解：、，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，该选项能判定是平行四边形，不合题意； 、，，该选项不能判定是平行四边形，符合题意； 、，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，该选项能判定是平行四边形，不合题意； 、，，根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形，该选项能判定是平行四边形，不合题意； 故选：． 2．（22-23九年级上·山西忻州·期中）平行四边形绕点A逆时针旋转，得到平行四边形（点与点B是对应点，点与点C是对应点，点与点D是对应点），点恰好落在边上，与交于点E，则 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查旋转的性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是求出和的度数． 根据旋转的性质和平行四边形的性质，可以求得和的度数，然后根据三角形内角和即可得到的度数． 解：∵平行四边形绕点A逆时针旋转，得到平行四边形，点恰好落在边上，与交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点和顶点，直线以每秒1个单位长度向上移动，经过 秒该直线可将平行四边形的面积平分． 【答案】4 【分析】连接、交于点D，过点D任意作直线，交于点M，交于点N，证明直线将分成面积相等的两部分，说明当直线平移后过点D时，将分成面积相等的两部分，设直线平移的时间为t，则平移后的直线解析式为，根据中点坐标公式求出，把代入得，求出，即可得出答案． 解：连接、交于点D，过点D任意作直线，交于点M，交于点N，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴，，，，， ∴，， ∴， 同理得：，， ∴，，， ∴， ∴直线将分成面积相等的两部分， ∴当直线平移后过点D时，将分成面积相等的两部分， 设直线平移的时间为t，则平移后的直线解析式为， ∵，，点和顶点， ∴， ∵D为的中点， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴经过4秒该直线可将平行四边形的面积平分． 故答案为：4． 【点拨】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，一次函数平移，中点坐标公式，解题的关键是根据平行四边形的性质得出当直线平移后过点D时，将分成面积相等的两部分． 【题型二十二】矩形、菱形、正方形 1．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（    ） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．有一个角是直角 【答案】A 【分析】本题考查了矩形和菱形的性质，根据矩形和菱形都是特殊的平行四边形，所以平行四边形所具有的性质，矩形和菱形都具有，故可得出答案，熟练掌握矩形和菱形的性质是解题的关键． 解：、菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线相等，符合题意； 、菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线相等，不符合题意； 、菱形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分，不符合题意； 、矩形有一个角是直角，不符合题意； 故选：． 2．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，E、F分别是、的中点，若，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质．连接，，根据矩形的性质可得，，然后在中，利用勾股定理求出的长，再利用直角三角形斜边上的中线可得，最后根据旋转的性质可得：，，从而利用等腰直角三角形的性质进行计算，即可解答． 解：连接，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 由旋转得：，， ∴． 故答案为：5． 3．（2023·湖南长沙·二模）如图，平行四边形中，在上截取，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接交于，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查作图—基本作图，等腰三角形三线合一性质，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理．连接，设，交于点，证明四边形是菱形，可得，，，由勾股定理，即可求的长． 解：连接，设，交于点， 由尺规作图的过程可知：直线平分，， ∴，，点为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，， 在中，， ∴， 即的长为． 故答案为：． 【题型二十三】反比例函数与几何综合 1．（23-24九年级下·湖南常德·阶段练习）如图，O是坐标原点，点B位于第一象限，轴于点D，， C为的中点，连接， 过点B作交x轴于点A， 若反比例函数的图象经过的中点C， 与线段交于点E，则的长为 （   ） A．0.45 B． C．0.75 D． 【答案】B 【分析】先求出点B的坐标，根据题意利用三角形中位线的性质求出点A的坐标，在求出直线的解析式，进而求出点E的坐标，即可求解． 解：，轴， ， ， ， ， 点C是的中点，反比例函数的图象经过的中点C， ， ， ， 反比例函数的解析式为； ， 是的中位线， ， 设所在直线的解析式为， 将，代入得， 解得：， 所在直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）， ， ， 故选：B 【点拨】本题主要考查了反比例函数与几何综合，一次函数的解析式，勾股定理，三角形中位线的性质，正确求出点A的坐标，进而求出点E的坐标是解题的关键． 2．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形的顶点在反比例函数的图像上，点B在x轴正半轴上，将该菱形向上平移，使点B的对应点D落在反比例函数的图像上，则图中 ．      【答案】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，先求出值和的长，平移求出点的坐标，进而得到点的纵坐标，根据点在直线上，求出点坐标，进而求出的长即可． 解：∵菱形的顶点在反比例函数的图像上， ∴， ∴， ∴， ∵将该菱形向上平移，点B的对应点D落在反比例函数的图像上， ∴轴，的横坐标为，当时，， ∴，点的纵坐标为， ∵点在直线上，设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， ∴当时，， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，已知是x轴上的点，且，分别过点作x轴的垂线交反比例函数的图象于点，过点作于点，过点作于点……，记的面积为，的面积为……，的面积为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象找规律的问题，熟练掌握反比例函数的基础知识，用数学归纳法由个例总结出一般规律是解决本题的关键．由可得，，，…，的坐标，根据三角形的面积计算公式底×高÷2，计算出每一个三角形的底和高之后，分别列出每一个三角形的面积计算式，观察规律即可得出结果． 解：∵， ∴设，，，…，， ∵，，，…，在反比例函数的图象上， ∴，，，…，， ∴； ∴； ； ； … ； ∴． 故答案为：． 【考点五】几何综合型 【题型二十四】平行四边形与几何变换 1．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）如图，在菱形中，是的中点．过点作，垂足为．将沿点到点的方向平移，得到．设分别是的中点，当点与点重合时，四边形的面积为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题. 如图, 连接交于,首先证明四边形是平行四边形，再证明求出即可解决问题. 解：如图, 连接交于，    由题意 ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， ， ∴， ∴，， ∵P是的中点， ， ， ， 平行四边形的面积 故选: B． 2．（20-21八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，连接DE，作点D关于直线AE的对称点T，连接AT，ET，CT．首先证明B，A，T共线，求出TC，证明四边形EGCD是平行四边形，推出DE＝CG，推出EC＋CG＝EC＋ED＝EC＋TE，根据TE＋EC≥TC即可解决问题． 解：如图，连接DE，AE，作点D关于直线AE的对称点T，连接AT，ET，CT． ∵∠A＝90°，AB＝AD＝1，将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，再将△ABD沿射线BD翻折，得到△CBD， ∴AB＝BC═AD＝1，∠ABC＝90°，∠ABD＝45°， ∵AE//BD， ∴∠EAD＝∠ABD＝45°， ∵D，T关于AE对称， ∴AD＝AT＝1，∠TAE＝∠EAD＝45°， ∴∠TAD＝90°， ∵∠BAD＝90°， ∴B，A，T共线， ∴CT＝， ∵EG＝CD，EG//CD， ∴四边形EGCD是平行四边形， ∴CG＝DE， ∴EC＋CG＝EC＋ED＝EC＋TE， ∵TE＋EC≥TC， ∴GC＋EC≥， ∴GC＋EC的最小值为． 故答案为：． 【点拨】本题考查轴对称，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 3．（2024·福建泉州·三模）如图，将折叠，使点A落在边上的点F处，折痕为．已知，则四边形的周长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，折叠的性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．可证，从而可得，再证四边形是平行四边形，可得，即可求解． 解：四边形是平行四边形， ， ， 由折叠得：，，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 故答案：． 【题型二十五】矩形、菱形、正方形与几何变换 1．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）如图，将四边形纸片沿折叠，使点落在上的点处，点在上；再将、分别沿、折叠，此时点、都落在上的点处．若，则当四边形是平行四边形时， ．    【答案】 【分析】先由折叠的性质得，，，，，据此可求出，再根据得，进而得，在中可求出，然后中再根据点为斜边的中点可得出的长． 解：由折叠的性质得：，，，，， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， 即为直角三角形， 在中，，， ， ，，， ， 即点为的中点， 在中，点为斜边的中点， ． 故答案为：． 【点拨】此题主要考查了图形的折叠变换及性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握图形的折叠变换和性质，理解在直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，，E，F分别是，上的点．现将四边形沿折叠，点A、B的对应点分别为M、N，且点N恰好落在上．连接，过B作，垂足为G，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】连接，，延长到J，使得，连接，证明，利用勾股定理求出即可解决问题． 解：连接，，延长到J，使得，连接． 由翻折变换的性质可知垂直平分线段，， ， ，G，N三点共线， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的最小值为． 故选：A． 【点拨】本题考查胡不归问题，矩形的性质，勾股定理，翻折变换，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称变换的性质解决最短问题． 3．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，四边形为正方形，为等边三角形，将绕点A旋转，若，则的度数为（    ）    A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分两种情况：绕点A旋转到正方形的内部时；绕点A旋转到正方形的外部时；然后分别求解即可． 解：当绕点A旋转到正方形的内部时，如图，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴； 当绕点A旋转到正方形的外部时，如图，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ， 综上，的度数为或， 故选：D． 【点拨】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，分类讨论求解是解答的关键． 【题型二十六】反比例函数与几何综合 1．（20-21八年级下·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO，点B（10，8），点D在BC边上，连接AD，把ABD沿AD折叠，使点B恰好落在OC边上点E处，反比例函数（k≠0）的图象经过点D，则k的值为（　　） A．20 B．30 C．40 D．48 【答案】B 【分析】根据翻折变换的性质，可得AE＝AB＝5，DE＝BD；然后设点D的坐标是（10，b），在Rt△CDE中，根据勾股定理，求出CD的长度，进而求出k的值． 解：∵△ABD沿AD折叠，使点B恰好落在OC边上点E处，点B（10，8）， ∴AE＝AB＝10，DE＝BD， ∵AO＝8，AE＝10， ∴OE＝＝6，CE＝10﹣6＝4， 设点D的坐标是（10，b）， 则CD＝b，DE＝8﹣b， ∵CD2+CE2＝DE2， ∴b2+42＝（8﹣b）2， 解得b＝3， ∴点D的坐标是（10，3）， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴k＝10×3＝30， 故选：B． 【点拨】本题考查了求反比例函数的解析式，同时也考查了矩形的翻折问题．须熟练掌握待定系数法求反比例函数的解析式，轴对称的性质．其中求点D的坐标是解题的关键． 2．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形的顶点在反比例函数的图像上，点B在x轴正半轴上，将该菱形向上平移，使点B的对应点D落在反比例函数的图像上，则图中 ．      【答案】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，先求出值和的长，平移求出点的坐标，进而得到点的纵坐标，根据点在直线上，求出点坐标，进而求出的长即可． 解：∵菱形的顶点在反比例函数的图像上， ∴， ∴， ∴， ∵将该菱形向上平移，点B的对应点D落在反比例函数的图像上， ∴轴，的横坐标为，当时，， ∴，点的纵坐标为， ∵点在直线上，设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， ∴当时，， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（19-20八年级下·江苏常州·期末）等边△AOB的边长为4，如图所示地放置在平面直角坐标系中，点B绕点A旋转30°，恰好落在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则k＝ ．    【答案】4﹣8或8 【分析】分两种情形：当点B绕点A顺时针旋转30°得到AB′，AB′交OB于H．当点B绕点A逆时针旋转30°得到AB″，过点A作AM⊥y轴于M，过点B″作B″N⊥MA交MA的延长线于N．分别求出B′，B″的坐标即可． 解：当点B绕点A顺时针旋转30°得到AB′，AB′交OB于H．    ∵△AOB是等边三角形， ∴∠OAB＝60°， ∵∠BAB′＝30°， ∴∠OAB′＝∠BAB′， ∴AH⊥OB，OH＝BH＝2， ∴AH＝＝＝2， ∵AB＝AB′＝4， ∴HB′＝4﹣2， ∴B′（2，2﹣4）， ∵点B′在y＝上， ∴k＝4-8． 当点B绕点A逆时针旋转30°得到AB″，过点A作AM⊥y轴于M，过点B″作B″N⊥MA交MA的延长线于N． ∵∠OAB＝60°，∠BAB″＝30°， ∴∠OAB″＝90°， ∵∠AMO＝∠N＝90°， ∴∠AOM+∠OAM＝90°，∠OAM+∠NAB″＝90°， ∴∠AOM＝∠NAB″， ∵AO＝AB″， ∴△AMO≌△B″NA（AAS）， ∴AM=NB″＝2，， ∴MN＝AM+AN＝2+2， ∴B″（2+2，2﹣2）， ∵B″在y＝上， ∴k＝（2+2）（2﹣2）＝8， 综上所述，满足条件的k的值为4﹣8或8． 故答案为4﹣8或8． 【点拨】本题考查反比例函数的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 【题型二十七】反比例函数与一次函数几何综合 1．（23-24九年级下·湖南常德·阶段练习）如图，O是坐标原点，点B位于第一象限，轴于点D，， C为的中点，连接， 过点B作交x轴于点A， 若反比例函数的图象经过的中点C， 与线段交于点E，则的长为 （   ） A．0.45 B． C．0.75 D． 【答案】B 【分析】先求出点B的坐标，根据题意利用三角形中位线的性质求出点A的坐标，在求出直线的解析式，进而求出点E的坐标，即可求解． 解：，轴， ， ， ， ， 点C是的中点，反比例函数的图象经过的中点C， ， ， ， 反比例函数的解析式为； ， 是的中位线， ， 设所在直线的解析式为， 将，代入得， 解得：， 所在直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）， ， ， 故选：B 【点拨】本题主要考查了反比例函数与几何综合，一次函数的解析式，勾股定理，三角形中位线的性质，正确求出点A的坐标，进而求出点E的坐标是解题的关键． 2．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，双曲线与直线交于，B两点，将直线向下平移n个单位，平移后的直线与双曲线在第一象限的分支交于点C，连接并延长交x轴于点D．若点C恰好是线段的中点，则n的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形 、一次函数的图象平移等知识，先利用待定系数法求得两个函数的解析式，再根据函数图象的平移规则“上加下减”得到平移后的直线的解析式，利用中点坐标公式得到点C的纵坐标，进而求得点C坐标，然后代入平移后的直线解析式中求解即可． 解：∵双曲线与直线交于， ∴，，解得，， ∴，， 直线向下平移n个单位，平移后的解析式为， ∵点C恰好是线段的中点， ∴点C的纵坐标为， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴由得，则点C的坐标为， 将代入中，得， 解得， 故答案为：6． 3．（23-24八年级下·江苏常州·期末）如图，直线与反比例函数交于A、B两点，过点B作x轴的平行线，点C是该平行线上的一点，连接，使得，过点C作x轴的垂线交于点D，以为边作矩形，若，则 ． 【答案】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了等腰三角形三线合一的性质，反比例函数系数的几何意义，求得是解题的关键． 作于，交于点，利用等腰三角形三线合一的性质得出，即可求得，由反比例函数的对称性得出， ，求得，进而求得． 解：作于，交于点， ， ， ∵， ∴， ∵直线与反比例函数交于、两点，轴， ，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ， 故答案为：6． 【考点六】实际应用型 【题型二十八】列分式方程解应用题 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格多30元，用1800元购进篮球的数量比用900元购进足球的数量多4个．如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，直接利用根据单价，表示出篮球与足球价格，再利用1800元购进篮球的数量比用900元购进足球的数量多4个得出等式即可． 解：设每个足球的价格为x元，根据题意可列方程为： ， 故选：A． 2．（2022·湖北襄阳·中考真题）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，设规定时间为天，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 解：设规定时间为天， 由题意得，， 故选：． 3．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，射线、分别表示买牛肉和买猪肉所需费用（单位：元）与购买数量（单位：千克）的关系，已知买牛肉每千克所需的费用比买猪肉每千克所需的费用的倍少元，设买猪肉每千克所需的费用为元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题的关键．设买猪肉每千克所需的费用为元，则每千克牛肉需要元，再结合图像列出方程即可． 解：设买猪肉每千克所需的费用为元，则每千克牛肉需要元， 根据题意可得：， 故选：D． 【题型二十九】反比例函数的应用 1．（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．先由电流是电阻的反比例函数，可设，结合点在函数图象上，利用待定系数法求出这个反比例函数的解析式；再令，求出对应的的值即可． 解：设反比例函数关系式为， 把代入反比例函数式得， ∴， ∴， ∴当时，， 故选：C． 2．（2022·广西南宁·一模）某品牌自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热．水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热．若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 B．水温下降过程中，与之间的函数关系式是 C．水温从加热到需要 D．水温不低于的时间为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键．该题为反比例函数与一次函数的实际应用的典型题目——浓度、温度问题，先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息． 解：A、根据题意可得与的函数关系式是，令，则， ，即饮水机每经过，要重新从开始加热一次从点至，经过的时间为，，而水温加热到，需要的时间为，故时，饮水机第三次从开始加热了，令，则，即时，饮水机的水温为，故A选项不符合题意； B、由题意可得点在反比例函数的图像上，设反比例函数的解析式为，将点代入，可得， 水温下降过程中，与的函数关系式是，故B选项不符合题意； C、开机加热时水温每分钟上升， 水温从升高到，需要的时间为，故C选项不符合题意； D、水温从加热到所需要的时间为， 令，则，解得， 水温不低于的时间为，故D选项符合题意． 故选：D． 3．（22-23九年级上·山东潍坊·期末）饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中，水温与开机时间分满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中，水温与开机时间x分成反比例函数关系），当水温降至时，饮水机又自动开始加热，……如此循环下去（如图所示）．那么开机后分钟时，水的温度是 ． 【答案】 【分析】根据一次函数图象上两点的坐标，利用待定系数法即可求出当时，水温与开机时间x的函数关系式；由点，利用待定系数法即可求出当时，水温与开机时间的函数关系式，再将代入该函数关系式中求出x值即可，由，将代入反比例函数关系式中求出y值即可得出结论． 解：当时，设水温与开机时间的函数关系为：， 依据题意，得， 解得：， 故此函数解析式为：； 在水温下降过程中，设水温y与开机时间x的函数关系式为：， 依据题意，得：， 解得：， ∴， 当时，， 解得：， ∵， ∴当时，． 故答案为：． 【点拨】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$