期末考试必考题型（四）——二次根式、一元二次方程与数据的分析综合（3大考点6类题型）- 2025-2026学年浙教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

**基本信息** 聚焦二次根式、一元二次方程与数据分析三大模块，以“考点梳理-题型精析-综合应用”构建系统性训练，突出方法提炼与知识逻辑递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式|16题|取值范围（被开方数非负）、化简求值（性质应用）、混合运算（分母有理化）|概念→性质→运算→应用| |一元二次方程|16题|解法选择（公式法/因式分解等）、参数讨论（判别式/韦达定理）、实际应用（增长率/面积模型）|概念→解法→深化（根的关系）→应用| |数据分析|8题|统计量计算（平均数/方差）、综合应用（数据决策）|计算→分析→应用| |综合题|8题|跨模块知识整合（方程与根式结合、统计与方程应用）|单一模块→多模块关联|

期末考试必考题型（四）——二次根式、一元二次方程与数据的分析综合（3大考点6类题型） 目录 一.必考点知识梳理 1 【考点一】二次根式 1 【考点一】一元二次方程 1 【考点三】数据分析初步 2 二.必考题型精析 2 【题型 1】二次根式的取值范围与化简求值（8题） 2 【题型 2】二次根式的混合运算与分母有理化（8题） 6 【题型 3】一元二次方程的解法与参数讨论 17 【题型4】一元二次方程的实际应用 23 【题型 5】数据分析统计量的计算与应用 34 【题型 6】模块综合题（二次根式+一元二次方程+数据分析） 43 一.必考点知识梳理 【考点一】二次根式 1、 二次根式的概念与有意义的条件：核心考点：被开方数非负性（含分母的双重限制条件）； 2、 二次根式的性质与化简 ：的化简、最简二次根式判定； 3、 二次根式的运算 ：二次根式加减运算、乘除运算、混合运算； 4、 二次根式的求值与应用 ：先化简再求值、二次根式在几何中的应用。 【考点一】一元二次方程 1、一元二次方程的概念与一般形式 ：判定一元二次方程、化为一般形式并确定系数（注意二次项系数不为 0）； 2、一元二次方程的解法 ：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法（根据方程特征选择最优解法）； 3、根的判别式与根与系数的关系（韦达定理）：用判别式判断根的情况、根据根的情况求参数范围、利用韦达定理求代数式的值； 4、一元二次方程的实际应用 ：增长率问题、面积问题、利润问题。 【考点三】数据分析初步 1、平均数、中位数、众数 ：计算一组数据的集中趋势统计量、根据统计量分析数据特征； 2、方差与标准差：计算方差、利用方差判断数据的稳定性（方差越小越稳定）； 3、统计量的综合应用：结合实际情境选择合适的统计量分析数据、解决决策类问题。 二.必考题型精析 【题型 1】二次根式的取值范围与化简求值（8题） 1．（25-26八年级下·安徽亳州·期中）若代数式有意义，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】根据分母有意义的条件，二次根式有意义的条件，零指数幂有意义的条件列不等式组求解即可． 解：∵代数式有意义， ∴， 解得：， 即且． 2．（25-26八年级下·安徽亳州·期中）若，则以为边的直角三角形斜边长为（    ） A． B．3 C．或3 D．13 【答案】C 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出的值，进而得到的值，再分情况讨论直角三角形的斜边，结合勾股定理计算得到结果． 解：∵二次根式中被开方数非负， ∴， 解得． 将代入原式得． 分两种情况讨论：①若是直角三角形的斜边，则斜边长为． ②若，都是直角边，根据勾股定理，斜边长为． 因此直角三角形斜边长为或． 3．（2026·安徽芜湖·二模）函数中自变量的取值范围是____． 【答案】 【分析】根据函数、二次根式、分式有意义的条件列出不等式组求解即可． 解：根据二次根式被开方数为非负数，分式分母不为零，可得，解得：． 4．（25-26八年级上·上海·期中）如果有意义，那么的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件，形如的式子叫作二次根式解答． 本题考查了二次根式有意义条件，分式有意义的条件，熟练掌握条件是解题的关键． 解：根据题意，得且， 解得，， 故 故答案为：． 5．（25-26八年级上·广西贵港·期末）已知：． （1）化简； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的有意义的条件． （1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果； （2）利用二次根式的有意义的条件求得x的值，再把x的值代入计算即可求出值． 解：（1）解： ； （2）解： 而， ，， ， ． 6.（25-26八年级下·全国·课后作业）【课本再现】 一般地，如果一个非负数的平方等于，即，那么这个非负数叫作的算术平方根，记为． 0的算术平方根是0，即，所以被开方数为非负数． 【探究新知】 （1）若，则的取值范围是____________． 【知识应用】 （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据被开方数为非负数可得答案； （2）根据非负数的性质可得 ，再解方程组，最后代入计算即可； （3）由被开方数为非负数确定a的取值范围，进而化简绝对值，再解方程即可得出答案． 解：（1）解： （2）解：由， 得 解得 ． （3）解：， ，即， ， 则原方程可化为， ，即， ． 【点拨】本题考查的是算术平方根的含义，算术平方根的双重非负性的应用，二元一次方程组的解法．解决本题的关键是熟练掌握以上知识点． 7．（24-25八年级下·全国·单元测试）若实数，，满足． （1）求的值． （2）若满足上式的，为等腰三角形的两边长，求这个等腰三角形的周长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，求代数式的值，等腰三角形的性质，三角形的三边关系， 对于（1），先根据二次根式的性质求出c，再根据绝对值和二次根式的非负性求出a,b,然后求出代数式的值； 对于（2），根据等腰三角形的性质分两种情况讨论，并结合三角形的三边关系得出答案． 解：（1）解：由题意，得，， 解得． ， ，． ； （2）解：当是腰长，是底边长时，等腰三角形的腰长之和：，舍去； 当是腰长，是底边长时，等腰三角形的周长为． 综上，这个等腰三角形的周长为． 8．（25-26七年级下·广东汕头·期中）已知正数，按下列规律操作：第一次操作，第二次操作，第次操作． （1）当时，_________________________； （2）当时，_________________________； （3）猜想：对于任意正数a，当n无限增大时，an的值与1有怎样的关系？ 【答案】（1），，；（2），，；（3）对于任意正数a，当n无限增大时，的值无限接近1. 【分析】（1）根据算术平方根的含义求解即可； （2）根据算术平方根的含义求解即可； （3）结合（1）（2）的探究，分类讨论再总结即可. 解：（1）解：当时， ，，. （2）解：当时， ，，. （3）解：当时，随着的增大，逐渐减小，但是始终大于1，且越来越接近1， 当时，， 当时，随着的增大，逐渐增大，但是始终小于1，且越来越接近1， 综上：对于任意正数a，当n无限增大时，的值无限接近1. 【题型 2】二次根式的混合运算与分母有理化（8题） 1．（25-26八年级下·河南许昌·期中）【观察】，． 【感悟】在二次根式的运算中，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是分母有理化．像上述解题过程中，与，与相乘的积都不含二次根式，我们可以将每组中的两个式子称作互为有理化因式． 【运用】对于正整数，定义，例如：．求的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得出，由此计算即可得出结果，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解此题的关键． 解：由题意可得， ∴ ． 2．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①； ②比较大小：； ③计算： ④变形：. 以上结论中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了分母有理化的应用，解题的关键是熟练运用分母有理化的方法对式子进行变形、计算和比较．依次对四个结论进行分析，通过分母有理化、根式的性质及大小比较方法来判断对错即可． 解：① ，故①错误； ② ， ， 因为，根据分子相同，分母越大分数越小， 所以，即，故②正确； ③ ，故③正确； ④ ，故④正确． 综上分析可知，正确的有3个． 故选：C． 3．（21-22八年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题：写出第n个等式______． 【答案】 【分析】观察已知等式各部分与序号n的关系，归纳各部分的变化规律，整理得到第n个等式，再通过分式运算与二次根式化简验证规律成立． 解：观察已知等式，对各部分按序号n归纳规律： 第n个等式中，减数为，被减数的分子为，分母为， 等式右侧分母为，根号内的两个因式为和， 由此猜想第n个等式为． 验证： 4．（2025·甘肃定西·一模）观察下列计算： ， ， ， …… 从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算． 解： ， 故答案为：． 5．（25-26八年级下·广东东莞·期中）阅读下列材料，然后解答下列问题．在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （一）； （二） 以上这种化简的方法叫分母有理化． （1）化简_______；______． （2）化简_______．（） （3）化简：． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】（1）按照题干方法化简即可； （2）按照题干方法化简即可； （3）先分母有理化，再进行二次根式的加减运算． 解：（1）解：；； （2）解：； （3）解： ． 6．（25-26八年级下·山东泰安·期中）阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：形如的化简，只要我们找到两个正数、，使、，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式”． 任务： （1）分母有理化：________； （2）化简“理想二次根式”：________； （3）根据材料中的方法进行化简与计算：已知，，求的值； 【答案】（1）；（2）；（3）3 【分析】（1）利用平方差公式进行分母有理化； （2）利用完全平方公式进行化简； （3）利用平方差公式分母有理化，利用完全平方公式化简，然后合并同类二次根式即可． 解：（1）解： （2）解： ； （3）解：∵，， ∴ 7．（25-26八年级下·北京·期中）阳阳发现：利用公式可以把一些含根号的式子写成另一个式子的平方，如： 【问题解决】请你仿照阳阳的方法解决下面问题： （1）若（a，b为正整数），则 ； （2）已知n为正整数，化简= ； 【拓展延伸】 （3）计算，请直接写出最后的化简结果． 【答案】（1）5；（2）；（3） 【分析】（1）根据题意给出的公式进行求解即可； （2）先将化为，得到，继而化简即可； （3）先化简，得到，继而推导出， 则， 再化简代数式即可． 解：（1）解： ∵， ∴， ∴，，， 解得，， ∴． （2）解： ， ∴ ； （3）解： ∵ ， ∴， 即， ∴， ∴ ． 8．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）观察下列各式的计算过程，寻找规律： ； 利用发现的规律解决下列问题： （1）化简式子 ；（为正整数）． （2）直接写出式子的值： ； （3）计算：；（为正整数）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据题干的式子，总结规律，即可作答． （2）先运用式子规律化简括号内，再运算二次根式的乘法运算，即可作答． （3）先把原式的每个项进行分母有理化，再进行二次根式的加法运算，即可作答． 解：（1）解：依题意，； （2）解： ． （3） ． 【题型 3】一元二次方程的解法与参数讨论 1．（2026·广西崇左·三模）已知关于x 的一元二次方程的两实数根之积等于，则 m的值为（     ） A．0 B． C．10 D．0 或10 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之积，结合题意列方程求解，再根据方程有两个实数根，利用判别式检验，舍去不符合题意的解． 解：∵ 一元二次方程两根之积为， 由题意得， 整理得， 解得， ∵ 方程有两个实数根， ∴， 当时，，此时方程无实数根，舍去， 当时，，符合题意， ∴的值为． 2．（2026·广东广州·二模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则一次函数的图象一定不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】结合一元二次方程根的判别式、二次根式的性质，考查一次函数图象的性质，先求出k的取值范围，再根据一次函数系数的符号判断图象经过的象限即可得到答案． 解：∵一元二次方程 有两个不相等的实数根 ∴ 化简得， 解得． ∵ ∴， 解得． ∴k的取值范围为． 对于一次函数 ∵ ∴， 即一次函数的图象经过第一、二、四象限 ∴图象一定不经过第三象限． 3．（25-26八年级下·上海静安·期末）若一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过________． 【答案】第四象限 【分析】先利用根的判别式的意义得到，解不等式得到的取值范围，然后根据一次函数的性质解决问题． 解：∵一元二次方程无实数根， ∴，即 ， 解得， 对于一次函数 ， ∵， ∴ ，且， 根据一次函数性质， 当一次项系数大于，常数项大于时，图象经过第一、二、三象限， ∴该一次函数的图象不经过第四象限． 4．（2026·四川成都·二模）已知，是一元二次方程的两个实数根，且，则的值为________． 【答案】5 【分析】利用根与系数的关系和根的定义，将已知条件转化为关于的方程． 解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， 又是方程的根， ， 将代入已知条件中， 得，即， 将代入上式，得， 整理得， 因为， 所以， 解得． 5．（2026·四川南充·三模）为实数，关于的方程为． （1）判断方程根的情况． （2）若方程的两根为，，当时，求的值． 【答案】（1）原方程总有两个实数根；（2）或 【分析】（1）求出一元二次方程的判别式，根据判别式的值即可作出判断； （2）求出一元二次方程的两个根，根据条件列式即可求解． 解：（1）解：原方程为一元二次方程，可化为． ． 无论为何实数，都是非负数．即． ∴原方程总有两个实数根． （2）解：由（1），原方程的根． 或． 若，则， ． 若，则， ． 综上，的值为或． 6．（2026·四川南充·二模）为实数，关于的方程为． （1）求证：不论为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两根均不大于1，试求的取值范围． 【答案】（1）见分析；（2）或 【分析】（1）分和两种情况讨论，时方程为一元一次方程，有实数根；时利用根的判别式证明判别式恒非负，即可证得总有实数根； （2）先整理因式分解得到方程的两个根，其中一个根为，只需让另一个根不大于，分情况解不等式得到的取值范围． 解：（1）证明：整理原方程得 当时，方程化为，解得，方程有实数根； 当时，计算根的判别式得：，方程有两个实数根； ∴不论为何值，方程总有实数根； （2）解：整理原方程得 方程有两根，因此， 对方程因式分解得： 解得， ∵两根均不大于，且满足条件， ∴只需． 当时，，不等式成立，符合条件； 当时，不等式两边同乘得，即； 综上，的取值范围是或． 7．（2026·四川南充·一模）已知关于x的一元二次方程（其中a、b、c为常数，）． （1）当时，求证：方程总有实数根； （2）若a、b、c、k均为正数，且假设方程有实数根,且方程的两实根之和为，两实根之积为，探究以a、b、c为边长的三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）以a、b、c为边长的三角形是直角三角形，理由见分析 【分析】（1）利用条件得到，代入判别式，通过完全平方公式证明； （2）利用根与系数的关系写出根的和与积的表达式，对两式平方后相减，推导出，再用勾股定理逆定理判断三角形形状． 解：（1）证明：∵， ∴． ∵ ∴方程总有实数根． （2）解：由（1）可知，方程总有实数根， 由一元二次方程根与系数的关系可得， ，． ∴①；②． ②①得：，即，所以，即． ∴以a、b、c为边长的三角形是直角三角形． 8．（2026年浙江宁波市初中学业水平考试数学试题（甬真卷1号�之江卷））一元二次方程是初中数学代数板块的核心内容，也是中考的重点考查模块．现以“单元整体”的视角，从定义、解法、根与系数的关系等核心维度，尝试解答下列问题： （1）【概念辨析】若关于的方程是一元二次方程，则的值是____． （2）【解法实践】请从以下三个一元二次方程中任选一个你喜欢的方程进行求解： ①用配方法解：； ②用公式法解：； ③用因式分解法解：． （3）【综合应用】已知，是一元二次方程的两根，请尝试计算的值． 【答案】（1）；（2）选择方程①，，（答案不唯一）；（3） 【分析】（1）由一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程即可得； （2）根据解一元二次方程的方法解答即可； （3）本题考查根与系数的关系，与一元二次方程解的定义，先利用方程的解的定义对式子进行化简，再由根与系数的关系：，即可得． 解：（1）解：由题意，得且，解得； （2）选择方程① 由方程；得： ， ， ， ， ， ∴，； 选择方程② ，，， ， ，； 选择方程③ 或 ，； （3），是一元二次方程的两根， 代入得：，，且，， ． 【题型4】一元二次方程的实际应用 1．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）某农户有一个养鸡场，据农户介绍，该养鸡场2023年养鸡只，2025年养鸡只． （1）求从2023年到2025年的年平均增长率； （2）为了改善养鸡场环境和扩大养殖规模，该农户又购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏围建一个靠墙（墙长且中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．能否建成一个面积为的矩形养鸡场，若能请求出鸡场的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】（1）从2023年到2025年的年平均增长率为；（2）鸡场的长和宽分别为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键． （1）设从2023年到2025年的年平均增长率为，根据题意列出方程，解方程，即可求解． （2）设，则，根据矩形面积公式建立方程，解方程即可得到答案． 解：（1）解：设从2023年到2025年的年平均增长率为，根据题意得， 解得（舍去） 答：从2023年到2025年的年平均增长率为； （2）解：设，则， 由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴鸡场的长和宽分别为． 2．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）运城临猗苹果是山西省名优特产，其果色鲜艳，果肉脆甜，汁水丰富，富含人体所必需的各类营养成分，年获国家农产品地理标志登记保护，年入选国家特色农产品优势区，深受老百姓的喜爱．年临猗某果园苹果年产吨，年实现了年产吨的目标． （1）求该果园年至年苹果年产量的年平均增长率． （2）某果库以元的成本采购了苹果吨，目前可以以元/吨的价格售出．如果储藏起来，每星期会损失吨，且每星期需要支付各种费用元，但同时每星期每吨的价格会上涨元，那么储藏多少个星期后，出售这批苹果可获利元？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解决本题的关键是根据题意找出等量关系，列出方程求解． 设果园年至年苹果年产量的年平均增长率为，可列方程，解方程即可求出平均增长率； 设储藏个星期后，出售这批苹果可获利元，根据利润总售价总成本，列出方程求解即可． 解：（1）解：设果园年至年苹果年产量的年平均增长率为， 根据题意可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 答：果园年至年苹果年产量的年平均增长率为； （2）解：设储藏星期后出售这批苹果可获利元， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：，， 答：储藏个星期后出售这批苹果可获利元． 3．（23-24九年级上·重庆渝中·自主招生）某科技公司生产销售一种电子产品，该产品总成本包括技术成本、制造成本、销售成本三部分，经核算，2018年该产品各部分成本所占比例约为（a为整数）．且2018年该产品的技术成本为400万元． （1）若2018年产品总成本超过1800万元，但不超过2000万元，确定a的值； （2）在（1）的条件下，为降低总成本，该公司2019年及2020年增加了技术成本投入，确保这两年技术成本都比前一年增加一个相同的百分数，制造成本在这两年里都比前一年减少；同时为了扩大销售量，2020年的销售成本将在2018年的基础上提高，经过以上变革，预计2020年该产品总成本仅为2018年该产品总成本的，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了比例的应用，一元一次不等式组的应用，以及一元二次方程的应用，读懂题意是解题的关键． （1）根据比例的应用列出关于一元一次不等式组，即可得出a的取值范围，再根据a为整数即可得出答案． （2）由（1）可得2018年的总成本，根据2020年该产品总成本仅为2018年该产品总成本的，列出关于m的一元二次方程求解即可得出答案． 解：（1）由题意得： 解得： ∵a为整数， ∴； （2）由（1）可得：2018年产品总成本为：（万元）， 则2018年的制造成本为（万元），销售成本为（万元）， 由题意得： 令，则 ∴， 整理得： 解得：，， ∴，（舍去） 则． 4．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）某农户计划利用现有的一道墙（墙长为米），另三边用总长为米的铁丝网围成一个长方形养鸡场，其中平行于墙的一边留出米宽的门（门不用铁丝网），围成的长方形养鸡场总面积为平方米． （1）当时，养鸡场平行于墙的一边的长是多少? （2）若要保证能围成符合要求的养鸡场，且仅存在一种围法，求墙长的取值范围； （3）若农户想将养鸡场面积扩大到平方米，在铁丝网长度不变且墙足够长的条件下，能否实现?若能，求出此时垂直于墙的边的长度；若不能，请说明理由． 【答案】（1）当时，养鸡场平行于墙的一边的长是米；（2）墙长的取值范围是；（3）不能实现，理由见分析． 【分析】（）设养鸡场垂直于墙的一边的长是米，则平行于墙的一边的长是米，根据题意得，然后解方程并检验即可； （）由（）得平行于墙的一边的长是米或是米，然后分当时；当时；当时，进行讨论即可； （）设养鸡场垂直于墙的一边的长是米，则平行于墙的一边的长是米，根据题意得，整理得，由即可判断． 解：（1）解：设养鸡场垂直于墙的一边的长是米，则平行于墙的一边的长是米， 根据题意得， 整理得：， 解得：，， 当时，平行于墙的一边的长是，不符合题意； 当时，平行于墙的一边的长是，符合题意； 答：当时，养鸡场平行于墙的一边的长是米； （2）解：由（）得平行于墙的一边的长是米或是米， 当时，两边都不超过墙长，有种围法； 当时，两边都不超过墙长，有种围法； 当时，两边都超过墙长，无法围成； ∴墙长的取值范围是； （3）解：不能实现，理由， 设养鸡场垂直于墙的一边的长是米，则平行于墙的一边的长是米， 根据题意得， 整理得：， ∵， ∴该方程无实数根， 即围成养鸡场的面积不能达到平方米， ∴不能实现． 5．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． （1）求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； （2）甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【答案】（1）甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼；（2）甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单 【分析】本题考查列方程（组）解应用题，找到等量关系列出方程（组）是解决问题的关键． （1）设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼，根据题意找到两个等量关系列方程再求解即可； （2）设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意列出方程求解并保留符合题意的整数解即可． 解：（1）解：设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼， 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼； （2）解：设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意，得 ， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单． 6．（2026·上海青浦·二模）被誉为“金果子”的草莓，是青浦区乡村产业振兴的一个亮点．某草莓采摘园计划通过互联网销售草莓，需设计一款底面积为的有盖子的长方体快递包装盒，所用的材料为长，宽的长方形硬纸板．制作方法如下：在每一张纸板的四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形（如方案1图所示）．然后折叠成一个有盖纸盒（盒盖与盒底大小形状相同） 为了优化设计，草莓采摘园的老板借助提出了一种改进方案（称为方案2），方案2也需要在四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形．对方案2的优点给出了如下评价： 1．节省材料，成本更低：两种方案体积相同，底面积相同，但方案2表面积更小，用料更省，长期生产可降低包装成本． 2．结构更稳固：方案2底面更接近正方形，重心更稳，抗压性更好，运输时不易变形、挤压，能更好保护物品． 接下来请你帮助老板解决以下问题： （1）设方案1中剪去的正方形的边长为，求包装盒的表面积； （2）尝试在备用图中画出方案2，并通过计算说明AI对方案2“表面积最小”的评价是否准确？ 【答案】（1）；（2）见详解 【分析】（1）根据图形可知剪去的长方形的长为，则包装盒的表面积=长方形硬纸板的面积-正方形面积-长方形面积； （2）根据底面积相同，可解方程得底边长宽分别为，则包装盒的表面积=长方形硬纸板的面积-正方形面积-长方形面积，即可验证方案． 解：（1）解：由题意可得， ，， ∴ 则剪去的长方形的长为： 则包装盒的表面积长方形硬纸板的面积正方形面积长方形面积； （2）解：∵ ，底面积等于， ∴， 解得：或（舍去）， 当时，方案1包装盒的表面积为：， ∵两种方案体积相同，底面积相同，底面更接近正方形， ∴得图 当， 时，满足条件， ∴， 则包装盒的表面积长方形硬纸板的面积正方形面积长方形面积 方案2包装盒的表面积为：， 则对方案2“表面积最小”的评价准确． 7．（25-26九年级下·广东汕头·期中）学习完了一元二次方程后，某校数学兴趣小组对关于x的一元二次方程开展深入探究 【初探究】 （1）学校计划用围栏围成一个长方形劳动实践基地，经过测量，基地的长比宽多1米，设基地的宽为x米，围成基地的面积为m平方米，当时，求此时x的值； 【再探究】 （2）若实数a，b满足，，且，求的值； 【深度思考】 （3）若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． 【答案】（1）3；（2）；（3）见分析 【分析】（1）设基地的宽为x米，则基地的长为米，根据围成基地的面积为12平方米列方程求解即可； （2）把方程变形为，设，可得，与方程形式相同，则a和c是方程的两个实数根，再根据根与系数的关系即可得解； （3）把两方程相减可得，根据可得，把两方程相加可得， 代入即可得证． 解：（1）解：设基地的宽为x米，则基地的长为米， 围成基地的面积为m平方米， ， ， 整理得， 解得（舍）， 答：当时，此时x的值为3； （2）解：， ， 设，则， ， a和c是方程的两个实数根， ， ， a和c是方程的两个不同的实数根， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 8．（25-26九年级上·北京·期中）体重为衡量个人健康的重要指标之一，下面为成年人利用身高计算理想体重的三种方式，由于这些计算方法没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，因此结果仅供参考． 算法①：女性理想体重：身高身高，男性理想体重：身高身高； 算法②：女性理想体重：身高，男性理想体重：身高； 算法③：女性理想体重：身高，男性理想体重：身高，下为甲、乙两个关于成年女性理想体重的叙述： 甲有的女性使用算法①与算法②算出的理想体重会相同， 乙有的女性使用算法②与算法③算出的理想体重会相同． 范围（） 体重类别 体重过轻 体重正常 超重 肥胖 （1）请你判断甲乙两人的叙述是否正确？并说明理由； （2）当身高的成年男性使用算法①计算理想体重，他的实际体重比理想体重大，并且他的实际体重与理想体重的差的平方等于实际体重的倍与理想体重的差；请你判断该成年男性实际体重的是否正常？并说明理由； （3）现在为了响应国家号召，该男子实施减肥计划，直接写出他减重公斤数在哪个区间体重是正常的？，，体重结果保留整数，保留一位小数 【答案】（1）甲错误，乙正确；（2）不正常；（3）他减重公斤数在时，体重是正常的 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，一元二次方程的应用以及根的判别式， （1） 通过设女性身高为米，分别计算算法①与算法②、算法②与算法③相等的方程，判断是否存在实数解； （2）先计算理想体重，再根据条件列方程求实际体重，然后计算，对照表格判断类别； （3）设减重公斤，根据正常范围列不等式组，求解的范围． 解：（1）解：假设甲叙述正确，设女性的身高为， 根据题意得： 整理得： ， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即甲叙述错误； 假设乙叙述正确，设女性的身高为， 根据题意得：， 解得：， ∴当女性的身高为时，使用算法与算法算出的理想体重会相同， ∴假设成立，即乙叙述正确； （2）解：身高，男性算法①理想体重： 设实际体重为，，且 整理得 解得或（舍去，因） 实际体重 对照表格，为超重，故不正常． （3）解：设减重公斤，新体重为 正常范围 解得， 故 ∴他减重公斤数在时，体重是正常的． 【题型 5】数据分析统计量的计算与应用 1．（25-26八年级下·浙江金华·期中）为了解八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h），学校随机调查了该校八年级50名学生，得到了一组样本数据，根据统计的结果，绘制出如下的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：    （1）在扇形统计图中， ，在箱线图中 ， （2）本次调查样本中数据的众数为 （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生600人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为的人数约为多少? 【答案】（1）28，，；（2）；（3）120 【分析】（1）先由扇形图百分比和为算出；再用总人数50乘各占比，得各时长人数；最后根据箱线图四分位数定义，找到第12、13个数据（均为6）和第25、26个数据（均为7），得b、c的值； （2）众数是数据中出现次数最多的数值．先根据扇形图各时长的百分比，算出对应人数：有6人、有8人、有12人、有14人、有6人、有4人．对比人数，的人数最多，则问题可求解； （3）先找出每周参加科学教育时间的时长，即和；再将两者的百分比相加，得到总占比为；最后用总人数乘该占比，算出估计人数即可． 解：（1）解：扇形统计图中各部分百分比之和为，因此：， 根据样本容量50， 计算各时间段人数：：（人）， ：（人）， ：（人）， ：（人）， ：（人）， ：（人）， 箱线图中，b为第一四分位数，c为中位数： 中位数：第25、26个数据的平均数，前个数据中， 第25、26个数据均为， 故； 第一四分位数：第12、13个数据的平均数，前个数据中， 第12、13个数据均为，故； （2）解：众数是一组数据中出现次数最多的数， 由（1）中各时间段人数可知，对应的人数为14人，是所有时间段中人数最多的， 因此众数为； （3）解：时间不少于的学生，对应和两个时间段， 总占比为：， 该校八年级共有600人，因此估计人数为：（人）， 答：估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为的人数约为120人． 2．（2026·河南信阳·二模）修订过的《治安管理处罚法》自2026年1月1日起施行．新法与未成年人息息相关．学校在七八年级学生中开展了相关法律的学习活动，并在每个年级抽取了20名学生进行测试．最后将测试成绩按照等级绘制成了统计表， 分组 七年级 3 8 4 3 2 八年级 3 12 3 1 1 其中：七年级得分为81，86，82，82，82，82，85，82， 八年级得分为81，82，82，83，84，85，86，86，86，86，88，89． （1）七年级学生测试成绩的中位数是______，众数是______． （2）结合统计量，对七八年级的学习水平作出比较． 【答案】（1），82；（2）见分析 【分析】（1）利用中位数和众数的定义求解即可； （2）先求出八年级的中位数和众数，再与七年级相比较进行解答即可． 解：（1）解：七年级一共有20个成绩，中位数是从小到大排序后第10个和第11个成绩的平均数，由统计表可知，第10个和第11个成绩位于组内， 七年级得分从小到大排列为：81，82，82，82，82，82，85，86 则七年级第10个成绩为81，第11个成绩为82， 中位数为， 由于七年级测试成绩82分出现5次， 则众数为82； （2）解：由统计表可知，八年级第10个和第11个成绩位于组内， 八年级得分从小到大排列为：81，82，82，83，84，85，86，86，86，86，88，89 则八年级第10个成绩为84，第11个成绩为85， 故八年级的中位数是分， 由统计表可知，八年级的众数是86，均高于七年级， 因此，八年级的在此次活动中的学习水平高于七年级学生． 3．（25-26八年级下·全国·期末）“校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，大丰区主管部门就学生对“阳光定食校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从初中、高中各随机抽取10名学生，统计他们对“阳光定食校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）：初中：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10．高中：9，7，9，6，10，6，8，m，9，7．两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 初中 8 a b 0.8 高中 8 8.5 9 1.8 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：______，______． （2）求m的值． （3）综合表中数据，从集中趋势（平均数、中位数、众数）看，是初中学生还是高中学生对“阳光定食校园餐”的总体满意度更高？请简要说明理由． 【答案】（1）8，8；（2）；（3）高中学生对“阳光定食校园餐”的总体满意度更高，理由如下：初中部和高中部打分的平均数都是8，但高中部的打分的中位数和众数均高于初中部，故高中学生对“阳光定食校园餐”的总体满意度更高． 【分析】（1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据高中部平均数即可求解； （3）根据平均数、中位数、众数的意义求解即可； 解：（1）解：初中部打分排在中间位置的两个数都是8，则中位数， 打分出现次数最多的是8，则众数． （2）解：高中部打分的平均分为8分， 则， 解得； （3）略 4．（2026·辽宁锦州·二模）为丰富学生校园体育生活，引导学生积极参与体育锻炼，某校利用大课间开展足球、篮球、排球、乒乓球、羽毛球五项球类活动，每名学生均参加了其中一项活动．为了解该校学生参与大课间球类活动情况，随机抽取了该校60名学生进行调查，得到如下两幅不完整的统计图（图1和图2）： （1）请将球类活动调查数据条形统计图补充完整； （2）求球类活动调查数据扇形统计图中“乒乓球”对应的扇形圆心角的度数； （3）为备战篮球联赛，学校计划从参加篮球活动的甲、乙两名同学中选拔一人加入篮球队．已知甲、乙两名同学近6周定点投篮测试成绩（每次测试时间为3分钟，共有10次投篮机会，以命中次数作为测试成绩）如图3所示．你建议选拔哪名同学，请说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）；（3）建议选拔乙同学加入篮球队（答案不唯一），见分析 【分析】（1）求出参加篮球类活动的人数，即可求解； （2）用360度乘以“乒乓球”类活动人数所占的百分比，即可求解； （3）根据平均数和方差的意义解答即可． 解：（1）解：参加篮球类活动的人数为（人）． 补全条形统计图如下： （2）解：． 即扇形统计图中“乒乓球”对应的扇形圆心角的度数为． （3）解： （次）， （次）． ， 乙的成绩比甲的成绩稳定， 建议选拔乙同学加入篮球队． 5．（25-26九年级上·江苏南京·期中）某班40名学生身高的数据信息如图所示． 请回答以下问题： （1）从图中你能直接读出这40名学生身高的平均数、中位数和众数吗？ （2）一定有身高为的学生吗？一定有身高为的学生吗？ （3）依身高将同学们排序，中间的学生其身高处于哪个范围？ （4）不低于的学生在全班学生中占比多少？ 【答案】（1）见详解；（2）一定有身高是的学生，一定没有身高为的学生；（3）中间的学生其身高处于到这个范围；（4）不低于的学生在全班学生中占比 【分析】（1）根据频数分布直方图，平均数，中位数，众数及箱线图可进行求解； （2）根据箱线图可直接进行求解； （3）根据箱线图进行求解即可； （4）先得出身高不低于的学生人数，然后问题可求解． 解：（1）解：从图中无法直接得出这40名学生身高的平均数； 由箱线图可知：这组数据的中位数是； 从所给的统计图中无法直接得出众数，只能得出众数所在的组； （2）解：由箱线图可知：最大值是，说明这组数据中最高身高是； ∴一定有身高是的学生，一定没有身高为的学生； （3）解：由箱线图可知：下四分位数是，上四分位数是， ∴中间的学生其身高处于到这个范围； （4）解：不低于的学生人数共有（人）， ∴； 答：不低于的学生在全班学生中占比． 6．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）社区计划挑选一间阅览室，作为居民周末上午的固定阅读空间，现有A、B两间阅览室可供选择．工作人员收集了这两间阅览室过去10周周末上午的预约人数（单位：人），数据如下： A阅览室：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50 B阅览室：25，25，35，40，40，55，60，65，70，80 阅览室 平均数 众数 中位数 A a 48 48 B 49.5 b c （1）上述表中，_______，_______，_______； （2）小明计算出A阅览室预约人数的四分位数；并绘制了箱线图，请求出B阅览室预约人数的四分位数，并绘制箱线图； （3）根据上述材料分析，社区应该挑选哪间阅览室？请说明你的理由． 【答案】（1），40和25，；（2）； 绘制箱线图如图所示： （3）社区应该挑选阅览室A． 理由：因为阅览室A的众数和中位数大于阅览室B，且从箱线图看B阅览室预约人数的差距大，A阅览室预约人数的差距小，更稳定，所以社区应该挑选阅览室A． 【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的定义，结合数据完成表格即可； （2）结合数据和图表确定第25、50、75百分位数对应的位置，计算得到对应的四分位数，在B的位置标注最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值，画出箱线图即可； 解：（1）解：A阅览室预约人数的平均数； 根据数据， B阅览室预约人数为25和40的出现次数最多，因此众数b为25和40； 将B阅览室预约人数从小到大顺序排列，第5个数为40，第6个数为55，因此中位数为； （2）略 （3）略 7．（2026年浙江省金衢十二校6月份联考九年级数学试题）随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现对“豆包”、“”两款人工智能软件进行调查评分，再从中各随机抽取了20个用户的得分数据，进行整理、描述和分析（分数均不低于80分，用表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： “豆包”得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98． “”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94． 根据以上信息，解答下列问题： “豆包”和“”得分统计表 软件 平均数 中位数 众数 豆包 92 93 92 97 （1）填空：_______，_______，_______； （2）定义：将一组数据从小到大排列，中位数处于这组数据“位置的中心”，中位数也称为第50百分位数，记作，前半部分数据的中位数记作，称为下四分位数，后半部分数据的中位数记作，称为上四分位数．根据定义，写出“豆包”得分的下四分位数_________； （3）若本次调查有1000名用户对“豆包”进行了评分，有1200名用户对“”进行了评分，估计其中对这两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 【答案】（1），，；（2）；（3）对这两款人工智能软件非常满意的总用户数约为680人． 【分析】（1）根据众数定义求出a的值，求出“”得分在C组中所占的比例，即可求出m的值；先求出“”得分中，组合的用户数，结合组数据根据中位数的定义即可求出的值； （2）根据下四分位数的定义进行解答即可； （3）用样本估计总体即可． 解：（1）解：“豆包”得分出现次数最多的是94， ∴众数； “”得分在C组中所占的比例为， ∴ ∴； “”得分在A组的用户数为，在B组的用户数为：， 则“”得分从低到高排列后排在第和第的得分分别为，， 故； （2）解：排在第5，6位数分别是89，90， ∴“豆包”得分的下四分位数为； （3）解：（人） 答：对这两款人工智能软件非常满意的总用户数约为680人． 8．（2026·福建福州·二模）下表是某公司所有员工月收入的资料： 岗位类别 A B C D E F G H 人数 1 1 1 3 6 1 11 1 月收入/元 45000 18000 10000 5500 5000 3900 3600 3000 （1）由上表可知，该公司所有员工月收入的平均数是6640，中位数是______，众数是______； （2）若要反映该公司员工月收入水平的情况，（1）中的三个统计量（平均数，中位数，众数）中，不合适的是______； （3）该公司因工作需要，将一名员工由原岗位调整至另一岗位，该员工的月收入也随岗位发生相应变化，其他员工的月收入保持不变．调整完成后，公司所有员工的平均月收入比原来增加了20元．请判断该员工是从哪个岗位调整至哪个岗位，并说明理由． 【答案】（1）3900，3600；（2）平均数；（3）该员工从E岗位调整到D岗位，理由见分析 【分析】（1）根据员工总人数，找到排序后中间位置的数即为中位数；出现次数最多的数即为众数； （2）平均数受极端值影响大，无法反映大多数员工的实际收入水平，因此不合适； （3）根据平均收入增加20元，可算出总收入增加了元，因此该员工收入需增加 500元，据此判断岗位调整情况． 解：（1）解：员工总人数：（人）， 将 25 名员工的月收入从小到大排列，第 13 个数为中位数， 岗位H、G，累计人，第13个数是岗位F收入3900，故中位数为 3900； 月收入为3600的员工人数最多（11人），故众数为3600． （2）解：平均数受岗位 A 的高收入（45000元）极端值影响，被拉高至6640元，远高于大多数员工的实际收入水平，因此平均数不适合反映该公司员工月收入水平的情况． （3）解：调整后平均月收入增加20元，因此总收入增加：（元），该员工调整后的月收入比原来增加了500元， 观察表格，只有岗位D（5500元）与岗位E（5000元）的收入差为500元，因此该员工是从岗位E调整至岗位D． 【题型 6】模块综合题（二次根式+一元二次方程+数据分析） 1．（25-26九年级下·山东威海·期中）下列说法正确的是（     ） ①最简二次根式与是同类二次根式，则； ②若m是的小数部分，则； ③若的斜边长，另两边长a，b恰好是关于x的方程的两个根，则； ④若关于x的方程的两根互为相反数，则m的值是． A．①② B．①②④ C．③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题需逐个判断四个说法的正误，分别利用同类二次根式定义、二次根式化简、勾股定理、一元二次方程根与系数关系和根的判别式进行判断，最终得到正确选项． 解：最简二次根式与是同类二次根式， ， 整理得：， 解得或， 当时，，舍去， ， 故①正确； ，是的小数部分， ，， ， ， ， 故②正确； ，是方程的两根， 由根与系数的关系得：，， 斜边， 由勾股定理得：， ， ， 整理得：， 解得：， ，是边长， ， 当时，，舍去， ， 故③错误； 方程两根互为相反数， 两根之和为， 解得：， 当时，常数项， 判别式，方程无实根，舍去； 当时，常数项， 判别式方程有实根，符合要求， ， 故④错误； 综上所述，只有①②正确． 2．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）下列说法正确的是（　　） ①若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥1． ②7＜＜8． ③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5． ④的平方根是±4． ⑤一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根． A．①③⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．①②④ 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件、估算无理数的大小、算术平方根、平方根和多边形的内角和定理，根的判别式判断即可． 解：①若二次根式 有意义，则1﹣x≥0，解得x≤1． 故x的取值范围是x≤1，题干的说法是错误的． ②8＜ ＜9，故题干的说法是错误的． ③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5是正确的． ④ ＝4的平方根是±2，故题干的说法是错误的． ⑤∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0， ∴一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根，故题干的说法是正确的． 故选：B． 【点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了二次根式有意义的条件、估算无理数的大小、算术平方根、平方根和多边形． 3．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）我们可以利用二次根式性质准确解出形如的方程， 方法如下： 由题意，可知，得 原方程变形为： ∴ ∴或（舍去） ∴ 小杰同学将二次根式的性质进一步探究后发现：． 已知，参考上述方法，可求得______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，因式分解法解一元二次方程等知识，设，代入原方程，利用换元法将方程转化为关于的二次方程，求解后得到的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：由，设，则， 代入原方程，得， ， ∵， ∴， ∴， ， 设（），则， 代入得：，即， 整理为：， ∴，（舍去，因为）， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2023·福建厦门·模拟预测）公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式（其中a，r是有理数）得到二次根式的近似值．例如求的近似值的具体算法是：因，应用近似公式求得；再因，应用近似公式求得；…依此算法，所得的近似值会越来越精确．类似的，当取得近似值时，近似公式中的____________________， ____________________． 【答案】 或 或 【分析】由题目可知，取得近似值，根据近似公式，可得，求解即可．本题考查的是估算无理数的大小和二次根式的性质与化简，熟练掌握上述近似公式的求解方法是解题的关键． 解：取得近似值， 根据近似公式，可得， 解得：或， 或，或， 故答案为：或，或． 5．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）阅读下列材料： 数学符号语言是数学特有的通用语言，是人类数学思维长期发展形成的一种语言表达形式，是数学语言的典型代表．它具有准确性、简约性、应用广泛性等特点，是表达数学思想、进行数学推理和解决问题的重要工具． 如：书本中用符号语言“”代替了二次根式的乘法的运算法则“两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变”． 根据所给材料，完成下列问题： （1）用文字描述符号语言“”的等式含义：________________； （2）①命题“一个数的平方等于这个数绝对值的平方，也等于它平方的绝对值”可以用数学符号语言描述为________________； ②解方程：． 【答案】（1）的算术平方根等于；（2）①；②或 【分析】本题考查算术平方根的定义，绝对值，解一元二次方程． （1）根据算术平方根的定义即可解答； （2）①将文字语言转化为数学语言即可；②利用换元法解一元二次方程即可． 解：（1）解：“”的等式含义为的算术平方根等于， 故答案为：的算术平方根等于； （2）解：①命题“一个数的平方等于这个数绝对值的平方，也等于它平方的绝对值” 设这个数为， 则可以用数学符号语言描述为， 故答案为：； ②解：， 令， 由①得，， 则原方程为：，即， 或， 解得或， ∵， ∴， ∴， ∴或． 6．（24-25八年级下·江西上饶·阶段检测）我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如都是根分式． （1）下列式子： ①；②；③，其中___________（填序号）是根分式； （2）根分式中的取值范围为___________； （3）已知两个根分式：． ①若，求的值； ②若是一个整数，且为整数，求的值． 【答案】（1）③；（2）且；（3）①；②0或2 【分析】（1）根据定义判断，只有③符合题意，解答即可． （2）根据分母不能为0，被开方数是非负数，求解即可． （3）①代入中，解分式方程，求解即可； ②先表示，再根据是一个整数，且为整数，建立方程求的值即可． 解：（1）解：根据定义判断，只有符合题意， 故答案为：③． （2）解：根分式有意义的条件是且， 解得且； 故答案为：且． （3）①解：∵， ∴， ． ， ， 解得， 经检验，是原方程的根， 的值为． ②解：①可知， ． 是一个整式，且为整数， ， 解得或， 的值为0或2． 【点拨】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，解分式方程，解一元二次方程，整除性质，熟练掌握意义和解方程是解题的关键． 7．（25-26九年级下·山东淄博·期中）【阅读材料】 在学习二次根式时，小张同学发现一些含根号的式子可以化成另一表达式的平方． 如： 【理解运用】 （1）填空：（_______）（________）（_________）； 【问题解决】 （2）化简：； （3）解方程： 【答案】（1）；；；；；（2）；（3） 【分析】（1）根据，结合题意求解即可； （2）根据，结合题意求解即可； （3）利用公式法可得，而，据此求出即可得到答案． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 解得． 8．（23-24九年级上·湖南长沙·开学考试）阅读下列各题并按要求完成： （1）定义：若两个一元二次方程有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，已知关于的一元二次方程与为“友好方程”，求的值； （2）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，且二次根式有意义，若，求的取值范围． 【答案】（1）的值为或；（2）的取值范围为 【分析】（1）根据解一元二次方程的解，再根据“友好方程”的概念，将方程的解代入计算即可求解； （2）根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根可得判别式大于零，结合二次根式有意义，可求出的取值范围，根据韦达定理可求出，的值，代入化简计算，由此即可求解． 解：（1）解： 因式分解得，， ∴，， ∵关于的一元二次方程与为“友好方程”， ∴一元二次方程解为，， 当时，代入方程得，，解得，； 当时，代入方程得，，解得，； ∴的值为或． （2）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴，整理得，，解得，， ∵二次根式有意义， ∴，解得，， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根，， ∴，， ∵ 把，代入， ∴ ， ∴，即或， ∴， ∵， ∴，即， 又∵或， ∴，且 ∴的取值范围为． 【点拨】本题主要考查解一元二次方程的方法，一元二次方程判别式与根的关系，根与系数的关系，韦达定理的运用，解不等式的方法的综合，掌握以上知识是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末考试必考题型（四）——二次根式、一元二次方程与数据的分析综合（3大考点6类题型） 目录 一.必考点知识梳理 1 【考点一】二次根式 1 【考点一】一元二次方程 1 【考点三】数据分析初步 2 二.必考题型精析 2 【题型 1】二次根式的取值范围与化简求值（8题） 2 【题型 2】二次根式的混合运算与分母有理化（8题） 3 【题型 3】一元二次方程的解法与参数讨论 6 【题型4】一元二次方程的实际应用 7 【题型 5】数据分析统计量的计算与应用 10 【题型 6】模块综合题（二次根式+一元二次方程+数据分析） 14 一.必考点知识梳理 【考点一】二次根式 1、 二次根式的概念与有意义的条件：核心考点：被开方数非负性（含分母的双重限制条件）； 2、 二次根式的性质与化简 ：的化简、最简二次根式判定； 3、 二次根式的运算 ：二次根式加减运算、乘除运算、混合运算； 4、 二次根式的求值与应用 ：先化简再求值、二次根式在几何中的应用。 【考点一】一元二次方程 1、一元二次方程的概念与一般形式 ：判定一元二次方程、化为一般形式并确定系数（注意二次项系数不为 0）； 2、一元二次方程的解法 ：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法（根据方程特征选择最优解法）； 3、根的判别式与根与系数的关系（韦达定理）：用判别式判断根的情况、根据根的情况求参数范围、利用韦达定理求代数式的值； 4、一元二次方程的实际应用 ：增长率问题、面积问题、利润问题。 【考点三】数据分析初步 1、平均数、中位数、众数 ：计算一组数据的集中趋势统计量、根据统计量分析数据特征； 2、方差与标准差：计算方差、利用方差判断数据的稳定性（方差越小越稳定）； 3、统计量的综合应用：结合实际情境选择合适的统计量分析数据、解决决策类问题。 二.必考题型精析 【题型 1】二次根式的取值范围与化简求值（8题） 1．（25-26八年级下·安徽亳州·期中）若代数式有意义，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 2．（25-26八年级下·安徽亳州·期中）若，则以为边的直角三角形斜边长为（    ） A． B．3 C．或3 D．13 3．（2026·安徽芜湖·二模）函数中自变量的取值范围是____． 4．（25-26八年级上·上海·期中）如果有意义，那么的取值范围是___________． 5．（25-26八年级上·广西贵港·期末）已知：． （1）化简； （2）若，求的值． 6.（25-26八年级下·全国·课后作业）【课本再现】 一般地，如果一个非负数的平方等于，即，那么这个非负数叫作的算术平方根，记为． 0的算术平方根是0，即，所以被开方数为非负数． 【探究新知】 （1）若，则的取值范围是____________． 【知识应用】 （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）若，求的值． 7．（24-25八年级下·全国·单元测试）若实数，，满足． （1）求的值． （2）若满足上式的，为等腰三角形的两边长，求这个等腰三角形的周长． 8．（25-26七年级下·广东汕头·期中）已知正数，按下列规律操作：第一次操作，第二次操作，第次操作． （1）当时，_________________________； （2）当时，_________________________； （3）猜想：对于任意正数a，当n无限增大时，an的值与1有怎样的关系？ 【题型 2】二次根式的混合运算与分母有理化（8题） 1．（25-26八年级下·河南许昌·期中）【观察】，． 【感悟】在二次根式的运算中，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是分母有理化．像上述解题过程中，与，与相乘的积都不含二次根式，我们可以将每组中的两个式子称作互为有理化因式． 【运用】对于正整数，定义，例如：．求的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①； ②比较大小：； ③计算： ④变形：. 以上结论中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（21-22八年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题：写出第n个等式______． 4．（2025·甘肃定西·一模）观察下列计算： ， ， ， …… 从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算：_____． 5．（25-26八年级下·广东东莞·期中）阅读下列材料，然后解答下列问题．在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （一）； （二） 以上这种化简的方法叫分母有理化． （1）化简_______；______． （2）化简_______．（） （3）化简：． 6．（25-26八年级下·山东泰安·期中）阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：形如的化简，只要我们找到两个正数、，使、，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式”． 任务： （1）分母有理化：________； （2）化简“理想二次根式”：________； （3）根据材料中的方法进行化简与计算：已知，，求的值； 7．（25-26八年级下·北京·期中）阳阳发现：利用公式可以把一些含根号的式子写成另一个式子的平方，如： 【问题解决】请你仿照阳阳的方法解决下面问题： （1）若（a，b为正整数），则 ； （2）已知n为正整数，化简= ； 【拓展延伸】 （3）计算，请直接写出最后的化简结果． 8．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）观察下列各式的计算过程，寻找规律： ； 利用发现的规律解决下列问题： （1）化简式子 ；（为正整数）． （2）直接写出式子的值： ； （3）计算：；（为正整数）． 【题型 3】一元二次方程的解法与参数讨论 1．（2026·广西崇左·三模）已知关于x 的一元二次方程的两实数根之积等于，则 m的值为（     ） A．0 B． C．10 D．0 或10 2．（2026·广东广州·二模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则一次函数的图象一定不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（25-26八年级下·上海静安·期末）若一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过________． 4．（2026·四川成都·二模）已知，是一元二次方程的两个实数根，且，则的值为________． 5．（2026·四川南充·三模）为实数，关于的方程为． （1）判断方程根的情况． （2）若方程的两根为，，当时，求的值． 6．（2026·四川南充·二模）为实数，关于的方程为． （1）求证：不论为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两根均不大于1，试求的取值范围． 7．（2026·四川南充·一模）已知关于x的一元二次方程（其中a、b、c为常数，）． （1）当时，求证：方程总有实数根； （2）若a、b、c、k均为正数，且假设方程有实数根,且方程的两实根之和为，两实根之积为，探究以a、b、c为边长的三角形的形状，并说明理由． 8．（2026年浙江宁波市初中学业水平考试数学试题（甬真卷1号�之江卷））一元二次方程是初中数学代数板块的核心内容，也是中考的重点考查模块．现以“单元整体”的视角，从定义、解法、根与系数的关系等核心维度，尝试解答下列问题： （1）【概念辨析】若关于的方程是一元二次方程，则的值是____． （2）【解法实践】请从以下三个一元二次方程中任选一个你喜欢的方程进行求解： ①用配方法解：； ②用公式法解：； ③用因式分解法解：． （3）【综合应用】已知，是一元二次方程的两根，请尝试计算的值． 【题型4】一元二次方程的实际应用 1．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）某农户有一个养鸡场，据农户介绍，该养鸡场2023年养鸡只，2025年养鸡只． （1）求从2023年到2025年的年平均增长率； （2）为了改善养鸡场环境和扩大养殖规模，该农户又购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏围建一个靠墙（墙长且中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．能否建成一个面积为的矩形养鸡场，若能请求出鸡场的长和宽；若不能，请说明理由． 2．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）运城临猗苹果是山西省名优特产，其果色鲜艳，果肉脆甜，汁水丰富，富含人体所必需的各类营养成分，年获国家农产品地理标志登记保护，年入选国家特色农产品优势区，深受老百姓的喜爱．年临猗某果园苹果年产吨，年实现了年产吨的目标． （1）求该果园年至年苹果年产量的年平均增长率． （2）某果库以元的成本采购了苹果吨，目前可以以元/吨的价格售出．如果储藏起来，每星期会损失吨，且每星期需要支付各种费用元，但同时每星期每吨的价格会上涨元，那么储藏多少个星期后，出售这批苹果可获利元？ 3．（23-24九年级上·重庆渝中·自主招生）某科技公司生产销售一种电子产品，该产品总成本包括技术成本、制造成本、销售成本三部分，经核算，2018年该产品各部分成本所占比例约为（a为整数）．且2018年该产品的技术成本为400万元． （1）若2018年产品总成本超过1800万元，但不超过2000万元，确定a的值； （2）在（1）的条件下，为降低总成本，该公司2019年及2020年增加了技术成本投入，确保这两年技术成本都比前一年增加一个相同的百分数，制造成本在这两年里都比前一年减少；同时为了扩大销售量，2020年的销售成本将在2018年的基础上提高，经过以上变革，预计2020年该产品总成本仅为2018年该产品总成本的，求m的值． 4．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）某农户计划利用现有的一道墙（墙长为米），另三边用总长为米的铁丝网围成一个长方形养鸡场，其中平行于墙的一边留出米宽的门（门不用铁丝网），围成的长方形养鸡场总面积为平方米． （1）当时，养鸡场平行于墙的一边的长是多少? （2）若要保证能围成符合要求的养鸡场，且仅存在一种围法，求墙长的取值范围； （3）若农户想将养鸡场面积扩大到平方米，在铁丝网长度不变且墙足够长的条件下，能否实现?若能，求出此时垂直于墙的边的长度；若不能，请说明理由． 5．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． （1）求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； （2）甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 6．（2026·上海青浦·二模）被誉为“金果子”的草莓，是青浦区乡村产业振兴的一个亮点．某草莓采摘园计划通过互联网销售草莓，需设计一款底面积为的有盖子的长方体快递包装盒，所用的材料为长，宽的长方形硬纸板．制作方法如下：在每一张纸板的四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形（如方案1图所示）．然后折叠成一个有盖纸盒（盒盖与盒底大小形状相同） 为了优化设计，草莓采摘园的老板借助提出了一种改进方案（称为方案2），方案2也需要在四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形．对方案2的优点给出了如下评价： 1．节省材料，成本更低：两种方案体积相同，底面积相同，但方案2表面积更小，用料更省，长期生产可降低包装成本． 2．结构更稳固：方案2底面更接近正方形，重心更稳，抗压性更好，运输时不易变形、挤压，能更好保护物品． 接下来请你帮助老板解决以下问题： （1）设方案1中剪去的正方形的边长为，求包装盒的表面积； （2）尝试在备用图中画出方案2，并通过计算说明AI对方案2“表面积最小”的评价是否准确？ 7．（25-26九年级下·广东汕头·期中）学习完了一元二次方程后，某校数学兴趣小组对关于x的一元二次方程开展深入探究 【初探究】 （1）学校计划用围栏围成一个长方形劳动实践基地，经过测量，基地的长比宽多1米，设基地的宽为x米，围成基地的面积为m平方米，当时，求此时x的值； 【再探究】 （2）若实数a，b满足，，且，求的值； 【深度思考】 （3）若两个不相等的实数p，q满足，，求证：． 8．（25-26九年级上·北京·期中）体重为衡量个人健康的重要指标之一，下面为成年人利用身高计算理想体重的三种方式，由于这些计算方法没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，因此结果仅供参考． 算法①：女性理想体重：身高身高，男性理想体重：身高身高； 算法②：女性理想体重：身高，男性理想体重：身高； 算法③：女性理想体重：身高，男性理想体重：身高，下为甲、乙两个关于成年女性理想体重的叙述： 甲有的女性使用算法①与算法②算出的理想体重会相同， 乙有的女性使用算法②与算法③算出的理想体重会相同． 范围（） 体重类别 体重过轻 体重正常 超重 肥胖 （1）请你判断甲乙两人的叙述是否正确？并说明理由； （2）当身高的成年男性使用算法①计算理想体重，他的实际体重比理想体重大，并且他的实际体重与理想体重的差的平方等于实际体重的倍与理想体重的差；请你判断该成年男性实际体重的是否正常？并说明理由； （3）现在为了响应国家号召，该男子实施减肥计划，直接写出他减重公斤数在哪个区间体重是正常的？，，体重结果保留整数，保留一位小数 【题型 5】数据分析统计量的计算与应用 1．（25-26八年级下·浙江金华·期中）为了解八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h），学校随机调查了该校八年级50名学生，得到了一组样本数据，根据统计的结果，绘制出如下的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：    （1）在扇形统计图中， ，在箱线图中 ， （2）本次调查样本中数据的众数为 （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生600人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间至少为的人数约为多少? 2．（2026·河南信阳·二模）修订过的《治安管理处罚法》自2026年1月1日起施行．新法与未成年人息息相关．学校在七八年级学生中开展了相关法律的学习活动，并在每个年级抽取了20名学生进行测试．最后将测试成绩按照等级绘制成了统计表， 分组 七年级 3 8 4 3 2 八年级 3 12 3 1 1 其中：七年级得分为81，86，82，82，82，82，85，82， 八年级得分为81，82，82，83，84，85，86，86，86，86，88，89． （1）七年级学生测试成绩的中位数是______，众数是______． （2）结合统计量，对七八年级的学习水平作出比较． 3．（25-26八年级下·全国·期末）“校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，大丰区主管部门就学生对“阳光定食校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从初中、高中各随机抽取10名学生，统计他们对“阳光定食校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）：初中：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10．高中：9，7，9，6，10，6，8，m，9，7．两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 初中 8 a b 0.8 高中 8 8.5 9 1.8 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：______，______． （2）求m的值． （3）综合表中数据，从集中趋势（平均数、中位数、众数）看，是初中学生还是高中学生对“阳光定食校园餐”的总体满意度更高？请简要说明理由． 4．（2026·辽宁锦州·二模）为丰富学生校园体育生活，引导学生积极参与体育锻炼，某校利用大课间开展足球、篮球、排球、乒乓球、羽毛球五项球类活动，每名学生均参加了其中一项活动．为了解该校学生参与大课间球类活动情况，随机抽取了该校60名学生进行调查，得到如下两幅不完整的统计图（图1和图2）： （1）请将球类活动调查数据条形统计图补充完整； （2）求球类活动调查数据扇形统计图中“乒乓球”对应的扇形圆心角的度数； （3）为备战篮球联赛，学校计划从参加篮球活动的甲、乙两名同学中选拔一人加入篮球队．已知甲、乙两名同学近6周定点投篮测试成绩（每次测试时间为3分钟，共有10次投篮机会，以命中次数作为测试成绩）如图3所示．你建议选拔哪名同学，请说明理由． 5．（25-26九年级上·江苏南京·期中）某班40名学生身高的数据信息如图所示． 请回答以下问题： （1）从图中你能直接读出这40名学生身高的平均数、中位数和众数吗？ （2）一定有身高为的学生吗？一定有身高为的学生吗？ （3）依身高将同学们排序，中间的学生其身高处于哪个范围？ （4）不低于的学生在全班学生中占比多少？ 6．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）社区计划挑选一间阅览室，作为居民周末上午的固定阅读空间，现有A、B两间阅览室可供选择．工作人员收集了这两间阅览室过去10周周末上午的预约人数（单位：人），数据如下： A阅览室：28，30，40，45，48，48，48，48，48，50 B阅览室：25，25，35，40，40，55，60，65，70，80 阅览室 平均数 众数 中位数 A a 48 48 B 49.5 b c （1）上述表中，_______，_______，_______； （2）小明计算出A阅览室预约人数的四分位数；并绘制了箱线图，请求出B阅览室预约人数的四分位数，并绘制箱线图； （3）根据上述材料分析，社区应该挑选哪间阅览室？请说明你的理由． 7．（2026年浙江省金衢十二校6月份联考九年级数学试题）随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现对“豆包”、“”两款人工智能软件进行调查评分，再从中各随机抽取了20个用户的得分数据，进行整理、描述和分析（分数均不低于80分，用表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： “豆包”得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98． “”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94． 根据以上信息，解答下列问题： “豆包”和“”得分统计表 软件 平均数 中位数 众数 豆包 92 93 92 97 （1）填空：_______，_______，_______； （2）定义：将一组数据从小到大排列，中位数处于这组数据“位置的中心”，中位数也称为第50百分位数，记作，前半部分数据的中位数记作，称为下四分位数，后半部分数据的中位数记作，称为上四分位数．根据定义，写出“豆包”得分的下四分位数_________； （3）若本次调查有1000名用户对“豆包”进行了评分，有1200名用户对“”进行了评分，估计其中对这两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 8．（2026·福建福州·二模）下表是某公司所有员工月收入的资料： 岗位类别 A B C D E F G H 人数 1 1 1 3 6 1 11 1 月收入/元 45000 18000 10000 5500 5000 3900 3600 3000 （1）由上表可知，该公司所有员工月收入的平均数是6640，中位数是______，众数是______； （2）若要反映该公司员工月收入水平的情况，（1）中的三个统计量（平均数，中位数，众数）中，不合适的是______； （3）该公司因工作需要，将一名员工由原岗位调整至另一岗位，该员工的月收入也随岗位发生相应变化，其他员工的月收入保持不变．调整完成后，公司所有员工的平均月收入比原来增加了20元．请判断该员工是从哪个岗位调整至哪个岗位，并说明理由． 【题型 6】模块综合题（二次根式+一元二次方程+数据分析） 1．（25-26九年级下·山东威海·期中）下列说法正确的是（     ） ①最简二次根式与是同类二次根式，则； ②若m是的小数部分，则； ③若的斜边长，另两边长a，b恰好是关于x的方程的两个根，则； ④若关于x的方程的两根互为相反数，则m的值是． A．①② B．①②④ C．③④ D．②③④ 2．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）下列说法正确的是（　　） ①若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥1． ②7＜＜8． ③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5． ④的平方根是±4． ⑤一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根． A．①③⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．①②④ 3．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）我们可以利用二次根式性质准确解出形如的方程， 方法如下： 由题意，可知，得 原方程变形为： ∴ ∴或（舍去） ∴ 小杰同学将二次根式的性质进一步探究后发现：． 已知，参考上述方法，可求得______． 4．（2023·福建厦门·模拟预测）公元3世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式（其中a，r是有理数）得到二次根式的近似值．例如求的近似值的具体算法是：因，应用近似公式求得；再因，应用近似公式求得；…依此算法，所得的近似值会越来越精确．类似的，当取得近似值时，近似公式中的____________________， ____________________． 5．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）阅读下列材料： 数学符号语言是数学特有的通用语言，是人类数学思维长期发展形成的一种语言表达形式，是数学语言的典型代表．它具有准确性、简约性、应用广泛性等特点，是表达数学思想、进行数学推理和解决问题的重要工具． 如：书本中用符号语言“”代替了二次根式的乘法的运算法则“两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变”． 根据所给材料，完成下列问题： （1）用文字描述符号语言“”的等式含义：________________； （2）①命题“一个数的平方等于这个数绝对值的平方，也等于它平方的绝对值”可以用数学符号语言描述为________________； ②解方程：． 6．（24-25八年级下·江西上饶·阶段检测）我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如都是根分式． （1）下列式子： ①；②；③，其中___________（填序号）是根分式； （2）根分式中的取值范围为___________； （3）已知两个根分式：． ①若，求的值； ②若是一个整数，且为整数，求的值． 7．（25-26九年级下·山东淄博·期中）【阅读材料】 在学习二次根式时，小张同学发现一些含根号的式子可以化成另一表达式的平方． 如： 【理解运用】 （1）填空：（_______）（________）（_________）； 【问题解决】 （2）化简：； （3）解方程： 8．（23-24九年级上·湖南长沙·开学考试）阅读下列各题并按要求完成： （1）定义：若两个一元二次方程有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，已知关于的一元二次方程与为“友好方程”，求的值； （2）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，且二次根式有意义，若，求的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $