期末备考专项练15——几何体与三角形“四心”交汇问题-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦几何体与三角形“四心”交汇，以教材基础概念为起点，通过分层题型构建空间观念与推理能力训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |回归教材|2题|教材原题迁移|从平面四心定义到立体射影性质推导| |基础知识|4概念|四心定义梳理|概念生成：重心-中线等几何要素关联| |跟踪训练|14题|单选/多选/填空/解答|题型递进：射影性质判断→综合计算，体现四心与几何体位置关系应用逻辑|

高一数学人教A版必修二立体几何期末备考专项讲与练15 测试范围：几何体与三角形“四心”交汇问题 回归教材： 【人教A版数学必修二第8.6.2节练习第4题】过所在平面外一点P，作，垂足为O，连接.（1）若，则点O是的 心. （2）若，，则点O是边的______点. （3）若，，，垂足都为P，则点O是的 心. 【答案】外心 中 垂心 【详解】（1）如图，因为，所以，，故，又，,所以，故可得，同理可得所以点O是的外心； （2）由可得，，根据题意可得，可得，从而可得，从而可得点O是的外心，又因为，根据在直角三角形中，斜边的中线是斜边的一半得到点O为斜边的中点，即为边的中点. （3）因为，，且，平面，所以平面，所以， 因为，所以，又，平面，所以平面，所以，同理可得：,，故点O是的垂心。 【人教A版数学必修二复习参考题8第12题】如图，在正方体中，求证： （1）平面； （2）与平面的交点H是的重心. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）结合正方体的结构特征，以及线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）连接，根据，得出点H为的外心，进而得到点H也是的重心. 【详解】（1）如图所示，连接，则，平面，， 又，平面，平面，平面. 平面.，同理，，平面. （2）连接，由，得，因此点H为的外心，又为正三角形，∴点H也是的重心. 基础知识： 1.三角形的“重心”：三角形三条中线的交点； 2.三角形的“垂心”：三角形三条高的交点； 3.三角形的“内心”(内切圆的圆心)：三角形三个内角角平分线的交点； 注：若的内切圆半径为,则； 4.三角形的“外心”(外接圆的圆心)：三角形三条边垂直平分线的交点； 跟踪训练： 一、单选题 1．已知三棱锥中，，作平面ABC，垂足为，则为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用线面垂直的判定性质推理即可得解. 【详解】连接，由平面，平面，得，又， 平面，则平面，又平面，因此，同理，所以为的垂心.故选：D 2．已知正方体中，E、F、G分别是棱A'B'、AA'、A'D'上的点，则点A′在平面EFG上的射影是三角形EFG的（　　） A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心 【答案】A 【分析】由线面垂直的判定和性质，结合三角形的垂心的定义，可得结论． 【详解】设点A′在平面EFG上的射影为H，连接HE，HF，HG，由A'E⊥A'F，A'E⊥A'G，且A'F∩A'G＝A'，可得A'E⊥平面A'FG，则A'E⊥FG，又由EH为A'E在面EFG内的射影，可得FG⊥EH，同理可得EF⊥GH，EG⊥FH，所以点A′在平面EFG上的射影是三角形EFG的垂心．故选：A． 3．【人教A版数学必修二8.6.2练习第4题改编】过所在平面外的一点P，作，垂足为O，若点P到直线AB，AC和BC的距离都相等，则点O是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】由线面垂直的判定及性质可得，，，由勾股定理可知，即可确定O的性质. 【详解】 由题设，可得如图示意图：分别是的高，即，又面，而面，面，面，∴、、，又，，，∴面，面，面，又面，面， 面，∴，，，在中，，，.∴，故O一定是的内心. 4．已知为长方体，对角线与平面相交于点，则为的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【答案】B 【分析】依题意连接交于点，连接，连接、，，连接，根据线面、面面关系判断即可. 【详解】如图连接交于点，连接，连接、，，连接，由为长方体，所以为的中点，为的中点，则、为的中线，平面平面，对角线与平面相交于点，则，平面平面，对角线与平面相交于点，则，所以为与的交点，所以为的重心. 5．已知 ，点 是平面 外一点，点 是点 在平面 上的射影，直线PA，PB，PC与平面ABC所成的角相等，则 是 的（    ） A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 【答案】D 【分析】点 是点 在平面 上的射影，知平面，所以，由直线PA，PB，PC与平面ABC所成的角相等，证得，从而证得，由此可知 是 的外心. 【详解】由题可知，平面，所以.所以. 连接，则分别是直线PA，PB，PC与平面ABC所成的角， 所以.在中，，是公共边，所以.所以.所以 是 的外心.故选：D. 6．在三棱锥中，三个侧面与底面所成的角均相等，顶点在内的射影为，则是的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【答案】C 【分析】根据三垂线定理可得平面的夹角，结合题意得，即可根据锐角三解函数得，由内心的性质即可求解. 【详解】若三个侧面与底面所成的角相等，则分别作三个侧面三角形的斜高， 由三垂线定理，得，，，则、、分别是三侧面与底面所成角的平面角，，，，， ，是的内心．故选：C． 二、多选题 7．如图，平行六面体的六个面都是菱形，那么点在面上的射影一定是的（    ），点在面上的射影一定是的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】AC 【分析】根据菱形的对角线互相垂直，及线面垂直的判定定理、线面垂直的性质定理，可证明线线垂直，从而证明射影是垂心. 【详解】因为平行六面体的六个面都是菱形，所以，所以点在面上的射影到三点的距离相等；所以点在面上的射影是的外心.设点在面上的射影为，连接,则是在平面中的射影，因为平行六面体的六个面都是菱形，所以 所以由三垂线定理得，同理可证明，所以点在面上的射影一定是的垂心；故选：A；C. 8．在三棱锥中，顶点A在底面的射影为O，则下面说法正确的是（    ） A．若O为的外心，则. B．若O为的内心，则三个侧面与底面所成的二面角都相等. C．若O为的垂心，则B在对面的射影是垂心. D．若O为的重心，则三个侧面面积相等. 【答案】ABC 【分析】对于A，由条件可推得，判断；对于B，作辅助线，找出侧面与底面所成的二面角的平面角，根据条件可推出三个角相等；对于C，利用线面垂直的判定证明线线垂直，可进行判断；对于D，利用条件说明O为的重心时，三个侧面的面积关系不确定，进行判断. 【详解】如图，若O为的外心，则,则, 故，A正确； 若O为的内心，则设OE,OF,OG分别垂直于BC,CD,BD，则，连接AE, AF,AG,则,故, 由底面BCD， 可知， ,同理，即分别为三个侧面与底面所成的二面角的平面角，由可知三个侧面与底面所成的二面角相等，B正确；若O为的垂心，则连接BO并延长交CD于F,连接AF,则 , 于是 平面ABF,故 ,而平面ACD,故平面ABF平面ACD, 则B在平面的射影P落在平面ABF和平面ACD的交线AF上，连接DP并延长交AC于H,仿同理可证 ,而 ,可得平面BPD,则 ,即P点为的高AF,DH的交点，即B在对面的射影是垂心，故C正确；当O为的重心时，连接DO,BO,CO并延长交BC,CD,BD于E,F,G点，则E,F,G分别为BC,CD,BD的中点，与BC,CD,BD的长度无关，因此三个侧面面积之间的关系不确定，故D错误，故选：ABC 三、填空题 9．过所在平面外一点P，作，垂足为，若，，则点是的 心. 【答案】内 【分析】由题意得出是 的平分线，是的平分线，点是的内心； 【详解】过点分别作边的垂线，垂足分别为， 若，则，，∵底面，底面，∴，∴，∴，∴，即是 的平分线，同理时，是的平分线，∴点是的内心，故C选项正确； 10．点是所在平面外一点，且到三顶点距离相等，则点在平面上的射影是的______心（选填“重心”、“外心”、“内心”）． 【答案】外心 【分析】设在平面上的射影为，则平面，连接、、，从而得到，即可得到，即可判断. 【详解】设在平面上的射影为，则平面，连接、、，则平面，所以，，，又，所以，所以，所以为的外心. 11．四面体中，平面，是的垂心，且平面，则三对对棱与，与，与中互相垂直的有________对，若也是的重心，则二面角的正弦值为________. 【答案】 3 【分析】利用垂直射影则垂直斜线，易证对棱垂直；先确定二面角的平面角，再结合垂心定理设值 计算即可. 【详解】因为平面，所以.连接并延长交于点，因为点是的垂心，所以，又因为平面，所以为在平面内的投影，则， 同理可得，所以与，与，与中相互垂直的有3对.当点也是的重心时易得三棱锥为底面为等边三角形，侧面为等腰直角三角形的正三棱锥，则各个侧面与底面所成的二面角相等，∴二面角的大小与二面角的大小相等，设底面的边长为，则易得，，则，所以二面角的正弦值等于. 【点睛】本题考查空间直线垂直的判定、二面角、三棱锥的性质，根据三棱锥的性质确定直线间的位置关系是解题的关键，属于中档题. 四、解答题 12．如图，三棱锥P−ABC中，底面ABC是正三角形，底面ABC，平面PBC，垂足为G．若G恰是的重心，且的边长为2，求点C到平面ABG的距离． 【答案】 【分析】延长交于，连接并延长交于，连接，求出各边长，利用等体积法可求. 【详解】延长交于，连接并延长交于，因为G是的重心，所以分别为，中点，且，连接，因为是边长为2的正三角形，所以，因为底面ABC，所以，因为平面PBC，所以，则，则，， 所以，，， 设点C到平面ABG的距离为，可得到平面的距离为， 由可得，解得. 13．如图，三棱锥中，底面是正三角形，底面，平面，垂足为． (1)是否可能是的垂心，请说明理由 (2)若恰是的重心，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)不是，理由见解析；(2) 【分析】（1）先假设是垂心，得出，结合条件推出，这与已知矛盾，从而可得不是的垂心；（2）由平面，可得为所求的与平面所成角大小，利用解三角形知识计算即得答案. 【详解】（1）如图：假设是的垂心，则，又因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，平面， 所以，又因为底面，所以，又平面， 所以平面，所以，与底面是正三角形矛盾，所以不是的垂心. （2）因为平面，所以为所求的与平面所成角大小，取中点，连结，不妨设，则：，因为平面，所以：，又因为底面，所以，所以在三角形中，有，所以，所以，又，所以，所以与平面所成角大小为. 14．在三棱锥中，平面，，，点在棱上且是的外心，点是的内心，. （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）延长交于点，由已知有是正三角形，且是的中心，可知，根据线面垂直的性质、面面垂直的判定即可证平面平面； （2）应用等体积法：(法一)，求、、即可知，再由线面垂直有，即可求，即可知 ，进而求 ；(法二) ，求、、即知，再由线面垂直有，即可求，即可知 ，进而求 ； 【详解】（1）延长交于点，又是直角三角形的外心，∴，即是的中点，，∴是正三角形，又是的中心，∴是的中点，即.∵平面，平面，∴.∵，∴平面，且平面，∴平面平面. （2）法一：连接，，即求点到平面的距离. ∵，∴，又平面，即， ∴.在等边中，，有.∴在中，，，，有.由（1）知：平面，由平面，知.在中，，，有.∴， ∴综上有：. 法二：连接，，由知：， ∵平面，则，∴.在等边中，， 有.（亦可使用正弦定理），在中，，，， 有.由（1）知平面，且平面，则.在中，，，有.所以，得. 【点睛】（1）根据三角形内外心的性质可知，结合线面垂直的性质、面面垂直的判定即可证面面垂直；（2）应用等体积法，将点面距转化为求几何体的高即可. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学人教A版必修二立体几何期末备考专项讲与练15 测试范围：几何体与三角形“四心”交汇问题 回归教材： 【人教A版数学必修二第8.6.2节练习第4题】过所在平面外一点P，作，垂足为O，连接.（1）若，则点O是的 心. （2）若，，则点O是边的______点. （3）若，，，垂足都为P，则点O是的 心. 【人教A版数学必修二复习参考题8第12题】如图，在正方体中，求证： （1）平面； （2）与平面的交点H是的重心. 基础知识： 1.三角形的“重心”：三角形三条中线的交点； 2.三角形的“垂心”：三角形三条高的交点； 3.三角形的“内心”(内切圆的圆心)：三角形三个内角角平分线的交点； 注：若的内切圆半径为,则； 4.三角形的“外心”(外接圆的圆心)：三角形三条边垂直平分线的交点； 跟踪训练： 一、单选题 1．已知三棱锥中，，作平面ABC，垂足为，则为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 2．已知正方体中，E、F、G分别是棱A'B'、AA'、A'D'上的点，则点A′在平面EFG上的射影是三角形EFG的（　　） A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心 3．【人教A版数学必修二8.6.2练习第4题改编】过所在平面外的一点P，作，垂足为O，若点P到直线AB，AC和BC的距离都相等，则点O是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 4．已知为长方体，对角线与平面相交于点，则为的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 5．已知 ，点 是平面 外一点，点 是点 在平面 上的射影，直线PA，PB，PC与平面ABC所成的角相等，则 是 的（    ） A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 6．在三棱锥中，三个侧面与底面所成的角均相等，顶点在内的射影为，则是的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 二、多选题 7．如图，平行六面体的六个面都是菱形，那么点在面上的射影一定是的（    ），点在面上的射影一定是的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 8．在三棱锥中，顶点A在底面的射影为O，则下面说法正确的是（    ） A．若O为的外心，则. B．若O为的内心，则三个侧面与底面所成的二面角都相等. C．若O为的垂心，则B在对面的射影是垂心. D．若O为的重心，则三个侧面面积相等. 三、填空题 9．过所在平面外一点P，作，垂足为，若，，则点是的 心. 10．点是所在平面外一点，且到三顶点距离相等，则点在平面上的射影是的______心（选填“重心”、“外心”、“内心”）． 11．四面体中，平面，是的垂心，且平面，则三对对棱与，与，与中互相垂直的有________对，若也是的重心，则二面角的正弦值为________. 四、解答题 12．如图，三棱锥P−ABC中，底面ABC是正三角形，底面ABC，平面PBC，垂足为G．若G恰是的重心，且的边长为2，求点C到平面ABG的距离． 13．如图，三棱锥中，底面是正三角形，底面，平面，垂足为． (1)是否可能是的垂心，请说明理由 (2)若恰是的重心，求直线与平面所成角的大小． 14．在三棱锥中，平面，，，点在棱上且是的外心，点是的内心，. （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $