精品解析：广东河源市东源县2025—2026学年第二学期七年级数学期中监测题

东源县2025—2026学年第二学期七年级数学期中监测题 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 新丰江水库某污染物浓度为，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 小明准备在编程、书法、篮球三门选修课中随机选择一门参加，选到“篮球”的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线a，b被c所截，下列四个结论：①∠1和∠3互为对顶角；②∠4和∠8是同位角；③∠3和∠7是内错角；④∠4和∠7是同旁内角．其中，结论一定正确的有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列描述的事件属于必然事件的是（ ） A. 周末去桂山，遇到晴天 B. 河源人每天都会去逛太平古街 C. 东江的水往低处流 D. 河源人都会说客家话 6. 小王练习射击，共射击次，其中有85次击中靶子，由此可估计小王射击一次击中靶子的概率约为（ ） A. B. C. D. 7. 下列多项式乘法中，可用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知两平行线、被直线所截，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 若，则m，n的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 有下列说法：①相等的角叫对顶角；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④两点之间的距离是两点间的线段；⑤在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有平行或垂直两种．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，，求的值为________． 12. 已知∠A＝40°，则∠A的余角的度数是_______． 13. 已知是完全平方公式，则的值为______． 14. 如图，一个游戏转盘中，红、黄、红、蓝四个扇形的圆心角度数分别为，，，．让转盘自由转动，则指针停止后落在红色区域的概率是______． 15. 如图，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为．若，则的度数为 _________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 背景：如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子．已知光线经过镜子反射时，有，． 问题：请解释进入潜望镜的光线为什么和离开潜望镜的光线是平行的？ 解决：请把下列解题过程补充完整． 解：，（已知）， ________，（两直线平行，内错角相等）， ，，（已知）， ．（ ）， ， 且， ________， ∴________________．（_______________________，两直线平行）． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 2月份，某工厂共生产了26000件工艺品，为了检测该产品的合格率，工厂质检员对产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 48 99 194 m 490 980 合格频率 0.96 0.99 0.97 0.98 0.98 n （1）表格中m的值为______，n的值为______； （2）估计随机抽取一件该产品是不合格品的概率； （3）若该工厂每生产一件不合格产品将损失20元，求2月份该工厂因不合格产品所造成的损失为多少元？ 20. 如图，直线， （1）利用尺规作图：过点B作，且与交于点C． （要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）试说明：． 21. 已知，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图所示） （1）如图，可以求出阴影部分的面积是________（写成平方差的形式）． （2）如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，比较左、右的阴影部分面积，可以得到公式________． （3）请应用这个公式完成下列各题： ①计算： ②计算： 23. 问题情境：如图，，点在直线上，点在直线上，点在直线，之间，连接，．勤奋小组的同学们对该图形进行了研究． （1）观察猜想：小明猜想，他过点作，如图，请帮他完成证明过程． （2）深入探究：小华在帮助小明完善解题过程时，发现用同样的辅助线还可以得到，，之间的关系，请写出这三个角度间满足的关系并完成证明． （3）问题解决：图3是天文爱好者小夏在观察北斗七星时所拍摄的画面，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为，并连接．绘制过程中发现摇光、开阳所在的直线与天玑、天璇所在的直线几乎平行（如图）（因为距离地球很远，所以近似看作）．结合上面的探究过程，若，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东源县2025—2026学年第二学期七年级数学期中监测题 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 新丰江水库某污染物浓度为，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 2. 小明准备在编程、书法、篮球三门选修课中随机选择一门参加，选到“篮球”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用符合要求的结果数除以所有等可能的结果总数即可得到所求概率． 【详解】解：∵小明需要从编程、书法、篮球三门选修课中随机选一门， ∴所有等可能的结果共有种． 又∵选到“篮球”的结果只有种， ∴选到“篮球”的概率为． 3. 如图，直线a，b被c所截，下列四个结论：①∠1和∠3互为对顶角；②∠4和∠8是同位角；③∠3和∠7是内错角；④∠4和∠7是同旁内角．其中，结论一定正确的有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了对顶角，同位角，内错角，同旁内角的定义．解答此题确定三线八角是关键． 根据对顶角，同位角，内错角，同旁内角的定义， 对顶角：一个角的两边分别是另一个角的反向延升线，这两个角是对顶角两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角． 同位角：两个都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角；内错角：两个角分别在截线的两侧，且在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．  同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角． 逐一判断即可． 【详解】①∠1和∠3互为对顶角，说法正确； ②∠4和∠8是同位角，说法正确； ③∠3和∠7是内错角，说法正确； ④∠4和∠7是同旁内角，说法正确； 结论一定正确的有①②③④共4个； 故选：A． 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式运算法则，运用同底数幂乘除法，合并同类项，积的乘方的法则，逐一计算选项即可判断． 【详解】A．，A错误． B．与不是同类项，不能合并，B错误． C．，，，C错误． D．，D正确． 5. 下列描述的事件属于必然事件的是（ ） A. 周末去桂山，遇到晴天 B. 河源人每天都会去逛太平古街 C. 东江的水往低处流 D. 河源人都会说客家话 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、周末去桂山遇到晴天，不一定发生，属于随机事件，不符合要求； B、河源人每天都会逛太平古街，该事件不一定会发生，是随机事件，不符合要求； C、受重力影响，水一定会往低处流，东江的水往低处流是一定会发生的事件，属于必然事件，符合要求； D、不是所有河源人都会说客家话，该事件不一定发生，不符合要求． 6. 小王练习射击，共射击次，其中有85次击中靶子，由此可估计小王射击一次击中靶子的概率约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．根据频率频数数据总数计算即可得答案． 【详解】解：∵总射击次数为次，击中靶子次， ∴频率为， ∴估计概率约为． 故选：B． 7. 下列多项式乘法中，可用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】平方差公式要求两个二项式相乘，有一项完全相同，另一项互为相反数，符合该特征即可使用平方差公式计算． 【详解】解：A选项中，与不是互为相反数，不符合条件，不能用平方差公式计算． B选项，两项都完全相同，不符合条件，不能用平方差公式计算． C选项中，相同项为，相反项为和，符合平方差公式的条件，可以用平方差公式计算． D选项，两项都相同，不符合条件，不能用平方差公式计算． 8. 如图，已知两平行线、被直线所截，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，邻补角互补等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的性质； 先根据平行线的性质求出的度数，再根据邻补角的性质即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ； 故选：B 9. 若，则m，n的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用多项式乘多项式法则展开并合并同类项后即可求得答案． 【详解】解： ， 则，， 故选：C 10. 有下列说法：①相等的角叫对顶角；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④两点之间的距离是两点间的线段；⑤在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有平行或垂直两种．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查对顶角、平行线、垂线、距离和直线位置关系等概念的正确理解． 对照对顶角、平行线、垂线、两点间距离、直线位置关系的概念，逐一判断每个说法的正确性，统计正确说法的个数． 【详解】解：①相等的角不一定是对顶角，错误，不符合题意； ②过一点不一定有平行线，正确表述需指定过直线外一点，错误，不符合题意； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，符合题意； ④两点之间的距离是两点间线段的长度，不是线段本身，错误，不符合题意； ⑤在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系有平行和相交，错误，不符合题意． ∴只有③正确，共1个． 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，，求的值为________． 【答案】10 【解析】 【分析】逆用同底数幂的乘法法则将所求式子变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 12. 已知∠A＝40°，则∠A的余角的度数是_______． 【答案】50° 【解析】 【分析】利用互为余角的定义求解即可. 【详解】解：设∠A的余角是∠B，则∠A+∠B=90°， ∵∠A=40°， ∴∠B=90°－40°=50° 故答案为：50° 【点睛】本题考查余角的概念，掌握互余两个角的和为90°是本题的解题关键. 13. 已知是完全平方公式，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：是完全平方公式， ， 即， 故答案为：． 14. 如图，一个游戏转盘中，红、黄、红、蓝四个扇形的圆心角度数分别为，，，．让转盘自由转动，则指针停止后落在红色区域的概率是______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】求出红色区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求概率． 【详解】解：红色区域的圆心角为， 红色区域所占的面积比为， 让转盘自由转动，则指针停止后落在红色区域的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了几何概率的求法，事件（A）所表示的区域的面积与总面积的比值，就是事件（A）发生的概率． 15. 如图，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为．若，则的度数为 _________． 【答案】##125度 【解析】 【分析】本题考查图形的翻折变换以及平行线的性质的运用，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变． 根据长方形的性质和，可以得出的度数，进而得出的度数，根据平行线的性质得出的度数，根据折叠重合的角相等得出，最后利用平行线的性质和折叠的性质即可得出答案． 【详解】解：四边形为长方形， ，． 在直角三角形中，， ， ， 根据折叠重合的角相等，得． ， ， 再根据折叠的性质得到． 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方、零指数幂、负整数指数幂、有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据零指数幂法则、负整数指数幂法则、有理数的混合运算法则进行解题即可； （2）根据同底数幂的乘除法法则，幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式 ， 当时 原式． 18. 背景：如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子．已知光线经过镜子反射时，有，． 问题：请解释进入潜望镜的光线为什么和离开潜望镜的光线是平行的？ 解决：请把下列解题过程补充完整． 解：，（已知）， ________，（两直线平行，内错角相等）， ，，（已知）， ．（ ）， ， 且， ________， ∴________________．（_______________________，两直线平行）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据即可作答． 【详解】解：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵，（已知）， ∴（等量代换）， ∵， 且， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 2月份，某工厂共生产了26000件工艺品，为了检测该产品的合格率，工厂质检员对产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 48 99 194 m 490 980 合格频率 0.96 0.99 0.97 0.98 0.98 n （1）表格中m的值为______，n的值为______； （2）估计随机抽取一件该产品是不合格品的概率； （3）若该工厂每生产一件不合格产品将损失20元，求2月份该工厂因不合格产品所造成的损失为多少元？ 【答案】（1）294，0.98 （2）任抽一件该产品是不合格品的概率为0.02 （3）该工厂因不合格产品所造成的损失10400元 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，掌握相关知识点是解题的关键． （）根据频数除以总数等于频率，列式计算即可求解； （）根据抽取件数为时，合格的频率趋近于，可得估计产品合格的概率为，进而即可求解； （）用乘以不合格品的概率再乘以20即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，，； 【小问2详解】 解：∵抽取件数为时，合格的频率趋近于， ∴估计衬衣合格的概率为， ∴估计任抽一件该产品是不合格品的概率为； 【小问3详解】 解：（元）， 答：该工厂因不合格产品所造成的损失10400元． 20. 如图，直线， （1）利用尺规作图：过点B作，且与交于点C． （要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）试说明：． 【答案】（1）图见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）过点作，交于点，即可． （2）利用平行线的性质，得到，即可得证． 【小问1详解】 如图所示，即为所求； ∵， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平行线的判定定理和性质定理． 21. 已知，． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由公式变换即可得出结果； （2）由公式变换即可得出结果； （3）由公式变换即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵，， ∴． 【小问2详解】 解：． 【小问3详解】 解：， ∴． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图所示） （1）如图，可以求出阴影部分的面积是________（写成平方差的形式）． （2）如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，比较左、右的阴影部分面积，可以得到公式________． （3）请应用这个公式完成下列各题： ①计算： ②计算： 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）用大正方形的面积减去小正方形的面积，即可得解； （2）根据图形，即可得到长方形的长和宽，利用长乘宽就可得到长方形的面积，根据阴影面积相等，列出等式即可； （3）①利用公式进行计算即可； ②利用（2）中公式，逐项展开，进行计算即可． 【小问1详解】 解：阴影部分的面积是：； 【小问2详解】 解：由图可知：长方形的宽为，长为，面积为； 由题意，得：； 【小问3详解】 解：①由，可知： ②原式 ． 23. 问题情境：如图，，点在直线上，点在直线上，点在直线，之间，连接，．勤奋小组的同学们对该图形进行了研究． （1）观察猜想：小明猜想，他过点作，如图，请帮他完成证明过程． （2）深入探究：小华在帮助小明完善解题过程时，发现用同样的辅助线还可以得到，，之间的关系，请写出这三个角度间满足的关系并完成证明． （3）问题解决：图3是天文爱好者小夏在观察北斗七星时所拍摄的画面，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为，并连接．绘制过程中发现摇光、开阳所在的直线与天玑、天璇所在的直线几乎平行（如图）（因为距离地球很远，所以近似看作）．结合上面的探究过程，若，则． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点作，利用平行线的性质与判定即可完成论证； （2）过点作，利用平行线的性质与判定即可完成论证； （3）过点作，利用平行线的性质与判定即可完成求解； 【小问1详解】 证明：如图：过点作， ∵， ∴， ∴ ∴． 【小问2详解】 证明：如图：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴ 【小问3详解】 解：如图：过点作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴由（1）的结论可知， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $